Đến đây việc giải và biện luận phương trình không còn khó khăn gì nữa.... Dễ dàng chứng minh được bổ đề trên.[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Giải phương trình cách đặt ẩn phụ thích hợp Bài 1: Giải phương trình 10 x −2 x+ 2 x2− + −11 =0 x+ x −1 x −1 ( ) ( ) ( ) (*) -Hướng dẫn x−2 x+ Đặt u= x +1 ; v = x −1 (1) Ta có: (*) ⇔ 10.u2 + v2 – 11.uv = ⇔ (u – v).(10u – v) = ⇔ u = v 10u = v Xét các trường hợp, thay vào (1) ta tìm x cách dễ dàng Bài 2: Giải phương trình (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8) = 15 (*) -Hướng dẫn - Ta có: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8) = 15 ⇔ (x - 1).(x - 3).(x - 2).(x - 4) – 15 = ⇔ (x - 1).(x - 2).(x - 3).(x - 4) - 15 = ⇔ (x2 - 5x + 4).(x2 - 5x + 6) – 15 = - Đặt x2 - 5x + = u (1) Ta có: (*) ⇔ (u - 1).(u + 1) - 15 = ⇔ u2 – 16 = ⇔ u= ± Thay các giá trị u vào (1) ta dễ dàng tìm x Bài 3: Giải phương trình -Hướng dẫn - 2 x x + =90 x+1 x −1 ( ) ( ) (*) (2) x +1 ¿2 ¿ x −1 ¿2 ¿=90 ¿ ¿ x2 ¿ Ta có: (*) - Đặt u = x2 ( u x2 x 90 ( x 1) (**) 0) (1) thay vào (**) ta được: u− 1¿ ¿ u− 1¿ ¿ 2u+ u ¿ (u ⇔ 1) 88 u − 182u+ 90=0 Từ đây ta dễ dàng tìm u, thay vào (1) ta tìm x Bài 4: Giải phương trình √3 x+ √3 x −3=√3 12.(x −1) (*) -Hướng dẫn Đặt x u; x v (1) Thay vào (*) ta có: u+ v=√ (u 3+ v )⇔ u 3+ v +3 uv (u+ v)=4 (u3 + v 3) u − v ¿2 =0 ⇔ ¿ u=− v ¿ u=v ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ (u+ v).(u −2 uv + v 2)=0 ⇔ (u+v ) ¿ Xét các trường hợp thay vào (1) ta dễ dàng tìm x Bài 5: Giải phương trình √ x +3 x 2+3 x −2+ 12 = x2 +3 x (1) -Hướng dẫn Từ (1) √ x3 +3 x 2+ x −2=x2 +6 x − ⇒20 x 3+12 x 2+ 12 x − 8=x +36 x2 +1+12 x3 −2 x − 12 x (3) ⇒ x −8 x +22 x −24 x +9=0 ⇒ x − x +22 − (x 0) 24 + =0 x x2 Đặt x+ x = y (*) ta có: y2 - 8y + 16 = suy y = thay vào (*) ta dễ dàng tìm x Bài 6: Giải phương trình x 1 ( x 4) 3.( x 4) x 1 18 0 x -Hướng dẫn Điều kiện x > x < -1 * Nếu x > 4, thì (1) trở thành: (*) (x+ 1) (x − 4)+3 √( x+ 1).( x − 4)−18=0 Đặt √( x +1).( x − )= y ≥ (2), thay vào (*) ta được: y2 + 3y -18 = - Từ đó ta dễ dàng tìm y, thay vào (2) ta tìm x * Nếu x < -1, (1) trở thành: (x+ 1).(x − 4)−3 √ (x+ 1) ( x − 4) −18=0 Đặt √( x +1).( x − )= y ≥ (3) thay vào (**) ta có: y2 - 3y -18 = Từ đó ta dễ dàng tìm y, thay vào (3) ta tìm x Bài 7: Giải phương trình (2x2 - 3x +1).(2x2 + 5x + 1) = 9x2 (1) Giải (1) ⇔ x +4 x3 −20 x 2+ x +1=0 (x ⇔ 4x2 + 4x -20 + ⇔ ( x+ + x x2 0).Chia hai vế cho x2 ta : = +2 x + − 24=0 Đặt y = x x ) ( ) 2x+ (2) x Ta có: y2 + 2y -24 = Từ đó ta tìm y,thay vào (2) ta dễ dàng tìm x (1) (4) Bài 8: Giải phương trình √ x2 −16 x +64 −2 √ x −8 x+ 16+ √ x2 =0 -Hướng dẫn ⇔|x −8|− 2.|x − 4|+|x|=0 Ta có - x-8 x- x - - + + + + + + + - Đến đây ta xét khoảng , bài toán trở nên đơn giản Bài 9: Giải phương trình (1 + x + x2)2 = 5.(1 + x2 + x4) (*) -Hướng dẫn Ta có: (*) ⇔ 1+ x 2+ x +2 x +2 x 2+2 x 3=5+5 x 2+ x ⇔ x −2 x3 +2 x −2 x +4=0 ⇔ x − x + x − x+2=0 Nhận thấy x = không phải là nghiệm phương trình đã cho, x Chia hai vế phương trình trên cho x2 ta được: 2x2 - x + - x + =0 Đặt y = x+ x (*) Ta có: x 2y2 - y - = 0.Từ đó ta dễ dàng tìm y, thay vào (*) ta tìm x Bài 10: Giải phương trình (6-x)4 + (8-x)4 = 16 -Hướng dẫn - Đặt - x = y (*) ta có: (y-1)4 + (y + 1)4 =16 ⇔ 2y4 +12 y2 +2 = 16 ⇔ 2.(y-1).(y+1).(y2+7)=0 ⇔ y =1 y = -1 Thay các giá trị y tìm trên thay vào (*) ta dễ dàng tìm các giá trị x II.Tìm các nghiệm nguyên (x;y) (x;y;z) các phương trình sau: (5) Bài 1: x2 = y.(y + 1).(y + 2).(y + 3) -Giải Đặt y2 + 3y = t Ta có: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3) = (y2 + 3y).(y2 + 3y +2) = t2 + 2t *Nếu t > thì t2 < x2 = t2 + 2t < (t+1)2 suy không tồn x thỏa mãn *Nếu t < -2 thì 2t + < nên t2 + 2t > t2 + 4t + t2 + 2t > t2 + 4t + = (t+2)2 x2 = t2 + 2t > (t + 2)2 (*) Lại có: t2 +2t < t2 suy x2 < t2 (**) Từ (*)&(**) suy (t + 2)2 < x2 < t2 suy x2 = (t+1)2 suy t2 +2t = (t +1)2 (=x2) Suy : t2 +2t = t2 +2t +1 (Vô lý) *Nếu t = -1 suy x2 = t2 +2t = -1 <0 (Vô lý) *Nếu t = suy x = ⇒ y = -1 -2 -3 ¿ x − y+ z=2(1) Bài 2: Giải hệ phương trình (I) x − xy+ x −2 z=1(2) ¿{ ¿ Giải: Từ (2) ta có: 2x2 - xy+x-2z =1 kết hợp với (1) ta có: 2x2 - xy+x-2.(2 - x + y)=1 ⇔ 2x2 -xy +3x-2y-5 =0 x +3 x −5 ⇔ y= =x +1 − ∈ Ζ ⇒ ⋮ x+ 2⇒ x +2=±1, ± x+ x+ Từ đó ta tìm x ⇒ tìm y ⇒ tìm z ¿ x − y − z=3(1) Bài 3: x − y − z 2=1(2) ¿{ ¿ Giải: Thay (1) vào (2) ta được: (6) (y + z -3)2 -y2 -z2 =1 ⇔ yz - 3y - 3z = -4 ⇔ (y-3).(z-3) = = 1.5 = (-1).(-5) = 5.1= =(-5).(-1 Từ đó ta tìm y và z ⇒ tìm x Bài 4: 2xy + x + y = 83 Giải: ⇔ x= 83 − y 166 − y 167 ⇔ x= =−1+ ∈ Ζ ⇒ 167 ⋮ y +1 ⇒ y+ 1=± 1,± 167 y +1 y +1 y +1 Từ đó ta tìm y ⇒ tìm x xy yz zx Bài 5: z + x + y =3 Giải: Điều kiện : x,y,z Nhận xét:Trong ba số x,y,z luôn tồn hai số cùng dấu (Theo nguyên tắc Đirichlê có số -3 thỏ mà có hai chuồng-mọi số nguyên khác mang dấu âm dấu dương) Ta có thể giả sử x,y cùng dấu với nhau.Suy x.y = |xy| > và xy yz zx Đặt A= z + x + y =3 xy yz zx Giả sử z <0 đó = A = z + x + y <0+0+ 0=0 (Vô lý) Vậy z >0.Ta có: |xy| |xy| x y z z =3 √|xy| z A = xy + yz + zx =3= + z y + z x ≥3 z x y z ⇒ ≥|xy| z ⇒ z=1,|xy|=1⇒ z=1 , x= y=1 ¿ z=1 , x= y =−1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ | x | | y| √ z | y| | x| x y , >0 y x (7) Bài 6: 2x2 - 2xy = 5x + y - 19 Giải: Từ bài ta có: y= x +5 x+ 19 17 =x+2+ ∈ Ζ ⇒17 ⋮ x +1 ⇒2 x +1=±1, ±17 x+1 x+1 Từ đó ta tìm x ⇒ tìm y III.Giải hệ phương trình và các phương trình khác 1 =2 Bài 1: Tìm các giá trị không âm x thoả mãn x + √2 − x Giải: Điều kiện : x ≠ 0,|x|< √ 1 <¿ - Nếu x < thì x + √2 − x √2 − x ≤ < (Xem lại lập luận này?) √2 Vậy ta xét x > 0: - Đặt x = a và √ 2− x2=b (a,b > 0) ¿ 1 + =2 a b Ta có: a2 +b 2=2 ¿{ ¿ Có: 2= + ≥ ⇒ ab ≥ (1) a b √ Lại có: = a2 + b2 ab 2ab suy ab (2) Từ (1)&(2) suy ab = mà a2 + b2 =2 nên suy (a+b)2 = suy a + b = ¿ ab=1 a+ b=2 Vậy ta có: ⇒ a=b=1⇒ x=1 ¿{ ¿ Bài 2: Giải: √ − x2 + √ 1+4 x +√ x 2+ y −2 y −3=√ x −16 − y +5 (8) ¿ − x ≥0 (1) 1+ x ≥ 0(2) Điều kiện: x + y −2 y − ≥0 (3) x −16 ≥ 0(4) ¿{{{ ¿ Từ (4) suy x2 kết hợp với (1) suy x2 = kết hợp với (2) suy x = Phương trình đã cho trở thành: | y −1|=− y +5 Lúc này việc tìm y không còn khó khăn gì (Lập bảng xét dấu) Bài 3: 2x4 -21x3 + 74x2 -105x +50 =0 Giải: Nhận thấy x = không phải là nghiệm phương trình đã cho Vậy x 0.Chia hai vế phương trình đã cho cho x2 ta được: x −21 x+74 − 105 50 25 25 + =0 ⇔ x + − 21 x + −26=0 x x x x ( ) ( ) 25 Đặt x+ x = y ta có: 2y2 -21.y - 26 = 0.Từ đó ta tìm y ⇒ tìm x ¿ 2.|1+|x||−|1−|x||=5 Bài 4: |1+|x||+ |1−|x||=7 ¿{ ¿ Giải: ¿ a=|1+| x||≥ Đặt : b=|1−|x||≥ ¿{ ¿ ¿ a −b=5 Hệ đã cho trở thành: a+ b=7 ¿{ ¿ (9) Từ đó tìm a =3,b =1 Đến đây việc tìm x không còn khó khăn ¿ |x − 1|+| y −5|=1(1) y=5+|x −1|(2) Bài 5: ¿{ ¿ Giải: Thay biểu thức (2) vào phương trình (1) ta có: |x − 1|+|5+|x −1|−5|=1 ⇔ |x −1|=1 Từ đó ta tìm x.Việc tìm giá trị y không có gì khó khan ¿ x −15 xy + y − 12 x +45 y −24=0 (1) Bài 6: x −2 y 2+3 y −3 x +xy=0(2) ¿{ ¿ Giải: Phương trình (2) phân tích sau: ⇔ x= y ¿ x=3 −2 y (x - y).(x -3 + 2y) = ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Xét các trường hợp thay vào phương trình (1) ta dễ dàng tìm x và y Bài 7: x3 + (3-m).x2 + (m-9).x + m2 -6m + = Giải: Phương trình đã cho phân tích sau: [ x −(m− 5)] [ x −2 x −(m −1)]=0 Đến đây việc giải và biện luận phương trình không còn khó khăn gì (10) ¿ x + y + z=1 Bài 8: x + y + z =xyz ¿{ ¿ Giải: Bổ đề: ∀ a , b , c ∈ R : a2+ b2 +c ≥ ab+ bc+ ca Đẳng thức xảy và a = b = c (Dễ dàng chứng minh bổ đề trên) Sử dụng bổ đề ta có: xyz = x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz.(x + y + z) = xyz Suy các dấu bất đẳng thức trên phải trở thành đẳng thức tức là ta phải có: x = y =z kết hợp với giả thiết ban đầu :x + y + z =1 ta được: x= y=z = ¿ x + y =1(1) Bài 9: 1999 1999 2000 2000 √ x − √ y =( √ y − √ x ) (x + y + xy+2001)(2) ¿{ ¿ Giải: Điều kiện: x,y Nhìn nhận phương trình (2) ta thấy: -Nếu x > y thì: VT > 0, VP < suy ra: VT > VP -Nếu y > x thì: VT <0, VP >0 suy ra: VT < VP -Nếu x = y đó: VT =VP =0 Kết hợp với (1) (Chú ý:x,y ) ta được: x= y= √2 (11) Bài 10: √ x+ √ x −5 − 2+ √ x −3 √2 x − 5+2=2 √2 (1) Giải: 2 (1) ⇔ √( √ x −5+1 ) + √ ( √ x −3 − ) =2 √ √2 √2 ⇔ √ x −5+1+|√ x − 5− 3|=4 Ta có: 4=|3 − √2 x − 5|+ √ x −5+1 ≥ 3− √ x −5+ √ x −5+1=4 Vậy dấu bất đẳng thức trên phải trở thành dấu đẳng thức tức là: − √ x −5 ≥ ⇔ x − ≥0 9≥ x −5 ⇔7 ≥ x ≥ ¿{ Vậy nghiệm phương trình đã cho là: x ∈ ;7 [ ] (12)