Bµi 4:5®iÓm a Một ngời gửi a đồng vào ngân hàng với lãi suất tiết kiệm là r%/tháng.. Biết rằng hàng tháng ngời đó không rút lãi suất ra..[r]
(1)kú thi chän häc sinh giái gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh cÇm tay n¨m häc 2011 - 2012 M«n : To¸n líp Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngµy thi: 27 th¸ng 11 n¨m 2011 phòng Gd & đt Sơn động C¸c Gi¸m kh¶o (Hä, tªn vµ ch÷ kÝ) §iÓm cña toµn bµi thi B»ng sè Sè ph¸ch (Do Chñ tÞch Hội đồng thi ghi) B»ng ch÷ Chó ý: - §Ò thi nµy cã trang với 10 bµi, mçi bµi ®iÓm; - Thí sinh làm bài trực tiếp vào đề thi này, phần không yêu cầu tr×nh bµy lêi gi¶i th× ®iÒn kÕt qu¶ vµo « trèng t¬ng øng - Nếu không có yêu cầu gì thêm, hãy tính chính xác đến chữ số thập phân - Các đoạn thẳng đợc đo theo cùng đơn vị dài Bài 1: (5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau và điền kết vào ô vuông: 4 0,8 : 1, 25 1, 08 : 25 5 1, 2.0,5 : 1 0, 64 25 17 a) A = b) B = 6 847 6 27 B= 847 27 12 c) C= d) KQ: C 64 D = 60 A= D= 9,81 4π 0,87.cos52 17 / e) Biết: cosA = 0,8516 ; tgB = 3,1725 ; sinC = 0,4351 Tính : E = cotg(A + B – C) E= (2) Bài 2: (5 điểm) Tìm giá trị x, y dạng phân số (hoặc hỗn số) từ các phương trình sau điền kết vào ô vuông : x 1 a) 1 5 x 4 5 x= 2 1 0,3 y : 0, 003 20 : 62 17,81: 0, 0137 1301 20 2, 65 : 1,88 20 25 b) y= Bài 3: (5 điểm) 199 2005 10 a= 1 13 b= 3 a a) Tìm các số tự nhiên a và b biết b b) Tìm số tự nhiên lớn nhất, nhỏ (tơng ứng đặt là a, b) có dạng 1x y3z chia hÕt cho C¸ch gi¶i KÕt qu¶ a= b= Bµi 4:(5®iÓm) a) Một ngời gửi a đồng vào ngân hàng với lãi suất tiết kiệm là r%/tháng Biết hàng tháng ngời đó không rút lãi suất Hãy lập công thức tính số tiền gốc và lãi ngời đó sau tháng, tháng , tháng , năm theo a và r? áp dụng với a = triệu đồng và r = 0,4 Lêi Gi¶i: ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… (3) ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………… ……………………………………………………………………… áp dụng với a= triệu đồng, r =0,4 Tổng số tiền gốc và lãi ngời đó sau th¸ng, th¸ng , th¸ng , n¨m lµ: Sau th¸ng Sau th¸ng Sau th¸ng Sau n¨m Tæng sè tiÒn b) Nếu tháng ngời đó gửi vào ngân hàng triệu đồng và lãi xuất là 0,4% (các tháng không rút lãi suất ra) thì sau năm ngời đó có đợc bao nhiªu tiÒn ? Sè tiÒn sau n¨m lµ: Bài 5: (5 điểm ) Cho U0 = 2; U1 = 3; Un + = 3Un - 2Un - ( n N* ) a) ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm liªn tôc tÝnh Un ( n ≥ ) ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… Sö dông quy tr×nh hoµn thµnh b¶ng sau: n Un 10 b) Chøng minh U2n + Un + -1 lµ sè chÝnh ph¬ng ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Bài 6: (5 điểm) Cho f(x) = x3+bx2+cx+d a BiÕt f(1) = 3; f(2) = 8; f(3) = 15 TÝnh f(2009) vµ f(2010) (Tr×nh bµy lêi gi¶i vµ viÕt kÕt qu¶) b Biết f(x) Chia cho (x+3) d 1; chia cho (x-4) d 8, chia cho (x+3)(x-4) đợc thơng là x-3 và còn d Hãy xác định b,c,d (Trình bày lời giải và viết kết quả) (4) a) Lêi gi¶i: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………… f(2009)= f(2010)= b) Lêi gi¶i: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………… b= d= c= Bµi 7: (5 ®iÓm) Trên măt phẳng toạ độ vuông góc Oxy Cho các điểm A(1,8; 4,2) B(-2,1; -1,2); C(3,9; -4,1) a) TÝnh chu vi tam gi¸c ABC Chu vi b) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC SABC c) TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC A B C Bài 8: (5 điểm) Cho tam giác ABC có A 120 ; AB = 4cm ; AC = 6cm và trung tuyến AM Từ B, kẻ BH vuông góc với AC H và từ M, kẻ MK vuông góc với AC K (H, K AC) Tính độ dài đường trung tuyến AM Cách giải: H A (5) K B M C Bài 9: (5 điểm) Cho tam giác ABC có AB = 8,91cm ; AC = 10,32cm và BAC 72 Tính: a) Độ dài đường cao BH b) Diện tích tam giác ABC c) Độ dài cạnh BC Cách giải: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… Điền kết vào ô vuông: BH = SABC = BC = Bài 10 (5 điểm): Cho đờng tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC Gọi E, M, F là các tiếp điểm (MAB, E BC ; F AC ) §Æt AB = c; BC = a; CA = b a) LËp c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch ΔEMF theo a, b, c Cách giải: (6) ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… A ……………………………………………………………………………… M ……………………………………………………………………………… F ……………………………………………………………………………… O ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… B C E ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………… b) ¸p dông tÝnh diÖn tÝch ΔEMF a = 5cm; b = 6cm; c = 7cm SΔEMF = (7) híng dÉn chÊm thi chän häc sinh giái CÊp huyÖn n¨m häc 2011 - 2012 M«n : gi¶i to¸n b»ng m¸y tÝnh casio Ngµy thi: 27 th¸ng 11 n¨m 2011 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) phòng Gd & đt sơn động Bài 1: (5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau và điền kết vào ô vuông: Mỗi câu đúng điểm 4 0,8 : 1, 25 1, 08 : 25 5 1, 2.0,5 : 1 0, 64 25 17 a) A = b) B = 6 847 6 27 B=3 847 27 12 C= c) d) KQ: C 64 D=60 A = 23 64 310 43382 = 673 673 D = 40,99744 9,81 4π 0,87.cos52017 / e) Biếtt: cosA = 0,8516 ; tgB = 3,1725 ; sinC = 0,4351 Tính : E = cotg(A + B – C) ? E = 0,2066 Bài 2: (5 điểm) Tìm giá trị x, y, z dạng phân số (hoặc hỗn số) từ các phương trình sau điền kết vào ô vuông : Mỗi câu đúng 2,5 điểm x 1 a) 5 x 4 5 2 1 y : 0, 003 2, 65 : b) 20 41 x = 363 0,3 1 20 : 62 17,81: 0,0137 1301 1 20 1,88 25 y=6 (8) Bài 3: (5 điểm) Mỗi câu đúng 2,5 điểm 199 2005 10 1 13 a=1 3 b=3 a a) Tìm ccác số tự nhiên a và b biết rằng: b b)Tìm số tự nhiên lớn nhất, nhỏ (tơng ứng đặt là a, b) có dạng 1x y3z chia hÕt cho C¸ch gi¶i KÕt qu¶ Giả sử số lớn có dạng là 19293z , đó ta phân a=192934 tÝch 19293z = 192930 + z = 7.27561 + 3+z +Từ đó suy z=4 Giả sử số nhỏ có dạng là 10203z , đó ta phân b=102032 tÝch 10203z = 102030 + z = 7.14575 + 5+z +Từ đó suy z=2 Bµi 4:(5®iÓm) Mỗi câu đúng 2,5 điểm a) Tổng quát ngời đó gửi a đồng lãi suất là r% Sau tháng, tổng số tiền (cả gốc và lãi) là: a(1+r%) ( đồng) Sau tháng, tổng số tiền (cả gốc và lãi) là: a(1+r%)2 ( đồng) Sau tháng, tổng số tiền (cả gốc và lãi) là: a(1+r%)3 (đồng) Sau năm, tổng số tiền (cả gốc và lãi) là: a(1+r%)12 ( đồng) áp dụng với a = 1000000 ; r = 0,4 Bấm trên máy đợc kết lần lợt là : Sau th¸ng Sau th¸ng Sau th¸ng Sau n¨m Tæng sè tiÒn 1004000 1008016 1012048,064 1049070,208 b) Nếu tháng ngời đó gửi vào ngân hàng triệu đồng và lãi xuất là 0,4% (các tháng không rút lãi suất ra) thì sau năm ngời đó có đợc số tiền là: Số tiền sau năm là: 12316622,09 đồng Bài 5: (5 điểm ) Cho U0 = 2; U1 = 3; Un + = 3Un - 2Un - ( n N* ) a) ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm liªn tôc tÝnh Un ( n ≥ ) Shift sto A Shift sto B Alpha B Alpha A Shift sto A Alpha A Alpha B Shift sto B Lặp lại hai phím để tính các U n (n 4) (2 điểm) (9) KÕt qu¶: n Un 17 33 65 129 257 10 513 1025 (1 điểm) b) TÝnh c¸c Un vµ dù ®o¸n sè h¹ng tæng qu¸t lµ Un = 2n + ( n N ) Chøng minh b»ng quy n¹p: Un + = 3Un - 2Un - = 3( 2n + 1) - 2( 2n - + 1) = 3.2n + - 2n - = 2n + + 1(®pcm) * Do đó ta có: U2n + Un + - = (22n + 1) + (2n + + 1) - = (2n)2 + 2.2n + = (2n + 1)2 ( lµ sè chÝnh ph¬ng ) (2 điểm) Bài 6: (5 điểm) Mỗi câu đúng 2,5 điểm a) f (1) 3 f (2) 8 f (3) 15 b c d 3 4b 2c d 8 27 9b 3c d 15 b c d 2 4b 2c d 0 9b 3c d 12 b c 13 d f(x) = x3 - 5x2 + 13x – Thay x=2009; x=2010 Tính đợc: f(2009) = 8088332435 ; f(2010)= 8100426624 b) f(x) = (x+3)(x-4)(x-3) + mx+n (D lµ mx+n) ta cã: f(-3) = m.(-3)+ n = f(4) = m.4 + n = giải hệ phương trỡnh tìm đợc m =1; n=4 Từ đó suy : Bµi 7: (5 ®iÓm) b = -4 ; c =-8; d=40 Trên măt phẳng toạ độ vuông góc Oxy Cho các điểm A(1,8; 4,2) B(-2,1; -1,2); C(3,9; -4,1) a) TÝnh chu vi tam gi¸c ABC b) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC Chu vi 21,88671 SABC 21,855 c) TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC A 500 2'10, 35'' B 79057'30,14'' 500 0'19, 51'' C (2 ®iÓm) Bài 8: (5 điểm) Cho tam giác ABC có A 120 ; AB = 4cm ; AC = 6cm và trung tuyến AM Từ B, kẻ BH vuông góc với AC H và từ M, kẻ MK vuông góc với AC K (H, K AC) Tính độ dài đường trung tuyến AM (10) Cách giải: 0 Ta có BAH 180 120 60 Nên AH = AB cos BAH 4.cos 60 2 cm Mặt khác: BH//MK (gt) mà MB = MC H A HC AC AH 4 2 1200 Suy KH = KC cm K B BH và MK = ( vì MK là đường trung bình BCH ) (3 điểm) 1 M AB sin BAH 4.sin 600 2.sin 600 = 2 2 C Do đó AM AK MK (2.sin 60 ) = 2,64575 cm (2 điểm) Bài 9: (5điểm) Cho tam giác ABC có AB = 8,91cm ; AC = 10,32cm và BAC 72 Tính: a) Độ dài đường cao BH b) Diện tích tam giác ABC c) Độ dài cạnh BC Cách giải: a) Ta có BH = AB Sin BAC = 8,91.sin720 = 8,47391 cm (2 ñieåm)đ b) SABC 1 = AC.BH = 10,32.8.474 = 43,72539 cm2 (1 ñieåm)đ c) Ta có AH = AB cos = 8,91.cos720 Suy HC = AC – AH = 10,32 - 8,91.cos720 2 2 Do đó BC = BH HC (8,91.sin72 ) +(10,32 - 8,91.cos72 ) (2 ñieåm)đ BH = 8,47391 cm SABC = 43,72539 cm2 BC = 11,36053 cm Bài 10: Cho đờng tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC Gọi E, M, F là các tiếp điểm (MAB, E BC ; F AC ) §Æt AB = c; BC = a; CA = b a) LËp c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch ΔEMF theo a, b, c Cách giải: a) Ta cã: AM + AF + FC + CE + EB + BM = a + b + c 2AM + CE + 2EB = a + b + c ( v× AM = AF, CF = CE, BM=BE) 2AM + 2BC = a + b + c (11) Tính đợc AM AF bc a a c b a b c ; BM BE ; CE CF 2 (1®iÓm) ABC §Æt S1 = SΔAMF ; S2 = SΔBMF ; S3 = SΔCEF ; 2 S1 AM.AF b c a S BM.BE c a b ; S AB.AC 4bc S BA.BC 4ca S CE.CF a b c S CB.CA 4ab S S VËy S EMF p p a p b p c M 2 B a b c b c a c a b S 4ab 4bc 4ca (1 ®iÓm) b) ¸p dông tÝnh diÖn tÝch ΔEMF a = 5cm; b = 6cm; c = 7cm (2 ®iÓm) SΔEMF = 359 cm2 TaA cã: F O E (1 ®iÓm) C (12)