Chứng minh rằng AM=AN b Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M nằm trong tam giác.. Gọi D,E,F thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB..[r]
(1)PHÒNG GD- ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS PHẠM CÔNG BÌNH - ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI LỚP LẦN NĂM HỌC: 2012- 2013 MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) -Ngày thi: 03 tháng 01 năm 2013 Câu 1: (2.5 điểm) 2 2 a) Cho a xy (1 x )(1 y ) ; b x y y x Biết tích xy là số dương, hãy tính b theo a abc n abc b)Tìm tất các số tự nhiên có ba chữ số hệ thập phân cho cba (n 2) Câu 2: (2.5 điểm) n n 1 1 f ( n) 10 10 a) Cho So sánh f (n 1) f (n 1) với f (n) b) Giải phương trình x x x x 2012 x 2013x 2025078 x 2012 Câu 3: (1.5 điểm) xy x 1 y Giải hệ phương trình xy y 1 x Câu 4: (2.5 điểm) a) Cho tam giác nhọn ABC, kẻ các đường cao BB’ và CC’ Các điểm M, N lần lượt thuộc các đoạn BB’ và CC’ cho AMC ANB 90 Chứng minh AM=AN b) Cho tam giác ABC vuông A, điểm M nằm tam giác Gọi D,E,F thứ tự là hình chiếu vuông góc M trên BC, CA, AB Hãy xác định vị trí điểm M 2 cho tổng MD ME MF có giá trị nhỏ Câu 5: (1.0 điểm) a 2b 3c 4d 36 2 Cho các số nguyên không âm a,b,c,d thỏa mãn 2a b 2d 6 2 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b c d - Hết -Cán coi thi không giải thích gì thêm ! (2) PHÒNG GD- ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS PHẠM CÔNG BÌNH HDC ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI LỚP LẦN NĂM HỌC: 2012- 2013 MÔN: TOÁN - Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) -Ngày thi: 03 tháng 01 năm 2013 Câu Câu Lời giải vắn tắt 2 2 Điểm 2 a) Tính a 1 x y x y xy (1 x )(1 y ) (1) b x y x y xy (1 x )(1 y ) (2) 2 Từ (1) và (2) suy b a Do xy x, y cùng dấu + Nếu x>0 ; y>0 thì b>0 suy b a + Nếu x<0 ; y<0 thì b<0 suy b a b) Ta có abc 100a 10b c n (1) cba 100c 10b a n 4n (2) Trừ vế với vế (1) và (2) ta 99(a c) 4n (*) Từ (*) suy 4n 599 (3) 2 Do abc n 100 n 999 101 n 1000 11 n 31 39 4n 119 (4) Từ (3) và (4) suy 4n 99 n 26 abc 675 a) Tính n 1 1 1 f (n 1) f (n 1) 1 10 10 1 10 n 1 5 1 10 n 5 n 1 n 1 n 1 1 f ( n) 10 10 Vậy f (n 1) f ( n 1) f (n) b) ĐKXĐ x 2012 Khi đó x 0; x 0; x 0; ; x 2012 0; x 2013 Pt đã cho 2012 x (1 2012) x 2013x 2025078 x 2012 Câu x 2012 1 x 2012 1 x 2013(t / m) Vậy phương trình có nghiệm x=2013 Trừ vế với vế phương trình đầu cho phương trình sau ta x y x y y x ( x y )( x y 1) 0 x y 0 5 1 (3) x 1 x x 0 ( x 1)(2 x 1) 0 x + Nếu x=y, từ pt đầu ta có 1 (1;1); ; 2 Hệ có nghiệm + Nếu x y 0 y x Từ pt đầu hệ có x 0 Phương trình có vô số nghiệm suy hệ có vô số nghiệm ( k ; k 1) đó k R 1 (1;1); ; ;(k ; k 1) k R 2 Vậy tập nghiệm hệ là a) Tam giác AMC vuông M có MB’ là đường cao nên ta có AM AB ' AC (1) Tương tự có AN AC '.AB (2) Do các tam giác AB’B và AC’C đồng dạng nên AB ' AC ' AB ' AC AC ' AB AB AC (3) Từ (1) ; (2) ; (3) suy AM=AN (đpcm) b)Kẻ đường cao AH, gọi K là hình chiếu M trên AH 2 2 Ta có ME MF MA AK Khi đó 1 MD ME MF KH MA2 KH AK ( AK KH )2 AH 2 MinMD ME MF AH M Suy là trung điểm AH Cộng vế với vế đẳng thức đã cho ta có 3(a b c d ) 42 d 42 3P 42 P 14 Dấu xảy d=0 2 a 2b 3c 36(1) 2a b 6(2) Khi đó ta có Từ (2) suy b chẵn và b<3 suy b=0 ;2 + Nếu b=0 suy a 3 a Z Loại + Nếu b=2 ta có a 1 a 1 ( a không âm) - Nếu a=1 suy c= Vậy MinP=42 (a ;b ;c ;d)=(1 ;2 ;3 ;0) (4)