Lướt qua quá trình hình thành các phép toán, có thể nhận xét rằng, ở bậc Tiểu học người ta đưa vào các phép toán bằng con đường qui nạp, tức là thông qua việc thực hành các phép toán trê
Đối tƣợng và mục đích nghiên cứu
Mục đích của chúng tôi là nghiên cứu tình trạng kiến thức của học sinh liên quan đến đối tƣợng "chữ" có vai trò, ý nghĩa nhƣ thế nào trong việc dạy học môn số học ở lớp 6, chương trình cải cách giáo dục Trong phạm vi cho phép của luận văn này, chúng tôi sẽ chỉ triển khai nghiên cứu trên một trường hợp cụ thể : trường hợp phép chia Euclide
Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Trong nghiên cứu này, chúng tôi sẽ vận dụng một phần kết quả của các lý thuyết về dạy học nhƣ "Lý thuyết tình huống" của G Brousseau và "Lý thuyết nhân chủng học" của Y Chevallard
Sử dụng khái niệm "Hợp đồng didactic" để đề cập những tình huống "gián đoạn hợp đồng" trong quá trình dạy học phép chia từ lớp 3 đến lớp 6
"Khái niệm Hợp đồng didactic đã đƣợc hình thành trong didactic toán nhằm tính đến một quá trình mong đợi, chuyên biệt cho một tri thức nào đó trong mối quan hệ Thầy - Trò" (G Brousseau, 1980)
Brousseau cũng đã xác định Hợp đồng didactic nhƣ "Tập hợp những ứng xử (chuyên biệt) của thầy giáo mà học sinh mong đợi và tập hợp những ứng xử của học sinh mà thầy giáo mong đợi" (1980) và nhƣ tập hợp "các mối quan hệ hợp tác (thầy, trò) qui định nghĩa vụ mà mỗi bên đối tác phải thực hiện và bằng cách này hay cách khác phải chịu trách nhiệm trước bên kia Thông thường, hệ thống các nghĩa vụ qua lại này chỉ có một phần được xác định một cách tường minh còn chủ yếu là tiềm ẩn" (G Brousseau 1982)
Nhƣ vậy, hợp đồng didactic có liên quan tới: học sinh (chủ thể đƣợc dạy); thầy giáo (chủ thể dạy) và kiến thức với tƣ cách là kiến thức đƣợc dạy Trong nghiên cứu này, kiến thức đƣợc xét là "Vai trò, ý nghĩa của các kí hiệu chữ" trong dạy học phép chia Euclide
Sử dụng khái niệm "Chướng ngại didactic" để phân tích các sai lầm của học sinh trong bước chuyển từ kiến thức số học ở bậc tiểu học đến việc tiếp cận các yếu tố đại số ở lớp
6 của bậc trung học cơ sở
Sử dụng công cụ Praxéologie toán học để phân tích mối quan hệ thể chế của học sinh với đối tượng kiến thức được nghiên cứu (chúng tôi sẽ trình bày trong chương II của phần thứ nhất).
Phương pháp nghiên cứu
Luận văn này sẽ đƣợc thực hiện trên cơ sở nối khớp giữa hai nghiên cứu :
Trước hết, bằng những phương pháp tiếp cận toán học và didactic khác nhau, chúng tôi sẽ thực hiện một nghiên cứu về mối quan hệ thể chế với đối tƣợng kiến thức đang xét, đó là "các kí hiệu chữ" trong việc dạy học về phép chia Euclide ở lớp 6 Công việc này đƣợc tập trung chủ yếu vào phân tích chương trình và các sách giáo khoa (từ lớp 3 đến lớp 6) Những kết quả thu đƣợc của nghiên cứu này sẽ cho phép chúng tôi hình thành các giả thuyết nghiên cứu cho luận văn
Sau đó, bằng phương pháp điều tra, phân tích thực nghiệm, chúng tôi xây dựng một hệ thống bài tập kiểm tra và triển khai trên các đối tượng học sinh lớp 6 tại hai trường trung học cơ sở ở thành phố Hồ Chí Minh Kết quả rút ra từ thực nghiệm này sẽ cho phép hợp thức giả thuyết nghiên cứu đã được nêu ra ở trên Ngoài ra, chúng tôi cũng kết hợp các phương pháp thăm dò phỏng vấn và phương pháp thống kê trong nghiên cứu giáo dục.
Bố cục của luận văn
Nghiên cứu của chúng tôi đƣợc cấu tạo thành 4 phần, bao gồm:
- Đặt vấn đề nghiên cứu
- Đối tƣợng và mục đích nghiên cứu
- Phạm vi lý thuyết tham chiếu
- Bố cục của luận văn
2 Phần thứ nhất: Một nghiên cứu thể chế
- Chương I: Phân tích phần giáo khoa
- Chương II: Phân tích phần bài tập
3 Phần thứ hai: Nghiên cứu thực nghiệm
- Chương I: Phân tích tiên nghiệm
- Chương II: Phân tích sau thực nghiệm
PHẦN THỨ NHẤT MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ
PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA
Hình thành khái niệm phép chia
I.1 Các sách giáo khoa lớp 3,4, 5 Để hình thành khái niệm phép chia, ở lớp 3, các tác giả đƣa vào 2 bài toán thực tiễn trong đó xuất hiện "nhu cầu chia" Bằng cách sử dụng sơ đồ minh họa (yếu tố trực quan) tác giả nêu rõ hành động chia, từ đó bước đầu hình thành khái niệm phép chia cho học sinh
Cụ thể, bài toán đƣợc cho là: "Có 6 quả cam, cần phải chia đều cho 3 em Hỏi mỗi em đƣợc mấy quả cam?" và câu trả lời đƣợc diễn đạt nhƣ sau :
Từ đó đi đến kết luận rằng :
"ta có phép chia : 6 chia cho 3 bằng 2, ghi là 6 : 3 = 2 Dấu ":" là dấu chia"
Bài toán thứ hai có đƣợc bằng cách biến đổi bài toán thứ nhất:
"Có 6 quả cam, chia đều cho mỗi em 2 quả Hỏi có mấy em đƣợc chia ?"
Lời giải của bài toán này cũng được cho bằng phương pháp hoàn toàn tương tự, tức là cũng sử dụng sơ đồ để mô tả hoạt động chia, rồi từ đó nhắc lại bản chất của phép chia là sự phân phối đều
Xuất phát từ sự mô tả khái niệm phép chia, tác giả giới thiệu các thành phần của phép chia bao gồm: số bị chia, số chia và thương số cũng bằng cách trình bày dưới dạng sơ đồ như sau :
Số bị chia số chia
Nhƣ vậy, ở cấp độ này, khái niệm phép chia và các yếu tố cấu thành phép chia đƣợc trình bày bằng cách mô tả thao tác chia thông qua những ví dụ cụ thể, dựa trên các số cụ thể Chúng tôi cho rằng cách làm này là phù hợp với năng lực nhận thức của học sinh lớp 3 (9-10 tuổi) và nhằm mục đích chủ yếu là giúp học sinh bước đầu hiểu được phép chia và có thể thực hiện thao tác chia trên các số đã cho
Trong sách giáo khoa lớp 4, người ta coi như phép chia đã được hình thành và chỉ đưa vào hai hoạt động : Luyện tập về thực hành phép chia và bổ sung phương pháp thực hiện phép chia bằng cách chia tuần tự các chữ số của số bị chia theo thứ tự từ trái sang phải Và đa số các hoạt động này vẫn dựa trên các số cụ thể
Tuy nhiên trong một tiết ôn tập cuối năm ở sách giáo khoa lớp 4 (trang 196),và phần ôn tập ngay đầu năm ở sách giáo khoa lớp 5 (trang 10), các tác giả có nhắc lại phép chia nhưng bằng cách diễn đạt khác : nếu như ở các lớp trước các yếu tố như số bị chia, số chia và thương chỉ được biểu diễn bởi các số tự nhiên thì
20 ở thời điểm này, các tác giả mặc nhiên thay thế các yếu tố này bằng các chữ a, b, c Chẳng hạn, trong phần trình bày về phép chia (tr 10, SGK lớp 5) tác giả viết:
"Trong phép chia a : b = c ; a là số bị chia, b là số chia (b phải khác 0), c là thương Biểu thức a : b đọc là „thương của a và b'."
Thời điểm vừa nêu trên có thể được xem như là "bước chuyển đầu tiên" trong cách trình bày khái niệm phép chia Thật vậy, dưới mắt các học sinh lớp 3 và lớp 4, phép chia chỉ đƣợc thực hiện trên các số, thậm chí các số này còn đƣợc gắn một cách ngầm ẩn với số lƣợng vật thể nào đó (số quả cam, số lít dầu ) Nhưng trong một số trường hợp ở lớp 5, các số này đƣợc thay thế bằng các chữ Điều này dẫn chúng tôi tới câu hỏi sau đây :
Sự thay đổi này nhằm mục đích gì và những hệ quả của nó ?
Phải chăng, người ta muốn cho học sinh bước đầu làm quen với các kí hiệu chữ để chuẩn bị cho việc khái quát hóa với mức độ cao hơn đối với khái niệm phép chia ở bậc học sau ?
Tuy nhiên, việc đƣa các chữ vào để trình bày khái niệm phép chia nhƣ trong sách giáo khoa lớp 5, mà không có một lời giải thích nào, có thể gây nên cách hiểu giản đơn về vai trò và ý nghĩa của các chữ ( chữ chỉ thay cho một số) Ngoài ra, khi trình bày nội dung này, tác giả đã dùng dấu ngoặc đơn để nhấn mạnh điều kiện của số chia b "(b phải khác 0)" và chỉ dừng lại ở đó Liệu học sinh có thể hiểu đƣợc ý nghĩa của điều chú ý này không ? Chúng tôi sẽ còn trở lại vấn đề này trong những phần sau
Trong mục "Phép chia Tính chất của phép chia" (tr 29, SGK 6) tác giả bắt đầu bằng việc trình bày trực tiếp định nghĩa phép chia nhƣ sau : Định nghĩa :
"Cho hai số tự nhiên a và b (b ≠ 0), nếu có số tự nhiên x sao cho x.b = a thì ta có phép chia : a : b = x
Ta nói : a chia cho b bằng x, x gọi là thương của a và b, a là số bị chia, b là số chia." Định nghĩa này đƣợc minh họa bởi sơ đồ trong ví dụ sau:
Ta thấy x = 4 và ta có phép chia
Quan điểm trình bày này đã đƣợc đề cập trong sách giáo viên, tại mục có tựa đề "Viết gọn lại những kiến thức mà học sinh đã đƣợc làm quen ở tiểu học" tác giả chỉ rõ : "Trình bày ngay tính chất tổng quát rồi minh họa bằng ví dụ, không trình bày theo phương pháp qui nạp (1) , dùng ví dụ trước, nêu tính chất tổng quát sau " (tr.5, SGV, Toán 6, 2000)
Dễ dàng thấy rằng, ở cấp độ này, định nghĩa phép chia đã đƣợc phát biểu một cách tổng quát và tường minh, trên cơ sở sử dụng có phân biệt các kí hiệu chữ
(1) Đây là phương pháp được dùng ở các lớp trước
22 Định nghĩa có đề cập đến sự tồn tại của thương a : b, thương này được tác giả biểu thị bằng chữ X (ở đây chữ X giữ vai trò của chữ c đã đƣợc dùng ở lớp 5) Nhƣ vậy, ta ngầm hiểu rằng có một sự khác nhau giữa hai cách sử dụng các chữ: ở lớp 5, trong phép chia a : b = c thì các chữ a, b, c được hiểu là ba số xác định và đương nhiên đã thỏa mãn phép chia; trong khi ở lớp 6, số X sao cho x.b = a có thể tồn tại hoặc không tồn tại, do đó X giữ vai trò nhƣ một ẩn Ở đây, lại nẩy sinh một câu hỏi khác : Liệu học sinh lớp 6 có thể hiểu và phân biệt đƣợc sự khác nhau này hay không ? Các giáo viên có tính đến yếu tố này khi giảng dạy không ? Nếu không, đây có thể là một khó khăn đáng kể đối với học sinh : một mặt, khó khăn do chính tính trừu tƣợng của kiến thức toán học đang xét (khái niệm về sự tồn tại) và mặt khác, khó khăn do sự mở rộng về nghĩa của các kí hiệu chữ đƣợc dùng khi hình thành khái niệm.
Các tính chất của phép chia
II.1 Sách giáo khoa lớp 3 và lớp 4 Ở lớp 3, người ta đưa vào tính chất: "Chia một tổng cho một số" bằng cách đưa ra một ví dụ bằng số cụ thể, trong đó chỉ rõ thao tác chia và nhấn mạnh "qui tắc chia" bằng cách viết lại thứ tự các phép toán đã đƣợc thực hiện trong một khung chữ nhật mà không phát biểu thành lời Cách làm này cho phép phán đoán rằng, ở trình độ này, khả năng khái quát của học sinh còn thấp nên các tác giả chƣa đƣa vào phát biểu qui tắc thành lời mà chủ yếu giúp học sinh biết và có thể thực hành thao tác chia một tổng cho một số Cách làm cụ thể nhƣ sau :
Số bị chia số chia
Tổng a) Tính tổng trước, rồi chia tổng tìm được với số:
(15 + 9 ) : 3 24 : 3 = 8 b) Chia mỗi số hạng của tổng cho số, rồi cộng lại:
Chuyển sang lớp 4, người ta tiếp tục đưa thêm vào một tính chất khác : "Chia một số cho một tích" Khác với cách trình bày ở lớp 3, sau khi đã làm việc trên một ví dụ (vẫn dựa trên các số cụ thể) tác giả nêu phát biểu qui tắc thành lời, nhƣng vẫn không sử dụng kí hiệu chữ Tuy nhiên, có thể thấy mức độ khái quát ở trình độ này đã được nâng lên một bước Vì rằng qui tắc đƣợc phát biểu đã "thoát khỏi" các số cụ thể
Thật vậy, qui tắc đƣợc phát biểu nhƣ sau :
"Khi chia một số cho một tích ta có thể chia số đó cho một thừa số rồi lấy kết quả tìm đƣợc chia tiếp cho thừa số còn lại của tích"
Ngoài ra, đối với học sinh ở trình độ này, để khẳng định rằng phép chia cho số 0 là không có nghĩa, người ta bằng lòng đưa vào một chú ý bằng cách đặt ra câu hỏi:
2 : 0 = ? đồng thời với câu trả lời không thể chia cho số 0
Chú ý này không phải là một qui tắc tổng quát Vì vậy, ở đây người ta có thể đặt ra những nghi vấn :
- Liệu chú ý này có giúp cho học sinh hiểu đƣợc rằng không thể chia bất cứ số nào cho số 0 ?
- Liệu có thể xảy ra khả năng : học sinh sẽ hiểu rằng chú ý này chỉ là một trường hợp đặc biệt đối với số 2 mà thôi còn các số khác nhƣ số 5, số 9, số 10 hoặc số a nào đó thì có thể chia đƣợc cho số 0 ?
Chúng tôi sẽ còn trở lại với những vấn đề này trong phần phân tích các bài tập
II.2 Sách giáo khoa lớp 6 Ở cấp độ này, ngoài hai tính chất đã có ở các lớp trước, người ta đưa thêm vào một tính chất nữa Đó là tính chất "Chia một tích cho một số" Tuy nhiên, các tính chất này đƣợc trình bày theo cách hoàn toàn khác :
- Trước hết, phát biểu qui tắc tổng quát bằng lời và bằng ngôn ngữ kí hiệu
- Sau đó đƣa ra các ví dụ để minh họa
Chẳng hạn, tính chất "Chia một tích cho một số" đƣợc trình bày nhƣ sau
Trước tiên người ta phát biểu tính chất này như sau :
"Muốn chia một tích hai thừa số cho một số ta có thể chia một thừa số cho số đó (với giả thiết có thương) rồi nhân thương tìm được với thừa số kia."
Sau đó tính chất này đƣợc phát biểu lại bằng ngôn ngữ kí hiệu:
Với a, b, c N, c ≠ 0 và có thương là b : c thì (a.b) : c = a (b : c)
Cuối cùng người ta đưa ra ví dụ cụ thể :
Có thể thấy rằng, trong cả hai cách phát biểu đều đề cập điều kiện có thương Thực ra, khi nói nhƣ vậy cần phải hiểu một cách ngầm ẩn là phép chia một thừa số của tích cho một số là phép chia hết (chúng tôi sẽ đề cập trong phần sau) Nhưng khái niệm "thương", trong các sách giáo khoa trước đó , được dùng trong cả hai trường hợp : chia hết và chia có dư Thật vậy, chẳng hạn, trong sách giáo khoa lớp 4, trang 114, người ta đưa vào chú ý sau đây :
"Muốn thử phép chia có dư ta lấy thương nhân với số chia rồi lấy tích tìm được cộng với số dƣ, nếu kết quả bằng số bị chia thì phép chia là đúng"
Học sinh lớp 6 sẽ hiểu đòi hỏi này nhƣ thế nào ? Nhất là khi chúng phải thực hiện phép chia trên các chữ Đây có thể cũng sẽ là một tình huống khó khăn đối với học sinh Ngoài ra, với cách trình bày này, liệu học sinh có thể tạo đƣợc một liên hệ nào đó giữa điều kiện c ≠ 0 với chú ý "không thể chia cho số 0" mà chúng đã được cung cấp trước đó ? Chúng có hiểu đƣợc vì sao c phải khác 0 hay không nếu nhƣ chúng quan tâm đến chữ c ?
Phép chia hết và phép chia có dƣ
III.1 Sách giáo khoa lớp 3, 4 và 5 Ở cấp độ này, các tác giả đề cập đến khái niệm "chia hết" và "chia có dƣ" bằng cách trở lại với bài toán "chia cam"
Trường hợp thứ nhất: "có 6 quả cam chia đều cho 2 em, hỏi mỗi em được mấy quả và có dƣ quả nào không?" Sau khi mô tả hành động chia dựa trên một hình vẽ gồm 6 quả cam đƣợc chia thành 2 nhóm, mỗi nhóm có 3 quả, đáp số của bài toán đƣợc cho là : Mỗi em đƣợc
3 quả và không dƣ quả nào (SGK 3, tr l10)
Từ đó rút ra kết luận rằng : 6 chia hết cho 2, vì 3 x 2 = 6 và 6 - 6 = 0
Trường hợp thứ hai, với cùng câu hỏi như trong bài toán thứ nhất nhưng số cam cần phải chia là 7 quả chứ không phải 6 Sau khi mô tả hành động chia dựa trên một hình vẽ gồm
7 quả cam đƣợc chia thành 3 nhóm, hai nhóm đầu mỗi nhóm 3 quả còn nhóm thứ 3 chỉ có 1 quả, đáp số của bài toán đƣợc cho là : Mỗi em đƣợc 3 quả và còn dƣ một quả (SGK 3, tr l10)
Từ đó rút ra kết luận rằng :
7 chia cho 2 đƣợc 3, còn dƣ 1 Số dƣ phải bé hơn số chia, 7 = 2 3 + 1
Sau khi trình bày thêm một ví dụ khác về phép chia có dƣ (23 : 4 = ?), các tác giả nhấn mạnh: " Trong phép chia có dƣ, số dƣ phải bé hơn số chia"
Các khái niệm này tiếp tục đƣợc luyện tập và củng cố ở các lớp 4 và 5 với chút ít thay đổi : các số bị chia lớn hơn và các số chia có 2 hoặc 3 chữ số Có thể thấy rằng, ở các lớp này, việc thực hiện phép chia cũng vẫn chủ yếu dựa trên các số cụ thể chứ chƣa sử dụng kí hiệu chữ
Tuy nhiên, trong phần ôn tập cuối năm về các phép toán ở sách giáo khoa lớp 4, người ta đưa trở lại sơ đồ mô tả các thành phần của phép chia bằng cách thay các số ( 6 : 3 2 trong sơ đồ trước đây) bởi các chữ (a : b = c trong sơ đồ ôn tập) và người ta còn nhấn mạnh một số tính chất nhƣ sau :
Số bị chia bằng số chia: a : a = 1 ( a > 0 )
(xem SGK 4, tr 196) c) Trong phép chia có dƣ, số dƣ bé hơn số chia
Nội dung trên đây còn đƣợc lặp lại trong phần ôn tập các phép tính ở lớp 5 Ngoài những nội dung đã đưa vào lớp 4, người ta bổ sung thêm cách diễn đạt bằng kí hiệu đối với phép chia hết và phép chia có dƣ:
• Phép chia có dƣ: a = b x c + r (0 < r < b) Số dƣ r bé hơn số chia b
Với cách trình bày như trên, có thể thấy rằng các tác giả muốn thực hiện bước khái quát đầu tiên đối với các khái niệm và một số tính chất đang xét và ngầm hiểu rằng đây là bước chuẩn bị cho việc trình bày tường minh các định nghĩa và các tính chất của các khái niệm này ở lớp 6 Tuy nhiên, đối với học sinh ở cấp độ này, bước chuyển này có thể chỉ được hiểu nhƣ một sự thay thế thuần túy các số bởi các chữ mà thôi Ngoài ra, cũng cần chú ý thêm về các điều kiện (a > 0) đƣợc đƣa ra trong mục b) ở trên và điều kiện (b > 0) trong mục c) Thực chất của những điều kiện này là muốn nhấn mạnh đòi hỏi "không thể chia cho số 0" đã được đề cập trước đó Nhưng vì phép chia đang xét trên tập hợp số tự nhiên nên điều kiện (a
> 0) hoàn toàn tương đương với điều kiện (a ≠ 0) Vấn đề là ở chỗ :
28 liệu các học sinh ở cấp độ này có thể hiểu được "sự tương đương" này hay không ? Liệu điều kiện (a > 0) có trở thành "chướng ngại" đối với học sinh khi họ học phép chia trên một tập hợp số khác với tập số tự nhiên ?
III 2 Sách giáo khoa lớp 6
Cũng giống nhƣ việc trình bày các khái niệm "phép chia" và "tính chất phép chia", ở cấp độ này, các khái niệm "phép chia hết" và "phép chia có dư" cũng được trình bày dưới dạng tổng quát, tường minh trước sau đó được minh họa bằng những ví dụ cụ thể (SGK Toán
6, tr 32) Cùng với khái niệm phép chia hết, các khái niệm Ƣớc số, Bội số và một số tính chất chia hết cũng đƣợc đƣa vào (SGK Toán 6, tr 58, 59)
III.2.1 Phép chia hết và phép chia có dư Định nghĩa "phép chia hết" :
"Cho a, b, q N với b ≠ 0, nếu có thương q = a : b sao cho a = b.q thì ta nói rằng a chia hết cho b; kí hiệu là a : b"
Ví dụ : 15 : 3 thương là 5 Ví dụ này được minh họa bởi sơ đồ sau: Định nghĩa "phép chia có dƣ " :
"Nếu lấy số a chia cho số b mà đƣợc số q và còn dƣ r (r < b) trong đó a, b, q, r là các số tự nhiên thì ta nói rằng ta có phép chia có dƣ"
Trong phép chia này thì q cũng gọi là thương, còn r là số dư, do đó :
Số bị chia = số chia thương + số dư
Số dƣ < số chia Nhƣ vậy, với a, b, q, r N thì a = bq + r ; r < b
Nhận xét: Nếu r = 0 suy ra a = bq, trong trường hợp này ta có phép chia hết
III.2.2 Tính chất chia hết trong N
III.2.2.1 Ƣớc số và Bội số
Trong chương II (chương cuối) của sách giáo khoa này, thông qua khái niệm "chia hết" tác giả đƣa vào hai khái niệm "ƣớc của một số" và "bội của một số"nhƣ sau:
Công việc bắt đầu bằng cách nhắc lại và nhấn mạnh "phép chia 24 : 8 là phép chia hết" để nói rằng, trong trường hợp này, 8 là ước của 24
"Nếu một số a chia hết cho một số b thì số b đƣợc gọi là ƣớc của số a "
Sau đó, bằng cách chỉ ra các ƣớc khác nhau của số 24 để kết luận rằng số này không chỉ có một ƣớc mà có một tập hợp các ƣớc Chẳng hạn, các ƣớc của 24 là 2, 4, 6, 8, 12 và 24
Với cùng cấu trúc trình bày nhƣ trên, khái niệm bội số cũng đƣợc đƣa vào :
"Nếu một số a chia hết cho một số b thì số a gọi là gọi là bội của số b"
Sau khi trình bày các khái niệm "ƣớc của một số" và "bội của một số" tác giả đƣa thêm vào "Chú ý" dưới đây :
Chú ý 1 Ba câu sau đây có nghĩa nhƣ nhau :
Chú ý 2 Số 0 không phải là ƣớc của số nào
Qua phần trình bày này, chúng tôi rút ra một số nhận xét quan trọng sau đây :
- Về thực chất, các khái niệm "ƣớc số" và "bội số" là các khái niệm dẫn xuất đƣợc rút ra một cách trực tiếp từ khái niệm "chia hết" đã được trình bày trước đó Nói cách khác, đó là các cách diễn đạt khác của quan hệ "a chia hết cho b" bằng các thuật ngữ "ƣớc số" và "bội số" Tầm quan trọng của việc nghiên cứu các khái niệm "ƣớc số" và "bội số" thể hiện ở chỗ: Một mặt, nó cho phép làm rõ hơn khái niệm "chia hết" Chẳng hạn, hãy xét câu: "Nếu tồn tại một số tự nhiên q sao cho a = b.q thì ta nói a chia hết cho b", đối với học sinh điều này có thể sẽ còn để lại một nghi vấn : liệu có thể nói a chia hết cho q hay không ? Thật may mắn, giờ đây nghi vấn đã có thể đƣợc giải tỏa nhờ chú ý 1 Từ đây, mỗi khi nói chẳng hạn "a là bội của b" thì có thể hiểu là "a chia hết cho b" hay "b là ƣớc của a" và do đó giúp cho học sinh có thêm những công cụ diễn đạt khi giải quyết các bài tập Mặt khác, nhƣ đã nêu trong sách giáo viên (phần 2, tr 9), các khái niệm "ƣớc số" và "bội số" sẽ phục vụ cho việc nghiên cứu những nội dung của phần tiếp theo Chẳng hạn, việc nghiên cứu các khái niệm "ƣớc số chung lớn nhất" (ƢCLN) và "bội số chung nhỏ nhất" (BCNN) và vấn đề áp dụng chúng vào việc rút gọn phân số, qui đồng mẫu số các phân số
- Quá trình hình thành các khái niệm "ƣớc số" và "bội số" là dịp thuận lợi giúp cho học sinh có thể hiểu tốt hơn ý nghĩa của kí hiệu chữ Thật vậy, khi nói "a là ƣớc của 24", ta có thể dễ dàng kiểm nghiệm xem học sinh sẽ gán cho a giá
(1) Kí hiệu B(b) là của sách giáo khoa dùng để chỉ tập hợp các bội số của b
(2) Kí hiệu Ƣ(a) là của sách giáo khoa dùng để chỉ tập hợp các ƣớc số của a
Kết luận phần nội dung sách giáo khoa
Trong phần giáo khoa, chúng tôi đã sử dụng phương pháp phân tích kiểu "bổ dọc" dựa theo các mạch kiến thức chính liên quan tới phép chia Euclide và theo một thứ tự từ lớp 3 đến lớp 6 Trong quá trình phân tích, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến các qui trình đƣa vào và sử dụng kí hiệu chữ Từ những kết quả phân tích ở trên, chúng tôi đã có thể nêu ra những ghi nhận sau đây :
- Nhìn một cách bao quát, có thể thấy rằng các tác giả đã trình bày những kiến thức cơ bản về phép chia (cũng giống nhƣ đối với các phép toán khác) theo sơ đồ sau :
Cụ thể → Khái quát(mức độ thấp) → Trừu tƣợng→ Cụ thể
- Việc sử dụng kí hiệu chữ trong trình bày phép chia Euclide đƣợc thực hiện theo 4 giai đoạn tương ứng với các mục đích cụ thể như sau :
• Giai đoạn 1 Công việc đƣợc thực hiện chủ yếu với các số Kí hiệu chữ đƣợc đƣa vào rất ít và chỉ dùng để thay cho một số
• Giai đoạn 2 Mức độ và phạm vi sử dụng kí hiệu chữ tăng lên Kí hiệu chữ đã đƣợc dùng để thay cho một ẩn
• Giai đoạn 3 Dùng kí hiệu chữ để khái quát (ở mức độ thấp) một số kiến thức đã học (dựa trên các số tự nhiên)
• Giai đoạn 4 Dùng kí hiệu chữ để trình bày một số định nghĩa, khái niệm và một số tính chất ở mức độ khái quát cao (trừu tƣợng)
So sánh giữa hai bậc học (các lớp 3,4, 5 ở bậc tiểu học và lớp 6 ở bậc trung học cơ sở) ta thấy có một sự khác biệt rõ ràng trong quan điểm trình bày Ở bậc tiểu học, việc trình bày khái niệm phép chia cũng nhƣ những tính chất của nó đƣợc thực hiện theo trình tự sau : đƣa ra những ví dụ cụ thể để mô tả "hoạt động chia" hoặc là vạch ra hệ thống các thao tác chia rồi sau đó khái quát thành các phát biểu bằng lời.Nhƣ vậy, "cái cụ thể" ở bậc Tiểu học đƣợc đƣa vào nhằm hình thành kiến thức cho học sinh Ở lớp 6, ngược lại, ngay từ đầu người ta đã sử dụng trực tiếp các kí hiệu chữ để "định nghĩa phép chia" và "các tính chất của phép chia" Sau đó, các ví dụ cụ thể mới đƣợc đƣa vào để minh họa Chính sự khác biệt này đã cho chúng ta thấy rõ "bước chuyển" quan trọng từ cái cụ thể sang cái trừu tượng - từ chỗ học sinh quen thao tác trên các số, bây giờ phải làm việc với các kí hiệu chữ mà nghĩa của chúng có thể không giống nhau trong những trường hợp khác nhau Điều này cho phép chúng tôi nghĩ đến những khó khăn của học sinh khi xem xét ý nghĩa của các kí hiệu chữ trong quá trình học tập
Khó khăn của học sinh khi xem xét ý nghĩa của các kí hiệu chữ mà chúng tôi vừa đề cập đến có thể sẽ gia tăng trong một số trường hợp do những tác động khác Thật vậy, trong phần đầu sự phân tích của chúng tôi cũng đã chỉ ra một số cách dùng khác nhau đối với các kí hiệu chữ
Chẳng hạn, trong sách giáo khoa Toán lớp 3 (tr 156) có viết: a a a
Rõ ràng, trong trường hợp này mỗi kí hiệu chữ a, b, c dùng để chỉ "một chữ số" trong các chữ số: 0;1;2; ;9 Số aaa là số có 3 chữ số đều bằng a
Thế nhƣng, đến lớp 6, trong phần trình bày về phép chia có dƣ xuất hiện biểu thức a bq + r và kèm theo nhận xét "nếu r = 0 thì a = bq" (sách giáo khoa Toán lớp 6, tr 33) Rõ ràng là trong trường hợp này thì a, b, q và r là các số tự nhiên Liệu học sinh có "thoát khỏi" cách hiểu bq là một số có hai chữ số hay không ?
PHÂN TÍCH PHẦN BÀI TẬP
Sơ lƣợc về khái niệm Praxéologie
Trước hết cần nhắc lại 4 định đề được xây dựng trong quá trình lý thuyết hóa các mối quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một kiến thức, quan hệ cá nhân đối với thể chế, đó là : Định đề 1 Toàn bộ thực tiễn của thể chế đƣợc đƣa vào phân tích, theo những quan điểm khác nhau và theo những phương pháp khác nhau, bằng một hệ thống những nhiệm vụ tương đối giới hạn được tách ra từ dòng chảy của thực tiễn Định đề 2 Việc thực hiện một nhiệm vụ nào đó là do vận dụng một kĩ thuật Định đề 3 Để có thể tồn tại trong một thể chế, một kĩ thuật phải xuất hiện sao cho có thể hiểu đƣợc, có thể thấy đƣợc và phải đƣợc lý giải Định đề 4 Bất kì một yếu tố công nghệ nào cũng cần một sự lý giải
Tương ứng với 4 định đề này, Chevallard đã đưa vào khái niệm Praxéologie Đó là một bộ tứ đƣợc hình thành từ:
1 Các kiểu nhiệm vụ T - hiện diện trong một thể chế nào đó
2 Kĩ thuật τ - cho phép thực hiện các nhiệm vụ t của cùng một kiểu nhiệm vụ T
3 Công nghệ θ - văn bản lý giải cho kĩ thuật τ
4 Lý thuyết θ - là công nghệ của công nghệ θ
Sự phân biệt kĩ thuật, công nghệ, lý thuyết là sự phân biệt về chức năng và bao giờ nó cũng phải dựa trên một kiểu nhiệm vụ mà người ta xem xét như một điểm tựa Đặc biệt, một công nghệ θ, chính nó phải đƣợc lý giải và phải có thể hiểu đƣợc: vai trò này đƣợc bảo đảm bởi một công nghệ khác, mà người ta gọi là lý thuyết Như vậy, một lý thuyết được phân biệt với một công nghệ là ở chỗ nó có tầm phổ dụng lớn hơn, rộng hơn, nghĩa là nhiều kết quả có thể đƣợc bắt nguồn từ đó Có thể nói không có sự khác nhau nào về bản chất giữa hai cấp độ này Điều này giải thích vì sao người ta thường hay nói "Công nghệ - lý thuyết"
Những khái niệm này cho phép mô hình hóa những thực tiễn xã hội nói chung và hoạt động toán học nói riêng (Bosch và Chevallard, 1999)
Trong trường hợp mà các thành tố (T, τ, θ, θ ) của một praxéologie mang bản chất toán học, người ta sẽ nói đến một praxéologie toán học hay đơn giản là một tổ chức toán học.
l Cách trình bày các bài tập
Cuốn sách giáo khoa này gồm có 2 chương I và II, phép chia được trình bày dải ra trong cả hai chương : phần cuối của chương I, phần đầu và phần cuối của chương II Nội dung đƣợc phân bố cụ thể nhƣ sau : Ở phần cuối của chương I gồm có 3 mục :
- Mục 14 : Phép chia Tính chất của phép chia
- Mục 15 : Phép chia hết Phép chia có dƣ
- Mục 16 : thực hành phép chia Ở phần đầu của chương II gồm 8 mục :
- Mục 2 : Tính chất chia hết của một tổng
- Mục 3 : Dấu hiệu chia hết cho 2
- Mục 4 : Dấu hiệu chia hết cho 5
- Mục 5 : Dấu hiệu chia hết cho 9
- Mục 6 : Dấu hiệu chia hết cho 3
- Mục 7 : Số nguyên tố, Hợp số
- Mục 8 : Phân tích một số ra thừa số nguyên tố Ở phần cuối của chương II gồm 2 mục :
- Mục 11 : Ƣớc chung và ƣớc chung lớn nhất
- Mục 12 : Bội chung và bội chung nhỏ nhất
Cũng giống nhƣ đối với hầu hết các nội dung khác của cuốn sách này, các bài tập được cho ngay sau phần giáo khoa của mỗi mục và thường được cấu tạo thành hai phần Chúng đƣợc phân biệt bởi hai cách gọi tên khác nhau là Bài tập và Luyện tập và đƣợc sắp xếp theo thứ tự đó Mục 15 của chương I, các mục 2, 3 và 5 của chương II chỉ có mục Bài tập mà không có mục Luyện tập Một cách tự nhiên, logic trình bày này dẫn chúng tôi đến với hai câu hỏi sau đây :
1 Có sự khác biệt nào về mặt bản chất của các bài tập giữa hai phần này ?
2 Việc bố trí các bài tập thành hai phần tách biệt nhằm mục đích gì ?
Chắc chắn rằng những phân tích đầy đủ về hệ thống các bài tập trong phần tiếp theo sẽ cho phép tìm đƣợc câu trả lời thỏa đáng cho các câu hỏi này Tuy nhiên, những quan sát sơ bộ đã có thể cho phép chúng tôi rút ra nhận xét đầu tiên :
- Phần Bài tập thường chỉ bao gồm những bài tập tương đối dễ, phần lớn các bài tập ở đây đòi hỏi học sinh thực hành phép chia trên các số cụ thể Ngoài ra, cũng có một số rất ít bài tập trong đó có sự hiện diện của các kí hiệu chữ với yêu cầu tính toán khá đơn giản
- Các bài tập đƣợc cho trong phần Luyện tập đã đƣợc nâng dần độ khó so với phần Bài tập Đặc biệt, số lƣợng các bài tập có sự tham gia của các kí hiệu chữ tăng lên nhiều, có thể nói là phần lớn các bài tập đều có sự hiện diện của kí hiệu chữ
Nhƣ vậy, sự sắp xếp này cho thấy quan điểm trình bày : Cụ thể → Khái quát đã đƣợc áp dụng trong việc trình bày phần giáo khoa vẫn tiếp tục đƣợc duy trì trong phần bài tập Theo chúng tôi, cách trình bày này là phù hợp với năng lực nhận thức của học sinh lứa tuổi
12 - 13 và vì vậy sẽ cho phép hạn chế bớt những khó khăn của học sinh khi phải tiếp cận nhiều hơn với những yếu tố trừu tƣợng
Bảng 1: Thống kê và so sánh các bài tập trong hai phần Bài tập và Luyện tập
Phần Bài tập Phần Luyện tập Tổng
Trong bảng trên đây, chúng tôi đã thống kê số lượng các bài tập tương ứng với hai phần Bài tập và Luyện tập để làm rõ hơn nhận xét nêu ở phần trên
(1) Chúng tôi xếp các bài tập được cho dưới dạng “toán đố” và những bài tập sử dụng ký hiệu (*) vào loại bài tập có chứa ký hiệu chữ
Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ chỉ tập trung phân tích các dạng bài tập (kiểu nhiệm vụ) mà với chúng học sinh phải tìm giá trị (vai trò, ý nghĩa) của các kí hiệu chữ thỏa mãn những điều kiện cụ thể nào đó Cũng cần nhắc lại rằng, khi nghiên cứu về phép chia trong suốt thời gian học ở lớp 3, 4 và 5 của bậc tiểu học, học sinh hiểu về khái niệm phép chia, hiểu các tính chất của phép chia và thực hành phép chia chủ yếu dựa trên những ví dụ cụ thể cũng nhƣ những bài tập với những số cụ thể Đây sẽ là một trong những cơ sở quan trọng giúp chúng tôi xem xét sự vận động của quá trình tiếp cận và sử dụng kí hiệu chữ đối với học sinh trong những tình huống học tập khác nhau
II.2 Các kiểu nhiệm vụ gắn với vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ
Các bài tập gắn với các kí hiệu chữ được đề nghị ở cả hai chương có thể được sắp xếp theo các kiểu nhiệm vụ sau đây :
"Tìm giá trị của x (hoặc y, a, b, m ) sao cho x (hoặc y, a, b, m ) thỏa mãn một đẳng thức đã cho "
"Tìm giá trị của x (hoặc y, a,b,m) sao cho x (hoặc y, a, b, m ) thỏa mãn một bất đẳng thức đã cho "
"Thử lại một tính chất hay một định nghĩa được phát biểu dưới dạng ngôn ngữ kí hiệu chữ"
"Tìm các giá trị (các phần tử) của một tập hợp được cho bằng kí hiệu chữ"
"Tìm ước chung lớn nhất hay Bội chung nhỏ nhất của các số tự nhiên"
"Chứng tỏ rằng một tổng có các số hạng chứa kí hiệu chữ thỏa mãn một tính chất đã biết mà không phụ thuộc vào giá trị của các chữ"
"Thay thế kí hiệu * bằng một chữ số cụ thể để được một số thỏa mãn một điều kiện cho trước "
Trong phần tiếp theo, bằng cách sử dụng khái niệm praxéologie toán học, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết các kiểu nhiệm vụ đã đƣợc chỉ ra trên đây
Tìm giá trị của x (hoặc y, a, b, m) sao cho x (hoặc y, a, b, m ) thỏa mãn một đẳng thức đã cho
Kiểu nhiệm vụ này bao gồm các nhiệm vụ thành phần sau :
"Tìm x (hay y, a, b, m) với x (hay y, a, b, m) là thành phần chưa biết trong một phép chia " (Ví dụ:Tìm x, biết x : 9 = 11 hoặc tìm z, biết 68 : z = 17)
- Nếu x giữ vai trò số bị chia, chỉ cần lấy thương nhân với số chia để được x
- Nếu x giữ vai trò số chia, chỉ cần lấy số bị chia chia cho thương để được x
Công nghệ θ 1 (T1) : Định nghĩa khái niệm phép chia giải thích cho các kĩ thuật giải ở trên
"Tìm x (hay y, a, b, m) với x (hay y, a, b, m) là một thừa số chưa biết trong một phép nhân " (Ví dụ: Tìm x biết: 9.x = 918)
Kĩ thuật giải τ 2 (T1): Lấy tích chia cho thừa số đã biết để đƣợc x (hay y, a, m) Công nghệ θ 2 (T1): Định nghĩa phép chia giải thích cho kĩ thuật giải ở trên
"Tìm x (hay y, a, b, m) với x (hay y, a, b, m) là thừa số chưa biết hiện diện đồng thời trong dạng tổng hoặc hiệu của hai tích riêng ở một vế của đẳng thức đã cho ".(Ví dụ: 2y +3y
Kĩ thuật giải τ 3 (T1): Trước hết thực hiện phép cộng hay trừ các số hạng có chứa chữ để x (hay y, a, b, m) giữ vai trò là một thừa số của một tích trong phép nhân Sau đó lấy tích chia cho thừa số còn lại để đƣợc x (hay y, a, b, m)
Công nghệ θ 3 (T1): Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và định nghĩa phép chia cho phép vận dụng kĩ thuật giải ở trên
- Trong trường hợp này các công nghệ θ1 và θ2 chỉ là một
- Trên thực tế, các kĩ thuật này đã đƣợc sử dụng ở bậc tiểu học với tinh thần "thực dụng", phù hợp với năng lực nhận thức của học sinh lứa tuổi dưới 12 mà chưa đưa vào yêu cầu lý giải về mặt lý thuyết
- Có thể thấy ngay rằng, trong cả 3 trường hợp của kiểu nhiệm vụ T1, yếu tố cần tìm đƣợc biểu thị bằng kí hiệu chữ ứng với một số (giá trị) duy nhất
- Nhiệm vụ t2 và t3 có thể coi là hai cấp độ khác nhau của cùng một nhiệm vụ Vì rằng nhiệm vụ t 3 có thể qui về nhiệm vụ t 2
Tìm giá trị của X (hoặc y, a, b, m ) sao cho X (hoặc y, a, b, m) thỏa mãn một bất đẳng thức đã cho
Kiểu nhiệm vụ này bao gồm các nhiệm vụ cụ thể sau :
"Tìm một số tự nhiên lớn nhất hoặc nhỏ nhất x (hoặc y, a, b, m ) sao cho x (hoặc y, a,b,m) thỏa mãn một bất đẳng thức đơn" (Ví dụ:Tìm số tự nhiên lớn nhất x mà 6x < 37)
Kĩ thuật giải τ 1 (T2): Bằng cách chọn và thử, trước tiên tìm tất cả các số tự nhiên x
(hoặc y, a, b, m ) thỏa bất đẳng thức; sau đó tách ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất
Công nghệ θ 1 (T2): Phương pháp qui nạp hoàn toàn
"Tìm các số tự nhiên x (hoặc y, a, b, m ) sao cho x (hoặc y, a, b, m ) thỏa mãn một bất đẳng thức kép" (Ví dụ: Tìm a N, biết rằng: 95 < 8.a < 104 )
Kĩ thuật giải τ 2 (T2): Bằng cách chọn và thử, trước tiên tìm tất cả các số tự nhiên x
(hoặc y, a, b, m) lần lƣợt thỏa từng bất đẳng thức; sau đó giữ lại những giá trị có mặt đồng thời ở 2 tập hợp (giao) vừa tìm đƣợc
Công nghệ θ 2 (T2): Phương pháp qui nạp hoàn toàn
"Tìm các số tự nhiên x (hoặc y, a, b, m ) là bội của 2 (hoặc 3, 5, 9) sao cho x (hoặc y, a,b,m) thỏa mãn một bất đẳng thức kép"
(Ví dụ: Tìm tập hợp các số m là bội của 2 biết rằng: 74 < m < 88)
Kĩ thuật giải τ 3 (T2): Trước tiên liệt kê tất cả các số tự nhiên x (hoặc y, a, b, m) thỏa bất đẳng thức kép đã cho; sau đó giữ lại:
- Những số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 (tương ứng với điều kiện là bội của 2);
- Những số có tận cùng là 0 hoặc 5 (tương ứng với điều kiện là bội của 5);
- Những số có tổng các chữ số chia hết cho 3 (tương ứng với điều kiện là bội của 3);
- Những số có tổng các chữ số chia hết cho 9 (tương ứng với điều kiện là bội của 9)
Công nghệ θ 3 (T2): Phương pháp qui nạp hoàn toàn kết hợp với:
- Các tính chất chia hết cho 2, 3, 5, 9
- Định nghĩa khái niệm bội số của một số