Tìm điểm M trên đồ thị C sao cho tiếp tuyến của C tại M cắt hai đường tiệm cận của đồ thị C tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất.. Giải bất phương trình Câu III.[r]
(1)SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ Ngày thi 29/12/2012 Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 Môn thi: TOÁN; Khối A Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) 2x − x−2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm điểm M trên đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt hai đường tiệm cận đồ thị (C) hai điểm A, B cho độ dài đoạn thẳng AB ngắn Câu II (2,0 điểm) ( sin x + sin x ) − 2x + + x ≥ − x2 Giải phương trình tan x − tan x = Giải bất phương trình Câu III (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và SA = a Biết ABCD là hình thang vuông A và B, AB = a, BC = 2a và SC vuông góc với BD Tính tang góc SC với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và SM.Với M là trung điểm BC Câu IV (1,0 điểm) Cho các số dương a, b, c Chứng minh : a 4b 9c + + > b+c c+a a+b Câu V (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Đường thẳng BC có phương trình x − y − = Biết hai đỉnh A, B nằm trên trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác lấy từ các chữ số 0; ; ; ; ; ; Lẫy ngẫu nhiên đồng thời hai phần tử X Tính xác suất để hai số lấy là số chẵn x +1 2x log y − = Câu VI (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x 9.2 log 27 y − = log y -Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh : ……………………………… Số báo danh……………… (2) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2013 Môn thi: TOÁN; Khối A, A1 ( Đáp án – thang điểm có 04 trang) SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ Câu I Ý Nội dung TXĐ : ℝ \ {2} ; Có y ' = −1 ( x − 2) < 0, ∀x ≠ nên hàm số nghịch biến trên ( −∞; ) Điểm 1.0 0.25 và ( 2; +∞ ) ; hàm số không có cực trị limy = ⇒ đths có TCN y = limy = +∞ ; limy = −∞ ⇒ đths có TCĐ : x = x →±∞ x → 2+ BBT 0.25 x → 2− x y’ −∞ +∞ – – +∞ y 3 Đồ thị : Giao Ox : ;0 ; Giao Oy : 2 0.25 −∞ 3 0; 2 0.25 1.0 2x − Vì M ∈ (C) nên g/s M x0 ; x0 − Tiếp tuyến (C) M có pt là : y = ( ∆ ) giao TCĐ −1 ( x0 − ) ( x − x0 ) + (∆) 2x − A 2; ; ( ∆ ) giao TCN B ( x0 − 2; ) x0 − 2x − Khi đó AB = ( x0 − ) + − =2 x0 − Vậy ABmin = 2 x0 − x0 − ( x0 − ) + ( x0 − ) x0 = ⇒ M ( 3;3) ( x0 − ) = ⇔ ( x0 − ) x0 = ⇒ M (1;1) 0.25 0.25 ≥2 0.25 0.25 (3) II 1.0 π π x ≠ +k cos2 x ≠ Điều kiện : ⇔ , ( k, l ∈ ℤ) cos x ≠ x ≠ π + lπ sin x.cos x − cos x.sin x Pt ⇔ = ( sin x + sin x ) cos x.cos x ⇔ sin x = cos x.cos x.sin x ( cos x + 1) 0.25 0.25 sin x = ⇔ x = kπ (t / m) ⇔ cos x.cos x ( cos x + 1) = (*) (*) ⇔ (1 + cos x ) cos x ( cos x + 1) = 0.25 ⇔ cos3 x + 3cos 2 x + cos x − = ⇔ cos x = ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ 0.25 Vậy pt có nghiệm x = kπ , k ∈ ℤ Điều kiện : − 1.0 0.25 1 ≤ x ≤ Khi đó − x > 2 Bpt ⇔ + − x ≥ − x + x ⇔ − x ≥ − x + x (1) 1 Vì − ≤ x ≤ nên − x > ⇒ − x + x > 2 (1) ⇔ (1 − x ) ≥ ( − x + x ) (t / m ) 0.25 2 ⇔ − 16 x ≥ + 16 x + x8 − 16 x + x − x ⇔ x8 − x + 20 x ≤ ⇔ x x − x + 20 ≤ ⇔ x = ( III ) Vậy phương trình có nghiệm x = Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu SC trên mặt phẳng (ABCD) Do đó góc SC với mặt phẳng (ABCD) là góc SC với AC và SCA (vì tam giác SAC vuông A nên SCA < 90° ) Theo gt, hình thang ABCD vuông A và B nên tam giác ABC vuông B và có AC = AB + BC = a Trong tam giác vuông SAC có SA tan SCA = = AC Vì AC là hình chiếu SC trên (ABCD) mà AC ⊥ BD nên SC ⊥ BD 0.5 0.5 0.25 0.25 1.0 Đặt AD = x , x > ta có BD = a + x 1 Ta có S ABCD = AC.BD = ( AD + BC ) AB ⇔ a a + x = ( x + 2a ) a 2 a a ⇔ x − 4ax + a = ⇔ x = Vậy AD = 2 0.25 0.25 (4) 1a 5a ⇒ S ABCD = + 2a a = 2 0.25 1 5a 5a mà SA ⊥ (ABCD) nên VS ABCD = SA.S ABCD = a = 3 12 Ta có M là trung điểm BC nên BM = BC = a Gọi N là điểm đối xứng với A qua D thì AN = 2AD = a Khi đó BM = AN = AB = a và BM // AN nên tứ giác ABMN là hình vuông ⇒ AB // MN ⇒ AB // (SMN) mà SM ⊂ (SMN) nên d ( AB , SM ) = d ( AB ,( SMN )) = d ( A,( SMN )) 0.25 0.5 0.25 Vì MN // AB ⇒ MN ⊥ AN và MN ⊥ SA nên MN ⊥ (SAN) Từ A kẻ AH ⊥ SN H thì AH ⊥ (SMN) ⇒ d ( A,( SMN )) = AH a SN = 2 −x + y + z x− y+ z x+ y−z Đặt x = b + c ; y = c + a ; z = a + b ⇒ a = ;b = ;c = 2 Do a, b, c > nên x, y, z > Khi đó : a 4b 9c −x + y + z 4( x − y + z) 9( x + y − z) + + = + + b+c c+a a+b 2x 2y 2z y 2x z 9x 2z y = − −2− + + + + + + 2x y 2x 2z y 2z ≥ −7 + + + = y = 2x a = 2b c + a = ( b + c ) Đẳng thức xảy ⇔ z = x ⇔ ⇔ (loại) c = a + b = b + c ( ) 3 y = z Vậy đẳng thức không xảy , đó ta có điều phải chứng minh Do tam giác SAN vuông cân A nên H là trung điểm SN ⇒ AH = IV V ( 1.0 0.25 0.25 0.25 0.25 1.0 Vì B = BC ∩ Ox ⇒ B (1;0 ) Đường thẳng BC có vtpt n 0.25 ) 3; −1 Trục Ox có vtpt j ( 0;1) Do tam giác ABC vuông A nên góc B nhọn ⇒ cos B = cos ( n , j ) = ⇒ ABC = 60° Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ⇒ ABI = 30° Dựng IH ⊥ AB H thì IH là bán kính đường tròn nội tiếp ∆ ABC ⇒ IH = IH Trong tam giác vuông IHB có HB = = mà AH = (cách dựng ) nên tan 30° AB = AH + HB = ( 0.25 ) +1 Do A ∈ Ox nên giả sử A(a; 0) thì AB = a − = ( a = + 3 +1 ⇔ a = −2 − ) 0.25 (5) Vì AC ⊥ AB và A,B ∈ Ox nên C và A có cùng hoành độ, C ∈ BC : x − y − = ( ) ( + Với a = + ⇒ A + 3;0 , C + 3; + ) 3+7 6+2 Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là : G ; 3 ( ) ( + Với a = −2 − ⇒ A −2 − 1;0 , C −2 − 1; −6 − ) −4 − −6 − ⇒ G ; 3 0.25 Gọi số có hai chữ số khác là ab với a ≠ và a, b ∈ {0;1; 2;3; 4;5;6} 0.25 1.0 Vì a ≠ nên a có cách chọn ; b ≠ a nên b có cách chọn Do đó có tất 6.6 = 36 số có hai chữ số khác ⇒ n ( X ) = 36 36 Lẫy ngẫu nhiên hai số X có C = 630 cách ⇒ n ( Ω ) = 630 0.25 0.25 Gọi A: “Lấy hai số là số chẵn” Xét ab là số chẵn thì b ∈ {0; 2; 4; 6} Nếu b = thì a có cách chọn ⇒ có số Nếu b ≠ thì b có cách chọn và a có cách chọn vì a ≠ , b ≠ a ⇒ có 15 số Do đó X có tất + 15 = 21 số chẵn gồm hai chữ số khác 0.25 Lẫy ngẫu nhiên hai số chẵn có C212 = 210 cách ⇒ n(A) = 210 Vậ y P ( A ) = VI n ( A) = 210 = 630 n (Ω) Điều kiện : y > 2 x.log y − = 22 x (1) Hệ pt ⇔ x ( 2) 3.2 log y − = log y 22 x + Từ (1) ⇒ log y = Thế vào (2) ta : 2x 22 x = ⇔ x = ⇒ y = 27 2x 2x + 2 + 3.2 x −9 = ⇔ 2x x x 2 =− ( ) Tổng Lưu ý : Các cách giải khác đúng cho điểm tương đương phần 0.25 1.0 0.25 0.25 (t / m ) 0.5 10.00 (6)