Xác định nguồn nhiệt điện bên trong của thanh bị chôn một phần

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH PHẠM MINH TRÍ XÁC ĐỊNH NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG CỦA THANH BỊ CHÔN MỘT PHẦN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH PHẠM MINH TRÍ XÁC ĐỊNH NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG CỦA THANH BỊ CHƠN MỘT PHẦN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CÁM ƠN Cảm ơn q thầy mơn Tốn Giải tích, khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh trang bị kiến thức cho tơi chương trình Sau đại học Cám ơn Thầy cơ, anh chị cơng tác phịng sau Đại học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa học kỳ hạn Đặc biệt, tơi chân thành cảm ơn thầy Đặng Đức Trọng tận tâm hướng dẫn bảo tơi hồn thành luận văn ii MỤC LỤC Trang LỜI CÁM ƠN i MỤC LỤC ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ii LỜI NÓI ĐẦU iv Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giải tích hàm 1.1.1 Không gian Hilbert 1.1.2 Không gian Lp 1.1.3 Không gian Sobolev chiều 1.2 Giải tích thực – phức 1.2.1 Tích phân Stieltjes .4 1.2.2 Phổ toán tử tự liên hợp .6 1.2.3 Biến đổi Laplace ngược 1.3 Toán tử Sturm – Liouville .14 1.3.1 Toán tử Sturm – Liouville qui .14 1.3.2 Toán tử Sturm – Liouville suy biến 18 1.3.3 Đẳng thức Parseval nửa đường thẳng 20 1.3.4 Phổ toán Sturm – Liouville với q ∈ L2 (0, ∞) 26 1.3.5 Lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan 31 Chương KHÔI PHỤC NGUỒN NHIỆT NỘI CHO THANH BỊ CHÔN .36 2.1 Biểu diễn nghiệm đầu mút u f (0, t ) 36 2.2 Sự tồn tính nghiệm .39 2.3 Thuật toán .47 2.4 Xác định độ dài b phép đo 49 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU n không gian Euclide n chiều Lp ( µ ) khơng gian hàm p – khả tích với độ đo Lebesgue µ L2 ( , d ρ ) không gian hàm bình phương khả tích  với độ đo Lebesgue – Stieltjes χ[ , a ] hàm đặc trưng đoạn [0, a ] C ([0, ∞); L2 (0, b)) không gian hàm liên tục, bị chặn u :[0, ∞) → L2 (0, b) với chuẩn u sup b 2 = sup u (., t ) u (., t ) =  ∫ u ( x, t ) dx  t ≥0 0  C1 ((0, ∞); L2 (0, b)) không gian hàm khả vi liên tục, bị chặn u : (0, ∞) → L2 (0, b) với u 1,sup sup u (., t ) + sup chuẩn = t >0 t >0 du (., t ) dt b 2 du (., t )  du ( x, t ) = ∫ dx  Chú ý u (., t ) ∈ C ((0, ∞), )   dt  dt  W m , p ( a, b) không gian Sobolev hàm khả tích có đạo hàm riêng đến bậc p m thuộc L (a, b) , với chuẩn u H = H (t ) = W m , p ( a ,b ) m u p + ∑ Dα (u ) α =1 0, t < 1, t > hàm bước đơn vị Heaviside, H (t ) =  p iv LỜI NÓI ĐẦU Trong luận văn này, giải toán ngược cho phương trình nhiệt u xx ( x, t ) − q ( x)u ( x, t ), < x < b ≤ ∞, t > 0, b > 1, u= t ( x, t ) u (0, t ) − hu (0, t ) = 0,  x (1)  + = ( , ) ( , ) 0, u b t Hu b t  x  u ( x,0) = f ( x) Trong u ( x, t ) nhiệt độ điểm x vào thời điểm t có nhiệt độ đầu f ( x) , chọn cho f ( x) = 0, ∀x > Yêu cầu đặt khôi phục hệ số nguồn nhiệt q ( x) , hệ số truyền nhiệt đối lưu h, H hai đầu mút độ dài b từ phép đo nhiệt độ đầu mút x = , u (0, t ) với ≤ t ≤ T Bài tốn (1) có nhiều ý nghĩa Vật lí, ta xét ba báo [4], [5], [13] GS Vũ Kim Tuấn vấn đề  Bài toán truyền nhiệt (0, π ) [4] x, t ) u xx ( x, t ) − q ( x)u ( x, t ), ≤ x ≤ π , t ≥ 0, ut (=  0, u x (0, t ) − hu (0, t ) =  0, u x (π , t ) + Hu (π , t ) =  u ( x,0) = f ( x) (2) f với tiên nghiệm q ∈ L1 (0, π ) Bằng hữu hạn phép đo fi ( x) → u i (0, t ), t ∈ (0, T ) , i = 1, , N , ta thu liệu phổ Tiếp tục thực N phép đo với hệ số truyền nhiệt đối lưu thay đổi, h2 ≠ h1 x = , ta thu liệu phổ thứ hai Khi hàm q khôi phục từ hai phổ  Trong [5] toán truyền nhiệt mở rộng u xx ( x, t ) − q ( x)u ( x, t ), ≤ x ≤ b ≤ ∞, t > 0, u= t ( x, t ) u (0, t ) − hu (0, t ) = 0,  x  , t ) 0, b < ∞ u x (b, t ) + Hu (b= u ( x,0) = f ( x), (3) với tiên nghiệm q ∈ L1loc (0, b) , phổ toán tử L = − y ''+ qy rời rạc Sử dụng lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan – Gasymov tác giả khôi phục hàm q từ hai phổ với bốn phép đo v  Bài báo [13] tiếp tục giải toán (3) với tiên nghiệm q ∈ L (0, b) , phổ toán tử L = − y ''+ qy có phần liên tục, đặc biệt khơng cho phép thay đổi hệ số truyền nhiệt h Do xác định hai tập giá trị riêng khơng thể xác định q từ hai phổ Hướng tiếp cận lại tiệm cận nhiệt độ biên, x = , vô cực để xác định giá trị riêng định độ dài hữu hạn hay vô hạn Hơn có độ dài hữu hạn ta tính độ dài với phép đo Khi tìm giá trị riêng ta khơi phục hàm phổ Từ lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan ta khôi phục hàm q giá trị h, H Luận văn nhằm chứng minh chi tiết kết báo [13], trình bày thành hai chương Chương Trình bày số kiến thức bản, khái niệm tích phân Stieltjes, biến đổi Laplace ngược, toán tử Sturm – Liouville lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan Chương Biểu diễn nghiệm đầu mút x = qua khai triển Sturm – Liouville Chứng minh tồn nghiệm toán ngược lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan Đặc biệt yêu cầu xác định độ dài thanh, cách chọn nhiệt độ đầu thích hợp ta cần thực phép đo Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 GIẢI TÍCH HÀM 1.1.1 Khơng gian Hilbert Giả sử H khơng gian vector, tích vơ hướng (u , v) dạng song tuyến tính đối xứng, xác định dương từ H × H vào  Định nghĩa 1.1.1 Không gian Hilbert không gian vectơ H trang bị tích vơ hướng (u , v) không gian đầy đủ chuẩn u = (u , u ) Sau ta ký hiệu H không gian Hilbert Định lý 1.1.2 (Định lý biểu diễn Riesz – Fréchet) Giả sử H’ không gian liên hợp H Cho ϕ ∈ H ' tồn f ∈ H cho < ϕ, v > = ( f , v), ∀v ∈ H Hơn f = ϕ H' Qui ước Ta đồng H ' với H 1.1.2 Không gian Lp Giả sử (Ω, M , µ ) khơng gian độ đo ≤ p < ∞ Gọi Lp ( µ ) tập hợp hàm số phức đo X cho ∫u p dµ < ∞ Ω hàm u gọi p – khả tích độ đo µ Ω Khơng gian Lp ( µ ) khơng gian định chuẩn với chuẩn u p  p p =  ∫ u dµ  X  Định lý 1.1.3 Khơng gian Lp ( µ ) với ≤ p < ∞ không gian Banach Định lý 1.1.4 Giả sử Ω tập mở  n , Lp (Ω) không gian hàm p – khả tích Lebesgue Khi có chuẩn Lebesgue p thiết lập từ tích vơ hướng (u , v) Lp = ∫ u ( x)v( x)dx Ω chuẩn L Giả sử (Ω, M , µ ) khơng gian độ đo, L∞ ( µ ) tập hợp hàm chủ yếu giới nội X Với phần tử u thuộc L∞ ( µ ) , đặt u ∞ = esssup u ( x) x∈X Định lý 1.1.5 Khơng gian L ( µ ) với chuẩn ∞ không gian Banach ∞ 1.1.3 Không gian Sobolev chiều 1.1.3.1 Không gian Sobolev W 1, p ( I ) Cho I = (a, b) khoảng bị chặn hay không bị chặn p ∈  với ≤ p ≤ ∞ Định nghĩa 1.1.6 Không gian Sobolev W 1, p ( I ) định nghĩa   W1, p ( I ) =u ∈ Lp ( I ) : ∃g ∈ Lp ( I ) cho ∫ uϕ ' =− ∫ gϕ , ∀ϕ ∈ Cc1 ( I )  I I   Ta đặt H ( I ) = W 1,2 ( I ) Với u ∈ W 1, p ( I ) đặt u ' = g gọi đạo hàm suy rộng u Định nghĩa 1.1.7 Không gian W 1, p ( I ) không gian định chuẩn với chuẩn u = W1, p ( I ) u p + u' p Không gian H trang bị tích vơ hướng (u= , v) H (u , v) L2 + (u ', v ') L2 chuẩn tương ứng u= H1 (u tương đương với chuẩn W 1, p ( I ) Xem [6] trang 169 p + u' p ) Định lý 1.1.8 Không gian H không gian Hilbert tách Định lý 1.1.9 Cho u ∈ W 1, p ( I ) tồn u ∈ C ( I ) cho u = u h.k.n I u ( x) − u= ( y) y ∫ u '(t )dt , ∀x, y ∈ I x Chú ý 1.1.10 Nếu u ∈ W 1, p ( I ) u ' ∈ C ( I ) u ∈ C1 ( I ) Định lý 1.1.11 Tồn số C (chỉ phụ thuộc vào I ≤ ∞ ) cho u ∞ ≤C u W1, p ( I ) , ∀u ∈ W1, p ( I ) , ≤ p ≤ ∞ Nói cách khác W1, p ( I ) ⊂ L∞ ( I ) với phép nhúng liên tục Hơn I bị chặn phép nhúng W1, p ( I ) ⊂ C ( I ) compact Hệ 1.1.12 Giả sử I không bị chặn u ∈ W 1, p ( I ) , ≤ p < ∞ , lim u ( x) = u∈I , x →∞ Hệ 1.1.13 Giả sử u , v ∈ W 1, p ( I ) , ≤ p ≤ ∞ , uv ∈ W 1, p ( I ) (uv= ) ' u 'v + v 'u Hơn ta có cơng thức tích phân phần b b a a ∫ u '( x)v( x)dx = u (b)v(b) − u (a)v(a) − ∫ u ( x)v '( x)dx , ∀a, b ∈ I m, p 1.1.3.2 Không gian Sobolev W ( I ) Định nghĩa 1.1.14 Cho trước số nguyên m ≥ số thực ≤ p ≤ ∞ Ta nói u ∈ W m, p ( I ) tồn m hàm g1 , , g n ∈ Lp ( I ) cho ∫ uD ϕ = j ∞ (−1) j ∫ g jϕ , ∀ϕ ∈ Cc ( I ), ∀j =1, 2, , m Khi u ∈ W m , p ( I ) ta xác lập đạo hàm liên tiếp u sau u ' = g1 , (u ') ' = g , … cấp m, ký hiệu Du , D 2u , …, D mu Không gian W m , p ( I ) trang bị chuẩn u = W m, p ( I ) m u p + ∑ Dα (u ) α =1 p 40 Chứng minh Theo định lý 1.3.1 ta có ϕ ( x, λ ) hàm nguyên theo biến λ nên với nhiệt độ đầu fi ∈ L2 (0, ∞) , i ≥ 1, F (λ ) = ∫ fi ( x)ϕ ( x, λ )dx fi hàm nguyên theo biến λ nhận giá trị thực đường thẳng thực Chúng ta chia chứng minh thành bước  Bước Tìm điều kiện để b < ∞ hay b = ∞ + Giả sử b = ∞ , cố định λ Tồn in cho F in (λ ) ≠ , ngược lại f F fi (λ ) = ∫ fi ( x)ϕ ( x, λ )dx , i = 1, 2, triệt tiêu Khi { fi }i≥1 sở L2 (0,1) nên ϕ ( x, λ ) = (mâu thuẫn) Xét biểu thức nhiệt độ đầu múc ∞ u fi = (0, t ) G fi (t ) + ∑ ρ n F fi (λn )e − λnt n =1 ta có F fi (λ ) hàm ngun khơng tầm thường, có khơng điểm cô lập nên F fi (λ ) không đổi dấu khoảng (0, ) Kết hợp điều kiện ρ '(λ ) > (0, ∞) suy F fi (λ ) ρ '(λ ) ≠ (0, ) Do theo định lý 1.2.20 hàm G fi (t ) biến đổi Laplace F fi (λ ) ρ '(λ ) giảm tới không chậm hàm mũ Nói cách khác lim eε t G fi (t ) = ∞ với ε > suy t →∞ lim k →∞ ln u fi (0, k ) k ≥ + Giả sử b < ∞ ta có ∞ u (0, t ) = ∑ cn e − µnt fi fi n =1 tồn n cho c ≠ suy fi n lim eε t u fi (0, t ) = , < ε < µ1 t →∞ Do lim k →∞ Tóm lại ln u fi (0, k ) k < 41 lim ln u fi (0, k ) k →∞ k < ⇒ b < ∞, ln u fi (0, k ) ≥0⇒b= ∞ k Do ta xác định xác b hữu hạn hay vô hạn lim k →∞  Bước Xác định µn , cnfi , b hàm ρ b < ∞ Giả sử b < ∞ , phổ L rời rạc nên khai triển Fourier tồn j1 cho c1 i1 ≠ Khi f fi c1 e − µ1 + ∑ cn e − µn e( µ1 − µn ) k u (0, k + 1) c1 e − µ1 n =l lim fi1 = lim = = e − µ1 fi k →∞ u (0, k ) k →∞ fi fi c1 c1 + ∑ cn e( µ1 − µn ) k fi fi fi n =l Suy u fi1 (0, k + 1) µ1 = − lim ln k →∞ u fi1 (0, k ) Bây với hàm fi bất kỳ, tồn n cho cnfi ≠ , giả sử l số nhỏ fi cl e − µl + ∑ cn e − µn e( µl − µn ) k cl e − µl u (0, k + 1) n >l lim fi = lim e − µl = = fi k →∞ u (0, k ) k →∞ fi fi cl cl + ∑ cn e( µl − µn ) k fi fi fi n >l Suy u fi (0, k + 1) − lim ln = µl ≥ µ1 k →∞ u fi (0, k ) Do giá trị riêng thứ xác định u fi (0, k + 1)   = µ1 inf − lim ln  i ≥1 u fi (0, k )   k →∞ Suy c1 = lim e µ1k u fi (0, k )  , i = 1, 2, fi k →∞ Lập luận tương tự ta có U 2fi (t ) = u fi (0, t ) − c1fi e − µ1t = ∑c n=2 fi n e − µnt , i = 1, 2,3, Từ giá trị riêng thứ hai xác định công thức 42  U 2fi (k + 1)  = µ2 inf − lim ln  i ≥1 k →∞ U 2fi (k )   c2 = lim e µ2kU 2fi (k )  , i = 1, 2, Tương tự ta xác định {µ3 , c3fi }, {µ4 , c4fi }, fi k →∞ Với µ1 , µ , vừa tìm được, từ (1.17) ta có cơng thức xấp xỉ  nπ  = + O(1)  , n → ∞ µn   b  suy nπ b = lim { Ta có họ fi (0,1) } i ≥1 µn n →∞ (2.14) sở trực chuẩn L2 (0,1) nên ∞ ϕn ( x) = ∑ (ϕn , fi ) L (0,1) fi ( x) , < x < i =1 = (ϕ n , f j ) L2 (0,1) b ϕn ( x) fi ( x)dx ∫= ϕ ( x) f ( x= )dx (ϕ , f ) ∫= n i n i (ϕ n ,ϕ n )cnfi Do ∞ ϕn ( x) = ∑ cnf fi ( x), < x < (ϕ n , ϕ n ) j =1 Kết hợp với điều kiện ϕ n (0) = suy hàm riêng ϕ n ( x) Hơn λ = µ n ta xác i định bước nhảy α n = Do hàm phổ ρ xác định Một hàm (ϕ n , ϕ n ) riêng xác định (0,1) ta tìm hệ số truyền nhiệt h = ϕ '1 (0)  Bước Sự tồn phổ rời rạc cho trường hợp b = ∞ Giả sử bước 1) ta xác định b = ∞ Khi b vô hạn phổ L tồn phần liên tục [0, ∞) phần rời rạc (có thể rỗng) (−∞, 0) Ta có khai triển ∞ u fi = (0, t ) G fi (t ) + ∑ ρ n F fi (λn )e − λnt n =1 lim G fi (t ) = Nếu phổ rời rạc L rỗng u i (0, t ) = G i (t ) , suy f t →∞ {lim u t →∞ fi (0, t ) } i ≥1 = {0} f 43 f Mặc khác, phổ rời rạc L khác rỗng tồn i1 cho F i (λ1 ) ≠ { Vì lim e − λ1t = ∞ nên lim u fi1 (0, t ) = ∞ , hay ∞ ∈ lim u fi (0, t ) t →∞ x →∞ t →∞ } i ≥1 Do trường hợp b = ∞ , ta xác định phổ rời rạc tốn tử L rỗng hay khơng f  Bước Xác định λn , ρ n F i (λn ) với λn < b = ∞ Giả sử b = ∞ phổ rời rạc L khác rỗng tồn i1 cho F fi1 (λ1 ) ≠ Khi G (k + 1)eλ1k + ρ1F fi1 (λ1 )e − λ1 + ∑ ρ n F fi1 (λn )e − λn e( λ1 −λn ) k fi u (0, k + 1) = lim k →∞ u fi (0, k ) k →∞ fi n=2 lim G (k )eλ1k + ρ1F fi1 (λ1 ) + ∑ ρ n F fi1 (λn )e( λ1 −λn ) k fi n=2 = − λ1 ρ1F (λ1 )e e−λ = f ρ1F (λ1 ) fi 1 i1 Suy λ1 = − lim ln k →∞ u fi1 (0, k + 1) u fi1 (0, k ) Bây với fi tùy ý, giả sử F fi (λ1 ) = với n u fi (0, t ) = G fi (t ) lim u fi (0, k ) = k →∞ f Ngược lại tồn n cho F i (λn ) ≠ , giả sử λl giá trị riêng nhỏ số G (k + 1)eλl k + ρl F fi (λl )e − λl + ∑ ρ n F fi (λn )e − λn e( λl −λn ) k fi u (0, k + 1) = lim k →∞ u fi (0, k ) k →∞ fi n >l lim G (k )eλl k + ρl F fi (λl ) + ∑ ρ n F fi (λn )e( λl −λn ) k fi n >l = − λl ρl F (λl )e e−λ = f ρl F (λl ) fi l i Do u fi (0, k + 1) − lim fi = λl ≥ λ1 k →∞ u (0, k ) 44 f Nhưng F i1 (λl ) ≠ l lim u fi (0, k ) = ∞ k →∞ Do giá trị riêng thứ xác định từ công thức u fi (0, k + 1)   fi u k inf − lim ln : lim (0, ) = ∞ λ1 =  f i ≥1 u i (0, k ) k →∞  k →∞  Một giá trị riêng thứ xác định ρ1F fi (λ1 ) xác định ρ1F f (λ1 ) = lim eλ k u f (0, k )  , i = 1, 2, k →∞ i i Lập luận tương tự ta có ∞ U 2fi (t ) = u fi (0, t ) − ρ1F fi (λ1 )e − λ1t =+ G fi (t ) ∑ ρ n F fi (λn )e − λnt , (i = 1, 2,3, ) n=2 Chứng tỏ lim U 2fi (k ) = k →∞ với i L khơng có giá trị riêng khác phổ rời rạc L gồm giá trị riêng λ1 Ngược lại, giá trị riêng thứ hai tồn xác định công thức  U fi (k + 1) U i (k )  inf − lim ln f : lim U 2f (k ) = ∞ λ2 = i ≥1  k →∞ i  k →∞ ρ F fi (λ2 ) = lim eλ2kU 2fi (k )  , i = 1, 2,3, Rõ ràng cách đệ quy người ta có k →∞ thể xác định cặp {λ3 , ρ3 F fi (λ3 )} , {λ4 , ρ F fi (λ4 )} , … , tồn Từ ta xác định tổng ∞ ∑ρ F n =1 = G fi ( k ) n fi (λn )e − λnt xác định ∞ ∞ n =1 f −λk '(λ )d λ u fi (0, k ) − ∑ ρ n F fi (λn )e − λn k ∫ e F i (λ )ρ=  Bước Xác định F fi (λ ) ρ '(λ ) , λ > hàm phổ ρ b = ∞ Giả sử b = ∞ , q ∈ L1 (0, ∞) theo (1.36) ϕ ( x, λ ) ≤ Ce x imλ với C số Do với λ dương ϕ ( x, λ ) bị chặn C, kéo theo F fi (λ ) ≤ C f i , λ > Từ (1.58) suy ρ '(λ )  π λ λ → ∞ 45 Tóm lại, ta có F f (λ ) ρ '(λ ) ∈ L∞ (0, ∞) Khi F f (λ ) ρ '(λ ) , λ > , biến đổi Laplace ngược i i ∞ = G fi (t ) u fi (0, t ) − ∑ ρ n F fi (λn )e − λnt n =1 với t = 1, 2,3, Áp dụng biến đổi Laplace ngược định lý 1.2.21 ta khôi phục ∞ (−1) k −1 nkt  fi  = F (λ ) ρ '(λ ) lim n∑ e u (0, nk ) − ∑ ρ n F fi (λn )e − λn nk  , λ > n →∞ (k − 1)!  = k 1= k  ∞ fi Nói cách khác F fi (λ ) ρ '(λ ) , λ > , thiết lập cách từ họ u fi (0, k ) , k = 1, 2,3, Mặt khác hệ thức ∫ f ( x)ϕ ( x, λ )dx = F i fi (λ ) , với λ > , số F f (λ ) , i ≥ hệ số Fourier khai triển i ϕ ( x, λ ) thành chuỗi Fourier tổng quát với sở = ϕ ( x, λ ) ∞ ∞ (ϕ , fi ) L2 (0,1) fi ( x) ∑= { fi }i≥1 (0,1) , x) ∫ ϕ ( x, λ ) f i ( x)dx ∑ fi ( = = k 1= k ∞ ∑ f ( x) F = k i fi (λ ) Do ∞ ϕ ( x, λ ) ρ '(λ ) = ∑ F f (λ ) ρ '(λ ) fi ( x) , < x < , λ > i k =1 Vì F (λ ) ρ '(λ ) xác định với λ > với i ta khôi phục ϕ ( x, λ ) ρ '(λ ) (0,1) Hơn với ϕ (0, λ ) = ta xác định ρ '(λ ) Sử dụng kỹ thuật tương tự bước 2) ta tìm α n ứng với λn < , qua fi khai triển ϕ n ( x) = ϕn ,ϕn ∞ ∑c fi n i =1 fi ( x),0 < x < ∞ ∫ f ( x)ϕ ( x)dx n c = fi n ∞ ∫ϕ n ( x)dx hệ số Fourier khai triển fi ( x) theo hàm riêng ∞ fi ( x) = ∑ cnfi ϕ n ( x) n =1 46 Từ hàm λ ∞ n =1 ρ (= λ ) H (λ ) ∫ ρ '(λ )dt + ∑ ρ n H (λ − λn ) với ρ n = αn xác định đường thẳng  Bước Xác định q, h H + Với b = ∞ hàm phổ ρ xác định bước 5) với b = ∞ , ta áp dụng lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan để khôi phục hàm q, h Đặt λ+ = max(0, λ ) ∞ T ( x) = ∫ cos( x −∞   λ ) d  ρ (λ ) − λ+  π   Theo (1.70) T ( x) xác định tốt, T ( x) khả vi nên 1 T ( x + y) + T ( x − y) 2 khả vi, từ suy nghiệm phương trình tích phân Fredholm F ( x, y= ) x F ( x, y ) + K ( x, y ) + ∫ K ( x, t ) F (t , y )dt = , (0 < y ≤ x < ∞) K ( x, y ) khả vi Áp dụng định lý 1.3.24 1.3.25 ta tìm q( x) = d K ( x, x ) , dx h = K (0, 0) + Với b < ∞ , xác định q ( x), H Từ {µn ,α n } tìm bước 2) áp dụng định lý 1.3.25 ta xác định hàm = F ( x, y ) α1 cos µ1 x cos µ1 y − ∞ 1  + ∑  cos µn x cos µn y − cos nx cos ny  π n=2  α n π  Giải phương trình tích phân x K ( x, y ) + F ( x, y ) + ∫ K ( x, t ) F (t , y )dt = 0, 0≤ y ≤ x ≤b tìm hàm K ( x, y ) , suy q( x) = Khi hàm riêng d K ( x, x ) , dx 47 x ϕ= ( x, µ ) cos µ x + ∫ K ( x, t )cos µ tdt , Theo định lý 1.3.26 ta tìm H= − ϕ '1 (b) ϕ1 (b) Định lý chứng minh { } Chú ý Quan sát u fi (0, t ) i ≥1 , t ∈ (0, T ) ta xác định q, h, H b f Thật ra, u i (0, t ) hàm giải tích Re t > nên từ mở rộng liên tục f f hàm u i (0, t ) (0, T ) người ta xác định u i (0, t ) t > áp dụng định lý 2.3 THUẬT TOÁN Giả sử {fi }i ≥1 sở trực chuẩn không gian L2 (0,1) quan sát {u fi (0, n)}i ≥1 , n = 1, 2,  Bước Nếu ln u f1 (0, k ) < 0, k b < ∞ , tới bước Ngược lại b = ∞ tới bước lim k →∞  Bước Với b < ∞ , giá trị riêng thứ xác định công thức  u fi (0, k + 1)  = µ1 inf − lim ln , i ≥1 k →∞ u fi (0, k )   c1fi thiết lập từ cơng thức c1fi = lim e µ1k u fi (0, k )  , i = 1, 2, k →∞ Đặt = U 2fi (t ) u fi (0, t ) − c1fi e − µ1t , i = 1, 2,3, Khi giá trị riêng thứ hai xác định từ công thức U fi (k + 1)   = µ2 inf − lim ln fi  i ≥1 k →∞ U (k )   c2fi = lim e µ2kU 2fi (k )  , i = 1, 2,3, k →∞ Lập lại trình ta xác định {µ3 , c3fi } , {µ4 , c4fi } , … Từ xác định bước nhảy α n 48 ∞ α n = lim ∑ cnf fi ( x) , < x < , i x →0 + j =1 hàm phổ = ρ (λ ) ∞ ∑ α H (λ − µ ) n n =1 n định độ dài nπ b = lim µn n →∞ , đến bước  Bước Với b = ∞ , {lim u k →∞ f1 (0, k ) } i ≥1 = {0} , phần phổ rời rạc L rỗng Định nghĩa G f (k ) = u f (0, k ) sang bước Ngược lại, phần phổ rời rạc L khác rỗng Khi giá trị riêng thứ xác định nhờ công thức i  u fi (0, k + 1) u i (0, k ) i  inf − lim ln : lim u f (0, k ) ≠  , λ1 = f i ≥1 k →∞ k →∞  i  ρ1F f (λ1 ) = lim eλ k u f (0, k )  , i = 1, 2, x →∞ i i Giả sử = U 2fi (t ) u fi (0, t ) − ρ1F fi (λ1 )e − λ1t , i = 1, 2,3, {limU (k )} f1 k →∞ i ≥1 = {0} , khơng có giá trị riêng khác tốn tử L, phổ rời rạc toán tử L bao gồm giá trị riêng λ1 Ngược lại giá trị riêng thứ hai tồn xác định công thức   U 2fi (k + 1) fi , inf − lim ln : lim ( ) U k ≠ λ2 =  i ≥1 U 2fi (k ) k →∞  k →∞  ρ F f (λ2 ) = lim eλ kU 2f (k )  , k →∞ i i i = 1, 2,3, Tiếp tục ta xác {λ3 , ρ3 F fi (λ3 )} , {λ4 , ρ F fi (λ4 )} , …, tồn Ta thu hàm = G fi (k ) u fi (0, k ) − ∑ ρ n F fi (λn )e − λn k n =1 tới bước  Bước Với b = ∞ xác định ρ '(λ ) F f (λ ) qua biến đổi Laplace i định 49 (−1) k −1 nkt fi ρ '(λ ) F (λ ) = lim n∑ e G (nk ) , λ > , i = 1, 2, n →∞ k =1 ( k − 1)! ∞ fi Suy ∞ ρ '(λ ) = lim n∑ F f (λ ) ρ '(λ ) fi ( x) , λ > i x →0 + Từ khơi phục hàm phổ i =1 λ ρ (λ= ) H (λ ) ∫ ρ '(t )dt + ∑ ρ n H (λ − λn ) , −∞ < λ < ∞ n =1 Đi đến bước  Bước Với b = ∞ , xác định ∞ = T ( x) ∫ cos( x   λ ) d  ρ (λ ) − −∞ π   λ+  1 T ( x + y) + T ( x − y) 2 F ( x, y= ) để tìm K ( x, y ) , từ suy d K ( x, x) h = K (0, 0) dx Với b < ∞ , giải toán giá trị đầu ϕ1 ''( x) − q( x)ϕ1 ( x) = µ1ϕ1 ( x), q( x) = = ϕ1 (0) 1,= ϕ1 ''( x) h Và cuối tìm H= − ϕ1 ''(b) ϕ1 (b) 2.4 XÁC ĐỊNH ĐỘ DÀI b BẰNG MỘT PHÉP ĐO Giả sử quan tâm đến việc xác định độ dài hữu hạn hay vô hạn hữu hạn có độ dài bao nhiêu? Khi với việc chọn nhiệt độ đầu f1 thích hợp cần thực phép đo {u f1 (0, k )}k >0 , từ bước 1) ta có lim k →∞ lim k →∞ ln u f1 (0, k ) k ln u f1 (0, k ) k ζ (a ) ,   = ζ (a) max 4 q   c (α )  a , (q 1 + L1 (0, a ) + α  2α a α  + h)  L1 (0, a )  − α   ,   ∞ c(α ) = ∫ t α cos tdt Với n đủ lớn, hệ số Fourier cn ≠ , từ bước 2) người ta tìm giá trị riêng µn tương ứng Số giá trị riêng theo thứ tự tăng µm , µm+1 , , µm+ k , m (đếm được) số trị riêng nhỏ ζ (a) Từ (2.14) ta suy kết sau Định lí 2.3.2 Độ dài b tính từ giới hạn b = π lim k →∞ k µm+ k Chứng minh Từ công thức (2.14) suy b = π lim k →∞ m+k µm+ k Thay dãy giá trị riêng µn dãy µm+ k cho ta độ dài b Thật k m+k k m+k k = b  lim lim π lim π= π lim= k →∞ k k k →∞ →∞ →∞ m+k µm+ k µm+ k m + k µm+ k Chứng minh định lý 2.3.1 Khơng tính tổng qt giả sử ϕ n (0) = 1, ϕ 'n (0) = h (1.14) ta có 51 h cos µ n x + ϕn ( x) = Với µn > q L1 (0, a ) µn ∫ sin ( sin µ n x + ) x µn µn ( x − t ) q(t )ϕ n (t )dt (2.16) ta có đánh giá ϕn ∞ L (0, a ) ≤ 1+ h ϕn + µn q L∞ (0, a ) L1 (0, a ) µn Suy h 1+ ϕn L∞ (0, a ) ≤ µn q 1− (2.17) L (0, a ) µn Từ (2.16) (2.17) suy ϕ n ( x) − cos µn x ≤ h µn ϕn + L∞ (0, a ) q L1 (0, a ) µn  h 1+  µn  ≤ h + q q L1 (0,a ) µn   1−  µn = µn q L1 (0, a ) 1− q +h , ∀x ∈ (0, a )    , ∀x ∈ (0, a ) L1 (0, a )    , ∀x ∈ (0, a ) L1 (0, a ) µn Nhân xα lấy tích phân hai vế hai bất phương trình ta a a α α ∫ x ϕn dx − ∫ x cos µn xdx ≤ µn = µn q L1 ( , a ) 1− q q +h a ∫x α dx L (0 ,a ) µn + h aα +1 q L1 (0 ,a ) α + L1 ( , a ) 1− µn Áp dụng định lí giá trị trung bình thứ hai ta có ∞ ∫ a µn α α x cos xdx ≤ (a µn ) c ∫ a µn cos xdx ≤ 2(a µn )α (2.18) 52 ∞ Đặt c(α ) = ∫ t α cos tdt , với α ∈ (−1 / 2, 0) ta có đánh giá c(α ) x cos µ xdx = − n α +1 ∫ a α +1 µn a λn α µn = α +1 µn ∫ t α cos tdt − ∫ α +1 µn ∞ t α cos tdt ≤ a µn 2aα µn ∞ ∫t α cos tdt (2.19) Kết hợp (2.18), (2.19) (2.15) ta     c(α ) aα  q L1 (0,a ) + h a α n cn − α +1 ≤ +   q α +1 µn µn  − L (0,a )    µn Vì c(α ) > nên cn ≠     c(α ) aα  q L1 (0,a ) + h a  > + 2 α +1  q α +1 µn  − L (0,a )  µn   µn   Suy − α µn     aα  q L1 (0,a ) + h a  > + 2  q α +1 c(α )  − L (0,a )    µ n   Để thỏa mãn điều   µn > max 4 q   c α (α )  a + , (q  L (0, a ) α +1 α  a  + h L1 (0, a )  − α       KẾT LUẬN Dựa vào [13] tác giả trình bày tốn nhiệt theo hướng đưa toán dạng yếu mà tồn tương đương nghiệm yếu nghiệm toán ban đầu kiểm chứng qua định lý Hille – Yosida Do để giải tốn gốc ta khảo sát toán biên Sturm – Liouville x) 0, ≤ x ≤ b ≤ ∞, −u xx ( x) + [q ( x) − λ ]u (=  u ) 0, = 0, Vb (= u x (0) − hu (0) u ( x,0) = f ( x)  V= u x (b) + Hu (b) b < ∞ b (u ) Việc chọn tiên nghiệm q ∈ L(0, ∞) , dương, b = ∞ giúp toán rơi vào trường hợp giới hạn điểm nên không cần điều kiện biên điểm x = ∞ hàm phổ ρ có phần liên tục khoảng (0, ∞) Việc tìm hàm phổ cách thay đổi nhiệt độ đầu làm phải đối mặt với liệu rời rạc Trong trình sử dụng biến đổi Laplace ngược (−1) j −1 njt e g (nj ) = (1 − e −1 ) f (t + 0) + e −1 f (t − 0) , j =1 ( j − 1)! ∞ lim n∑ n →∞ cho phép ta khôi phục hàm f ∈ L∞ (0, ∞) biết giá trị hàm g điểm nguyên không phụ thuộc vào t Một xác định hàm phổ, toán nhiệt ngược giải theo lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan, hàm q giá trị h, H xác định Phần cuối luận văn đưa công thức xác định độ dài hữu hạn b cách chọn nhiệt độ đầu f ( x) = xα χ[0,a ] với α ∈ (−1 2,0) Dù cố gắng hiểu biết cịn hạn chế khơng tránh khỏi sai sót mong nhận phản hồi từ quý Thầy (Cô) anh chị học viên TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đặng Đình Áng, T L Cường, H B Lân, N V Nhân, P H Quân (2007), Biến đổi tích phân, Nxb Giáo dục, Hà Nội Haïm Brezis, Người dịch: Nguyễn Thành Long, Nguyễn Hội Nghĩa (2002), Giải tích hàm lý thuyết ứng dụng, Nxb ĐHQG TP HCM, HCM Tiếng Anh N I Akhiezer and I M Glazman (1993), Theory of linear operators in Hilbert space, Dover Publications, New York A Boumenir and V K Tuan (2010), An inverse problem for the heat equation, American Mathematical Society 138 (2), 3911–3921 A Boumenir and V.K Tuan (2010), Recovery of a heat equation by four measurements at one end, Numerical Functional Analysis and Optimization 31 (2), 155–163 M Carter, B V Brunt (2000), The Lebesgue – Stieltjes integral a practical introduction, Springer, USA V Isakov (2006), Inverse problems of partial differential equations, Springer, USA B M Levitan (1987), Inverse Sturm – Liouville problems, VNU Science Press BV, Great Britain B M Levitan, I S Sargsjan (1975), Introduction to spectral theory selfadjoint ordinary differential operators, American Mathematical Society, Moscow 10 V A Marchenko (1986), Sturm – Liouville operators and applications, Operator Theory Advances and Applications 22, Germany 11 E L Post (1930), Generalized differentiation, Trans Amer Math Soc 32, 723– 781 12 E C Titchmarsh (1962), Eigenfunction expansions associated with secondorder differential equations Part 1, Clarendon press, Oxford, Great Britain 13 V K Tuan, F Al – Musallam (2011), Determination of the internal heat source for a half-buried rod, Acta Mathematica Vietnamica 36 (2), 517– 535 14 A M Wazwaz (2011), Linear and nonlinear integral equations methods and applications, Springer, USA 15 D.V.Widder (1946), The Laplace transform, Princeton University Press, Princeton ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH PHẠM MINH TRÍ XÁC ĐỊNH NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG CỦA THANH BỊ CHÔN MỘT PHẦN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN... suy hàm riêng ϕ n ( x) Hơn λ = µ n ta xác i định bước nhảy α n = Do hàm phổ ρ xác định Một hàm (ϕ n , ϕ n ) riêng xác định (0,1) ta tìm hệ số truyền nhiệt h = ϕ '1 (0)  Bước Sự tồn phổ rời... − y ''+ qy có phần liên tục, đặc biệt không cho phép thay đổi hệ số truyền nhiệt h Do khơng thể xác định hai tập giá trị riêng xác định q từ hai phổ Hướng tiếp cận lại tiệm cận nhiệt độ biên,