Quá trình ion hóa hai lần không liên tiếp của nguyên tử heli và argon dưới tác dụng của xung laser phân cực thẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trương Đặng Hồi Thu Q TRÌNH ION HĨA HAI LẦN KHƠNG LIÊN TIẾP CỦA NGUN TỬ HELI VÀ ARGON DƯỚI TÁC DỤNG CỦA XUNG LASER PHÂN CỰC THẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trương Đặng Hồi Thu Q TRÌNH ION HĨA HAI LẦN KHƠNG LIÊN TIẾP CỦA NGUN TỬ HELI VÀ ARGON DƯỚI TÁC DỤNG CỦA XUNG LASER PHÂN CỰC THẲNG Chuyên ngành: Vật lí nguyên tử Mã số: 60 44 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM NGUYỄN THÀNH VINH Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng thầy hướng dẫn Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2016 Học viên thực Trương Đặng Hoài Thu LỜI CÁM ƠN Để hoàn thành tốt luận văn này, nhận hướng dẫn, giúp đỡ quý báu Thầy Cô, anh chị, bạn bè đặc biệt gia đình Do đó, thơng qua luận văn, xin gửi lời cám ơn chân thành đến:  TS Phạm Nguyễn Thành Vinh, người Thầy đã tận tình hướng dẫn khoa học, khuyến khích, động viên ln giúp đỡ tơi suốt q trình làm luận văn  GS Yueming Zhou, người Thầy hướng dẫn làm quen với code mô nhận xét, góp ý kết mơ để tơi hồn thành luận văn  Q Thầy, Cơ khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM truyền thụ kiến thức khoa học cho suốt thời gian học tập trường  Ba, Mẹ, Chị hỗ trợ, động viên giúp an tâm tập trung học tập năm tháng học tập thời gian làm luận văn  Các bạn học viên lớp cao học chuyên ngành Vật lí ngun tử khóa 25, Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM sát cánh bên đường tìm tri thức Xin trân trọng cám ơn! Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2016 Học viên thực Trương Đặng Hoài Thu MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục chữ viết tắt Danh mục bảng biểu Danh mục hình vẽ, đồ thị MỞ ĐẦU Chương LÝ THUYẾT TƯƠNG TÁC GIỮA LASER VỚI NGUYÊN TỬ, PHÂN TỬ 1.1 Quá trình tương tác laser với nguyên tử, phân tử 1.1.1 Các chế ion hóa 1.1.2 Sự ion hóa ngưỡng 11 1.1.3 Sự phát xạ sóng điều hòa bậc cao 13 1.1.4 Q trình ion hóa hai lần 14 1.2 Q trình ion hóa hai lần 14 1.2.1 Q trình ion hóa hai lần liên tiếp 16 1.2.2 Q trình ion hóa hai lần khơng liên tiếp 16 Chương MƠ HÌNH TẬP HỢP CỔ ĐIỂN BA CHIỀU 19 2.1 Giới thiệu mơ hình 19 2.2 Sơ đồ tính tốn 21 Chương KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 23 3.1 Q trình ion hóa hai lần khơng liên tiếp nguyên tử heli tác dụng trường laser phân cực thẳng, cường độ mạnh 23 3.1.1 Cấu trúc chữ “V” phân bố động lượng tương quan hai electron 24 3.1.2 Giải thích cấu trúc chữ “V” dựa vào phép phân tích quỹ đạo 28 3.2 Q trình ion hóa hai lần khơng liên tiếp nguyên tử argon tác dụng trường laser phân cực thẳng, độ dài xung nửa độ cao gần chu kỳ 34 3.2.1 Phổ động lượng tương quan hai electron 35 3.2.2 Các chế vật lý chi phối trình ion hóa hai lần khơng liên tiếp 36 3.2.3 Cấu trúc chữ thập phổ động lượng tương quan hai electron 41 KẾT LUẬN 46 HƯỚNG PHÁT TRIỂN 47 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 PHỤ LỤC 56 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TDSE: Phương trình Schrưdinger phụ thuộc thời gian (Time Dependent Schrưdinger Equation) MPI: Sự ion hóa đa photon (MultiPhoton Ionization) ATI: Sự ion hóa vượt ngưỡng (Above-Threshold Ionization) HHG: Sóng điều hịa bậc cao (High-order Harmonic Generation) DI: Sự ion hóa hai lần (Double Ionization) NSDI: Sự ion hóa hai lần khơng liên tiếp (NonSequential Double Ionization) SDI: Sự ion hóa hai lần liên tiếp (Sequential Double Ionization) CTEMD: Sự phân bố động lượng tương quan hai electron (Correlated TwoElectron Momentum Distribution) TMD: Sự phân bố động lượng vng góc (Transverse Momentum Distribution) AES: chia sẻ lượng bất đối xứng (Asymmetric Energy Sharing) SES: Sự chia sẻ lượng đối xứng (Symmetric Energy Sharing) FWHM: Độ rộng nửa chiều cao (Full Width at Half Maximum) DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Trang Hình 1.1 Các chế ion hóa: (a) chế ion hóa đa photon 10 (b) chế ion hóa xuyên hầm, (c) chế ion hóa vượt rào Hình 1.2 Cấu trúc đầu gối kiện NSDI 15 (chấm tròn màu xanh), đường đứt nét màu đỏ biểu diễn kiện SDI theo lý thuyết xuyên hầm lượng tử Hình 1.3 Hướng bay hai electron sau ion hóa: 18 (a) song song, (b) phản song song Hình 2.1 Sơ đồ giải phương trình 2.1 21 Hình 2.2 Sự phân bố khơng gian 22 hai electron liên kết nguyên tử argon theo trục x Hình 3.1 Điện trường xung laser 800nm, 24 hình bao dạng hình thang bao gồm hai chu kỳ bật laser, sáu chu kỳ ổn định hai chu kỳ tắt laser Hình 3.2 Sự phân bố động lượng tương quan hai electron 25 dọc theo trục phân cực xung laser 800nm, cường độ đỉnh ×1015 W/cm2 Hình 3.3 Sự phân bố động lượng tương quan hai electron 26 dọc theo trục phân cực xung laser 800nm, cường độ đỉnh ×1015 W/cm2, sau loại bỏ trường hợp DI xảy hai chu kỳ đầu Hình 3.4 Sự phân bố động lượng tương quan hai electron 27 dọc theo trục phân cực xung laser 800nm, cường độ đỉnh ×1015 W/cm2, bỏ qua đẩy electron-electron Hình 3.5 Sự phân bố động lượng tương quan hai electron 28 dọc theo trục phân cực xung laser ×1015 W/cm2 cho quỹ đạo ứng với trường hợp chia sẻ lượng hai electron sau tái va chạm đối xứng (a) bất đối xứng (b) Hình 3.6 Số đếm quỹ đạo DI theo pha laser lúc tái va chạm 29 với trường hợp SES (a) AES (b), đường màu đen biểu diễn trường laser Hình 3.7 Năng lượng hai electron suốt trình tương tác 30 với trường laser ứng với hai trường hợp: SES (a) AES (b) Hình 3.8 Sự phân bố động lượng tương quan hai electron 31 dọc theo trục phân cực xung laser 800nm, cường độ đỉnh ×1015 W/cm2: (a) trường hợp DI loại trừ trường hợp xảy chu kỳ đầu, (b) trường hợp DI ứng với chia sẻ lượng hai electron sau tái va chạm đối xứng (b) bất đối xứng (c) Hình 3.9 Phổ động lượng vng góc electron tái va chạm 32 electron liên kết trường hợp SES (a) AES (b), trình khảo sát với cường độ laser ×1015 W/cm2 Hình 3.10 Quá trình thay đổi động lượng ngang theo thời gian 33 electron tái va chạm electron liên kết hai trường hợp SES (a) AES (b) ứng với cường độ laser ×1015 W/cm2 Hình 3.11 Điện trường xung laser 800nm, độ dài 37 nửa độ cao gần chu kỳ, hình bao dạng cosin bình phương Hình 3.12 Phổ động lượng tương quan hai electron 36 với góc φ có giá trị từ đến 2π ứng với cường độ 0.8 ×1014 W/cm2 (a) 2.5 ×1014 W/cm2 (b) Hình 3.13 Thời gian tái va chạm thời gian ion hóa hai lần 37 ứng với cường độ 0.8 ×1014 W/cm2 (a,c) 2.5 ×1014 W/cm2 (b,d) Hình 3.14: Năng lượng hai electron 38 suốt trình tương tác với laser ứng với cường độ 0.8 ×1014 W/cm2 (a) 2.5 ×1014 W/cm2 (b) Hình 3.15 Thời gian hỗn 39 q trình ion hóa hai lần q trình tái va chạm: đường màu xanh đứt nét ứng với cường độ 0.8 ×1014 W/cm2 đường màu đỏ liền nét ứng với cường độ 2.5 ×1014 W/cm2 Hình 3.16 Phổ động lượng tương quan hai electron 40 ứng với thời gian hoãn từ 0.25T0 đến 1.25T0 cho trường hợp cường độ laser 0.8 ×1014 W/cm2 (a) thời gian hoãn đến 0.5T0 cho trường hợp cường độ laser 2.5 ×1014 W/cm2 (b) Hình 3.17 Sự phân bố góc tán xạ kiện DI 41 ứng với trường hợp cường độ laser 2.5 ×1014 W/cm2 Hình 3.18 Phổ động lượng tương quan hai electron 42 53 35 Liu Y., Tschuch S., Rudenko A., Dürr M., Siegel M., Morgner U., Moshammer R., and Ullrich J (2008), “Strong-field double ionization of ar below the recollision threshold”, Physical Review Letter, 101(5), pp 053001-4 36 Lompré L A., Mainfray G., Manus C., and Kupersztych J (1987), “The energy distributions of electrons produced in multiphoton ionisation of rare gases”, Journal of Physics B 20, pp 1009 37 Maiman T H (1960), “Stimulated optical radiation in ruby”, Nature, 187, pp.493-494 38 Martin E A., and Mandel L (1976), “Electron energy spectrum in laserinduced multiphoton ionization of atoms”, Applied optics, 15(10), pp 2378-2380 39 Ma X., Zhou Y and Lu P (2016), “Multiple recollisions in strong-field nonsequential double ionization”, Physical Review A, 93(1), pp 013425-6 40 McPherson A., Gibson G., Jara H., Johann U., Luk T S., McIntyre I A., Boyer K., and Rhodes C K (1987), “Studies of multiphoton production of vacuumultraviolet radiation in the rare gase”, Journal of the Optical Society of America B, 4(4), pp 595-601 41 Morishita T., Le A T., Chen Z., and Lin C D (2008), “Accurate Retrieval of Structural Information from Laser-Induced Photoelectron and High-Order Harmonic Spectra by Few-Cycle Laser Pulses”, Physical Review Letter, 100(1), pp 013903-4 42 Panfili R., Eberly J H and Haan S L (2001), “Comparing classical and quantum dynamics of strong-field double ionization”, Optics Express, 8(7), pp 431435 43 Pfeiffer A N., Cirelli C., Smolarski M., Doner R., and Keller U (2011), “Timing the release in sequential double ionization”, Nature Physics 7, pp 428–433 44 Pfeiffer A N., Cirelli C., Smolarski M., Wang X., Eberly J H., Doner R., and Keller U (2011), “Breakdown of the independent electron approximation in sequential double ionization”, New Journal of Physics 13, pp 093008 54 45 Pham Vinh N T., Tostikhin Oleg I., and Morishita Toru (2014), “Molecular Siegert states in an electric field II Transverse momentum distribution of the ionized electrons”, Physical Review A, 89(3), pp 033426-12 46 Rudenko A., De Jesus V L B., Ergler Th., Zrost K., Feuerstein B., Schröter C D., Moshammer R., and Ullrich J (2007), “Correlated two-electron momentum spectra for strong-field nonsequential double ionization of He at 800 nm”, Physical Review Letter, 99(26), pp 263003-4 47 Sansone G., Benedetti E., Calegari F., Vozzi C., Avaldi L., R Flammini R., Poletto L., Villoresi P., Altucci C., Velotta R., Stagira S., De Silvestri S., and Nisoli M (2006), “Isolated single-cycle attosecond pulses”, Science, 314(5798), pp.443-446 48 Suran V V., and Zapesochny I P (1975), “Observation of Sr2+ in multiplephoton ionization of strontium”, Sov Tech Phys Letters 1, pp 420 49 Truong Thu D H., Huynh Son V., and Pham Vinh N T (2015), “V-like structure in the correlated electron momentum distribution for nonsequential double ionization of helium”, Journal of Science of Ho Chi Minh University of Education, 5(70), pp 26 50 Truong Thu D H., and Pham Vinh N T (2015), “Trajectory analysis for explaination of the v-like structure in the correlated electron momentum distribution for nonsequential double ionization of helium”, Journal of Science of Ho Chi Minh University of Education, 9(75), pp 14 51 Voronov G S and Delone N B (1965), “Ionization of the xenon atom by the electric field of ruby laser emission”, Sov Phys JETP Letters 1, pp 66 52 Yanovsky V., Chvykov V., Kalinchenko G., Rousseau P., Planchon T., Matsuoka T., Maksimchuk A., Nees J., Cheriaux G., Mourou G., and Krushelnick K (2008), “Ultra-high intensity- 300-TW laser at 0.1 Hz repetition rate”, Optics Express, 16(3), pp 2109-2114 55 53 Ye D F., Liu X., and Liu J (2008), “Classical trajectory diagnosis of a fingerlike pattern in the correlated electron momentum distribution in strong field double ionization of Helium”, Physical Review Letter, 101(23), pp 233003-4 54 Zhou Y., Qing L and Lu P (2010), “Asymmetric electron energy sharing in strong-field double ionization of helium”, Physical Review A, 82(5), pp 053402-5 Trang Wed 55 https://en.wikipedia.org/wiki/Double_ionization 56 PHỤ LỤC I Các phương pháp giải số gần phương trình vi phân tồn phần Đa số toán khoa học kỹ thuật mơ tả qua phương trình vi phân với điều kiện cụ thể, đặc trưng cho mối quan hệ đại lượng Tuy nhiên phương trình vi phân ngày phức tạp nên việc tính tốn xác nghiệm giải tích gần khơng thể Do đó, cần phương pháp đặc biệt để lập trình cho máy tính hiểu giải vấn đề Phương trình vi phân chia làm hai loại: phương trình vi phân đạo hàm riêng phương trình vi phân tồn phần Trong nội dung luận văn này, quan tâm đến phương trình vi phân tồn phần Cụ thể, chúng tơi xét tốn Cauchy trình bày cách giải nó, bao gồm phương pháp: Euler, Euler cải tiến, Runge-Kutta, Adams-Bashforth Adams-Moulton Sau đó, chúng tơi tiến hành kiểm chứng tính đắn thuật toán Bài toán Cauchy khai triển chuỗi Taylor a/ Bài tốn Cauchy Một phương trình vi phân bậc viết dạng y ' ( x) = f ( x, y ( x)) ta tìm hàm y ( x) từ đạo hàm Trong thực tế có vơ số nghiệm thỏa mãn phương trình trên, nghiệm phụ thuộc vào số tùy ý cho trước Khi biết giá trị ban đầu y0 hàm y ( x) x0 ta nhận nghiệm riêng phương trình Bài tốn tìm hàm y ( x) biết giá trị ban đầu gọi tốn Cauchy Bài tốn Cauchy mơ tả cụ thể sau:  y ' ( x) = f ( x, y ( x)) , a≤ x≤b   y (a ) = y0 (1) với y = y ( x) hàm cần tìm, khả vi đoạn [a,b], y0 giá trị ban đầu cho trước y ( x) x0 = a 57 b/ Khai triển chuỗi Taylor Nếu hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ' ( x), f '' ( x), , f ( n ) ( x) liên tục điểm x0 có đạo hàm f ( n +1) ( x) lân cận x0 lân cận ta có công thức khai triển: f (= x) f ( x0 ) + f ' ( x0 ) f " ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( n +1) (c) (x − x ) + ( x − x0 ) + + ( x − x0 ) n + ( x − x0 ) n +1 (2) n! n! 1! 2! (c x0 x , c = x0 + a ( x − x0 ), < a < 1) Công thức (2) gọi công thức khai triển Taylor cấp n, số hạng cuối gọi số hạng dư Đặc biệt x0 = cơng thức Taylor trở thành công thức Maclaurin (công thức khai triển lân cận x0 = ): f ( x= ) f (0) + f ' (0) f '' (0) f ( n ) (0) n f ( n +1) (θ x) n +1 x+ x + + x + x 1! 2! n! n! (3) với < θ < Phương pháp Euler Theo phương pháp Euler, để tìm nghiệm gần toán (1) ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ với bước nhảy h = b−a Khi điểm chia n x0 = a, x=i x0 = = n, xn b Giá trị gần cần tìm hàm điểm + i.h với i 0,1, xi ký hiệu yi Tiếp theo ta khai triển Taylor cho phương trình (1): y ( xi +1 ) = y ( xi ) + ( xi +1 − xi ) y '( xi ) + ( xi +1 − xi ) y ''(ε i ), (4) h2 y ''(ε i ) (5) với ε i nằm ( xi , xi +1 ) Thay = h xi +1 − xi ta được: y ( xi +1 ) = y ( xi ) + hf ( xi , y ( xi )) + 58 Bỏ phần dư (5) thay giá trị gần hàm điểm nút, ta công thức Euler sau: y ( xi +1 ) ≈ yi +1 =yi + hf ( xi , yi ), i =0,1, 2, , n − (6) Phương pháp Euler cải tiến Phương pháp Euler cải tiến phát triển dựa phương pháp Euler Trong cơng thức (2.6), vai trị f ( xi , yi ) hệ số góc đường cong tích phân điểm có hồnh độ xi hồn tồn khơng có thơng tin điểm có hồnh độ xi +1 Vì lý đó, người ta thay vai trò f ( xi , yi ) trung bình cộng hệ số góc hai điểm xi xi +1 Khi ta có cơng thức: f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , yi +1 ) , yi +1 = yi + h (7) 0,1, 2, , n − i= Công thức (7) gọi cơng thức Euler cải tiến Việc tính tốn theo cơng thức (7) phức tạp vế trái vế phải (7) có chứa yi +1 ẩn cần tìm Vì vậy, để đơn giản người ta thay giá trị vế phải công thức (7) giá trị xác định theo công thức (6) Ta thu được: f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , yi + hf ( xi , yi )) , i= 0,1, 2, , n − 1, yi +1 = yi + h (8) hf ( xi , yi )   h 1  ⇒ yi +1 =yi +  hf ( xi , yi ) + hf  xi + , yi +  2 2   Đặt:  K1 = hf ( xi , yi )   hf ( xi , yi ) k h ) = hf ( xi + , yi + )  K = hf ( xi +1 , yi + 2 (9) Khi đó: yi += yi + K1 + K 2 (10) 59 Phương pháp Runge-Kutta a/ Runge-Kutta bậc hai Trong phương pháp Runge-Kutta bậc hai, sử dụng công thức khai triển Taylor cho nghiệm y ( x) phương trình (1): y ( x) = y ( xi ) + x − xi ' ( x − xi ) " y ( xi ) + y ( xi ) + 0(( x − xi )3 ) 1! 2! (11)  x= xi += xi + h  ' Sau thay  vào (11), ta được: y ( xi ) = f ( xi , yi ) " ' '  y (x ) f (x , y ) + f (x , y ) f (x , y ) = i x i i y i i i i  y ( xi +1 ) = y ( xi ) + hf ( xi , yi ) + h2  f x' ( xi , yi ) + f y' ( xi , yi ) f ( xi , yi )  + 0(h3 ),  (12) với h bước nhảy Runge Kutta tránh việc tính đạo hàm f x' ( xi , yi ) f y' ( xi , yi ) y ' ( xi ) nên đặt: y ( xi +1 ) = y ( xi ) + a1k1 + a2 k2 , (13) với k1 = f ( xi , y ( xi ))h k2 =f ( xi + b1h, yi + b k1 )h Sau khai triển k2 được: k2 = f ( xi , yi ) + b1hf x' ( xi , yi ) + b2 hf y' ( xi , yi ) f ( xi , yi )  h, (14) thay vào (13): y ( xi +1 )= y ( xi ) + (a1 + a2 ) f ( xi , yi )h + a2b1 f x' ( xi , yi )h + a2b2 f y' ( xi , yi ) f ( xi , yi )h + 0(h3 ) (15) Kế đó, đồng hệ số (12) (15) thu hệ phương trình sau:  a1 + a2 =   a2b1 = 1/ a b = 1/  2 (16) 60 Hệ phương trình (16) có ẩn số có phương trình, nên buộc phải gán giá trị Ta chọn a1 = 0.5 suy a2 = 0.5 b=1 b= Từ thu công thức Runge-Kutta gần bậc hai 1 y ( xi +1 ) = y ( xi ) + k1 + k2 , 2 (17) k1 = f ( xi , yi )h k2 = f ( xi + h, yi + k1 )h với  b/ Runge-Kutta bậc bốn Trong phương pháp Runge-Kutta bậc bốn, chuỗi Taylor khai triển đến bậc bốn Tương tự Runge-Kutta bậc hai, ta đặt: y ( xi +1 ) = y ( xi ) + a1k1 + a2 k2 + a3 k3 + a4 k4 , (18) k1 = f ( xi , yi )h k =f ( x + b h, y + b k )h i i với  k3 =f ( xi + b3 h, yi + b k )h  k4 =f ( xi + b5 h, yi + b k )h Khai triển đồng Runge-Kutta bậc hai, ta thu hệ phương trình: a1 + a2 + a3 + a4 =  b1 = b2 b3 = b4  b5 = b6 a b + a b + a b = 1/  21 3  2 1/ a2b1 + a3b3 + a4b5 =  3 1/ a2b1 + a3b3 + a4b5 = a3b1b4 + a4b3b6 = 1/  2 1/12 a3b1 b4 + a4b3 b6 = a b b b = 1/ 24  313 a4b1b4b6 = 1/ 24 Giải hệ phương trình (19) ta thu hệ số sau: (19) 61 a= a=   b= b= a= 1/ a= 2/6 b= b= b= 1/ 2 (20) b= Thay (20) vào (18) ta thu công thức Runge - Kutta bậc bốn: y ( xi +1 ) = y ( xi ) + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ), (21) k1 = f ( xi , yi )h k = f ( xi + 0.5 h, yi + 0.5k1 )h với  f ( xi + 0.5 h, yi + 0.5k2 )h  k3 =  k4 = f ( xi + h, yi + k3 )h Phương pháp Adams-Bashforth Adams-Moulton Phương pháp Adams-Bashforth Adams-Moulton hai số phương pháp giải số phương trình vi phân phương pháp đa bước Phương pháp đa bước phương pháp sử dụng giá trị từ s bước trước để tính giá trị Phương pháp mô tả sau: yn + s + as −1 yn + s −1 + as − yn + s − + + a0 yn = h.(bs f (x n + s , yn + s ) + bs −1 f (x n + s −1 , yn + s −1 ) + + b0 f (x n , yn )), (22) as , bs hệ số, h bước nhảy s số bước tính giá trị Dựa vào giá trị bs phương pháp đa bước chia làm hai dạng: phương pháp bs = phương pháp ẩn bs ≠ Phương pháp Adams phương pháp ẩn số phương pháp đơn giản phương pháp đa bước Trong phương pháp Adams, hệ số as −1 = −1 as − 2= = a0= Do đó, phương trình (22) trở thành: = yn + s as −1 yn + s −1 + h.(bs f (x n + s , yn + s ) + bs −1 f (x n + s −1 , yn + s −1 ) + + b0 f (x n , yn )) Có hai cách xác định hệ số bs : (23) 62 s −1 (−1) j với j 0,1, , s − ∏ (u + i)du = j !( s − j − 1)! ∫0 i =0  bs − j −1 = (24) i≠ j s (−1) j ∏ (u + i − 1)du với j = 0,1, , s j !( s − j )! ∫0 i =0  bs − j = (25) i≠ j Các hệ số bs xác định theo công thức (24) gọi phương pháp AdamsBashforth, xác định theo công thức (25) gọi phương pháp AdamsMoulton Một điều đáng lưu ý hai phương pháp này, để tính giá trị yn + s ta cần giá trị f (x n + s −1 , yn + s −1 ) ,…, f (x n , yn ) Tuy nhiên, toán Cauchy, ta cung cấp giá trị đầu, cần kết hợp sử dụng phương pháp khác để tính thêm giá trị đầu Phương pháp thường sử dụng cho mục đích phương pháp Euler Kiểm chứng tính đắn thuật tốn Trong phần chúng tơi tiến hành kiểm chứng tính đắn thuật toán Euler cải tiến, Runge-Kutta bậc bốn Adams-Bashforth bậc bốn cách so sánh kết giải số với nghiệm giải tích Cụ thể chúng tơi tiến hành so sánh nghiệm giải số phương pháp với nghiệm giải tích ứng với tốn Cauchy cụ thể, sau đưa kết luận phương pháp tối ưu Để kiểm chứng tính đắn thuật tốn, chúng tơi chọn tốn Cauchy có dạng sau: = (t , y ) y  y ' f= ,  = = y (0) e  tương ứng với nghiệm giải tích: y (t ) = et (26) (27) Chúng tiến hành khảo sát toán (26) đoạn t ∈ [ 0; 2] với số bước nhảy 10, sau so sánh với nghiệm giải tích (27) Kết khảo sát trình bày bảng 63 Bảng So sánh nghiệm giải tích với nghiệm giải số phương pháp gần tn Euler cải tiến Runge-Kutta Adams-Bashforth bậc Nghiệm giải bậc bốn ( yn ) bốn ( yn ) tích ( y ) 0.0 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.2 1.210000 1.221400 1.221400 1.221403 0.4 1.464100 1.491818 1.491818 1.491825 0.6 1.771561 1.822106 1.822106 1.822119 0.8 2.143589 2.225521 2.225360 2.225541 1.0 2.593743 2.718251 2.717820 2.718282 1.2 3.138429 3.320072 3.319281 3.320117 1.4 3.797500 4.055136 4.053852 4.055200 1.6 4.594974 4.952943 4.950980 4.953032 1.8 5.559918 6.049524 6.046644 6.049647 2.0 6.727501 7.388889 7.384782 7.389056 Kết cho thấy, phương pháp khảo sát, phương pháp Runge-Kutta Adams-Bashforth bậc bốn cho kết gần với nghiệm giải tích Tuy nhiên, thực tế, đa số tốn mơ liên quan đến việc giải số phương trình vi phân nay, cộng đồng khoa học sử dụng phương pháp Runge-Kutta chủ yếu Nguyên nhân việc lập trình tính tốn phương pháp Runge-Kutta đơn giản không cần nhiều tài nguyên tính tốn Ngồi ra, số ngơn ngữ lập trình trang bị thư viện liên quan đến việc giải phương trình vi phân mà người dùng có 64 thể kế thừa để sử dụng tùy chỉnh cho phù hợp với mục đích định Do đó, phương pháp Runge-Kutta dễ sử dụng có nhiều nguồn tài ngun để kiểm chứng Chính vậy, thuật tốn Runge-Kutta sử dụng suốt q trình mơ phỏng, tính tốn chúng tơi II Kiểm chứng tính đắn thuật tốn Runge-Kutta thơng qua toán dao động tắt dần Định nghĩa dao động tắt dần Dao động tắt dần dao động có biên độ lượng giảm dần theo thời gian Nguyên nhân gây nên tắt dần vật phần tử môi trường tác dụng lực cản lên vật (lực ma sát nhớt) vật dao động môi trường Lực ma sát nhớt làm cho vật dao động giảm dần chuyển thành nhiệt Nghiệm xác tốn Xét lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m gắn vào đầu lị xo có độ cứng k, đầu cố định Giả thiết lắc lị xo nằm ngang có hệ số ma sát trượt µ Hệ số ma sát phụ thuộc vào hình dạng, kích thước vật độ nhớt môi trường Lúc vật chịu tác dụng hai lực:  Lực đàn hồi lò xo − kx  Lực ma sát nhớt (lực cản) môi trường, lực tỉ lệ với vận tốc ngược chiều chuyển động − µ v Áp dụng định luật II Newton cho hệ, ta được: F= − kx − mm v= ma ⇔ −kx − x ' = mx '' m k ⇒ x ''+ x '+ x = m m m  2β =  m  Đặt  thay vào phương trình trên: ω = k  m  (28) 65 x ''+ β x '+ ω0 x = (29) Phương trình vi phân (29) xem phương trình chuyển động vật với tần m k hệ số tắt dần β = m 2m số dao động ω0 = Tiếp theo, ta xét toán dao động tắt dần trường hợp ma sát nhỏ với điều kiện ban đầu sau: m =  = m 0.1   k = x =   v0 = Khi ta dễ dàng tìm nghiệm phương trình (29): ( = x e − β t C1 cos ( ) β − ω0 t + C2 sin ( )) β − ω0 t , (30) ( x' = v= − β e − β t C1 cos +e −βt ( −C ( β − ω0 sin ) β − ω0 t + C2 sin ( ( β − ω0 t ) )) β − ω0 t + C2 β − ω0 cos 2 2 ( )) (31) β − ω0 t 2  x0 = ta tính được: v0 = Sử dụng điều kiện ban đầu:  C1 =  5β C2 =  β − ω0  Từ ta thu nghiệm phương trình dao động tắt dần vật trường hợp là:  = x e− β t  5cos  ( ) β − ω0 t + sin 399 ( )  β − ω0 t   (32) 66 Phương trình (32) nghiệm giải tích xác tốn với thơng số ban đầu cho phía Kiểm chứng tính đắn thuật tốn Trong phần này, chúng tơi tiến hành kiểm chứng tính đắn thuật tốn Runge-Kutta thơng qua tốn dao động tắt dần với nghiệm xác định cơng thức (32) Hình biểu diễn so sánh theo tọa độ (hình 1a) vận tốc (hình 1b) phương pháp giải số so với nghiệm giải tích Kết cho thấy, kết giải số giải tích hồn tồn trùng khớp Hình Đồ thị dao động tắt dần kiểm chứng tương đương thuật toán Runge-Kutta phương pháp giải tích ứng với tọa độ (a) vận tốc (b) Kết đánh giá sai số theo công thức ε = xa − xn , với xa tọa độ theo giải xa tích, xn tọa độ theo giải số biểu diễn hình Kết cho thấy sai số phương pháp Runge-Kutta so với nghiệm giải tích nhỏ (chưa tới 3% với bước nhảy 100) Từ cho thấy phương pháp Runge-Kutta có độ tin cậy cao dùng để tính tốn giải tốn vi mơ 67 Hình Đồ thị biểu diễn sai số tỉ đối thuật toán Runge-Kutta phương pháp giải tích với số bước nhảy 100 ... phối ion hóa hai lần không liên tiếp nguyên tử heli argon Do đó, chúng tơi chọn đề tài “Q TRÌNH ION HĨA HAI LẦN KHƠNG LIÊN TIẾP CỦA NGUN TỬ HELI VÀ ARGON DƯỚI TÁC DỤNG CỦA XUNG LASER PHÂN CỰC THẲNG”... 13 1.1.4 Quá trình ion hóa hai lần 14 1.2 Q trình ion hóa hai lần 14 1.2.1 Q trình ion hóa hai lần liên tiếp 16 1.2.2 Q trình ion hóa hai lần khơng liên tiếp ... mẽ hai electron ion hóa SDI Trong nội dung luận văn này, với dạng laser phân cực thẳng cường độ sử dụng trình ion hóa hai lần bị chiếm ưu trình ion hóa hai lần khơng liên tiếp Q trình ion hóa hai