? Bộ giáo dục đào tạo Trờng Đại học s phạm Thành phố Hồ Chí Minh Phạm Thị Hoa Tiên Tích phân Volkenborn Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mà số: 60.46.05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS TS Mỵ Vinh Quang Tp Hồ Chí Minh - 2010 lời cảm ơn Luận văn đợc hoàn thành dới hớng dẫn nghiêm khắc đầy trách nhiệm PGS TS Mỵ Vinh Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến với PGS TS Mỵ Vinh Quang Tác giả xin chân thành đợc tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô giáo đà giảng dạy lớp Cao học Toán Khóa 18 Trờng ĐHSP Tp Hồ Chí Minh giảng dạy tận tình quan tâm, động viên, khích lệ tác giả suốt trình học tập thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến BGH Trờng ĐHSP Tp Hồ Chí Minh, Phòng Khoa học Công nghệ - Sau Đại học Trờng ĐHSP Tp Hồ Chí Minh đà tạo điều kiện để tác giả hoàn thành công việc học tập, nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn lÃnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo Đắk Lắk; Ban Giám hiệu, quý thầy cô Trờng THPT Krông Ana, Đắk Lắk đà tạo điều kiện sở vật chất, thời gian thờng xuyên động viên tác giả học tập Trong trình học tập tác giả nhận đợc động viên, khích lệ bạn học viên lớp thạc sĩ khóa 18 chuyên ngành Đại số lý thuyết số Đại học s phạm Tp Hồ Chí Minh nh tất bạn bè thân hữu Tác giả xin chân thành cám ơn Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến Ba Mẹ, Em, Bà nội, Ông Bà ngoại, Bác, Chú Thím, Cậu Mợ, Anh Chị cổ vũ, động viên để tác giả an tâm học tập nghiên cứu Đặc biệt, luận văn hoàn thành sau trình miệt mài học tập nghiên cứu thiếu cảm thông sâu sắc, khích lệ tinh thần thờng xuyên Chồng, Con tác giả Tác gi¶ i Danh mơc kÝ hiƯu N = {0, 1, 2, 3, } N∗ = {1, 2, 3, } Z = {0, 1, 2, } Q: trờng số hữu tØ Qp : tr−êng c¸c sè p−adic Zp = {x Qp : |x|p 1}: vành số nguyên p−adic Tp = Zp \ pZp = {x ∈ Zp : |x|p = 1} B0 , B1 , , Bn : c¸c sè Bernoulli B0 (x), B1 (x), , Bn (x): ®a thøc Bernoulli n exp t = et , víi e = lim + n1 n→∞ expp t: hµm mị p−adic logp t: hµm logarit p−adic x(x − 1) (x − n + 1) , nÕu n = x := n! n 1, nÕu n = víi n ∈ N, x ∈ K, K trờng giá trị phi Archimede đầy ®đ chøa Qp nh− tr−êng ii Mơc lơc Trang phụ bìa i Lời cảm ơn i Danh mục kí hiƯu ii Mơc lơc mở đầu Ch−¬ng KiÕn thøc c¬ b¶n 1.1 1.2 1.3 Chơng Các khái niệm Tr−êng c¸c sè p-adic Mét sè kh¸i niệm, kết giải tích siêu mêtric X©y dùng tÝch ph©n Volkenborn 16 2.1 2.2 2.3 2.4 Chơng Tổng bất định Định nghĩa số kết tích phân Volkenborn Tích phân Volkenborn số hàm đơn giản Tích phân tập Mét sè øng dơng cđa tÝch ph©n Volkenborn 16 21 33 35 38 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Giíi thiƯu vỊ sè Bernoulli đa thức Bernoulli 38 Xây dựng số Bernoulli tích ph©n Volkenborn 40 Dïng tÝch ph©n Volkenborn để chứng minh số tính chất sè Bernoulli 42 Chứng minh định lý von Staudt - Clausen theo lý thuyÕt sè 43 Chøng minh định lý von Staudt - Clausen giải tích padic 47 Định nghĩa đa thức Bernoulli tích phân Volkenborn 53 KÕt luËn 56 Tài liệu tham khảo 57 Mở đầu Các số padic đợc Kurt Hensel mô tả năm 1897, trăm năm qua chúng dần thâm nhập vào lĩnh vực khác toán học nh lý thuyết số, hình học đại số, tôpô đại số, giải tích vật lý, đặc biệt vật lý lợng tử Vào năm 40 kỉ XX, giải tích padic phát triển mạnh mẽ thành chuyên ngành độc lập nhờ việc phát mối liên hệ sâu sắc giải tích padic với vấn đề lớn số học hình học đại số Trong giải tích padic có nhiều tơng tự padic khác khái nhiệm tích phân, chẳng hạn nh khái niệm tơng tự p−adic cđa tÝch ph©n Riemann, tÝch ph©n Stieltjes, tÝch ph©n Shnirelman (tơng tự padic tích phân đờng) Bên cạnh đó, tích phân Volkenborn tích phân đặc biệt, có giải tích padic không tơng tự padic tích phân đà biết Hơn nữa, tích phân Volkenborn có nhiỊu øng dơng nghiªn cøu lý thut sè Bëi lý đó, chọn đề tài nghiên cứu "Tích phân Volkenborn" Trong luận văn này, giới thiệu cách đầy đủ chi tiết cách xây dựng, tính chất tích phân Volkenborn, đồng thời giới thiệu số áp dụng lý thú nó, qua làm rõ ý nghĩa vai trò tích phân Volkenborn giải tích padic lý thuyết số Cụ thể nh sau Chơng Kiến thức bản: trình bày số kiến thức số padic, giải tích padic, khai triển Mahler hàm liên tục cần dùng cho chơng sau Chơng Xây dựng tích phân Volkenborn: giới thiệu khái niệm tổng bất định hàm số liên tục, tính tổng bất định số hàm liên tục Zp thờng gặp sau xây dựng tích phân Volkenborn hàm số liên tục Zp nh đạo hàm tổng bất định hàm số Chơng nghiên cứu số tính chất tích phân Volkenborn, chủ yếu hàm số khả vi liên tục Zp đồng thời tính toán tích phân Volkenborn cho số lớp hàm quan trọng giải tích padic Cuối chơng giới thiệu khái niệm tích phân tập Zp Chơng X©y dùng mét sè øng dơng cđa tÝch ph©n Volkenborn: chơng ứng dụng tích phân Volkenborn để xây dựng nghiên cứu số tính chất quan trọng số Bernoulli - số có vai trò quan trọng lý thuyết số - đặc biệt đồng d thức tiếng von Staudt Clausen Song song víi viƯc chøng minh b»ng kü tht padic, giới thiệu cách chứng minh đồng d thức cách sử dụng kỹ thuật lý thuyết số để tiện đối chiếu Cuối chơng, giới thiệu cách xây dựng đa thức Bernoulli tích phân Volkenborn Mặc dù thân tác giả đà cố gắng nhng trình độ thời gian hạn chế nên luận văn thiếu sót Kính mong quý thầy, cô quý độc giả góp ý để luận văn đợc hoàn thiện Chơng Kiến thức 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Hàm giá trị (valuation) Cho K trờng Một hàm giá trị K (còn gọi chuẩn trờng K) ánh xạ || : K R thỏa mÃn (i) ∀x ∈ K, |x| ≥ 0, |x| = nÕu vµ chØ nÕu x = (ii) |x + y| ≤ |x| + |y|, ∀x, y ∈ K (iii) |xy| = |x||y| Cặp (K, ||) gọi trờng giá trị Ví dụ 1.1.2 Hàm lấy giá trị tuyệt đối trờng số thực R hàm giá trị Hàm lấy môđun trờng số phức C hàm giá trị Trên trờng K bất kì, hàm || đợc định nghĩa |x| := nÕu x = 0, 1, nÕu x = hàm giá trị, gọi hàm giá trị tầm thờng Mệnh đề 1.1.3 Kí hiệu 1K phần tử đơn vị trờng giá trị (K, ||) Ta cã |1K | = | − x| = |x|, x ∈ K |x−1 | = |x|−1 , x ∈ K, x = |x − y| ≥ ||x| − |y||; x, y ∈ K Giả sử (K, ||) trờng giá trị ánh xạ d : K ì K R cho d(x, y) = |x − y| lµ mét metric, gäi metric cảm sinh || K, metric cảm sinh tôpô K, gọi tôpô cảm sinh || K với tôpô cảm sinh trở thành trờng tôpô, nghĩa phép cộng phép nhân hai phần tử K ánh xạ liên tục Hai hàm giá trị K gọi hai hàm giá trị tơng đơng chúng cảm sinh tôpô K Trong định nghĩa hàm giá trị (1.1.1) trên, thay điều kiện (ii) bëi ®iỊu kiƯn (ii ): |x + y| ≤ max{|x|, |y|} (K, ||) gọi trờng giá trị phi Archimede, (ii ) gọi bất đẳng thức tam giác mạnh Khi mêtric cảm sinh hàm giá trị phi Archimede gọi siêu mêtric Mọi trờng K với hàm giá trị tầm thờng trờng giá trị phi Archimede Trong luận văn nghiên cứu trờng giá trị K phi Archimede Ví dụ 1.1.4 Lấy > 1, với f R[X], đặt |f | := 0, d(f ) , nếuf = nÕu f = ®ã d(f ) bậc f Với s R(X), đặt |s| := |f ||g|−1 , (s = f g −1 ; f, g ∈ R[X], g = 0) Th× (R(X), ||) trờng giá trị phi Archimede Ví dụ 1.1.5 Lấy p số nguyên tố, với n Z ta định nghĩa ordp n số i ∈ N cho pi chia hÕt n vµ pi+1 kh«ng chia hÕt n Víi x ∈ Q, x = a , a, b Z b ta định nghĩa ordp x=ordp a-ordp b Khi ||p đợc định nghÜa |x|p := p−ordp x , 0, nÕu x = x = hàm giá trị phi Archimede Q Mệnh đề 1.1.6 (Nguyên lý tam giác cân) Cho || hàm giá trị phi Archimede trªn tr−êng K Víi mäi x, y ∈ K, nÕu |x| = |y| th× |x + y| = max{|x|, |y|} Mệnh đề 1.1.7 (Mọi hàm giá trị Q) Mọi hàm giá trị không tầm thờng Q tơng đơng với ||p với p số nguyên tố hàm giá trị tuyệt đối Định nghĩa 1.1.8 Trờng thặng d Giả sử (K, ||) trờng giá trị phi Archimede Kí hiệu B(0; 1) = {x ∈ K||x| ≤ 1} B − (0; 1) = {x ∈ K||x| < 1} Khi ®ã k = B(0; 1)/B − (0; 1) lµ mét tr−êng, gäi trờng thặng d K Định nghĩa 1.1.9 Số p−nguyªn Cho sè nguyªn tè p Mét sè b ∈ Q đợc gọi pnguyên b = m k , (m, k) = p k Định nghĩa 1.1.10 §ång d− modulo n Cho n ∈ N∗ ; m, k Q m gọi đồng d với k theo modudlo n nÕu n | (m − k), kÝ hiƯu m ≡ k(mod n) 1.2 Tr−êng c¸c số p-adic Bao đủ (completion) Q theo hàm giá trị tuyệt đối trờng số thực R Bao đủ cđa Q theo ||p lµ tr−êng Qp , gäi lµ trờng số p-adic Ta kí hiệu ||p mở rộng ||p Qp Cụ thể nh sau Kí hiệu S tập tất dÃy số hữu tỉ Cauchy theo ||p Trên S xác định quan hệ tơng đơng : {xn } {yn } ⇔ lim (xn − yn ) = n Phần tử Qp lớp tơng đơng theo quan hệ với phép cộng nhân Qp đợc định nghĩa bởi: {xn } + {yn } = {xn + yn } {xn }.{yn } = {xn yn } Q đợc xem trờng Qp nhờ ánh xạ nhúng a Q thành {a} Víi α ∈ Qp ⇒ α = {an }, giá trị đợc xác định ||p = lim |an |p n→∞ Nh− sÏ thÊy ë mƯnh ®Ị (1.3.6), nÕu α = th× cã N ∈ N cho víi n > N th× |α|p = |an |p Bao đóng đại số Qp Qp không đầy đủ Bao đủ Qp đầy đủ đóng đại số, kí hiệu Cp Định nghĩa 1.2.1 Số nguyên padic Một số x Qp gọi số nguyên p-adic nÕu |x|p ≤ Ta kÝ hiÖu Zp = {x ∈ Qp , |x|p ≤ 1} MƯnh ®Ị 1.2.2 i) Zp lµ vµnh cđa Qp mµ chøa Z thực ii) Qp trờng thơng Zp iii) N trï mËt Zp Trong (3.3), thay k bëi m − k ta cã m (m + 1)Sm (n) = k=0 m+1 Bm−k nk+1 m−k V× m+1 m−k = m+1 m! m+1 m (m + 1)! = = (k + 1)!(m − k)! k + k!(m − k)! k+1 k nªn m Sm (n) = k=0 m nk+1 Bm−k k+1 k nm+1 m n2 = Bm n + Bm−1 + + m+1 (3.7) (3.8) Mệnh đề 3.4.2 Cho p số nguyên tố số nguyên m 1.Khi pBm p-nguyên m chẵn pBm ≡ Sm (p)(mod p) (3.9) Chøng minh Ta ®· chøng minh ý thứ định lý (3.3.3) sử dụng tích phân Volkenborn, trình bày chứng minh khác quy nạp với số Bernoulli đợc định nghÜa lý thuyÕt sè −p −1 ta cã pB1 = pnguyên với số nguyên tố p Với B1 = 2 Gi¶ sư m > 1, k = 1, 2, , m − ta cã pBm−k p-nguyên Trong (3.8), thay n = p ta có pm+1 m p2 Sm (p) = pBm + Bm−1 + + m+1 m p2 pm+1 ⇔ pBm = Sm (p) − Bm−1 − − m+1 m p pm ⇔ pBm = Sm (p) − pBm−1 − − pB0 m+1 (3.10) (3.11) (3.12) m pk Z, pnguyên k + ≤ pk víi mäi k k+1 sè nguyªn tè p theo giả thiết quy nạp với k 1, pBmk pnguyên Ta thấy Sm (p) Z, 45 nên từ (3.12) ta có pBm pnguyên §Ĩ chøng minh ®ång d− thøc (3.9), ta chøng minh điều kiện đủ m pk pBmk 0( mod p), k ≥ k k+1 ThËt vËy, víi k ≥ 2, v× k + < 2k ≤ pk nªn m pk pBm−k ≡ 0( mod p) k k+1 Với k = 1, m chẵn nên pk ≡ 0( mod p) suy k+1 m (pBm−1 )p ≡ 0( mod p) Nh− vËy, ∀k ∈ N∗ , m k k p pBm−k k+1 ≡ 0( mod p) nên từ (3.12) ta có (3.9) Bổ đề 3.4.3 Cho p số nguyên tố, ta có Sm (p) ≡ 0( mod p), −1( mod p), nÕu p − m nÕu p − | m Chøng minh Lấy g nguyên thủy (primitive root) modulo p, nghĩa g phần tử sinh nhóm nhân xiclic cấp p số nguyên modulo p (Z/pZ) Khi {1, 2, , p − 1} vµ {1, g, g , , g p2 } tập đại diện đầy đủ cđa (Z/pZ)∗ nªn Sm (p) =1m + 2m + + (p − 1)m ≡1m + g m + + g (p−2)m ( mod p) (3.13) NÕu p − | m th× 1m ≡ g m ≡ ≡ g (p−2)m ≡ 1(mod p) nªn Sm (p) ≡ p − ≡ −1(mod p) NÕu p − m th× g m ≡ 1(mod p) Tõ (3.13) ta cã (g m − 1)Sm (p) ≡ g m(p−1) − ≡ 0(mod p) Do ®ã Sm (p) ≡ 0(mod p) v× g m ≡ 1(mod p) 46 Chøng minh định lý von Staudt - Clausen Giả sử n chẵn, p số nguyên tố theo mệnh đề (3.4.2), pBn pnguyên pBn Sn (p)(mod p) Khi ®ã theo bỉ ®Ị (3.4.3), nÕu p − n Bn p-nguyên p | n pBn 1(mod p) Đặt An = Bn + , ta sÏ chøng minh An lµ p-nguyªn víi mäi sè nguyªn p−1|n p tè p ThËt vậy, giả sử q số nguyên tố q n Bn q-nguyên tổng không lấy q nên q-nguyên, An q-nguyên p1|n p Ngợc lại, số nguyên tố q mà q | n qBn 1(mod q) hay qBn + ∈Z q Do ®ã An = Bn + = + q qBn + + q ≡ p−1|n,p=q HiĨn nhiªn p−1|n,p=q p−1|n,p=q p p1|n,p=q p (mod Z) p q-nguyên nên An q-nguyên p Nh vậy, An p-nguyên víi mäi sè nguyªn tè p nªn An ∈ Z hay Bn + ∈ Z p−1|n p 3.5 Chøng minh định lý von Staudt - Clausen giải tích padic Tiếp theo ta chứng minh định lý von Staudt - Clausen b»ng c¸ch sư dơng c¸c kÜ tht giải tích p-adic Trớc hết ta có bổ ®Ị sau 47 Bỉ ®Ị 3.5.1 Víi k ∈ N∗ , n N, đặt R0 (k) = với mäi k, Rn (k) := n + 1n + + (pk − 1)n , n > k p th× ta cã lim Rn (k) = Bn vµ k→∞ n n Rn−s (k)Rs (1)pks s Rn (k + 1) Rn (k) = s=1 Chứng minh Đặt f (x) = xn , ta thÊy xn dx = Bn lim Rn (k) = (Sf ) (0) = k→∞ Zp Ta cã Rn (k + 1) = pk+1 pk+1 zn s=0 Chia z cho pk đợc thơng j vµ sè d− i, ta viÕt z = i + jpk vµ Rn (k + 1) = = pk+1 pk+1 n = s=0 n = s=0 pk −1 p−1 (i + jpk )n i=0 j=0 pk −1 p−1 n n n−s k s i (jp ) s i=0 j=0 s=0 pk −1 p−1 n 1 in−s j s pks k p i=0 p j=0 s n Rn−s (k)Rs (1)pks s n n Rn−s (k)Rs (1)pks s = Rn (k) + s=1 n Tõ ®ã ta rót ®−ỵc Rn (k + 1) − Rn (k) = s=1 48 n s Rn−s (k)Rs (1)pks (3.14) Bổ đề 3.5.2 Với số nguyên tố p = 2, n ∈ N∗ ta cã n (0 + 1n + + (p − 1)n ) |p p Công thức p = víi n ∈ N∗ , n ch½n | Bn − Chøng minh Ta cÇn chøng minh | Bn Rn (1) |p với Rn (k) đợc xác định nh bổ đề (3.5.1) Trớc hết ta cã (p − 1)p p − R1 (1) = (0 + + + + (p − 1)) = = p 2p • Víi s ∈ {2, 3, } ta cã: n Rn−s (k)Rs (1)pks = s n k p Rn−s (k)pRs (1)pks−k−1 ∈ Z (3.15) s pt −1 v× víi s > 1, p ks−k−1 =p k(s−1)−1 t ij ∈ Z ∈ Z, p Rj (t) = i=0 ã Với s = p lỴ: p−1 ∈ Z, pk Rn−1 (k) ∈ Z, ta đợc n p1 Rn1 (k)R1 (1)pk = npk Rn−1 (k) ∈Z (3.16) • Víi s = 1, p = 2, n ch½n: R1 (1) = 21 , n2 ∈ Z, Rn−1 (k)2k ∈ Z ta cã n n Rn−1 (k)R1 (1)2k = Rn−1 (k)2k ∈ Z (3.16 ) Nh− vËy, tõ (3.15), (3.16) vµ ((3.16) ) ta thấy với hai trờng hợp p lẻ p = 2, n chẵn ta có n Rn (k + 1) − Rn (k) = s=1 n Rn−s (k)Rs (1)pks ∈ Z s Tõ ®ã suy n | Rn (k + 1) − Rn (k) |p =| s=1 n Rn−s (k)Rs (1)pks |p ≤ 1, (k ∈ N∗ ) s 49 Ta còng cã | Rn (k+2)−Rn (k) |p =| (Rn (k + 2) − Rn (k + 1))+(Rn (k + 1) − Rn (k)) |p ≤ max {| Rn (k + 2) − Rn (k + 1) |p , | Rn (k + 1) − Rn (k) |p } ≤ Suy víi k > m, (k, m ∈ N) | Rn (k) − Rn (m) |p ≤ Cho k → ∞ lấy m = ta đợc | Bn Rn (1) |p Vậy bổ đề đợc chứng minh xong Chứng minh định lý von Staudt - Clausen Gọi , , , p1 bậc p đơn vị Qp (mệnh đề 1.3.23) Khi hai tập {0, 1, , p 1} {0, , , , p1 } tập đại diện đầy đủ Zp /pZp Do ®ã, víi n ∈ N∗ : 0n + 1n + + (p − 1)n ≡ θn + θ2n + + θ(p−1)n (mod pZp ) Ta cã θp = θ nªn θn − = θnp − p−1 θnj n = (θ − 1) = (θn − 1)(θ j=0 n(p−1) + θn(p−2) + + θn + 1) Suy p−1 n (θ − 1) p−1 θ nj −1 n θnj = (θ − 1) j=0 =0 j=1 p−1 n θnj = Do ®ã nÕu n không chia hết cho p = nªn n NÕu n chia hÕt cho p − th× θ = 1, θ 2n = 1, , θ p−1 θnj = p − j=1 50 j=1 (p−1)n = dÉn tíi (3.17) Tõ (3.17) ta cã (0n + 1n + + (p − 1)n ) − θn + θ2n + + θ(p−1)n = xp, x ∈ Zp Nh− vËy p−1 θnj = nên ã Nếu n không chia hết cho p th× v× j=1 (0n + 1n + + (p − 1)n ) − (θn + θ2n + + θ(p−1)n ) x = p n = (0 + 1n + + (p − 1)n ) ∈ Zp p p1 nj = p nên ã NÕu n chia hÕt cho p − th× j=1 (0n + 1n + + (p − 1)n ) − (θn + θ2n + + θ(p−1)n ) x = p n n n p−1 + + + (p − 1) − = p p n n n + + + (p − 1) = + − ∈ Zp p p ⇒ 0n + 1n + + (p − 1)n + = y ∈ Zp p p Theo bæ ®Ò (3.5.2) n (0 + 1n + + (p − 1)n ) |p ≤ p NÕu n chẵn, n không chia hết cho p ta cã | Bn − | Bn − x |p ≤ 1, (x ∈ Zp ) suy | Bn |p ≤ NÕu n ch½n, n chia hÕt cho p − th× | Bn + − y |p ≤ 1, (y ∈ Zp ) p 51 suy | Bn + p1 |p Xét số nguyên tố q, ta có ã Nếu n không chia hÕt cho q − th× | Bn |q với số nguyên tố p mà p − | n (khi ®ã p = q), | p1 |q = nªn | Bn + p−1|n |q ≤ max{| Bn |q , 1} ≤ p • NÕu n chia hÕt cho q − th× | Bn + 1q |q ≤ suy víi mäi sè nguyªn tè p, ta cã | Bn + p−1|n 1 |q =| Bn + + p q p−1|n,p=q 1 |q ≤ max{| Bn + |q , 1} ≤ p q Tãm l¹i, ta cã với số nguyên tố q 1 | Bn + p |q ≤ hay Bn + p ∈ Zq víi mäi q nguyªn tè p−1|n p−1|n Nh− vËy, Bn + p−1|n p = m ∈ (Zq ∩ Q), (m, k) = víi mäi sè nguyªn tè q k Nghĩa là, với số nguyên tố q k không chia hết cho q (vì | m |q ≤ 1) nªn k ∈ {1, −1} hay k Bn + p−1|n ∈Z p TiÕp theo, ta dùng tích phân Volkenborn để định nghĩa đa thức Bernoulli đợc tơng đơng với định nghĩa đà biết 52 3.6 Định nghĩa đa thức Bernoulli tích phân Volkenborn Định nghĩa 3.6.1 Đa thức Bernoulli Đa thức Bernoulli Bn (x) đợc cho công thức (x + t)n dt, (n ∈ N, x ∈ Zp ) Bn (x) := Zp Ta có định nghĩa quen thc cđa ®a thøc Bernoulli lý thut sè nh− đà giới thiệu đầu chơng qua mệnh đề sau MƯnh ®Ị 3.6.2 Víi x ∈ Zp , α ∈ E, α = 0, ta cã ∞ αn Bn (x) n! n=0 α expp (αx) = expp α − Chøng minh Ta cã expp (α(x + t))dt = Zp expp (αx) expp (αt)dt = expp (αx) Zp expp (αt)dt Zp ¸p dơng vÝ dơ (2.3.2) expp (α(x + t))dt = α expp (αx) expp α − (3.18) Zp n (x + t)n nên n! n=0 Mặt khác, expp (α(x + t)) = ∞ expp (α(x + t))dt = Zp n=0 ∞ αn n! n (x + t) dt = n=0 Zp VËy tõ (3.18) vµ (3.19) ta cã α expp (αx) = expp α − 53 Bn (x) ∞ αn Bn (x) n! n=0 αn n! (3.19) Mệnh đề sau mối liên hệ đa thức Bernoulli số Bernoulli Mệnh đề 3.6.3 Víi x ∈ Zp , ta cã n (i) Bn (x) = j=0 n j xn−j Bj (ii) 0, nÕu n = 0, nxn−1 , nÕu n ∈ N∗ Bn (x + 1) − Bn (x) = Chøng minh Ta cã n n Bn (x) = (t + x) dt = Zp n = j=0 n = j=0 Zp j=0 n n−j x j n n−j j x t dt j tj dt Zp n n−j x Bj j VËy ta cã (i) Víi (ii) ta thÊy NÕu n = th× B0 (x + 1) = B0 (x) = nªn Bn (x + 1) − Bn (x) = Nếu n > đặt f (t) = tn , ¸p dơng (2.10) ta cã Bn (x + 1) − Bn (x) = f (t + x)dt = f (x) = nxn−1 f (t + x + 1)dt Zp Zp Một hàm padic có liên quan đến đa thức Bernoulli tổng bất định "hàm lũy thừa" 54 Mệnh đề 3.6.4 Xét hàm số f (x) = xn , x ∈ Zp Tæng bất định f hàm số x (Bn+1 (x) − Bn+1 (0)) n+1 xn+1 Chøng minh Mét nguyên hàm f P f với P f (x) = n+1 Theo (2.12), ta cã P f (t + x)dt − Sf (x) = Zp P f (t)dt Zp n+1 (t + x) n+1 = Zp = tn+1 dt n+1 dt − Zp 1 Bn+1 (x) − Bn+1 n+1 n+1 Víi Bn+1 (0) = Bn+1 , ta có điều phải chứng minh 55 Kết luận Tóm lại, luận văn đà làm đợc số vấn đề sau đây: - Xây dựng định nghĩa, nêu chứng minh tính chất tích phân Volkenborn - Định nghĩa tích phân tập mở, compact Zp Nêu chứng minh vài tính chất tích phân tập đặc biệt Zp - Tính toán đợc tích phân Volkenborn số hàm quan trọng giải tích padic - Đặc biệt, đà tìm số ví dụ cụ thể minh họa cho hàm khả tích nhng không khả vi liên tục, hàm liên tục nhng không khả tích - Đa số ứng dụng tích phân Volkenborn: dùng tích phân Volkenborn để định nghĩa số Bernoulli đa thức Bernoulli, mối quan hệ số Bernoulli đa thức Bernoulli theo cách định nghĩa nµy; chøng minh mét sè tÝnh chÊt quan träng cđa số Bernoulli mà quan trọng đồng d thøc von Staudt - Clausen VỊ øng dơng cđa tÝch phân Volkenborn giải tích padic lý thuyết số nhiều toán mở Nếu có điều kiện cho phép trở lại với vấn đề lần 56 Tài Liệu Tham Kh¶o Andrew Baker (2009), An introduction to p−adic number and p−adic analysis, Scotland Arnt Volkenborn (1974), On generalized p−adic integration, France Fernando Rodriguez Villegas (2006), The congruences of Clausen von Staudt and Kummer for half - intergral weight Eisenstein series, Princeton, USA, 2006 G H Hardy, E M Wright (1975), An introduction to the theory of numbers, Oxford university press Hu, D C and Yang, C.C (2000), Value distribution theory of p−adic meromorphic functions, Hong Kong K Mahler (1973), Introduction to p−adic numbers and their function, Cambridge university press Neal Koblitz (1996), p−adic Numbers, p−adic Analysis, and Zeta Functions, Springer N Koblitz (1980), p−adic analysis: a short course on recent work, Cambridge university press Serge Lang (1994), Algebraic number theory, Springer 57 10 Svetlanta Katok (2001), Real and p−adic analysis course notes for math 497C MASS program, USA 11 W H Schikhof (1984), Ultrametric calculus, Cambridge University Press 58 Danh môc tõ khãa C n (X → K), 12 X n , 14 x n , 14 γn , 15 Cp , Qp , Zp , p−nguyªn, chn, d·y néi suy, 13 giíi h¹n p−adic, hàm giải tích, 11 hàm giá trị tơng đơng, hàm liên tục, hàm logarit padic, 11 hàm mị p−adic, 11 hƯ sè Mahler, 15 hƯ sè Mahler tổng bất định, 20 nguyên lý tam giác cân, phần tử dơng, K + , 10 số Bernoulli theo lý thuyÕt sè, 38 sè Bernoulli p-adic, 40 tr−êng thỈng d−, tr−êng thỈng d− cđa Qp , tËp låi, 10 tÝch ph©n Volkenborn, 21 tÝnh chÊt số học số Bernoulli, 39 tổng bất định, 16 ®a thøc Bernoulli theo lý thuyÕt sè, 38 ®a thøc Bernoulli p-adic, 53 đạo hàm, nguyên hàm, 10 định lý von Staudt - Clausen, 43 ®ång d− modulo n trªn Q, khai triĨn p-adic, khai triĨn Mahler, 15 không gian định chuẩn, khả vi liên tục,C , 12 khả vi a, 10 59 ... Trong giải tích padic có nhiều tơng tự padic khác khái nhiệm tích phân, chẳng hạn nh khái niệm tơng tự padic tích phân Riemann, tích phân Stieltjes, tích phân Shnirelman (tơng tự padic tích phân đờng)... tự padic tích phân đờng) Bên cạnh đó, tích phân Volkenborn tích phân đặc biệt, có giải tích padic không tơng tự padic tích phân đà biết Hơn nữa, tích phân Volkenborn có nhiều ứng dụng nghiên cứu... kết giải tích siêu mêtric Xây dựng tích phân Volkenborn 16 2.1 2.2 2.3 2.4 Chơng Tổng bất định Định nghĩa số kết tích phân Volkenborn Tích phân Volkenborn