Mặt phẳng với độ mật

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Thị Thái Hịa MẶT PHẲNG VỚI MẬT ÐỘ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Thị Thái Hịa MẶT PHẲNG VỚI MẬT ÐỘ Chun ngành : Hình học Tơpơ Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Trong luận văn này, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô khoa Anh, khoa Triết khoa Toán- Tin trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh tham gia giảng dạy cung cấp cho tri thức, phương pháp tiếp cận khoa học làm việc hiệu Đặc biệt, tơi cảm nhận tình cảm thầy trị sâu sắc lịng nhiệt thành cơng việc PGS.TS Lê Anh Vũ- người trực tiếp hướng dẫn khoa học, thầy cho tơi gương sáng học tập làm việc.Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tơi xin gửi lời cảm ơn cán phòng Khoa Học Cơng Nghệ & Sau Đại Học, phịng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Trấn Biên- Biên Hoà- Đồng Nai, toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Thưa thầy, có nhiều cố gắng song thân tơi cịn nhiều hạn chế trình độ, kinh nghiệm, thời gian nghiên cứu nên chắn viết khơng tránh khỏi thiếu sót Do tơi kính mong thầy đóng góp cho tơi kiến thức q báu để hồn thiện tốt Một lần chân thành cảm ơn xin trân trọng kính chào Tp Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2009 Tác giả Phan Thị Thái Hoà MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu Danh mục hình MỞ ÐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp với mật độ 1.2 Một số kết hình học Chương 2: ÐƯỜNG CONG TRONG MẶT PHẲNG VỚI MẬT ÐỘ 2.1 Độ cong đường cong mặt phẳng với mật độ 2.2 Mặt phẳng với mật độ r p x 2.3 Mặt phẳng với mật độ e x e 15  y2 , gọi  - phẳng 21 2.4 Định lý bốn đỉnh 29 2.5 Bài toán đẳng chu đường thẳng thực với hàm mật độ 42 Chương 3: ĐƯỜNG CONG VỚI ÐỘCONG HẰNG 3.1 Đường cong có độ cong với mật độ e x y 52 3.2 Hình vẽ minh họa đường có độ cong 59 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 BẢNG TRA CỨU THUẬT NGỮ 66 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa Gm : Không gian Gauss m- chiều Rn : Không gian Euclid n- chiều φ : Hàm mật độ (t) : Đường cong  A : Diện tích theo mật độ V(M) : Thể tích đa tạp ds : Vi phân độ dài đường cong theo mật độ G : Độ cong Gauss Gφ : Độ cong Gauss theo mật độ φ k : Độ cong đường t kφ : φ-độ cong đường cong dP : Chu vi Riemann dPφ : Chu vi Riemann theo mật độ eφ dV : Thể tích Riemann dVφ : Thể tích Riemann theo mật độ eφ r(x) : r ( x)  x12   x n2 , x   n R : Biên miền R  : Miền đẳng chu Vol(  ) : Thể tích  với mật độ f ( x)  e P(  ,U) : Chu vi   : Siêu mặt chứa gốc tọa độ  (v ) : Biến phân thứ DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 2.1 p : Mặt phẳng với mật độ r , p  19 Hình 2.2 : Mặt phẳng với mật độ e 21 Hình 2.3 : Lưới đường trắc địa Hình 2.4 : Đồ thị đường trắc địa  phẳng 24 Hình 2.5 : Đồ thị đường trắc địa  phẳng qua gốc mang x  phẳng 23 hướng dương hội tụ đường thẳng song song với Ox 24 Hình 2.6 : Đồ thị đường  .27 Hình 2.7 : Đồ thị hàm h( p) .29 Hình 2.8 : Đường trịn có hai đỉnh mặt phẳng Gauss 31 Hình 2.9 : Tồn mật độ cầu để đường tròn chứa gốc tọa độ có 2n đỉnh 39 Hình 2.10 : Miền đẳng chu với mật độ e x 46 Hình 2.11 : Miền đẳng chu với mật độ f(x) VD 2.5.10 nửa đường thẳng khoảng bị chặn 48 Hình 2.12 : Khơng tồn miền đẳng chu với mật độ f(x) VD 2.5.12 49 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết hình học Affine, hình học Euclid, hình học xạ ảnh, hình học vi phân xây dựng sở xác định nhóm phép biến đổi thích hợp khơng gian xác định nghiên cứu bất biến qua nhóm phép biến đổi Trong hình học này, phận hình học vi phân cổ điển dành để nghiên cứu tính chất địa phương đường mặt phẳng Euclid thông thường Trong mặt phẳng mật độ xem điểm Vấn đề đặt là, mật độ điểm khơng cịn tính chất hình học độ cong, toán đẳng chu, … thay đổi nào? Đây vấn đề thú vị có nhiều ý nghĩa nội Toán học lẫn thực tiễn Đa tạp với mật độ đa tạp Riemann Mn với hàm mật độ dương e dùng làm trọng số việc đánh giá thể tích, diện tích siêu mặt, độ dài đường…Đa tạp với mật độ xuất nhiều nơi Vật lý Toán học đa tạp Riemann thương không gian Gauss Không  n n gian Gauss G , không gian Euclid với mật độ xác suất Gauss (2 ) e  r2 không gian quan trọng nhà xác suất thống kê Đa tạp với mật độ xứng đáng tập trung nghiên cứu xa kết liên quan đến chuyển động Brown, đặc biệt mặt phẳng xác xuất r Gauss, mặt phẳng R2 với mật độ e 2 dùng để nghiên cứu phương thức đặt giá thị trường chứng khoán nhiều ý nghĩa thực tiễn sâu sắc khác Trong vài năm gần hướng nghiên cứu toán đẳng chu đa tạp với mật độ quan tâm nhiều nhà toán học giới Các kết toán đẳng chu khơng gian với mật độ Gauss có ứng dụng xác suất thống kê Năm 1975 C Borell, chứng minh cách độc lập nửa khơng gian nghiệm tốn đẳng chu không gian Gauss Năm 1982 A Ehrhard đưa chứng minh cách sử dụng phép đối xứng hố Steiner mở rộng cho khơng gian Gauss Năm 2008 C Rosales với cộng chứng minh số kết tính tồn nghiệm miền đẳng chu không gian với độ đo tồn phần vơ hạn đưa giả thuyết sau: Trong R n 1 với mật độ cầu, log-lồi hình cầu tâm gốc toạ độ miền đẳng chu Bài toán tồn miền đẳng chu không gian với mật độ vấn đề thời cịn nhiều vấn đề mở Khơng phải không gian với mật độ miền đẳng chu tồn Có khơng gian chứng minh không tồn miền đẳng chu Xuất phát từ kiện biên miền đẳng chu có độ cong Một tốn liên quan đến độ cong đường cong phẳng định lý bốn đỉnh- định lý toàn cục tiếng hình học vi phân Định lý bốn đỉnh khẳng định rằng: “Mọi đường cong đơn đóng mặt phẳng Euclid có bốn đỉnh” Định lý tưởng chừng đơn giản lại có mệnh đề đảo vừa chứng minh gần Với lý nêu mà luận văn mang tên “Mặt phẳng với mật độ” Mục đích nghiên cứu Từ báo, tạp chí khoa học GS-P.GS nước Frank Morgan, Colin Carroll, Ivan Corwin, M.D Carmo Đoàn Thế Hiếu(Đại Học Sư Phạm Huế) dùng để nghiên cứu độ cong đường, với mật độ khác độ cong thay đổi nào? Từ chúng tơi đề cập, giới thiệu đa tạp với mật độ toán liên quan đến chúng Một định lý có lịch sử lâu đời hình học vi phân “Định lý bốn đỉnh” toán tồn miền đẳng chu không gian với mật độ 3 Đối tượng nội dung nghiên cứu Luận văn nghiên cứu vấn đề sau: - Độ cong đường cong mặt phẳng với mật độ - Định lý bốn đỉnh - Bài toán đẳng chu đường thẳng thực với hàm mật độ p x - Mặt phẳng với mật độ r ; e ; e x2  y - Độ cong đường cong với mật độ e x y Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Mặt phẳng với mật độ liên quan đến kinh tế, đặc biệt mặt phẳng xác suất Gauss dùng để nghiên cứu thị trường chứng khoán Trong vài năm gần hướng nghiên cứu toán đẳng chu đa tạp với mật độ quan tâm nhiều, kết toán đẳng chu khơng gian với mật độ Gauss có ứng dụng xác suất thống kê Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, chương nội dung phần kết luận Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ vấn đề đặt toán nghiên cứu Chương 1: Giới thiệu khái niệm kết sử dụng, xây dựng cho chương sau như: Đa tạp với mật độ, mặt phẳng Gauss, không gian Gauss, đa tạp với mật độ tỏa tròn n-chiều, độ cong, mục tiêu Frenet… Chương 2: Những định lý, toán liên quan đến độ cong mặt phẳng p x với mật độ khác như: r , e , e x y , ex y Chương 3: Liệt kê đường cong có độ cong với mật độ e x  y hình vẽ minh họa cho đường cong Phần kết luận: Đưa nhận xét vấn đề mở tiếp tục nghiên cứu tiếp sau đề tài Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này, chúng tơi trình bày khái niệm đa tạp với mật độ, mặt phẳng Gauss, không gian Gauss, đa tạp với mật độ tỏa tròn n-chiều, độ cong, mục tiêu Frenet…và ứng dụng Toán học, Vật lý Kinh tế Hơn nữa, đưa kết độ cong theo mật độ, mặt phẳng với mật độ khác định lý để làm tảng, xây dựng cho chương sau 1.1 Đa tạp với mật độ Định nghĩa 1.1.1(Xem[2],[11, tr.853],[15, tr.3]) Đa tạp với mật độ đa tạp Riemann Mn với hàm mật độ dương e dùng làm trọng số việc đánh giá thể tích, chu vi, diện tích siêu mặt, độ dài đường Giả sử dV dP phần tử thể tích chu vi Riemann Khi đó, phần tử thể tích chu vi theo mật độ e cho công thức: dV  e  dV dP  e  dP (1.1.1) Ví dụ 1.1.2(Xem[15, tr.3]) a Xét đường cong nửa mặt phẳng đóng Euclid (biên Ox) mặt tròn xoay sinh đường cong quay quanh Ox Khi đó, diện tích mặt tương ứng với độ dài đường cong nửa mặt phẳng với mật độ 2y b Trong Vật lý, đối tượng có mật độ nội khác điểm Do đó, để xác định khối lượng ta phải tính tích phân theo mật độ 53 1  et c1  (  c1 )  1 1 1 t c1 t c1 2 )c x  c1  ln((e  (  c1 ))(e  (  c1 ))  c1 ln( 1 2 2 2 t c1  e  (  c1 )  2  1  et c1  (  c1 )  y  t  c  ln((et c1  (  c ))(et c1  (  c ))  c ln( 2 )c 1 1  1 2 2 2 t c1 e  (  c1 )  2  (c) Các đường sau c =  x      y    t  2c1  ln((e2 2 t  2c1  ln((e2 2 (t c1 ) (t c1 ) e  (c1  2c1 ) )  c1 ln( e e  (c1  2c1 ) )  c1 ln( e 2 (t c1 )  (c1  2c1 ) (t c1 )  (c1  2c1 ) (t c1 )  (c1  2c1 ) (t c1 )  (c1  2c1 ) )  c2 )  c3  e (t c1 )  (c1  2c1 ) 1 2 (t c1 ) )  c2  (c1  2c1 ) )  c1 ln( (t c ) x   t  2c1  ln((e 2 e ( c c )    1  (t c1 ) e  (c1  2c1 ) 1  2 (t c1 ) )  c3  (c1  2c1 ) )  c1 ln( (t c )  y  t  2c1  ln((e e ( c c )   1  CHỨNG MINH Giả sử  (t )  ( x (t ), y (t )) đường cong tham số hoá tự nhiên R2 Khi ta có  x  y     xy   xy   x  y   c Mà k   k  Mặt khác ta có Từ phương trình Hay d d 0k  dn dn    kn  ( c  x   y )(  y ; x ) x  y   suy xx  y y    x  y   y x (3.1.1) 54 Do hệ (3.1.1) tương đương với hệ  x  (c  x  y )( y )   y   (c  x  y ) x  x  y    Đặt x   sin  Khi y    cos  Nên hệ (3.1.1) tương đương với hệ  x  sin    y   cos     cos   sin   c   x  sin    y    cos     cos   sin   c      x  sin    y   cos      (1  c)  (1  c) tan ( 2)  tan( 2)   tan ( 2)   x  sin    y    cos      (1  c)  (1  c) tan ( 2)  tan( 2)  tan ( 2)    x   sin     y   cos   (1  tan ( 2))d dt   (1  c)  (1  c) tan ( 2)  tan( 2)   x  sin    y    cos   (1  tan ( 2))d dt   (1  c)  (1  c) tan ( 2)  tan( 2) 55   x  sin     y   cos   2d (tan( 2))   dt  (1  c)  (1  c) tan ( 2)  tan( 2)   x  sin    y    cos   2d (tan( 2))   dt  (1  c)  (1  c) tan ( 2)  tan( 2) Nếu c = hệ   x  sin     y   cos   d (tan( 2))   dt   tan ( 2)  tan( 2)   x  sin    y    cos   d (tan( 2))   dt 1  tan( 2)   x  sin     y   cos   d (tan( 2))   dt  tan ( 2)  tan( 2)    x  sin     y   cos   ln tan( 2)  t  c1  tan( 2)    x  sin     y   cos   tan( 2)   e t c1  tan( 2)    x  sin    y    cos   d (tan( 2))   dt 1  tan( 2)  x   sin    y    cos  ln tan( 2)   t  c   x   sin    y    cos   t  c1 tan( 2)   e 56   x  sin     y   cos   t  c1 tan( 2)  e   e t c1  x  sin    y    cos   t  c1 tan( 2)  e  tan( 2)    x   tan ( 2)   tan ( 2)    y  tan ( 2)   tan( 2)  e t c1     2e  t  c1 (1  e  t  c1 ) x  (1  e t  c1 )  (e t  c1 )    t  c1 )  (e t  c1 )  y   (1  e  (1  e t  c1 )  (e t  c1 )  2(e t  c1  1)  x  (1  e t  c1 )    t  c1  y   (e  1)    (e t  c1  1) 2 tan( 2)   x    tan ( 2)    tan ( 2)   y   tan ( 2)   e t c1 tan( 2)   e t c1   e t  (1  c1 )e c1 1 c1 c1 t t )  c2  x  t  ln(( e  (1  c1 )e )(e  (1  c1 )e )  c1 ln( t 2 e  (1  c1 )e c1   c1 t  y  ln(( e t  (1  c )e c1 )( e t  (1  c )e c1 )  c ln( e  (1  c1 )e )  c 1  2 e t  (1  c1 )e c1   e t  (1  c1 )e c1 1 c1 c1 t t         x t e c e e c e c ln(( ( ) )( ( ) ) ln( )  c2  1 c1 t 2   e ( c ) e   t  c1  y   c  ln(( e t  c1  (1  c ))( e t  c1  (1  c ))  c ln( e  (1  c1 ) )  c 1  2 e t  c1  (1  c1 )  Nếu c =- hệ tương đương với hệ 57   x  sin     y   cos   d (tan( 2))   dt 1  tan( 2)   x  sin    y    cos   d (tan( 2))   dt  tan( 2)  tan ( 2)    x  sin     y   cos   ln  t  c1   tan( 2)    x  sin    y    cos   ln tan( 2)  t  c1  tan( 2)    x  sin     y   cos   1  tan( 2)  t c e    x  sin    y    cos   tan( 2)   e t c1  tan( 2)   x  sin     y   cos   t c1 tan( 2)   e   x  sin    y    cos   t  c1 tan( 2)  e  e t c1   (1  e  t  c1 )  x   (1  e  t  c1 )     t  c1 )  y    (1  e  t  c   (1  e )2 1  et c1  (  c1 )  1 1 1 t c t c 2 )c x  c1  ln((e  (  c1 ))(e  (  c1 ))  c1 ln( 1 2 2 2  et c1  (  c1 )  2  1  et c1  (  c1 )  y  t  c  ln((et c1  (  c ))(et c1  (  c ))  c ln( 2 )c 1 1  1 2 2 2 t c1   e ( c )  2  58 Nếu c = hệ tương đương với hệ   x  sin     y   cos   2d (tan( 2))   dt 1  tan ( 2)  tan( 2)   x  sin    y    cos   2d (tan( 2))   dt 1  tan ( 2)  tan( 2)   x  sin     y   cos   2d (tan( 2))   dt  (  tan( 2)  1)(  tan( 2)  1)   x  sin    y    cos   2d (tan( 2))   dt  (  tan( 2)  1)(  tan( 2)  1)      x   sin   x  sin      y   cos   y    cos     ln  tan( 2)   t  c  ln  tan( 2)   t  c 1   2  tan( 2)   tan( 2)       x   sin     y   cos     tan( 2)   e   tan( 2)  ( t  c1 )    x   sin    y    cos     tan( 2)   e   tan( 2)  ( t  c1 ) 59     x  sin    y   cos   ( t  c1 )  (  1) tan( 2)  (  1)e ( t  c1 )  1 e     x  sin   y    cos   ( t  c1 )  (1  ) tan( 2)  (  1)e   e (t c1 )  2(1  e (t c1 ) )((  1)e (t c1 )  (1  ))  x  (1  e (t c1 ) )  ((  1)e (t c1 )  (1  ))   (1  e (t c1 ) )  ((  1)   y   3.2 Hình vẽ minh họa đường cong Các đường cong  -độ cong : k    60 Các đường cong  -độ cong : k  2 Các đường cong  -độ cong : k  Các đường cong  -độ cong : k  1 61 Các đường cong  -độ cong : k  Các đường cong  -độ cong : k   62 Các đường cong  -độ cong : k  63 KẾT LUẬN Qua phần trình bày tìm hiểu, giải hệ thống lại số vấn đề hình học vi phân cổ điển đa tạp với mật độ như: Tính độ cong đường gắn hàm mật độ dương e  dùng làm trọng số việc đánh giá thể tích, diện tích siêu mặt, độ dài đường, x x y x hàm mật độ sử dụng chủ yếu e , e , e  y2 , r p Định lý bốn đỉnh định lý đặt trưng cho mặt phẳng Euclid, đồng thời khẳng định tồn mật độ cầu khác mật độ Euclid để định lý bốn đỉnh cho lớp đường cong bất biến qua phép quay quanh gốc tọa độ Hơn dựa vào tính phân loại đầy đủ đường cong có độ cong với x y mật độ e Từ kết trên, cách tự nhiên gợi ý cho hướng mở cần nghiên cứu sau: *Tính độ cong trung bình độ cong Gauss theo mật độ cho mặt không gian R3 Hình cầu tâm O khơng gian Rn với hàm mật độ, có miền đẳng chu *Trong mặt phẳng R2 biết số đỉnh đường cong Vậy mặt phẳng với mật độ, có đường cong có vai trị đường trịn mặt phẳng không? *Trong mặt phẳng R2 với mật độ Gauss, có đường cong đóng , lồi có số đỉnh lẻ không? Với kết đạt được, luận văn giải vấn đề đặt Tuy nhiên luận văn tránh khỏi thiếu sót Hy vọng với thời gian rèn luyện tri thức, tác độc giả quan tâm đến đề tài luận văn tìm nhiều kết đẹp 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đoàn Thế Hiếu (2008), Đa tạp với mật độ, Tạp chí khoa học trường Đại học Sư phạm Huế Trần Lê Nam (2006), Đa tạp với mật độ, Luận văn thạc sỹ Toán học trường Đại học Sư phạm Huế Đồn Quỳnh, Hình học vi phân , NXB Hà Nội Tiếng Anh Ros Antonio(2005), The isoperimetric problem Global theory of minimal surfaces (Proc Clay Math Inst Summer School, 2001), Amer Math Soc., Providence, RI M Gromov, Isoperimetry of waists and concentration of maps, Geom Funct Anal 13 (2003), 178-215 Rosales Cesar, Canete Antonio, Bayle Vincent, and Morgan Frank(2005), On the isoperimetric problem in Euclidean space with density, arXiv.org Borell Christer (1975), The Brunn-Minkowski inequality in Gauss Space, Invent Math Carroll Colin, Jacob Adam, Quinn Conor, Walters Robin(2007), The isoperimetric problem on Planes with density, arXiv.org Adams Elizabeth, Corwin Ivan, Davis Diana, Lee Michelle, Visocchi Regina(2005), Isoperimetric regions in sectors of Gauss space, J.8(2007), No.1 Geometry Group report, Williams College 10 Morgan Frank(2005), Geometric Measure Theory, A Beginner’s Guide, third edition, Academic Press 11 Morgan Frank(2005), Manifolds with density, Notices Amer Math Soc.52, 853-858 65 12 Morgan Frank(2003), Regularity of isoperimetric hypersurfaces in Riemannian manifolds, Trans Amer Math Soc.355, 5041-5052 13 Gluck Herman(1933), The converse to four vertex theorem, L’Enseignement Math.,17 14 Doan The Hieu and Tran Le Nam, On the four vertex theorem in planes with radial density, in preparation 15 Corwin Ivan, Hoffman Neil, Hurder Stephanie and Ya Xu(2006), Differential geometry of manifolds with density, Rose- Hlman Und Math J.7, No.1 16 Lee Michelle(2006), Isoperimetric regions in locally Euclidean manifolds and in manifolds with density, Honofr thesis, Williams College 17 Ulrich Pinkall(1987), On the four vertex theorem, Aequationes Math 34, No.2-3 18 Osserman R.(1985), The four or more vertex theorem, Amer Math Monthly 92, No.5 19 Carmo M.D(1976), Differential of curves and surfaces, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ 66 BẢNG TRA CỨU THUẬT NGỮ THUẬT NGỮ TRANG Bài toán đẳng chu đường thẳng thực 42 Biến phân thứ 12 Chu vi Riemann Chu vi miền  42 Đa tạp với mật độ Đa tạp với mật độ toả trịn n-chiều Điểm vơ cực 42 Đỉnh đường cong phẳng quy Định lý bốn đỉnh 6;29 Độ cong  t Độ cong đường cong mặt phẳng với mật độ Độ cong tồn phần đường cong đơn đóng lồi 14 x y Đường có độ cong với mật độ e 51 Độ cong có mật độ 38 Đường Cycloid 11 Đường Hyperbol 12 Đường Parabol 12 Đường trắc địa 9;14 Đường trắc địa mặt phẳng Gauss Đường trắc địa mặt phẳng với mật độ e x 25  y2 21 Giá trị trung bình ravg 18 Isoperimetric profile 42 Khơng gian Gauss Lá Descartes 11 Mặt phẳng Gauss 6;25 Mặt phằng  (Siêu phẳng chứa gốc tọa độ) Mặt phẳng với mật độ r 1 15 15 67 THUẬT NGỮ TRANG Mặt phẳng với mật độ r p ( 2  p  0) 15 Mặt phẳng với mật độ r p ( p  2) 17 Mặt phẳng với mật độ r p ( p  0) 18 Mặt phẳng với mật độ e x 20  y2 21 Mặt phẳng với mật độ e Ar  B 33 Mặt phẳng với mật độ e x Mặt phẳng với mật độ cầu e  (r ) 34 Miền đẳng chu Miền đẳng chu đường thẳng thực 42 Miền đẳng chu với hàm mật độ f ( x)  e x 43 Miền đẳng chu với hàm mật độ f ( x)  43 Miền đẳng chu với hàm mật độ f ( x)  e x  43 Miền đẳng chu với hàm mật độ f ( x)  e  Miền đẳng chu với hàm mật độ f ( x)  e x 1 Miền đẳng chu với hàm mật độ 45 x x  ln x  ln e  x x  ln  f ( x)   1 x  ln    x  ln  18 Miền đẳng chu với mật độ cầu log- lồi R 46 48 7;50 Mục tiêu Frenet Phép dời thuận Thể tích miền  42 Thể tích Riemann Unimodal density 42 Vi phân độ dài đường theo mật độ ds 13 ... tạp với mật độ 1.2 Một số kết hình học Chương 2: ÐƯỜNG CONG TRONG MẶT PHẲNG VỚI MẬT ÐỘ 2.1 Độ cong đường cong mặt phẳng với mật độ 2.2 Mặt phẳng với mật độ r p x 2.3 Mặt phẳng. .. mật độ p x - Mặt phẳng với mật độ r ; e ; e x2  y - Độ cong đường cong với mật độ e x y Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Mặt phẳng với mật độ liên quan đến kinh tế, đặc biệt mặt phẳng xác suất... tạp với mật độ, mặt phẳng Gauss, không gian Gauss, đa tạp với mật độ tỏa tròn n-chiều, độ cong, mục tiêu Frenet… Chương 2: Những định lý, toán liên quan đến độ cong mặt phẳng p x với mật độ khác