V× sù nghiÖp gi¸o dôc Bài 36: Tìm tất cả các cặp số dưương a,b sao cho a+b2 chia hết cho a2b-1 Bài 37: Tìm tất cả các số nguyên dưương N có ba chữ số sao cho cộng các chữ số của N với N [r]
(1)V× sù nghiÖp gi¸o dôc PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN – CÁCH GIẢI I, PHƯƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH dạng a.x+by=c+dxy và bài toán chia hết Cách giải: Sử dụng tính chất chia hết Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình xy-2x-3y+1=0 ∈ Z ⇒ x − ∈ { ± 1; ± } HD: cách1: Viết y=2+ x −3 Cách 2: Viết (x-2)(y-3)=5 =1.5=-1.(-5) Ví dụ 2: Tìm tất các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn y(x-1)=x2+2 HD : Viết y=x+1+ x −1 ∈ Z ⇒ x − 1∈ { ±1 ; ±3 } Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x-3y+5xy=39 x − 39 ∈ Z ⇒ |2 x −39|≥|3 −5 x|⇒−12 ≤ x ≤6 HD : Viết y= −5 x Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình 5x-3y=2xy-11 x +5 HD : Viết y=2+ x +3 ∈ Z ⇒|x +5|≥|2 x +3|⇒ miền giới hạn x Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình x − x+ y= x + x +1 HD: Viết thành (y-1)x2+(y+1)x+y-1=0 1, Với y=1 thì x=0 2, Với y 1⇒ Δ x ≥ ⇒ ≤ y ≤ ⇒ y ∈ { ; ; 2; } Ví dụ 6: Tìm các cặp số nguyên dưương (x;y) thoả mãn x + x+ là số nguyên xy −1 x + y +1 HD: yA=x+1+ xy −1 ∈ Z ⇒ x+ y+ 1≥ xy −1 ⇒ ( x − )( y −1 ) ≤3 A= Ví dụ 7: Tìm các số nguyên dưương x,y,z thoả mãn 2(y+z)=x(yz-1) HD: Làm tưương tự ví dụ6 Ví dụ 8: Tìm các cặp số nguyên dưương cho a2 − ∈Z ab+2 MỘT SỐ BÀI LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm nghiẹm nguyên dưương phương trình x2-y2=2003 Bài 2: Có tồn hay không hai số nguyên x và y thoả mãn 3x2+7y2=2002 (2) V× sù nghiÖp gi¸o dôc Bài 3: Giả sử x,y,z thoả mãn x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x) CMR xyz ⋮ 27 Bài 4: Cho x,y,z là ba số thoả mãn x2+y2=z2 1, Chứng minh có ít hai số x,y chia hết cho 2, Chứng minh tích xy ⋮12 Bài 5: Có tồn các số nguyên x,y,z thoả mãn x3+y3+z3=x+y+z+2006 không? Bài 6: Tìm các cặp số tự nhiên (x;y) thoả mãn x2+3y=3026 Bài 7: Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên x2-2y=2005 Bài 8: Tìm tất các tam giác vuông có các cạnh là số nguyên và số đo diện tích = chu vi II, HẠN CHẾ TẬP HỢP CHỨA NGHỆM DỰA VÀO ĐIỀU KIỆN CỦA ẨN Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dưương phương trình √ x+ √ y= √50 HD : y=50+x-10 √ x ( ≤ x ≤50 ) ⇒2 x=4 k ⇒ k ≤25 ⇒ k ∈ { 0,1,2,3,4,5 } Ví dụ 2: Tìm nghiệm tự nhiên phương trình √ x+ √ y= √ 1989 III, HẠN CHẾ TẬP HỢP CHỨA NGHIỆM BẰNG CÁCH SẮP THỨ TỰ ẨN (áp dụng cho vai trò các ẩn nh nhau) Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dưương phương trình x2+y2+z2+xyz=20 HD: Giả sử x ≤ y ≤ z ⇒ VT ≥ x ⇒ x ≤2 Ví dụ2: Tìm nghiệm nguyên dưương phương trình 1 + + =1 x y z HD : Giả sử x ≤ y ≤ z ⇒ 1≤ x ⇒ x ≤ 3⇒ x ∈ {2,3 } Ví dụ 3: Tìm các số nguyên dưương a,b,c đôi khác thoả mãn 1 1 1 Y= a + b + c + ab + ac + bc ∈ Z HD : chứng minh a,b,c cùng tính chất chẵn lẻ và giả sử a<b<c Sau đó làm nh ví dụ2 Ví dụ 4: Tìm ngiệm nguyên dưương phương trình x+y+z+9=xyz IV, GIẢN ỚC CHO ỚC SỐ CHUNG (3) V× sù nghiÖp gi¸o dôc Ví dụ1: Tìm nghiệm nguyen dưương phương trình x4+4y4=2(z4+4t4) HD: Giả sử (x0,y0,z0,t0) là nghiệm Đặt (x0,y0,z0,t0) =d ta có x0=dx1;y0=dy1;z0=dz1;t0=dt1 với (x1;y1;z1;t1)=1 dẫn tới x1=2x2;y1=2y2;z1=2z2;t1=2t2 vô lý! Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên phương trình x2+y2+z2=x2y2 HD : Dựa vào tính chẵn lẻ để giải Phương trình có nghiệm x=y=z=0 Ví dụ 3: Tìm nghịêm nguyên phương trình x2-2y2=5 HD: Dựa vào tính chẵn lẻ để giải Ví dụ 4:Tìm nghiệm nguyên phương trình x2-5y2=0 HD: Giả sử (x0;y0) là nghiệm ⇒ x 0=5 x ; y =5 y ⇒ ( x0 y0 ; k k 5 ) là nghiệm nguyên nên có thể x0=y0=0 thoả mãn V, ĐA VỀ DẠNG TỔNG A +B2=m2+n2 (m;n là các số tự nhiên) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình x2+y2-x-y=8 HD : viết |2 x −1|2+|2 y −1|2 =32+ 52 Ví dụ 2: Tìm nghiệm tự nhiên phương trình m2+n2=9m+13n-20 HD : 4m2-36m+81+4n2-52n+169=170 => (2m-9)2+(2n-13)2=112+72=… VI, XÉT CHỮ SỐ TẬN CÙNG Ví dụ1: Tìm các số nguyên dưương thoả mãn phương trình 1!+2!+…+x!=y2 HD: Xét x=1,2,3,4 ta đợc nghiệm (1;1) và(3;3) Với x>4 thì y2 có tận cùng ⇒ y ∉ Z Ví dụ 2: Tìm x,y nguyên dưương thoả mãn x2+x-1=32y+1 HD: Cho x =0,1,…,9 => VT =1,5,9 nhng VF có số tận cùng là VII, SỬ DỤNG TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x2+y2+4xy+4x+2y+5=0 HD: Xét Δ y =x − 4=n2 , ( n ∈ Z ) ⇒ x=± Ví dụ 2: Tìm nghiẹm nguyên phương trình (4) V× sù nghiÖp gi¸o dôc x2-(y+5)x+5y+2=0 HD: Theo Vi-ét có ¿ x1 + x 2= y +5 x1 x2 =5 y+ ⇔ ( x − ) ( x − )=2=1 2=− ( −2 ) ¿{ ¿ VIII, DỰA VÀO NGUYÊN LÝ KẸP n <A<(n+1) thì A không chính phương (n nguyên) Ví dụ 1: Tìm tất các số nguyên tố p để tổng tất các ước tự nhiên p4 là số chính phương HD: Ta có 1+p+p2+p3+p4=m2 biến đổi dẫn tới (2p2+p)2<4m2<(2p2+p+2)2 Vây 4m2=(2p2+p+1)2 => p=3 Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguỵên x2+x=y4+y3+y2+y 2 HD: Biến đổi ( y 2+ y ) + y + y +1=( x+ )2=( y 2+ y+1 ) +2 y − y Ví dụ 3: Tìm tất các số nguyên n để A=n4+2n3+2n2+n+7 là số chính phương IX,ĐA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Ví dụ 1: Hãy tìm các số có chữ số Biết số đó là số chính phương và số đó giảm chữ số hàng nghìn đơn vị còn tăng lên chữ số hàng đơn vị thì nhận đợc số chính phương (Thi HSG Tỉnh VP 05-06) HD: Giả sử xyzt =a và (x-3)yz(t+3)=b2 Suy (a+b)(a-b)=2997=34.37 với 60<a+b<200 Kết (a+b)(a-b)=111.37=81.37 ta tìm đợc số thoả mãn Ví dụ 2:Tìm số có chữ số ,biết số đó là số chính phương và tăng Mỗi chữ số số đó thêm đơn vị thì đợc số chính phương Ví dụ 3: Tìm tất các số nguyên n cho n2+n+1 là số chính phương X, ĐA VỀ TRỜNG HỢP RIÊNG Vídụ: Giải PT nghiệm nguyên √ x+ √ x + + √ x= y (có n dấu căn) √ x= y ⇒ HD : Với n=1 có x=t y=t (t ∈ N ) ¿{ Với n=2 có √ x+ √ x= y ⇒ √ x= y − x ⇒t +t= y ⇒ t2 < y < ( t+ )2 Chỉ có nghiệm (0;0) Với n>2.Luỹ thừa liên tiếp dẫn tới (5) V× sù nghiÖp gi¸o dôc √ x+ √ x= y n − − x Đa trờng hợp trên XI, DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên phương trình x2-xy+y2=5 20 HD: Viết lại trở thành (2x-y)2=20-3y2 ⇒ y ≤ ⇒ y =0 ;1 ; Sử dụng tính chẵn lẻ giải toán số học I, Tính chất: 1, Tổng (hoặc hiệu) số chẵn và số lẻ là số lẻ 2, Tổng hiệu hai số chẵn ,hoặc hai số lẻ ,là số chẵn 3, Tích các số lẻ là số lẻ 4, Tích các số ,trong đó có ít số chẵn là số chẵn 5, Trong hai số nguyên liên tiếp có số chẵn và số lẻ II, Tính chẵn lẻ các bài toán chia hết Bài1: Cho bảy số nguyên (i=1,2,…,7).Viết các số nguyên đó theo thứ tự khác đợc bi(i=1,2,…7) Chứng minh tích (a1-b1)(a2-b2)…(a7-b7)chia hết cho2 HD:Đặt ci=ai-bi có ∑ c i=0⇒ c j=2k ( k ∈ Z ) 1≤ j ≤7 Bài2: Số 3n+2003, đó n là số nguyên dưương ,có chia hết cho184không? HD: Thấy 32m-1 chia hết cho 32-1=8 Nếu n=2m thì 32m+2003=32m-1+250.8+4 không chia hết cho Nếu n=2m+1 thì 32m+1+2003=3(32m-1)+250.8+6 không chia hết cho Vây với số nguyên n số 3n+2003 không chia hết cho 8.23=184 Bài tự giải 1, Cho n>3,n N Chứng minh 2n=10a+b với 0<b<9 thì tích ab chia hết cho 2, Cho các số nguyên dưương x,y,z thoả mãn x2+y2=2z2.Chứng minh x2-y2 chia hết cho 48 3, Cho các số nguyên dưương thỏa mãn x2+y2=z2 Chứng minh x.y.z chia hết cho 60 4, Biết a là số nguyên dưương a, Nếu a+1 và 2a+1 là các số chính phương thì a có chia hết cho 24 không ? b, Nếu 2a+1 và 3a+1 là số chính phương thì a có chia hết cho 40 không ? III, Tính chẵn lẻ với các phương trình nghiệm nguyên Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dưương hệ phương trình ¿ xy + y − x !=1 yz + z − y !=1 x −2 y +2 x − y=2 ¿{{ ¿ (6) V× sù nghiÖp gi¸o dôc HD: Từ PT cuối và phương trình đầu suy x chẵn y lẻ Từ PT thứ hai có y! lẻ nên y=1.Kết nghiệm hệ (x,y,z) (2,1,1) Ví dụ 2: Chứng minh không có số nguyên nào thoả mãn 30 19x +5 y +1980 z=1975 + 1983 Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dưương phương trình x3+2y3=4z3 IV, Tính chẵn lẻ các bài toán số học khác Ví dụ 1: Chứng minh PT bậc hai với các hệ số nguyên lẻ thì không có nghiệm hữu tỷ HD: Giả sử x=p/q (p,q)=1 thay vào PT a.x2+bx+c=0 đợc ap2+bpq+cq2=0 (*) Nhận thấy VT (*) lẻ còn VP (*) chẵn dẫn tới (đpcm) Ví dụ2: Tìm số nguyên dưương n để n− 37 p = n+ 43 q () n− 37 n+ 43 là bình phương số hữu tỷ +¿ với (p,q)=1.Ta có n-37=kq2 và n+43=kp2 (k Z ¿ ) Từ đó k(p-q)(p+q)=80=24.5.1 TH1 p,q có số chẵn số lẻ Từ (*) suy p+q=5; p-q=1;k=16=>p=3,q=2,n=101 TH2 Cả hai p,q lẻ Đặt p=2a-1;q=2b-1 (a,b thuộc Z+) suy k(a-b)(a+b-1)=20=22.5.1;do a+b-1>a-b và a+b-1 khác tính chẵn lẻ với a-b Cho cặp (a-b,a+b-1) lần lợt (1,2);(1,4);(1,20); (5,20);(2,5);(4,5) Sẽ có đợc n 38;47;55;82;199;398 Ví dụ 3: Tìm tất các số nguyên tố a,b,c thoả mãn ab+ba=c HD: c>2 và lẻ nên a,b phải khác tính chẵn lẻ Do vai trò a,b nh nên giả sử a lẻ, b chẵn thì b=2 nên có a2+2a=c Nếu a=3 thì thoả mãn c=17 Nếu a khác thì a2=3n+1(n nguyên dưương ) ,2a=(3-1)a=3t-1 vì a lẻ Từ đó c=a2+2a=3n+1+3t-1=3(n+t) là hợp số Bài toán có hai nghiệm (3,2,17) và (2,3,17) Một số bài tự giải c a b Bài 1: Biết p=a+b ,q=b+c ,r=c+a là số nguyên tố ,và a,b,c là các số nguyên dưương CMR ba số có ít hai số Bài 2: Cho các số a=2n+3n và b=2n+2+3n+2 với n nguyên dưương Tìm ƯCLN(a,b)=? Bài 3: Chứng minh 3n+4 không thẻ là số chính phương với n nguyên dưương Bài 4: Tìm các số nguyên dưương m,n >1 để 2m+3n là số chính phương Bài 5: Tìm các số nguyên dưương n để n2+2002 là số chính phương ? HD: G/S Các bài tập luyện tập tổng hợp Bài 1: Giải các phương trình nghiệm nguyên sau 1, 5x2-4xy+y2=169 2, 4y+1=3x 3, x6+3x3+1=y4 4, 5x+12x=13x (7) V× sù nghiÖp gi¸o dôc Bài 2: Chứng minh phương trình 25t=2t5+1997 không có nghiệm nguyên Bài 3: Giải các phương trình nghiệm nguyên 1, x3-3y3-9z3=0 2, 2x2+2y2-2xy+x+y-10=0 3, x+y+z=xyz 4, x2-4xy=23 5, 3x-3y+2=0 6, 19x2+28y2=729 7, 3x2+8y2+10xy=96 Bài 4: Tìm các cặp (x;y) nguyên dưương thoả mãn các phương trình sau 1, 4xy-3(x+y)=59 2, 5(xy+yz+xz)=4xyz 3, 4, xy yz xz + + =3 z x y 1 1 + + = x y z 1995 Bài 5: giải phương trình nghiệm nguyên (x+2004)(x+1980)=3y-81 Bài 6: Tìm tất các số nguyên n để n4+6n3+11n+6n là số chính phương Bài 7: Tìm tất các số nguyên n để (n+5)(n+6) chia hết cho 6n Bài 8: Tìm nghiệm nguyên phương trình 1, x2+(x+1)2=y4+(y+1)4 2, x2+2003x+2004y2+y=xy+2004xy2+2005 Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dưương phương trình 1, xy=3(y-x) 2, (n+1)(2n+1)=10m2 3, xy+yz+zx=2(x+y+z) Bài 10: Tìm cặp số nguyen dưương cho phân thức x +2 x y+ luôn nhận Giá trị nguyên Bài 11, Tìm tất các số nguyên tố pi (i=1,2,…,8) cho ∑ pi = p 2 Bài12: Tìm số d phép chia (1995+1)(1995+2)…(1995+3990) cho31995 Bài 13, Phân tích số 20032004 thành tích hai số dưương a,b Hỏi a+b Có chia hết cho 2004 không? Bài 14: Tìm tất các số nguyên x thoả mãn |x − 3|+|x −10|+| x+10|+|x+ 990|+|x +1000|=2004 Bài 15, tìm các số nguyên x cho x3-2x2+7x-7 chia hết cho x2+3 Bài 16, Tìm tất các số nguyên x,y,z thoả mãn x y z y z x + + = + + =x + y + z=3 y z x x y z Bài 17: Viết số 20032004 thành tổng các số nguyên dưương (8) V× sù nghiÖp gi¸o dôc Đem tổng lập phương tất các số hạng đó đem chia cho thì đợc số d là bao nhiêu? Bài 18: Tìm nghiệm nguyên hệ ¿ x − x 2+ x −2= y y3 −7 y +8 y −2= z 2 z −7 z + z −2=x ¿{{ ¿ Bài 19: Tìm các cặp số (x;y) nguyên dưương cho +¿ x3 + x ∈ Z¿ xy −1 Bài 20: Giải PT nghiệm nguyên 3x+4y=7z Bài 21: Xét dãy số a1=1;a2=3 và an+2=2an+1-an+1 với n nguyên dưương Chứng minh số A=4an.an+2+1 là số chính phương Bài 22: Biểu diễn số 1/2dới dạng tổng ba phân số dưương có tử Hãy tìm tất các cách đó Bài 23: Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên x,y 36x2+144y2-276x-120y+25=0 Bài 24: Tìm các nghiệm nguyên dưương PT x2+y2=2011 ❑1995 +1 ( 10− z ) Bài 25: Tìm các số tự nhiên m và n để A=3 ❑3 m +6 n −61 +4 là số nguyên tố Bài 26: Tìm số có chữ số abcd cho 1, ab,cd là số nguyên tố 2, db +c = b2+d k Bài 26: Tìm nghiệm nguyên hệ ¿ x + y=z x 3+ y3 =z ¿{ ¿ Bài 27: Tìm các số nguyên dưương thoả mãn x+2y+2z=xyz Bài 28: Tìm nghiệm nguyên PT: 3(x2+xy+y2)=x+8y Bài 29: Giải PT nghiệm nguyên x4-y4+z4+2x2z2+3x2+4z2+1=0 Bài 30: Giải các PT nghiệm nguyên sau 1, x3-x2y+3x-2y-5=0 2, x6+8x3+11x2+28x+12+3y2=0 3, 4y2=2+ √ 199− x2 −2 x 4, x(1+x+x2)=4y(y+1) Bài 31: Tìm nghiệm nguyên dưương PT 5x+2.5y+5z=4500 với x<y<z Bài 32: Tìm các số a,b,c dưương thoả mãn abbc=ab.ac.7 Bài 33: Giải PT nghiệm nguyên 2(x2-y2)2=x2+y2+2z2 Bài 35: Cho p là số nguyên tố lớn Chứng minh PT x2+y2+z2=4p2+1 luôn có nghiệm dưương (x0,y0,z0) (9) V× sù nghiÖp gi¸o dôc Bài 36: Tìm tất các cặp số dưương (a,b) cho a+b2 chia hết cho a2b-1 Bài 37: Tìm tất các số nguyên dưương N có ba chữ số cho cộng các chữ số N với N và với số đợc viết các chữ số N theo thứ tự ngợc lại ta đợc số chính phương Bài 38: Tìm nghiệm nguyên dưương PT 3x+1=(y+1)2 Bài 39: Tìm nghiệm nguyên dưương PT 10(2x-1)=x(13x-3) 1 Bài 40: Tìm tất các số hữu tỷ x và y cho x+y và x + y nguyên Bài 41: Giải PT nghiệm nguyên x2002+y2002=20032001(x3+y3) Bài 42: Tìm các số tự nhiên n cho 28+211+2n là số chính phương Bài 43: Tìm tất các số nguyên tố p và q thoả mãn p3-q5=(p+q)2 Bài 44: Tìm số đo các cạnh tất các tam giác biết chúng là các số nguyên và số đo diện tích chu vi tam giác đó Bài 45: Chứng minh a,b,c là các số nguyên khác không thoả mãn a b c + + =3 thì tích abc =n3 với n là số nguyên b c a Bài 47: Tìm tất các số nguyên (a,b,c,d) thoả mãn ¿ a +3 b=c b3 +3 a=d ¿{ ¿ đồng thời các điều kiện Bài 48: Tìm tất các cặp số nguyên (x,y) cho x2+xy+y2+14x+14y+2018 chia hết cho 101 Bài 49: Tìm tất các nghiệm nguyên PT 3|3 x −4 y|+4 |4 x −3 y| =√ 1201 2 √x + y Bài 50: Tìm số nguyên n thoả mãn (n+5)2=(4(n-2))3 Bài 51: Tìm tất các GT hữu tỷ x cho biểu thức x +2 x+3 ∈Z x − x +1 Bài 52: Giải PT nghiệm nguyên x3+8=7 √ x +1 Bài 53: Tìm nghiệm nguyên PT x2(y-5)-xy=x-y-1 ¿ ac − bd=4 Bài 54: Tìm các số nguyên a,b,c ,d thoả mãn ad+ bc=3 ¿{ ¿ +¿ ¿ p,q∈Z Bài 55: Chứng minh p 1 1 =1 − + − + − + ;¿ q 1334 1335 p ⋮ 2003 thì Bài 56: Tìm nghiệm nguyên PT (2x-y-2)2=7(x-2y-y2-1) Chú ý : Sử dụng Δ y ≥ (10) V× sù nghiÖp gi¸o dôc Bài 57: Phương trình sau có nghiệm nguyên dưương không ? x2005+y2005=20072005 Bài 58: Tìm tất các cặp số nguyên không (x,y) thoả mãn x-y=x2+xy+y2 Bài 59: Giải hệ phương trình nghiệm nguyên 1 1 x − y =3 y − z =2 z − x =xyz − xyz Chú ý : đặt các tỷ số k Bài 60: Tìm nghiệm nguyên dưương PT x3+y3+4(x2+y2)+4(x+y)=16xy HD: Viết x(x-2)2+y(y-2)2+8(x-y)2=0 Bài 61: Tìm các nghiệm không âm PT y2(x+1)=1576+x2 HD : Viết (x+1)(y2-x+1)=1577=19.83 Bài 62: Cho P=(a+b)(b+c)(c+a)-abc với a,b,c là số nguyên Chứng minh a+b+c chia hết cho thì P chia hết cho Bài 63: Chứng minh (20052+22005;2005)=1 Bài 64: Tìm nghiệm nguyên PT x2+2003x+2004y2+y=xy+2004xy2+2005 HD: Viết (x-1)(x+2004-2004y2-y)=1 Bài 65: Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn 2x-5y+5xy=14 Bài 66: Tìm số chính phương có chữ số biết tăng thêm chữ số Một đơn vị thì số đợc tạo thành là số chính phương (Thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong TP.HCM năm 05-06) ( ) ( ) ( ) BÀI KHẢO SÁT SỐ PHẦN SỐ HỌC Câu 1(2.4 điểm): Giải các phương trình nghiệm nguyên sau 1, 4y2= √ 899− x −2 x 2, ( x 2+ y 2+1 ) −5 x − y −5=0 3, x2-xy+7y-38=0 4, (x+2006)(x+1982)=3y-81 Câu 2: Tìm số có chữ số abcd thoả mãn các đk ¿ ab ; cd ∈ P db+c =b2 +d ¿{ ¿ (11) V× sù nghiÖp gi¸o dôc (12)