Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số là một đường thẳng cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1đơn vị diện tíchb. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.[r]
(1)PHÒNG GD – ĐT THAI BINH SO GD HUYEN TIEN HAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 1: Bài 1: ( điểm) Rút gọn các biểu thức sau: a A= 3 2 3 2 2008 b B = 6 32 2014 20082 4016 2009 2005.2007.2010.2011 Bài 2: ( 1,5 điểm) Cho hàm số: y mx – 3x + m + a Xác định điểm cố định đồ thị hàm số? b Tìm giá trị m để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích 1(đơn vị diện tích) Bài 3: ( 2,5 điểm) 2 2 2 a Chứng minh bất đẳng thức: a b c d (a c) (b d ) 2 Áp dụng giải phương trình: x x x x 10 = x 16 b Cho Q = x Tìm giá trị nhỏ Q Bài 4: ( 1,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M, trên tia đối tia BA lấy điểm N cho BN = BM Chứng minh: các đường thẳng AM, CN và đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD đồng quy điểm Bài 5: ( 2,5 điểm) · Cho tam giác ABC có ABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c là hai độ dài cho trước) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q trên cạnh BC gọi là hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC Tìm vị trí M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn Tính diện tích lớn đó (2) ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI - CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút) Câu Ý a Nội dung A 0.5 (3 2)(3 2) (2 2) 1 2008 2014 20082 4016 2009 2005.2007.2010.2011 B= x 0.25 Đặt x = 2008, đó x x 2x x 1 = 0.5 = x + = 2009 y = (m – 3)x + (m + 1) Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định đồ thị hàm số, ta có: y0 = mx0 – 3x0 + m+ thỏa mãn với giá trị m m( x0 1) (1 x0 y0 ) 0, m a x0 0 x0 1 x0 y0 0 y0 4 Vậy điểm cố định cần tìm M(-1; 4) m+1 0.25 A 0.25 B m+1 O 1.5 m-3 b a Ta có: Đồ thị là đường thẳng cắt hai trục tọa độ m – 0 m 3 m 1 m 1 1 (m 1) 2 m m S ABO = Nếu m> m2 +2m +1 = 2m -6 m2 = -7 ( loại) Nếu m < m2 +2m +1 = – 2m m2 + 4m – =0 (m – 1)(m + +5) = m = 1; m = -5 Hai vế BĐT không âm nên bình phương hai vế ta có: 2 2.0 0.25 x x 1 x x B= x x x x x 1 x x 1 x x Ghi chú 0.5 2 ( 6)2 ( 2)2 2 (3 2) A= b Điểm 0.5 0.5 1.5 a2 + b2 +c2 + d2 +2 (a b )(c d ) a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd + d2 2 2 (a b )(c d ) ac + bd (1) Nếu ac + bd < thì BĐT c/m Nếu ac + bd 0 (1) ( a2 + b2 )(c2 + d2) a2c2 + b2d2 +2acbd a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 a2c2 + b2d2 +2acbd a2d2 + b2c2 – 2abcd (ad – bc)2 ( luôn đúng) a c Dấu “=” xẩy ad = bc b d 0.5 0.5 (3) 2 2 2 Áp dụng: xét vế trái VT = ( x 1) (3 x) ( x x) (2 1) VT 16 VT 5 x 1 x x 6 x x Mà VP = 5, dấu xẩy Điều kiện: x 25 ( x 9) 25 25 Q 10 4 x 3 2 ( x 3) x 3 x 3 x 3 b Q = 25 x 3 x 4 x Vậy Qmin = 4; Dấu “=” xẩy (TM điều kiện) Hình vẽ chính xác Gọi H là giao AM và CN D C Xét AMB và CNB là hai tam giác vuông có: AB = CB (Cạnh hình vuông) BM = BN (gt) AMB = CNB (c-g-c) BAM BCN (1) H M Xét AMB và CMH có: AMB CMH (đối đỉnh), kết hợp với (1) CHM ABM 900 hay ACH 900 A B N H thuộc đường tròn có đường kính AC (tức H thuộc đường tròn ngoại tiếp ABCD) Vậy AM, CN và đường tròn ngoại tiếp ABCD đồng quy H Hình vẽ Đặt AM = x (0 < x < c) MN AM ax = MN = AB c Ta có: BC A x M B 60 N MQ = BM.sin60 = c - x Suy diện tích MNPQ là: ax c - x a S= = x c - x 2c 2c C a+b a+b ab ab (a > 0, b > 0) + Ta có bất đẳng thức: Q P c2 x+ c-x x(c - x) = Áp dụng, ta có: c x = c-x x = Dấu đẳng thức xảy khi: 0.25 0.25 0.75 1.0 0.25 0.2 0.5 1.5 0.5 0.3 2.5 0.2 0.2 0.3 0.3 0.25 0.5 0.25 (4) S Suy ra: cạnh AB a c2 ac ac c = S max = x= 2c Vậy: hay M là trung điểm 0.5 PHÒNG GD – ĐT THAI BINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN SO GD HUYEN TIEN HAI Năm học: 2012 - 2013 Môn thi: TOÁN – Lớp Thời gian: 120 phút ĐỀ SỐ 2: Bài : (3 điểm) Chứng minh : A = n3 ( n2 – 7)2 – 36 n Chia hết cho với n Bài : (4 điểm) x3 x a) Cho x 1 Chứng minh : b) Cho ba số x; y; z thỏa mãn : x y z 3 Tìm giá trị nhỏ B = xy yz zx Bài : (4 điểm) a) Tính : A 48 10 b) Giải phương trình : x 10 x x 12 x 40 Bài : (6 điểm) Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh a Một điểm M chuyển động trên cạnh o DC ( M D ; M C ) chọn điểm M trên cạnh BC cho MAN 45 , DB cắt AM ; AN theo thứ tự E và F o a) Chứng minh : AFM AEN 90 b) Chứng minh : diện tích tam giác AEF diện tích tam giác AMN c) Chứng minh chu vi tam giác CMN không đổi M chuyển động trên DC Bài : (3 điểm) Cho tam giác ABC với đường phân giác BAC là AD Biết AD = ; AC = với BAC = 68o Tính độ dài AD Hết (5) HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi : TOÁN ; LỚP Nội dung Bài Chứng minh : A = n3 ( n2 – 7)2 – 36 n Chia hết cho với n 2a 2b 2 Ta có : A = n ( n – 7) – 36 n = n ( n – 14n + 49 ) – 36n = n7 - 14n5 + 49n3 - 36n = (n7 -n5) - (13n5 - 13n3) + (36n3 - 36n) = n5(n2-1) - 13n3 (n2 - 1) + 36n (n2-1) =( n2-1) (n5-13n3 + 36n) = (n2 - 1) {(n5-4n3) - (9n3-36n)} =(n2 - 1) {n3 (n2 - 4) -9n (n2 - 4) } = (n2 - 1) (n2 - 4) (n3 - 9n) = (n2 - 1) (n -2) (n +2) n (n2 - 9) = (n -1) (n + 1) (n -2) (n + 2) n (n - 3) (n +3) Vậy: A= (n -3) (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) Vì n là số tự nhiên nên số A là tích số tự nhiên liên tiếp Rồi chứng minh cho tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Kết luận: A chia hết cho x3 x Cho x 1 Chứng minh : 2 Do x nên x x => - 4x - 4x và 1-x Từ đó ta có - 4x2 (1-x) -4x (1-x) - 4x2 (1-x) +1 - 4x (1-x) +1 4x3 - 4x2 + 4x2 - 4x +1 = (2x -1)2 => 4x -4x +1 - 4x3 + 4x2 - - 4x3 + 4x2 1 4(-x3 + x2) - x3 + x Vậy : -x3 + x2 x Cho x, y, z thoả mãn x y z 3 Tìm giá trị lớn B xy yz zx Ta có : B xy z x y xy x y x y Điểm điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 điểm 0.75 0.25 điểm xy x y x y x y xy 3x 3y 2 y 3y 6y y 3 3 x x y 1 3 1.25 (6) 0.5 y 0 y 0 x y z 1 x x y z 3 Dấu = xảy Vậy giá trị lớn B là x = y = z = 3a Tính : Ta có : 0.25 điểm A 48 10 3 A 48 10 A 48 10 0.5 0.5 0.25 A 28 10 3 A 5 A 5 3b Giải phương trình : 0.25 0.5 = 25 = x 10 x x 12 x 40 3 điểm Điều kiện : x 10 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm 1 x 10 x x 10 x x 10 x 2 2 =4 Ta có : x 4 x 6 x 6 10 x x Dấu “ = ” xảy (1) 2 x 12 x 40 x 12 x 36 x 4 Mặt khác : Dấu “=” xảy x 0 x 6 (2) Kết hợp (1) và (2) Phương trình có nghiệm là : x 6 4a 0.75 0.25 điểm Chứng minh : AFM = AEN = 90 Nối A với C A3 = A1 ; B1 = C1 A B AFB AMC (g.g) AF AB AF AM (1) AC AB AC => AM Có MAF = CAB = 45 (2) Từ và => AFM ABC => F N E 1.5 K D M C (7) => AFM = ABC = 90 4b 4c 0.5 C/M hoàn toàn tương tự có AEN = 900 vì AFM = AEN = 90 S AEF S AMN Chứng minh : AF AE AN => AEF AMN (c.g.c) => Có AFM AEN => AM S AEF AF (1) S AMN AM Có FAM = 450, AFM = 900 => AFM Vuông cân đỉnh F nên AM2 = AF2 + FM2 = 2AF2 S AEF AF 1 S AEF S AMN 2 hay: => AM = Thay vào (1) ta S AMN (ĐPCM) 1.5 0.5 C/M chu vi CMN không đổi Trên tia đối tia DC lấy điểm K cho DK = BN ADK = ABN => AK = AN và BAN DAK đó AMN = AKM (c.gc) => MN=KM Vì vậy: Chu vi CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN = CD + KD + CN = CD + NB + CN = CD + CB = 2a không đổi Tức là: Chu vi CMN không thay đổi M chuyển động trên cạnh DC 1.5 0.5 Tính độ dài AD Gọi diện tích các tam giác ABD, ADC và ABC A là : S1, S2, S 1 Ta có : S1 = AB.AD.sinA1 S2 = AD.AC.sinA2 H S = AB.AC.sinA B D Vì : S = S1 + S2 1 Nên : AB.AD.sinA1 + AD.AC.sinA2 = AB.AC.sinA AB.AD.sinA1 + AD.AC.sinA2 = AB.AC.sinA AB.AC.sinA 6.9.sin 68o AD = 6 AB.sinA1 +AC.sinA 6.sin 34o 9.sin 34 o 3điểm K 0.75 C 0.75 (8)