ĐÁP ÁN VAØ BIỂU ĐIỂM HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO ĐỀ 02 Nội dung đáp án... Tính trên máy:..[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐAKNÔNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2008- 2009 Bài 1(2 điểm): a) Tìm số dư r phép chia 2256723489775 cho 2009 b) Tìm chữ số hàng đơn vị số: 3100171002131003 Bài 2:(2 điểm) Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy phép chia 2007 cho 2008 Bài 3:(2 điểm) Cho P( x)=x +ax 3+ bx +cx+ d có P(0)=12 , P(1)=12 , P(2)=0 , P( 4)=60 a) xác định các hệ số a, b, c, d P(x) b) Tính P(2006) c) Tìm số dư phép chia đa thức P(x) cho x −6 2 2 Sn 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n( n 1)( n 2) Bài 4:(2 điểm) a) Cho Tính S100 và cho kết chính xác là phân số b) Xét xem hiệu sau có chia hiết cho 10 không: 49135000 − 20092010 Bài 5:(2 điểm) Xã A có 10 000 dân, xã làm kế hoạch với mức tăng dân số bình quân 2,0% năm thì sau n năm dân số xã vượt 15 000 dân 5.1 Hỏi n nhỏ là bao nhiêu, lúc đó dân số xã là bao nhiêu? 5.2 Sau ba năm thực kế hoạch hoá gia đình, số dân xã là 10 395 người Hỏi: a) Mức tăng dân số thực tế ba năm vừa qua xã A là bao nhiêu phần trăm (ký hiệu r%, r lấy hai chữ số) b) Nếu với mức tăng dân số ba năm qua, thì sau ít bao nhiêu năm (ký hiệu m năm) số dân xã A vượt 15 000 dân Bài 6:(2 điểm): Tính độ dài đáy AB, CD hình thang ABCD (chính xác đến 0,0001) Biết AB 3,5 CD 4, 47 , và độ dài đường trung bình hình thang là 2514,5 cm Bài 7:(2 điểm) a) Tính diện tích S1 tam giác ABC với a = 9,357 cm; b = 6,712 cm; c = 4,671 cm b) Cho tam giác ABC vuông C (AC < BC) Cạnh huyền AB = 27,599 cm, đường cao CH = 12,738 cm Tính độ dài AH, BH? c) Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu H trên AC, BC Tính diện tích S tứ giác CMHN Bài 8:(2 điểm) a) Tìm số tự nhiên nhỏ mà bình phương nó là số bắt đầu chữ số 19 và kết thúc chữ số 69 b) Tìm số tự nhiên n (31258 < n < 49326) để 17313596 là lập phương số tự nhiên ( + 5) - ( = n Un ) n Bài 9:(2 điểm) Cho dãy số với n = 0,1,2,3,… a) Tính số hạng đầu dãy số U0 , U1, U2, U3 ,U4 b) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1 Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un+1 theo Un và Un-1 Bài 10:(2 điểm) a)Tìm ƯCLN ( 3n +2, 2n +1) với n là số nguyên bất kì.( Trình bày cách làm và ghi kết vào ô sau) 10370369 b)Chứng minh phân số P = 6913579 là phân số tối giản (2) ĐÁP ÁN VAØ BIỂU ĐIỂM HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO ĐỀ 02 Nội dung đáp án Bài Biểu điểm a) Ta viết 2256723489775 = 22567234 105 + 8975 = (2009 1123 + 137) 105 + (2009 44 + 1379) =(2009 1123) 105 + (2009 44) + 137 105 + 1379 =(2009 1123) 105 + (2009 44) +(2009 6819) + 629 + 1379 =(2009 1123) 105 + (2009 44) +(2009 6819) + 2008 Vậy số dư phép chia 2256723489775 cho 2009 là 2008 Đáp số: r = 2008 b) Vậy chữ số hàng đơn vị số: 3100171002131003 là chữ số Đáp số: Chữ số Ta 1 2007 2008 có =0,999(501992031872509960159362549800796812749003984063745) 2007 Vậy là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kỳ 51 chữ số 2008 Vì trước chu kỳ là chữ số Nên chữ số thứ 2007 chính là chữ số ứng với số dư chia 2004 cho 51; (2007 -3 =2004) Ta có 2004 = 51 39 + 15 Do đó chữ số thập phân thứ 2004 ứng với chữ số vị trí thứ 15 chu kỳ là chữ số Đáp số: Chữ số thập phân thứ 2007 là chữ số ¿ d =12 a+ b+c=− a) Theo bài ta có hệ phương trình: a+ b+2 c=− 28 16 a+ b+ c=−52 ¿{{{ ¿ a=−2 , b=− , c=8 , d=12 => Vậy P( x)=x − x −7 x + x+12 b) P( x)=x − x −7 x 2+ x+12=( x −3 )( x −2 ) ( x+2 ) ( x+ ) 1 Ta có P(2006) = 2003.(2004.2007.2008)=2003.8076232224 dùng giấy nháp để thực phép nhân kết quả: P(2006) = 16176693144672 c) Số dư phép chia P(x) cho 5x - P () P =10 ,1376 () ⇒ R=10 ,1376 2 2 Sn 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n( n 1)(n 2) 1 1 1 1.2 2.3 2.3 3.4 n(n 1) ( n 1)(n 2) 1 ( n 1)( n 2) 1 1 2575 S100 (100 1)(100 2) 101.102 5151 b) 49135000- 20092010 = (49134)1250 – (20092)1005 = (…………1)1250 – (………….1)1005 = ( 0) 1 (3) Suy hiệu 49135000 – 20092010 chia hết cho 10 5.1 Gọi dân số ban đầu là x và nức tăng dân số là m% Sau năm dân số nước đó là A1 = x + x.m = x(1 + m) Sau hai năm dân số nước đó là: A2 = x(1 + m) + x(1 + m).m = x(1 + m)2 Sau ba năm dân số nước đó là : A3 = x(1 + m)2 + x(1 + m)2 m = x(1 + m)3 Do sau n năm dân số nước đó là: An = x(1 + m)n (1) Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh (1) đúng với n: (1) đúng với n = 1, Giả sử n = k, tức là Ak= x(1 + m)k, Với n = k + 1, ta có Ak+1 = x(1 + m)k+1 = x(1 + m)k + x(1 + m)k m = x(1 + m)k+1 Vậy (1) đúng với n n An x r % Ta có công thức: , đó x là số dân thời đểm xã, r % là tỉ lệ tăng dân số, n là số năm n 5.2.a) Theo công thức An x r % A3 10000(1 r ) 10395 100 Ta có: ⇔ 1 r 10395 3 100 10000 ⇒ 10395 r 100 1 10000 Tính trên máy: ( ( ) ) 100 SHIFT 10395 10000 = (1.29970125) Vậy sau năm mức tăng dân số xã đó là: 1,3% Đáp số: r 1,3% b) Nếu số dân tăng năm qua với mức tăng là 1,3%, thì số dân xã vượt 15000 (người) thì: n 10000 0.0129970125 15000 Vậy với mức tăng 1,29970125% thì sau 32 năm thì số dân xã đó là 15117 (người), vượt quá ngưỡng 150000 (người) Đáp số: m = 32 (năm) A B M N D Vẽ hình AB 3,5 AB 3,5 AB CD 3,5 4, 75 a) CD 4, 75 C Mà AB + CD = 2MN AB 3,5 AB 2133,5152 (cm) 2.MN 3,5 4, 75 CD = 2.MN – AB = 2895,4848 (cm)Vậy S ABCD Ân máy được: S ABCD 609,9702859 (cm2) S ABC S ABCD BH BH b) Có AC = Bấm máy được: AC 35,36059628 (cm) 17, 252 , , = AB BC = Sin38 40 Cos38 40 (4) a) Áp dụng công thức tính diện tích HêRông S = p ( p a)( p b)( p c) với p a b c Suy S = 14,79841764 cm2 b) Đặt x = AH, suy BH = AB – x Áp dụng công thức CH2 = AH.BH = x.(AB – x) Suy 12,7382 = x.(27,599 – x) Tương đương với x2 - 27,599.x + 12,7382 = Giải phương trình bậc hai ẩn trên máy, ta x1 = 19,107; x2 = 8,492 Vì AC < BC, nên AH = 8,492 cm; BH = 19,107 cm HM= AH.CH AH.CH BH.CH BH.CH = = HN= = = AC BC AH +CH 7,0657711; BH +CH 1 c) Ta có 10,59865665 Suy S2 = HM.HN = 74,88768185 cm2 a) Để a2 là số có tận cùng là 69 thì a phải có tận cùng là Thử trên máy Casio các số: 13; 23; 33; 43; 53; … 83; 93; 17; 27; 37;… ; 87; 97 ta tìm số: 13; 63; 37; 87 là số bình phương có tận cùng là 69 Có vô số tự nhiên thỏa mãn điều kiện đề bài Nhưng số nhỏ mà bình phương nó là số bắt đầu 19 và tận cùng là 69 thì đó là số: a = 1413; đó a = 1996569 Số a có tận cùng là: 13; 37; 63; 87 thì a2 có tận cùng là 69 Số bé ta cần tìm là số: a = 1413 Đáp số: a = 1413 b) Vì 17313596 – 35n là lập phương số tự nhiên Ta viết a3 = 17313596 – 35n (a N*) Khi đó √3 17313596− 35× 49326 < a < √3 17313596− 35× 31258 Dùng máy tính khai ta có : 249,7981624 √3 17313596− 35× 49326 <a< √3 17313596− 35× 31258 253,1316265 Vì a N* nên 249 < a < 253 17313596 −a Từ đẳng thức a3 = 17313596 – 35n suy n = (*) 35 Thay a = 250; 251; 252 vào biểu thức(*), thấy cógiá trị a =251 là thỏa 17313596 −251 mãn, đó n = 35 Vậy n = 42867 thì a3 = 17313596 – 35 1 42867 = 15813251 = 2513 Đáp số: n = 42867 ( + 5) - ( = n Un ) n a) Cho dãy Quy trình tìm số hạng đầu dãy số U0 , U1, U2, U3 ,U4 trên Casio fx-570MS Khai báo biến đếm: ALPHA M ALPHA = ALPHA M + ALPHA : (5) Khai báo biểu thức Un: ( ( + ) ^ ALPHA M - ( 3- ) ^ ALPHA ) ¸ Vậy số hạng đầu tiên dãy là: 64 U0 = 0; U1 = , U2= 4, U3 = 21 = ,U4 = 112 b) Giả sử un+1 = a un + b ¿ u3 =au2 + bu un-1 Ta có hệ phương trình u4 =au 3+ bu ¿{ ¿ ìï 64 ïï 4a + b = 3 ïí ⇔ ìï 12a + 2b = 64 ⇔ ìï - 72a - 12b = - 384 ïï 64 ïí ïí a + 4b = 112 ïï ï ïïî 64a +12b = 336 64a + 12b = 336 ïî Hay îï ïìï 12a + 2b = 64 ⇔ íï ïî - 8a = - 48 ïìï 12 ´ + 2b = 64 ïìï a = ⇔ íï ⇔ íï ïî a = ïî b = - Vậy ta có công thức dãy là: un+1 = 6un – 4un-1 c) Quy trình bấm phím liên tục để tính dãy Un+1 theo Un và Un-1 Cách Quy trình bấm phím liên tục tính U n+1 trên máy tính Casio fx-500MS Casio fx-570MS: Gửi U0 = vào ô A : Gửi U1 = vào ô B : SHIFT STO A ab/c SHIFT STO B Vì U1 = trên màn hình, nên tính U2 = 6U1 – 4U0 và gửi vào ô A sau: ´ - ALPHA A SHIFT STO A (*) Vì giá trị U2 trên màn hình, nên ta tính U3 = 6U2 – 4U1 và gửi vào ô B sau: ´ - ALPHA B SHIFT STO B (**) Quy trình lặp: Sử dụng phím D trên phím REPLAY để trở dòng (*) Bấm phím D = để các Un+1 = 6Un - 4Un-1 D = 10 a) Gọi d = ƯCLN ( 3n +2, 2n +1) 2( 3n + 2) d và (2n + ) d 2( 3n + 2) - (2n + ) d Hay d d = Vậy ƯCLN ( 3n +2, 2n +1) = b) Vì 10370369 = 10370367 + = 3456789 + 6913579 = 6913578 + = 3456789 + Do đó theo câu a) ta được: (A) (6) UCLN(10370369 , 6913579) = 10370369 Vậy phân số 6913579 là phân số tối giản (7)