1,0 điểm Cho lăng trụ ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ trên ABC trùng với trọng tâm G của ABC.. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.[r]
(1)Trường THPT Ninh Giang Tỉnh Hải Dương Đề thi gồm trang ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG LẦN II Môn thi: TOÁN Khối D-Năm học 2012-2013 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Phần chung cho tất các thí sinh (7,0 điểm) 2x y x 1 ( C ) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) hàm số Tìm m để đường thẳng ( d m ) : y = -x + m cắt (C ) hai điểm phân biệt M, N cho tam giác PMN , với P (2;5) Câu II (2,0 điểm) 1.Giải phương trình cos x sin x cos x 3(sin x cos x) x x3y x2 y2 1 2.Giải hệ phương trình x y x xy 1 x ( x −1 ) I = Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân ∫ x2 − dx Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A’ trên (ABC) trùng với trọng tâm G ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA’ và BC a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a Câu V (1,0 điểm)Tìm tất các giá trị cảu m để phương trình: √ x −3 − √ x − 4+ √ x −6 √ x − 4+ 5=m có đúng nghiệm phân biệt Phần riêng (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần a b Chương trình chuẩn: Câu VI.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2, 1) lấy điểm B thuộc trục Ox có hoành độ x và điểm C thuộc trục Oy có trung độ y cho ABC vuông A Tìm B, C cho diện tích ABC lớn 1 log 2x 3x log x 1 2 Câu VII.a (1,0 điểm) Giải bất phương trình: P ( x) ( x5 )n x3 với x Biết n là số nguyên dương nghiệm Câu VIII.a(1,0 điểm) Cho khai triển: n 1 n đúng phương trình: cn 4 cn3 7( n 3) Tìm hệ số số hạng chứa x Chương trình nâng cao: Câu VI.b (1,0 điểm)Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) các điểm A, B cho AB=√ x log log3 (3 x) 2 Câu VII.b (1,0 điểm) Giải phương trình: log9(x – 5x + 6) = Câu VIII.b( 1,0 điểm) Có xạ thủ bắn vào bia Xác suất trúng đích 0,2 Tính xác suất để lần bắn có: a) Ít lần bắn trúng bia? b) Bắn trúng bia đúng lần? Hết -Họ và tên thí sinh:………………………… Số báo danh: ……………………………… Thí sinh không dùng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI THỬ TOÁN KHỐI D LẦN II- NĂM 2012 Câu I (Biểu điểm gồm 05 trang) Nội dung Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y' 0 R \ 1 ( x 1)2 * TXĐ: ; Hàm số đồng biến trên TXĐ 2x 2 x x x ; x Tiệm cận đứng x = - 1; Tiệm cận ngang y = * Bảng biến thiên y 0 x ; Giao Oy: x 0 y Giao Ox: Đồ thị: (1.0 điểm) Tìm m để đường thẳng … Phương trình hoành độ giao điểm ( d m ) và ( C) là: 2x x m x (m 3) x m 0 x 1 (1) , với x ( d m ) cắt (C) điểm phân biệt và pt (1) có hai nghiệm phân biệt m 2m 13 0.m 0 ( đúng với m) x1 x2 m x x m x ; x Gọi là các nghiệm (1), ta có A ( x ; x m ); B ( x ; x m ) 1 2 Giả sử lim lim lim Điểm 0.25 0.25 AB 2( x1 x2 ) ; 0.25 0.25 0.25 0.25 PA ( x1 2)2 ( x1 m 5) ( x1 2) ( x2 2)2 PB ( x2 2)2 ( x2 m 5) ( x2 2) ( x1 2) .Suy tam giác PAB cân P PA2 AB Do đó PAB ( x1 2) ( x2 2) 2( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 4( x1 x2 ) x1 x2 0 0.25 0,25 m 1 m 4m 0 m II Giải phương trình: cos x sin x cos x 3(sin x cos x) (1) (1) cos 2x sin 2x 3(sin x cos x) 1 1 3 cos 2x sin 2x 6 sin x cos x 2 2 2 cos 2x 6 cos x cos 2x 3cos x 3 6 3 6 0.25 25 (3) cos x 0 v cos x (loại) cos2 x 3cos x 6 6 6 6 25 0.25 π π 2π x − = +kπ ⇔ x= + kπ , k Z x x3y x2 y2 1 2 Giải hệ: x y x xy 1 (I) ( x2 xy)2 x3y 1 (I) ( x xy) x y 1 Đặt u = x2 + xy, v = x3y u2 v 1 u v (I) thành v u u u 0 x2 xy 0 x2 xy 1 x y 1 x3y 0 x 1 x y 1 y III u 0 v 1 y x x 1 0.25 u 1 v 0 0.25 y 0 x 1(vn) 0.25 0.25 x ( x −1 ) dx x2 − 1 x ( x −1 ) x2 − x dx=∫ dx Ta có I =∫ x −4 0 x −4 1 x d x 4 dx ∫ dx 2 ∫ ∫ x x 4 20 x x 22 0 Tính tích phân I =∫ 0.25 0.25 1 x 1 ln x ln 1 ln ln x2 IV 0.5 Tính thể tích… Diện tích đáy là S ABC a2 a AE Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Ta có 2 a a AG AE 3 Gọi E là trung điểm BC Ta có BC AE BC (AA'E) BC A ' G Gọi D là hình chiếu vuông góc E lên AA’ Suy 0.25 0.25 (4) BC DE ; AA' DE Vậy DE là khoảng cách đt AA’ và BC DE a A' C' D B' A 0.25 DE DAE 300 AE Tam giác ADE vuông D suy G E a A ' G AG.tan 300 B Xét tam giác A’AG vuông G ta có a a a3 VABC A' B ' C ' A ' G.S ABC 12 SinDAE C V 0.25 Tìm m để phương trình: có đúng nghiệm P/trình cho (1) √ √ x −3 − √ x − 4+ √ x −6 √ x − 4+ 5=m ⇔ √ ( x − ) − √ x − +1+ √ ( x − ) −6 √ x − +9=m √ 0.25 ⇔ ( √ x − − ) + ( √ x − − ) =m ⇔|√ x − − 1|+|√ x − − 3|=m đặt: t=√ x − ≥ Ta có: (1) ⇔|t −1|+|t −3|=m () Xét hàm số f ( t )=|t −1|+|t −3|, ¿ − t neáu ≤t ≤1 neáu 1≤ t ≤ t ≥ Ta có t − neáu t ≥ ¿ f ( t )={ { ¿ (1) 0.25 0.25 Đồ thị y 0,25 O Từ đồ thị ta có: m 4 x (5) VI a Tìm B, C cho diện tích ABC lớn AB ⃗ AC=0 Ta có A(2, 1); B(b, 0); C(0,c) với b, c ; ABC vuông A ⇔ ⃗ ⃗ ⃗ Ta có AB=( b −2, −1 ) ; AC= ( −2 , c −1 ) Do ABC vuông A ⇒ ⃗ AB ⃗ AC=− ( b − ) − ( c − )=0 ⇔ c −1=−2 ( b −2 ) ⇒c=− 2b +5 ≥0 ⇒ 0≤ b ≤ 1 S ABC AB AC 2 Ta lại có b 2 1 c 1 0,25 0,25 S ABC= √ ( b −2 )2 +1 √ 4+ ( b − )2=( b −2 )2 +1 nên SABC = (b – 2)2 + lớn b = Khi đó c = Vậy, ycbt B(0, 0) và C(0, 5) 1 log 2x 3x log x 1 2 (1) Giải bất phương trình: VII a vì ≤ b ≤ 0,25 1 2 ĐK x 1 Khi đó (1) ⇔ − log ( x − x +1 ) + log ( x − ) ≥ 2 0.25 0.25 1 ⇔ − log ( x − x +1 ) + log ( x − )2 ≥ 2 log x 1 1 0.25 (x 1)2 2 (x 1)(2x 1) 1 x 1 x 2 (x 1) 2 3x 0 x (2x 1) 2x VIII a 0,25 Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển 0.25 P ( x) ( x5 )n x cnn14 cnn3 7(n 3) (n 4)(n 3)(n 2) (n 3)(n 2)(n 1) 42(n 3) n 5n 14( n 3) n2 9n 36 0 0,25 n 3(loai ) ( x5 )12 n 12( tm ) Với n=12 ta có nhị thức: x 0,25 P( x) ( Ta có: 5(12 k ) 60 11k 12 12 12 k k 3k k k 2 x ) c x x c x 12 12 x3 k 0 k 0 60 11k 8 60 11k 16 k 4 4 Hê số x là c12 7920 0,25 0,25 (6) Viết pt đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) các điểm A, B cho AB=√ 2 Ta có (C): x + y – 2x + 4y + = có tâm I(1, –2) ; R= √ (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB IM trung điểm H đoạn AB Ta có AB √ AH=BH= = Có vị trí cho AB đối xứng qua tâm I 2 Gọi A'B' là vị trí thứ AB Gọi H' là trung điểm A'B' 0,25 0,25 3 IH ' IH IA AH MI Lại có: VI.b Ta có: MH ' MI H ' I 5 1 2 5 13 13 MH ' MI H ' I 5 2 ; 2 49 52 R21=MA2=AH2 +MH2 = + = =13 4 169 172 2 2 R2=MA ' = A ' H ' +MH ' = + = =43 4 Vậy có đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43 x log log3 (3 x) Giải phương trình: log9(x2 – 5x + 6)2 = ĐK Điều kiện: < x < và x ≠ (1) Ta có: VII b VIII b Pt (1) log3 x 5x log3 x (x 1)(3 x) log3 (3 x) log3 x 5x log 2 0,25 0,25 0,25 0,25 (x 1)(3 x) x (3 x) (x 1)(3 x) 0 x x 0 1 x 2 x 1 x 2 x hay 5 hay x x 3 2x x 2x x x= Tính xác suất 0,25 a.Gọi A là biến cố có ít lần bắn trúng bia P A P A1 A1 A1 0,8.0,8.0,8 0,512 P A 1 P A 0, 488 0,5 b Gọi Ai là biến cố người đó bắn trúng bia lần thứ i, i=1,2,3 A là biến cố lần bắn người bắn trúng bia lần A A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 P A 3.0,128 0,384 0,5 (x 2)(x 3) Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác đáp số đúng cho điểm tối đa 0,25 (7)