d- Viết phương trình tiếp tuyến với C tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.. a Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.[r]
(1)Chủ đề 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Các kiến thức cần nhớ Ứng dụng đạo hàm cấp để xét tính đơn điệu hàm số Mối liên hệ đồng biến, nghịch biến hàm số và dấu hàm cấp nó Cực trị hàm số Điều kiện đủ để có cực trị Điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị hàm số Các điều kiện đủ để có điểm cực trị hàm số Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số trên tập hợp số Đường tiệm cận đồ thị hàm số Đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang Khảo sát hàm số Sự tương giao hai đồ thị Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị) Các dạng toán cần luyện tập Xét đồng biến, nghịch biến hàm số trên khoảng dựa vào dấu đạo hàm Tìm điểm cực trị hàm số Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số trên đoạn, khoảng Tìm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y ax bx cx d ( a 0) y ax bx c ( a 0) ax b y (ac 0, ad bc 0) cx d , đó a, b, c là các số cho trước Dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm phương trình Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm thuộc đồ thị hàm số Tìm trên đồ thị điểm có tính chất cho trước(như điểm cố định…) Tương giao hai đồ thị (một hai đồ thị là đường thẳng); MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHỦ ĐỀ I Đơn điệu hàm số Cho hs y = f(x) xác định trên K (K R) 1) Nếu f’(x) với x K thì hs đồng biến trên K 2) Nếu f’(x) với x K thì hs nghịch biến trên K Dấu “=” xảy (với trường hợp trên) số hữu hạn điểm x K * Nhắc lại kiến thức lớp 10: Cho tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx + c (a 0) và biệt thức = b2 – 4ac 0 g(x) 0, x R a 1) 0 g(x) 0, x R a 2) II Cực trị hàm số 1) Điều kiện cần để hs có cực trị: Nếu hs y = f(x) có đạo hàm và đạt cực trị x0 thì f’(x0) = (ngược lại không đúng) 2) Điều kiện đủ (gọi là dấu hiệu) để hs có cực trị: (dùng để tìm cực trị hs) a) Dấu hiệu I: “đạo hàm đổi dấu x qua x0 thì x0 là điểm cực trị” (2) b) Dấu hiệu II: f '(x ) 0 f "(x ) * Nếu thì hs đạt cực tiểu x0 f '(x ) 0 f "(x ) * Nếu thì hs đạt cực đại x0 Chú ý: điều kiện trên là điều kiện chiều! III Qui tắc tìm GTLN và GTNN hs 1) Nếu bài toán yêu cầu tìm GTLN và GTNN hs trên khoảng, trên TXĐ thì ta lập BBT KL a; b thì ta thực các bước sau: 2) Nếu bài toán yêu cầu tìm GTLN và GTNN hs trên đoạn a; b , hs đã cho liên tục Bước 1: Khẳng định trên đoạn a; b Bước 2: Tìm các điểm x mà đó đạo hàm không xác định, là nghiệm đạo hàm a; b Bước 3: Tính giá trị hs các điểm x nói trên bước 2, giá trị hs đầu mút a, b So sánh các giá trị bước KL a; b thì ta có thể lập BBT KL Lưu ý tìm GTLN và GTNN hs trên đoạn IV Tìm các đường tiệm cận đứng, ngang đồ thị hs ,a b, Tìm TXĐ hs, giả sử hs y = f(x) có TXĐ: D = Ta tìm các giới hạn hs x tiến tới các “biên” TXĐ, đây ta có “biên”: ; ; trái a; phải b Vậy ta tìm thảy giới hạn hs x , x , x a , x b (lưu ý phải tìm đủ tất giới hạn) lim y y0 Giả sử x thì KL đồ thị hs có đường tiệm cận ngang y = y0 ( x tiến tới vô cùng, y tiến tới số) lim y Giả sử x a thì KL đồ thị hs có đường tiệm cận đứng x = a (x tiến tới số, y tiến tới vô cùng) V Bài toán PT, BPT chứa tham số có ràng buộc điều kiện nghiệm y m Max y M a; b và Min a;b Giả sử hs y = f(x) liên tục trên đoạn , a;b k là số thực Khi đó: a; b m k M 1) PT f(x) = k có nghiệm thuộc a; b k M 2) BPT f(x) k có nghiệm thuộc a; b k m 3) BPT f(x) k nghiệm đúng x a; b k m 4) BPT f(x) k có nghiệm thuộc a; b k M 5) BPT f(x) k nghiệm đúng x BÀI TẬP I ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN Cho hàm số y 3x 1 x có đồ thị C CMR hàm số đồng biến trên khoảng xác định 2 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y x x (3) 0;1 và nghịch biến trên khoảng 1; CMR hàm số y x x đồng biến trên khoảng Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y x x Cho hàm số y=x3-3(2m+1)x2+(12m+5)x+2 Tìm m để hàm số luôn đồng biến Cho hàm số y=mx3-(2m-1)x2+(m-2)x-2 Tìm m để hàm số luôn đồng biến x3 x sin x Chứng minh với x > 0, ta có: Cho haøm soá f x 2sin x tan x x 0; a CMR hàm số đồng biến trên 2sin x tan x 3x, x 0; 2 b CMR II CỰC TRỊ y x3 mx 2m 3 x Câu 1: Chứng minh hàm số luôn có cực trị với giá trị tham số m 2 y x 3mx m 1 x Câu 2: Xác định tham số m để hàm số đạt cực đại điểm x 2 x y mx m x m Câu 3: Tìm m để hàm số có cực đại Câu 4: Tính giá trị cực trị hàm số y x x x x Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị Câu 5: Tìm m để hàm số III y m x3 x mx có cực đại, cực tiểu GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Tìm GTNN, GTLN hàm số: y x x 2 Tìm GTLN, GTNN hàm số y 3x 10 x Tìm GTLN, GTNN hàm số y x x Tìm GTLN và GTNN hàm số f x x4 x2 1 trên đoạn Tìm GTLN và GTNN hàm số f x x 2cosx 0; trên đoạn Tìm GTLN, GTNN hàm số: f x x Tìm GTLN và GTNN hàm số 0; 2 x trên đoạn 2; 4 f x x x trên đoạn 1; 2 (4) Tìm GTLN và GTNN hàm số Tìm GTLN và GTNN hàm số f x 2 x x f x 1;1 trên đoạn 2x x trên đoạn 0; IV TIỆM CẬN Tìm các tiệm cận đứng và ngang đồ thị hàm số sau: x2 x 2x x 3x y y y x 1 x2 x2 a) b) c) x 1 x x2 2x y y y x2 x2 x e) f) g) IV d) h) y y 2 x x 4x x2 x KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ Câu 1: Cho hàm số y x x (C ) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) M o 2; Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 24 x 2008 (d ) y x 2008 (d ') Viết phương trình tt với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: Viết phương trình tt với (C) giao điểm đồ thị với trục tung Biện luận số nghiệm phương trình: x x m 0 theo m Biện luận số nghiệm phương trình: | x x | m theo m y x x (C ) 2 Câu 2: Cho haøm soá Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) 5 M 2; 2 Viết pt tt với đồ thị (C) điểm 5 m x x2 0 Bieän luaän soá nghieäm cuûa pt: Câu 3:1 Khảo sát và vẽ đồ thị C hàm số y x 3x (5) C , biện luận theo Dựa vào đồ thị m số nghiệm phương trình: x3 3x m 0 Câu 4: Cho hàm số y 2 x 3x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2 Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình x 3x m C Câu 5: Cho hàm số y x x có đồ thị Khảo sát hàm số Dựa vào C , tìm m để phương trình: x x m 0 có nghiệm phân biệt C Câu 6: Cho hàm số y x x , gọi đồ thị hàm số là Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C điểm cực đại C y x3 x C Câu 7: Cho hàm số: có đồ thị Khảo sát hàm số Cho điểm tuyến M C có hoành độ là x 2 Viết phương trình đường thẳng d qua M và là tiếp C 3 C Câu 8: Cho hàm số y x 3mx 4m có đồ thị m , m là tham số Khảo sát và vẽ đồ C1 hàm số m=1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị C1 điểm có hoành độ x 1 Câu 9: Khảo sát và vẽ đồ thị C hàm số y x x x Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn đồ thị C Với giá trị nào tham số m, đường thẳng y x m m qua trung điểm đoạn thẳng C nối hai điểm cực đại và cực tiểu đồ thị 2 Caâu 11: (ÑH -KA –2002) ( C ) y x 3mx 3(1 m ) x m m a-khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( C ) m =1 3 b- Tìm k để pt : x 3x k 0 Có nghiệm phân biệt Caâu 12: Cho hs : ( C ) y x x a.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( C ) b.Vieát PTTT ( C) qua A ( -2;0) (6) c Bieän luaän SNPT : x3- 3x+3 + 2m=0 Caâu 13: Cho (C) : y = f(x) = x4- 2x2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Tìm f’(x) Giaûi baát phöông trình f’(x) > c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) : Tại điểm có hoành độ √ Tại điểm có tung độ 3 Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007 x −10 Biết tiếp tuyến vuông góc với d2 : y = 24 2x y x 1 Caâu 14: Cho hs : ( C ) a-KS-( C ) b-CMR: đthẳng y =2x+m cắt đồ thị ( C ) điểm phân biệt A; B với m Xác định m để AB ngắn y x2 x 1 Caâu 15: - Cho hs : ( C ) a-KSHS b-Tìm m đth y= mx+m+3 cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt c- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm đồ thị hàm số với trục tung d- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành e- Tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên Caâu 16: Cho HS ( C ) y = x3 - 6x2 +9x-1 a- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên b- (d) qua A(2;1) có hệ số góc m Tìm m để (d) cắt (C) điểm phân biệt Câu 17: Cho hàm số y x x , gọi đồ thị là (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm cực đại (C) y x 1 (C ) x 1 Caâu 18: Cho haøm soá a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt song song với đường thẳng y = 4x -2 c Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ Caâu 19: Cho haøm soá y x x (C ) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm k để đường thẳng y kx k tiếp xúc với (C) Caâu 20: (ÑH – KB – 2008) Cho haøm soá y 4 x x (C ) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Vieát pttt bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm M(-1; -9) Chủ đề HAØM LUỸ THỪA , HAØM SỐ MŨ VAØ HAØM SỐ LOGARIT MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHỦ ĐỀ Luỹ thừa: a 1 (a 0); a n * Quy taéc tính: m n (a 0); a n n a m (a>0) a (7) n m n a a m a n a m n ; a mn an a bn ; b ; m a a m n n a ; * Quy taéc so saùnh: ab n a n b n m n + Với a > thì a a m n m n + Với < a < thì a a m n Caên baäc n n n n n a.b a b ; a na b nb n a ap n p m n a mn a Hàm số lũy thừa Hàm số lũy thừa là hs dạng y = x , với là số thực tùy ý * Nếu nguyên dương thì hàm số xác định với x * Nếu nguyên âm thì hàm số xác định với x 0 * Nếu không nguyên thì hàm số xác định với x>0 Loâgarit * log a b a b log a a b b; log a a 1; * log a 0; * Tính chaát so saùnh: a loga b b + Với a > thì: log a b log a c b c + Với < a <1 thì: log a b log a c b c + log a b log a c b c * Quy taéc tính: log a b.c log a b log a c log a b log a b * Công thức đổi số: log b c log a c log a b log a b log b a hay b log a b log a c c log a b log a b log a log a n b log a b n log a b.logb c log a c a c hay log a b.log b a 1 ; * Chuù yù: Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx lgx Loâgarit cô soá e kí hieäu laø: lnx Bảng đạo hàm cần nhớ: Đạo hàm hàm số sơ cấp thường gặp Đạo hàm hàm số hợp u = u(x) 1 x ' x u ' u 1.u ' , 1 x x logb c log b a ' u' 1 u u (8) ' x ' x x n n n ' u ' u' u u' u n n x n ' n u n ' sin x cos x ' cos x sin x sin u u '.cos u ' cos u u '.sin u cos x = + tan2x ' cot x sin x = - (1 + cot2x) u' cos u u' ' cot u sin u tan x ' tan u x ' ' u ' e e a a ln a e u '.e a u '.a ln a x ' log a x x.ln a u' u u' ' log a u u.ln a x x ' u ' x ln x ' u u ln u ' BAØI TAÄP LUỸ THỪA Vấn đề 1: Tính Giá trị biểu thức 1 1 32 53 47 : : 16 : (5 Baøi 1: Tính a) A = 1 (2 3) Baøi 2: a) Cho a = (2 3) vaø b = 10 vaø b = b) cho a = Baøi 3: Tính a) A = 2 Tính A= (a +1)-1 + (b + 1)-1 10 Tính A= a + b b) B = 23 3 b) B = 81a 4b với b 3 (0, 25) ( ) 25 ( ) : ( )3 : ( ) 4 b) Vấn đề 2: Đơn giản biểu thức 3 27 c) C = Bài 4: Giản ước biểu thức sau a) A = (a 5) 2 x y (x y) 1 ( x y) x y d) E = 2a x e ) F = x x c) C = (a 25 ) (a > 0) 2 x y xy với x > 0, y > 1 a b b a với x = vaø a > , b > (9) ax a x 2ab a x a x Với x = b f) G = vaø a > , b > 4a 9a a 3a 1 a a với < a 1, 3/2 g) J = 2a 3a a a a 14 a b a b a a 3 a b h) a b i) a a j) a a4b a b a ab a a x2 y2 k) x xy x 3 x y : x x y y Vấn đề 3: Chứng minh đẳng thức Bài chứng minh : x x x x 2 với 1 x a a 4b b Bài chứng minh : a 2b ( a b ) 3 1 32 1 2 x a x a 1 2 (ax ) x a x2 a2 Bài 7: chứng minh: với < a < x x x3 y xy y y( x2 y ) 1 ( x y ) : ( x y ) 1 2 1 x xy y x ( x y) Bài chứng minh: Với x > , y > 0, x y , x - y Bài 9: Chứng minh 80 80 3 LOGARIT Vấn đề 1: các phép tính logarit Tính logarit cuûa moät soá Baøi 10 A = log24 E= I= B= log1/44 log 4 F= C= log log log16 (2 2) G= J= log log 0,5 (4) 25 D = log279 3 3 log 27 H= 34 2 8 K= log a3 a L= Bài 11 : Tính luỹ thừa logarit số A= B = 27 log log 10 E= log I = (2a ) log 1log 70 F= 2 a log 3log3 J = 27 Vấn đề 2: Rút gọn biểu thức C= log 3 4log8 G= 3 D = 2 2log log3 3log3 H= log (a a ) a (10) Bài 12: Rút gọn biểu thức A= log 8log 81 B= D = log3 log8 log6 log G = log 625 log 25log C= log 25 log 30 F = log 30 log E = log 2.log 3.log 4.log 5.log log 24 log 192 log log 49 log 27 log log 96 12 H= I= Vấn đề 3: Chứng minh đẳng thức logarit Bai 13: Chứng minh ( giả sử các biểu thức sau đã cho có nghĩa) 1 n( n 1) log b log a x log ax (bx ) a log a1 x log a x log a.n x log a x log a x a) b) c) cho x, y > vaø x2 + 4y2 = 12xy Chứng minh: lg(x+2y) – lg2 = (lgx + lg y) / d) cho < a 1, x > log a2 x (log a x) 2 Chứng minh: log ax Từ đó giải phương trình log3x.log9x = e) cho a, b > và a + b = 7ab chứng minh: 2 log a b (log a log b) 3 HAØM SOÁ MUÕ HAØM SOÁ LOGARIT Vấn đề 1: tìm tập xác định hàm số Baøi 14: tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau log 10 x a) y = b) y = log3(2 – x)2 2x d) y = log |x – 2| e)y = log ( x 2) g) y = log x2 4x h) y = log x c) y = f) y = log 1 x 1 x log x x 1 i) y= lg( x2 +3x +2) Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số Bài 15: tính đạo hàm các hàm số mũ a) y = x.ex b) y = x7.ex e) y = (2x2 -3x – 4)ex f) y = sin(ex) c) y = (x – 3)ex x x1 g) y = cos( e ) d) y = ex.sin3x h) y = 44x – 1 x2 x x i) y = 32x + e-x + j) y= 2xex -1 + 5x.sin2x k) y = Bài 16 Tìm đạo hàm các hàm số logarit x2 a) y = x.lnx b) y = x2lnx - c) ln( x x ) d) y = log3(x2- 1) e) y = ln2(2x – 1) f) y = x.sinx.lnx g) y = lnx.lgx – lna.loga(x2 + 2x + 3) PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT Vấn đề 1: Phương trình mũ (11) Daïng Ñöa veà cuøng cô soá Baøi 17 : Giaûi aùc phöông trình sau x a) x d) 2 x 8 b) 41 x x2 x 2 x 9 x 3 x c) x 5 x 17 x 32 128 x f) 16 e) 52x + – 52x -1 = 110 2(1 x ) f) 2x + 2x -1 + 2x – = 3x – 3x – + 3x - g) (1,25)1 – x = (0, 64) Daïng ñaët aån phuï Baøi 18 : Giaûi caùc phöông trình a) 22x + + 22x + = 12 b) 92x +4 - 4.32x + + 27 = x 5 2 2 5 d) c) 52x + – 110.5x + – 75 = x e) g) 3 x 5 4 f) 20 x 52 x 5 10 x2 x 6 x 2 x 9.2 0 15 x 2 (TN – 2008) (TN –2006) x c) 3x – = b) 3x + = 5x – x x 4 h)32 x 1 9.3x 0 i) 2.7 0 (TN – 2007) j) Daïng Logarit hoùaï Baøi 19 Giaûi caùc phöông trình x 0 x 1 x a) 2x - = 15 x1 x x d) 5 e) 500 Dạng sử dụng tính đơn điệu Baøi 20: giaûi caùc phöông trình a) 3x + x = 5x b) 3x – 12x = 4x Vấn đề 2: Phương trình logarit Daïng Ñöa veà cuøng cô soá x 12 f) 52x + 1- 7x + = 52x + 7x c) + 3x/2 = 2x Baøi 21: giaûi caùc phöông trình a) log4(x + 2) – log4(x -2) = log46 c) log4x + log2x + 2log16x = e) log3x = log9(4x + 5) + ½ b) lg(x + 1) – lg( – x) = lg(2x + 3) d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = f) log4x.log3x = log2x + log3x – log x log x log g) log2(9x – 2+7) – = log2( 3x – + 1) h) (TN L2 2008) Daïng ñaët aån phuï Baøi 22: giaûi phöông trình 1 a) ln x ln x b) logx2 + log2x = 5/2 c) logx + 17 + log9x7 = e) log1/3x + 5/2 = logx3 log 2 x 3log x log x 2 g) Daïng muõ hoùa Baøi 23: giaûi caùc phöông trình 10 log x 9 d) log2x + f) 3logx16 – log16x = 2log2x h) lg x2 16 l o g x 64 3 (12) a) – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x) b) log3(3x – 8) = – x BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ Baøi 24: Giaûi caùc baát phöông trình a) 16 x–4 1 b) ≥8 x x 6 1 d) Baøi 25: Giaûi caùc baát phöông trình a) 22x + + 2x + > 17 1 x5 9 1 2 e) x x c) 3 x 15 x 4 23 x f) 52x + > 5x b) 52x – – 2.5x -2 ≤ 2 x x c) d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x e) 16x – 24x – 42x – ≤ 15 -1/x -1/x -1/x g) 9.4 + 5.6 < 4.9 Baøi 26: Giaûi caùc baát phöông trình a) 3x +1 > b) (1/2) 2x - 3≤ Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit Baøi 27: Giaûi caùc baát phöông trình a) log4(x + 7) > log4(1 – x) c) log2( x2 – 4x – 5) < e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 3x log 1 x2 g) Baøi 28: Giaûi caùc baát phöông trình a) log22 + log2x ≤ c) log2 x + log2x ≤ log x 2.log x 16 log x e) Baøi 29 Giaûi caùc baát phöông trình a) log3(x + 2) ≥ – x c) log2( – x) > x + f) 4x +1 -16x ≥ 2log48 c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - x – 2) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – d) log1/2(log3x) ≥ f) log2x(x2 -5x + 6) < b) log1/3x > logx3 – 5/2 1 1 d) log x log x 3x log (3x 1).log ( ) 16 f) b) log5(2x + 1) < – 2x d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ (13)