Đang tải... (xem toàn văn)
• Xây dựng công thức - Nêu quy tắc dấu : Trong quang hình học, để tìm các công thức có tính chất tổng quát hơn, người ta thường dùng quy ước về dấu cho các đoạn thẳng và góc như sau: a N[r]
(1)4.2 Khảo sát khúc xạ qua mặt cầu Xây dựng công thức - Xác định vị trí ảnh - Tính tiêu cự - Công thức Newton - Tính độ phóng đại - Bất biến Lagrange-Helmholtz • Định nghĩa mặt cầu khúc xạ : Mặt cầu khúc xạ là dạng quan trọng tất các mặt giới hạn thấu kính Sự khúc xạ ánh sáng qua mặt cầu là tượng dẫn đến tạo ảnh các hệ quang học • Xây dựng công thức - Nêu quy tắc dấu : Trong quang hình học, để tìm các công thức có tính chất tổng quát hơn, người ta thường dùng quy ước dấu cho các đoạn thẳng và góc sau: a) Nếu coi chiều dương là chiều truyền ánh sáng từ trái sang phải và chọn gốc tọa độ điểm O (đỉnh mặt cầu) thì độ dài các đoạn thẳng xem là dương có chiều truyền trùng với chiều truyền ánh sáng; ngược lại là âm b) Độ cao vật và ảnh xem là dương, chúng hướng lên phía trên; chúng hướng xuống phía là âm c) Bán kính chính khúc mặt cầu xem là dương tâm chính khúc bên phải mặt cầu; là âm tâm chính khúc bên trái mặt cầu d) Độ dày thấu kính và khoảng cách hai mặt khúc xạ luôn luôn xem là dương e) Góc tia sáng và quang trục chính hay pháp tuyến mặt khúc xạ xem là dương ta quay quang trục hay pháp tuyến đến gặp tia sáng theo chiều kim đồng hồ; theo chiều ngược lại là âm g) Một cách hình thức toán học, có thể coi phản xạ ánh sáng khúc xạ ta thay đổi dấu chiết suất n’ (n’ = - n) • Xây dựng công thức xác định vị trí ảnh: Giả sử mặt cầu khúc xạ EE’ có bán kính R ngăn cách hai môi trường quang học đồng tính có chiết suất n (bên trái) và n’ (bên phải) Xét tia sáng chùm tia gần trục phát từ nguồn điểm P nằm trên quang trục chính CO Chẳng hạn tia PM Tia này đến gặp mặt cầu điểm M góc tới i, khúc xạ qua mặt cầu theo phương MP’ góc khúc xạ i’, cắt quang trục chính điểm P’ Ta hãy xác định tọa độ điểm P’ là ảnh điểm P đỉnh O mặt cầu Đặt OP = s ; OP ' = s ' ; OC = R và góc (MCO) = ϕ Trên hình vẽ ghi các giá trị số học các đoạn thẳng và góc Theo định luật khúc xạ ánh sáng tia gần trục, ta có: n.i = n’.i’ Từ các tam giác PMC và P’MC, ta có: (-i) = (-u) + ϕ hay i = u - ϕ (- i’)= ϕ - u’ hay i’ = u’ - ϕ (1) (2) Thay các giá trị i và i’ vào (1), ta được: n(u - ϕ) = n’(u’ - ϕ) (2) Vẽ đường MH (MH = h) vuông góc với quang trục chính Một cách gần đúng, ta có: HP = s , HP' = s ' và HC = R Các góc u, u’ và ϕ bé, nên: tg (−u ) = (−u ) = tg (u ' ) = (u ' ) = tg = = và h h ⇒u = −s s h s' h R Thay các giá trị u, u’ và ϕ vào (2) và đơn giản h, ta được: 1 1 1 n − = n ' − s R s' R Cuối cùng: n' n n'−n − = s' s R (3) Các đại lượng s, s’ và R (3) là độ dài đại số Biểu thức (3) là công thức mặt cầu khúc xạ • Tiêu cự - Độ tụ mặt cầu khúc xạ Từ công thức (3) ta suy hai trường hợp đặc biệt: a) Khi s = - ∞, ta có: n' n n'−n − = s' − ∞ R Hay n'.R (4) = f' n'−n Như vậy, chùm tia song song với quang trục chính sau khúc xạ qua mặt cầu cắt quang trục s' = chính điểm: cách mặt cầu khoảng f’ Khoảng cách OF ' = f ' gọi là tiêu cự thứ hai mặt cầu khúc xạ b) Khi s’ = ∞, ta có: n' n n'−n − = ∞ s R hay s' = − n.R = f n'−n (5) Khoảng cách OF = f gọi là tiêu cự thứ mặt cầu khúc xạ Các điểm F, F’ gọi là tiêu điểm chính thứ và thứ hai tương ứng Dấu (-) biểu thức (5) chứng tỏ tiêu điểm F bên trái mặt cầu Nếu chùm tia tới không song song với quang trục chính, mà song song với quang trục phụ nào đó, thì điểm hội tụ nó là tiêu điểm phụ (3) Đối với chùm tia gần trục, mặt chứa các tiêu điểm gọi là tiêu diện, cách gần đúng có thể xem tiêu diện là mặt phẳng vuông góc với quang trục chính và qua tiêu điểm chính Từ các biểu thức (4) và (5), ta rút hệ thức quan trọng sau đây: f' f R (6) =− = n' n n'−n Nghĩa là tỉ số tiêu cự và chiết xuất tương ứng là đại lượng không đổi Đại lượng có giá trị nghịch đảo (6) gọi là độ tụ mặt cầu khúc xạ tương ứng: = n'−n n' n = =− R f' f (7) Độ tụ mặt cầu khúc xạ đặc trưng cho khả mặt cầu làm khúc xạ ánh sáng nhiều hay ít • Định li Lagrange-Helmholtz: Khảo sát tạo ảnh đoạn thẳng ngắn A1B1 vuông góc với quang trục chính mặt cầu khúc xạ có đỉnh O Giả thiết rằng, dựng ảnh vuông góc với quang trục chính Gọi chiết suất môi trường bên trái và bên phải mặt cầu tương ứng là n1 và n2 ; độ cao vật A1B1= y1, ảnh A2B2 = - y2 ; hoành độ vật A1B1 là OA1 = - s1; ảnh A2B2 là OA2 = s2 Các góc – u1, u2, i1, và i2 bé (vì các tia gần trục) Bây ta tìm mối liên hệ các đại lượng n1, y1, u1 và n2, y2, u2 Theo định luật khúc xạ, ta có: sin i1 i1 n2 = = sin i2 i2 n1 Theo hình vẽ: i1 = (8) y1 − y2 và i2 = s2 − s1 Từ đó: i1 s2 y1 = i2 s1 y2 (9) Từ (8) và (9), ta có: s2 y1 n2 = s1 y2 n1 (10) Mặt khác, − u1 = Từ đó: u1 s2 = u2 s1 h h và u2 = s2 − s1 (11) Thay các giá trị s2/s1 từ (11) vào (10), ta được: u1 y1 n2 = u2 y2 n1 Hay n1.y1.u1 = n2 y2 u2 (12) Nếu sau mặt cầu thứ nhất, ta đặt mặt cầu thứ hai đồng trục với mặt cầu trước, thì ảnh A2B2 đóng vai trò vật mặt cầu thứ hai và ảnh nó cho mặt cầu này là A3B3 có độ cao y3 Lặp lại lí luận đã dùng trên để đến công thức (12), ta tìm được: n3.y3.u3 = n2 y2 u2 đó n3 là chiết suất môi trường nằm sau mặt cầu thứ hai (4) Một cách tổng quát, hệ quang học đồng trục gồm nhiều mặt cầu ngăn cách môi trường đồng tính có chiết suất là n1, n2, n3… ta có hệ thức: n1.y1.u1 = n2 y2 u2 = n3.y3.u3 = … Hệ thức (13) có tên là định Lagrange-Helmholtz • (13) Độ phóng đại dài Tỉ số độ cao ảnh và độ cao vật gọi là độ phóng đại dài β (hay còn gọi là độ phóng đại ngang) = y2 y1 (14) Theo định lí Lagrange-Helmholtz (13), ta có: hay = y2 n1u1 = y1 n2u = n1s2 n2 s1 (15) Bởi vì n1 và n2 là đại lượng dương, nên dấu β xác định tỉ số s2/s1 Nếu s1< và s2 > 0, ta có ảnh thực và ngược chiều với vật Nếu s1 và s2 cùng dấu, thì β > 0, ta có ảnh ảo và cùng chiều với vật (5)