Bộgiáodụcvàđàotạo CộnghoàxãhộichủnghĩaViệtNam TrườngĐạihọcsưphạmQuyNhơn Độclập-Tựdo-Hạnhphúc Đềthituyểnsinhcaohọcnăm2001 Ngành:Toánhọc Mônthi:Giảitích Thờigianlàmbài:180phút Câu1. Chohàmsốxácđịnhtrên R 2 bởi f(x;y)= ẵ y 4 x 2 +y 2 nếu x 2 + y 2 > 0 0 nếu x 2 + y 2 =0 Chứngminhrằng a) f(x; y) cócácđạohàmriêngliêntục. b) f 00 xy (0; 0)=f 00 (0; 0). Câu2. Cho f : R ! R làánhxạliêntục.Đặt ẵ(x; y)=jf(x)Ăf(y)jvớimọi x; y 2 R.Chứngminhrằng a) ẵ(x;y) làmộtmêtrictrên R khivàchỉkhi f đơnánh. b) (R; ẵ) làkhônggianmêtricđầyđủkhivàchỉkhi f(R) làđóngtrong R vớimêtricthôngthường.Từđósuyrarằngvới ẵ(x;y)=jarctgx Ă arctgyj thì (R; ẵ) làkhônggianmêtrickhôngđầyđủ. Câu3. Chứngminhrằngkhônggian C [a;b] cáchàmsốliêntụctrên [a; b] là khảlyvớimêtric d(x; y)=max t2 [a;b] jx(t) Ă y(t)j, 8x; y 2 C [a;b] . Câu4. ChoXlàkhônggianđịnhchuẩnnchiều.Chứngminhrằngkhông gianliênhợp X Ô làkhônggianđịnhchuẩnnchiềuđồngphôituyếntínhvớiX. Câu5. Giảsử E = C [0;1] làkhônggianBanachvớichuẩn kxk =sup t2 [0;1] jx(t)j, FlàkhônggianconcủaEgồmcáchàmsốcóđạohàmliêntụctrên [0;1].Xét ánhxạ A : F ! E chobởi A(f)=f 0 . 1.Chứngminhrằng a) KerA = A Ă1 (0) làkhônggianconđóngcủaFvàAcóđồthịđóng. b)Akhôngliêntục. 2.NếutrênFxácđịnhchuẩn kxk =max t2 [0;1] jx(t)j +max t2 [0;1] jx 0 (t)j ; 8x 2 F ,hãy chứngminhrằngAlàtoántửtuyếntínhliêntục.Tính kAk. 1 TypesetbyĐặngXuânCươngCaohọc12GiảitíchĐạihọcVinh. 2 Bộgiáodụcvàđàotạo CộnghoàxãhộichủnghĩaViệtNam TrườngĐạihọcsưphạmQuyNhơn Độclập-Tựdo-Hạnhphúc Đềthituyểnsinhcaohọcnăm2001 Ngành:Toánhọc Mônthi:Đạisố Thờigianlàmbài:180phút Câu1.ChoGlàmộtnhómXycliccấpnsinhbởiphầntửavàHlàmộtnhóm concủaG. a)ChứngminhrằngHlànhómXyclicvàHcómộtmộtphầntửsinh a d với dlàmột ướcsốdươngnàođócủan. b)Choqlàmột ướcsốdươngnàođócủan.ChứngminhrằngGcóduynhất mộtnhómconcấpq. c)Chomvàklànhữngsốnguyêndương.Xétnhómcộng Z m vàquytắc tưngứng ' từ Z m vàoGchobởi '(t)=a tk ,vớimọi t 2 Z m .Chứngminhrằng ' làmộtđồngcấunhómkhivàchỉkhikmchiahếtchon. d)Xácđịnhcáctựđồngcấu,tựđẳngcấucủanhóm Z 15 . Câu2. a)ChoRlàmộtvànhgiaohoáncóđơnvịvàIlàmộtIdealcủaR. ChứngminhrằngJlàIdealnguyêntốkhivàchỉkhiR/Jlàmiềnnguyên. b)Chứngminhrằngsốnguyêndươngnlàsốnguyêntốkhivàchỉkhi Z n là mộttrường. c)Chứngminhrằngtrongtrường Z n ,vớimọi x; y 2 Z n ,tacó x + y = x n + y n =(x+y) n : Câu3. Kýhiệu V = M(2; R) vàcho A 2 V . a)Chứngminhrằngánhxạ ' A : V ! V chobởi X 7! AX Ă XA vớimọi X 2 V làmộttựđồngcấutuyếntínhcủaV. b)Chứngminhrằng ' A khônglàđơncấuvớimọi A 2 V . Câu4. GiảsửVlàmộtkhônggianvectơEuclidehữuhạnchiềuvà W 1 ; W 2 làcáckhônggianvectơconcủaV.Giảsửrằngvớimỗi Ă! v 2 W 2 ; Ă! v 6 = Ă! 0 ; tồn tạimộtvectơ Ă! x 2 W 1 saochotíchvôhướng h Ă! v ; Ă! x i 6 =0.Chứngminhrằng dim W 2 á dim W 1 . 1 TypesetbyĐặngXuânCươngCaohọc12GiảitíchĐạihọcVinh. 3 Bộgiáodụcvàđàotạo CộnghoàxãhộichủnghĩaViệtNam TrườngĐạihọcsưphạmQuyNhơn Độclập-Tựdo-Hạnhphúc Đềthituyểnsinhcaohọcnăm2004 Ngành:Toánhọc Mônthi:Giảitích Thờigianlàmbài:180phút Câu1. Chohàmsốhaibiếnsố: f(x; y)= ẵ e Ă 1 x 2 +y 2 nếu x 2 + y 2 > 0 0 nếu x 2 + y 2 =0 Tínhcácđạohàmriêng @f @x ; @f @y vàxéttínhkhảvicủahàmsố f tạiđiểm (x; y) 2 R 2 . Câu2. Chohàmsố f :[0;1] ! R xácđinhnhư sau: f(x)= ẵ 1 (x 2 +1) 2 nếu x 2 Q e x 2 nếu x 62 Q XéttínhkhảtíchRiemannvàkhảtíchLebesguecủahàmsốnàytrên [0;1] vàtínhtíchphântươngứngnếutồntại. Câu3. Giảsử (X; ẵ) làmộtkhônggianmêtric.Xét d : X Ê X ! [0;+1), d(x; y)= ẵ(x;y) 1+ẵ(x;y) .Chứngminhrằng (X;ẵ) làkhônggianmêtric. Câu4. Kíhiệu C [0;1] làkhônggianvectơgồmtấtcảcáchàmsốliêntụctrên [0;1].Với x 2 C [0;1] ,đặt kxk =max t2 [0;1] jx(t)j. 1.Chứngminhrằng (C [0;1] ; k:k) làmộtkhônggianBanach. 2.Địnhnghĩaánhxạ A : C [0;1] ! C [0;1] , (Ax)(t)= 1 R 0 sin(t + s):x(s)ds; với x 2 C [0;1] , t 2 [0;1].ChứngminhrằngAlàánhxạtuyếntínhliêntụcvàtính chuẩncủaA. Câu5. GiảsửXlàkhônggianđịnhchuẩnvàYlàkhônggianconđóngcủa Xvới ; 6= Y 6= X vàcho 0 < t < 1.Chứngminhrằngvớimỗi y 2 Y ,tồntại x 2 X với kxk =1saocho kx Ă yk > t. 1 TypesetbyĐặngXuânCươngCaohọc12GiảitíchĐạihọcVinh. 4 Bộgiáodụcvàđàotạo CộnghoàxãhộichủnghĩaViệtNam TrườngĐạihọcsưphạmQuyNhơn Độclập-Tựdo-Hạnhphúc Đềthituyểnsinhcaohọcnăm2004 Ngành:Toánhọc Mônthi:Đạisố Thờigianlàmbài:180phút Câu1. Vớimỗisốnguyêndương n á 2,kýhiệu P n làkhônggianvectơcác đathứcthuộc R[x] cóbậc n,trongđó R làtrườngsốthực. 1.Chứngminhrằngvớimỗi a 2 R,hệvectơ f1; (x Ă a); :::; (x Ă a) n g làmột cơsởcủa P n 2.Choánhxạ â:P n !P nĂ1 xácđịnhbởi â(f(x))=f 0 (x),vớimọi f(x) 2 P n , trongđó f 0 (x) làđathứcđạohàmcủa f(x). a)Chứngminh â làánhxạtuyếntính. b)XácđịnhmatrậnAcủa â đốivớicặpcơsở f1; (x Ă a); :::; (x Ă a) n g và f1; x; :::; x nĂ1 g,với a 2 R chotrước. c)XácđịnhhạngcủamatrậnA. Câu2. ChoVlàkhônggianvectơhữuhạnchiềutrêntrườngK, f : V ! V làmộtphépbiếnđổituyếntính.Chứngminhrằng Imf =Imf 2 khivàchỉkhi V = Kerf â Imf. Câu3. Cho G = hai làmộtnhómCycliccấpnsinhbởia. a)Chứngminhrằngvớiklàmộtsốnguyênbấtkỳ,cấpcủaphầntử a k bằng n d ,trongđó d =(n; k). b)Cho n = p 2 ,vớiplàmộtsốnguyêntố.Hãyxácđịnhsốphầntửsinhcủa nhómG. Câu4. Kýhiệu D = â m n j m,n2Z;nlàsốlẻ ê ,trongđó Z làtậphợpcácsố nguyên.ChứngminhrằngDlàmộtvànhchínhvớicácphéptoáncộngvànhân cácsốhữutỷ. Câu5. Choplàmộtsốnguyêntốvà p(x)=x pĂ1 +x pĂ2 + ::: + x +12Q[x], trongđó Q làtrườngcácsốhữutỷ. 1.Chứngminhrằng p(x) làmộtđathứcbấtkhảquytrên Q. 2.Gọi đ 2 C làmộtnghiệmcủa p(x).Xéttươngứng: ' : Q[x] ! C f(x) 7! f(đ) Chứngminhrằng: a) ' làmộtđồngcấuvành. b) B = fa 0 + a 1 đ + ::: + a pĂ2 đ pĂ2 ja 0 ; a 1 ;:::a pĂ2 2 Qg làmộttrườngvớicác phéptoáncộngnhâncácsốphức. 1 TypesetbyĐặngXuânCươngCaohọc12GiảitíchĐạihọcVinh. 5 Bộgiáodụcvàđàotạo CộnghoàxãhộichủnghĩaViệtNam TrườngĐạihọcsưphạmQuyNhơn Độclập-Tựdo-Hạnhphúc Đềthituyểnsinhcaohọcnăm2005 Ngành:Toánhọc Mônthi:Giảitích Thờigianlàmbài:180phút Câu1. 1.Trêntậphợpsốthực R,tađặt d(x;y)=jarctgx Ă arctgyj ; 8x; y 2 R. Chứngminhrằng a)dlàmộtmêtrictrên R. b) (R;d) làkhônggianmêtrickhôngđầyđủ. 2.Chứngminhrằngmọiánhxạtừkhônggianmêtric N (làtậphợpcácsố tựnhiênvớimêtricthôngthường)vàokhônggianmêtricYlàliêntụcđều.Điều nàycònđúngkhôngkhithay N bằngmộtkhônggianmêtricrờirạc. Câu2. ChoLlàkhônggianvéctơcácánhxạLipschitztừ [0;1] đến R vàđặt E 1 = C 1 ([0;1]; R). a)Chứngminhrằng k:k : L ! xácđịnhbởi 8f 2 L; kfk = jf(0)j + sup (x;y)2[0;1] 2 ;x6=y jf(x) Ă f(y)j jx Ă yj làmộtchuẩntrênL,vàchuẩnđókhôngtươngđươngvới kfk 1 =sup t2 [0;1] jf(t)j. b)Chứngminhrằng N : E 1 ! xácđịnhbởi 8f 2 E 1 ; N(f )=jf(0)j + sup t2 [o;1] jf 0 (t)j làmộtchuẩntrên E 1 vàchuẩnnàytrùngvới k:k. Câu3. Cho E = C([0;1]; R) đượctrangbịchuẩn k:k 1 vàánhxạ T : E ! E đượcxácđịnhnhư sau: 8f 2 E; 8x 2 [0;1]; (T (f))(x)= x R 0 f(t)dt: ChứngminhrằngTlàánhxạtuyếntínhliêntụcvàtính kTk. Câu4. Giảsử f(x; y)= ẵ xy jxj+jyj nếu x 2 + y 2 6=0 0 nếu x 2 + y 2 =0 Chứngminhrằngkhắpnơitronghìnhvuông A =[Ă1;1] Ê [Ă1;1] hàmfcó cácđạohàmriêng,cácđạohàmriêngnàybịchặntrongAnhưngkhôngkhvi tại(0;0). Câu5. Giảsửflàmộthàmđođượctrênđoạn [a; b] vàcómộtsố M > 0 và 0 < đ < 1 saocho jf(x)j >= M jxĂx 0 j đ với a < x 0 < b.Hãychứngminhfkhảtích Lebesguetrên [a; b]. Câu6. ChoMlàmộtkhônggianvéctơconcủakhônggianđịnhchuẩnEtrên trường â vàTlàmộtánhxạtuyếntínhtừMvàoE.Giảsửcómột đ 2 â đểcho (đI d + T) làmộtsongánhtừEvàoE.và (đI d + T ) Ă1 liêntụctrênE,trongđó ánhxạ I d làánhxạđồngnhất.ChứngminhrằngđồthịcủaTlàmộttậpđóng trong E Ê E. 1 TypesetbyĐặngXuânCươngCaohọc12GiảitíchĐạihọcVinh. 6 Bộgiáodụcvàđàotạo CộnghoàxãhộichủnghĩaViệtNam TrườngĐạihọcsưphạmQuyNhơn Độclập-Tựdo-Hạnhphúc Đềthituyểnsinhcaohọcnăm2005 Ngành:Toánhọc Mônthi:Đạisố Thờigianlàmbài:180phút Câu1. 1.Chok,nlànhữngsốnguyêndươnglớnhơn1và f : R n ! R n làmộtphépbiếnđổituyếntínhthoảmãn f k =0.Đặt g : R n ! R n chobởi g(x)=xĂf(x); 8x2R n .Chứngminhrằngglàmộttựđẳngcấucủa R n . 2.Kýhiệu M(n; R) làkhônggiantuyếntínhcácmatrậnthựcvuôngcấpn. Với A =(a ij ) 2 M(n; R) ,đặt Tr(A)= n P i=1 a ii (vếtcủamatrậnA). a)Chứngminhrằngánhxạ v : M(n; R) ! R 2 xácđịnhbởi: v(A)=(Tr(A); a 11 ); 8A =(a ij ) 2 M(n; R) làmộtánhxạtuyếntính. b)Tínhsốư chiềucủahạtnhân Ker(v). c)Với n =3hãychỉramộtcsởcủakhônggian Ker(v) vàxácđịnhkhông gianconbùcủa Ker(v) trongkhônggian M(n; R). Câu2. ChonhómGvớiphéptoánnhânvà A; B lànhữngnhómconchuẩn tắccủaGsaocho A \ B = feg(elàđnvịcủanhómG)vàGsinhbởi A [ B. 1.Mỗiphầntử x 2 G biểudiễnđượcdướidạng x = ab; a 2 A; b 2 B vàbiểu diễnlàduynhất. 2.Gđẳngcấuvớinhómtíchtrựctiếp A Ê B củahainhómAvàB. 3. NếuAvàBlànhữngnhómCycliccấptưngứnglàmvànsaocho (m; n)=1thìGlànhómCyclic. Câu3. ChoRlàmộtvànhgiaohoáncóđnvịkhác0.Ideal P 6= R củaRđược gọilàcựcđạinếuRkhôngchứaIdeal Q 6= R nàosaocho P ẵ Q; P 6= Q.Chứng minhcáckhẳngđịnhsau: 1.IdealPlàcựcđạikhivàchỉkhivànhthưngR/Plàmộttrường. 2.VànhRchứaítnhấtmộtIdealcựcđại. 3.NếuPlàIdealcựcđạiduynhấtcủavànhRthìvớimỗiphầntử a 2 R phầntửahoặc1-alàkhnghịch. 1 TypesetbyĐặngXuânCươngCaohọc12GiảitíchĐạihọcVinh.