Dạng chuẩn poincaré dulac và sự hội tụ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thành Trung DẠNG CHUẨN POINCARÉ-DULAC VÀ SỰ HỘI TỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thành Trung DẠNG CHUẨN POINCARÉ-DULAC VÀ SỰ HỘI TỤ Chun ngành: Hình học tơpơ Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN ĐÌNH LÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học của: TS Nguyễn Đình Lân Trong trình viết luận văn, Thầy nhiệt tình, tận tụy trang bị nhiều kiến thức, tài liệu hướng dẫn phương pháp nghiên cứu khoa học viết luận văn Qua tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tôi xin chúc Thầy gia đình dồi sức khỏe ngày thành công nghiệp giảng dạy nghiên cứu khoa học Tơi chân thành cảm ơn q thầy tổ Hình học, khoa Tốn-Tin Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi nâng cao trình độ chun mơn phương pháp học tập suốt trình học Đại học Cao học Tôi chân thành ơn Ban giám hiệu, thầy cơ, chun viên phịng Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn động viên, giúp đỡ bạn bè gia đình giúp tơi hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2016 Tác giả luận văn Nguyễn Thành Trung ii DANH MỤC KÍ HIỆU F : Trường vectơ C (E) : Trường vectơ liên tục L ( n ) : Khơng gian tuyến tính tốn tử D (U ) : Trường vectơ chỉnh hình U D[[ n , 0]] : Trường vectơ hình thức Diff [[ n , 0]] : Tập đẳng cấu hình thức [[x]] : Đại số chuỗi lũy thừa hình thức Hm : Khơng gian đa thức bậc Xn : Mầm trường vectơ chỉnh hình  Xn : Mầm trường vectơ hình thức E n n m n MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Dạng chuẩn công cụ quan trọng cho giải tích địa phương phân loại trường vectơ ánh xạ gần điểm cố định Có nhiều dạng chuẩn khác sử dụng phụ thuộc vào toán mà người ta cần giải quyết, dạng chuẩn dạng chuẩn Poincaré-Dulac định nghĩa từ bảo toàn phần semi-simple phần tuyến tính Và vấn đề cổ điển nghiên cứu phương trình vi phân hệ động lực học tìm điều kiện cần đủ cho hội tụ dạng chuẩn Poincaré-Dulac trường vectơ lân cận điểm cân Vấn đề chia thành hai hướng tiếp cận: Phương pháp giải tích phương pháp hình học Trong phương pháp giải tích, với kết cổ điển Poincaré, Siegel, Bruno,… tác giả sử dụng điều kiện Diophantine để điều khiển ước số bé xuất q trình chuẩn hóa bước bậc trường vectơ dùng phương pháp hội tụ nhanh để chứng minh tính hội tụ dạng chuẩn Trong phương pháp tiếp cận hình học, tác giả thay điều kiện Diophantine tính đối xứng tích phân đầu, thay phương pháp hội tụ nhanh lập luận hình học Đặc biệt, [5] Zung hội tụ dạng chuẩn Poincaré-Dulac tương đương với tồn tác động chỉnh hình hình xuyến bảo tồn vectơ Từ chứng minh trường vectơ khả tích theo nghĩa non-Hamiltonian tồn dạng chuẩn Poincaré-Dulac hội tụ Chính lí đó, tơi chọn đề tài “ Dạng chuẩn Poincaré-Dulac hội tụ” cho luận văn Mục đích đề tài Nghiên cứu dạng chuẩn Poincaré-Dulac số tiêu chuẩn hội tụ giải tích hình học Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu dạng chuẩn Poincaré-Dulac số tiêu chuẩn hội tụ giải tích hình học Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, đọc hiểu trình bày chi tiết lại kết Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, chương phần kết luận Cụ thể là: a) Phần mở đầu: Nêu số vấn đề lịch sử, phạm vi nghiên cứu phương pháp nghiên cứu b) Chương 1: Trình bày số kiến thức phương trình vi phân hệ động lực học c) Chương 2: Trình bày khái niệm, tính chất định lí dạng chuẩn Poincaré-Dulac d) Chương 3: Trình bày cụ thể hội tụ dạng chuẩn Poincaré-Dulac phương pháp hình học giải tích e) Phần kết luận: Tóm tắt nội dung làm luận văn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i DANH MỤC KÍ HIỆU ii MỞ ĐẦU Chương 1: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ HỆ ĐỘNG LỰC HỌC 1.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.1.1 Hệ phương trình tuyến tính đồng 1.1.2 Sự chéo hóa 1.1.4 Định lí cho hệ tuyến tính 19 1.1.5 Những giá trị riêng phức bội 21 1.1.6 Dạng Jordan 28 1.1.7 Lí thuyết ổn định 31 1.2 Hệ phương trình vi phân phi tuyến 32 1.2.1 Những khái niệm định nghĩa 33 1.2.2 Định lí tồn 34 1.2.3 Sự phụ thuộc vào điều kiện đầu tham số 42 1.2.4 Sự tồn khoảng cực đại 45 1.2.5 Định nghĩa dịng phương trình vi phân 48 1.2.6 Sự tuyến tính hóa 52 Chương 2: DẠNG CHUẨN POINCARÉ-DULAC CỦA TRƯỜNG VECTƠ HÌNH THỨC 54 2.1 Trường vectơ hình thức 54 2.1.1 Trường vectơ hình thức đồng cấu hình thức 54 2.1.2 Định lí hàm ngược 56 2.1.3 Dịng hình thức trường vectơ hình thức 57 2.2 Dạng chuẩn hình thức 58 2.2.1 Các định lí phân loại hình thức 58 2.2.2 Tính giải phương trình đồng 62 2.2.3 Dạng chuẩn Poincaré-Dulac 65 2.3 Ví dụ 68 2.3.1 Ví dụ 68 2.3.2 Ví dụ 72 Chương : ĐIỀU KIỆN HỘI TỤ CỦA DẠNG CHUẨN 74 3.1 Sự hội tụ dạng chuẩn Poincaré-Dulac 74 3.1.1 Dạng chuẩn Poincaré-Dulac 74 3.1.2 Sự chuẩn hóa tác động hình xuyến 75 3.2 Điều kiện hội tụ Bruno 80 3.2.1 Sự phân tích phổ 80 3.2.2 Sự chuẩn hóa phương pháp Newton 81 3.2.3 Điều kiện ( Ω ) Bruno 82 3.2.4 Điều kiện A Bruno 83 3.2.5 Định lí Bruno 83 KẾT LUẬN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 Chương 1: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ HỆ ĐỘNG LỰC HỌC 1.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính Một hệ phương trình vi phân gọi tuyến tính có dạng:  x = Ax (1)  dx  dx dx dx  x =  , , , n  x ∈  n , A ma trận vng cấp n × n = dt  dt dt dt  Nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính (1) với giá trị đầu x0 = x ( ) cho bởi: x :  → n t  x ( t ) = e At x0 với e At ma trận cấp n × n định nghĩa chuỗi Taylor 1.1.1 Hệ phương trình tuyến tính đồng  Phương trình vi phân tuyến tính cấp x = ax có nghiệm tổng quát là: x ( t ) = ce a.t với c = x(0) Ví dụ: Xét hệ tuyến tính sau:   x1 = − x1 ,   x2 = x2  −1   x1    x2  =  t ) Ax viết dạng ma trận là: x (= 0 Chú ý: Trong trường hợp ma trận A ma trận đường chéo Trong trường hợp tổng quát ma trận A ma trận đường chéo ta gọi hệ (1) hệ tuyến tính đồng Với phương pháp tách biến ta có nghiệm tổng qt hệ tuyến tính đồng xác định:  x1 ( t ) = c1e − t  2t  x2 ( t ) = c2 e ( 2) hay e−t x (t ) =  0   c1    e 2t  c2  ( 2′ ) với c = x ( ) Từ (2) ta có: x2 ( t ) = c12 c2 x12 ( x) k x = y = , k c12 c2 Do đó, đường cong nghiệm (2) nằm đường cong đại số đường hyperbol Nghiệm (2) xác định chuyển động dọc theo đường cong Nghĩa là, điểm c ∈  chuyển động tới điểm x ( t ) ∈  cho ( 2′ ) sau thời gian t Chuyển động mơ tả hình học việc vẽ đường cong nghiệm (2) mặt phẳng 0x1 x2 gọi mặt phẳng pha Sau sử dụng dấu mũi tên để xác định hướng chuyển động dọc theo đường cong t tăng dần c= ta được: x ( t )= 0, ∀t ∈  Khi gốc tọa Đối với ví dụ trên, cho c= độ gọi điểm cân 73  x12  = F1,(2,0) =  , F1,(1,1) 0 0 = F2,(2,0) = , F2,(1,1) 2  x1   x1 x2   0=  , F1,(0,2)     x =  , F2,(0,2)  x2   x22   , 0 0  x2   2 Các trọng số tương ứng vectơ sở là: w1 - w1 = w1 = 1.73 , w1 + w2 - w1 = w2 = 1.41 , w2 - w1 = 1.09 , w1 - w2 = 2.04 , w1 + w1 - w2 = 1.73 , w2 - w2 = w2 = 1.41 Do đó, thứ tự vectơ sở D2 là: F2,(2,0) > F1,(2,0) > F2,(1,1) > F1,(1,1) > F2,(0,2) > F1,(0,2) (1*) Tương tự, đơn thức vectơ sở cho D3 là:  x13  = F1,(3,0) =  , F1,(2,1) 0 0 = F2,(3,0) = , F2,(2,1) 3  x1   x12 x2   =  , F1,(1,2)      x 2=  , F2,(1,2)  x2   x1 x22   =  , F1,(0,3)     , F2,(0,3) x = 2  x2   x23   , 0 0  x3   2 Các trọng số tương ứng vectơ sở là: = w1 3.46 , w1= + w2 3.14 ,= w2 2.82 ,3w2= − w1 2.51 , 3w1 = − w2 3.78 ,= w1 3.46 , w1 = + w2 3.14 ,= w2 2.82 Thứ tự vectơ sở D3 là: F2,(3,0) > F1,(3,0) > F2,(2,1) > F1,(2,1) > F2,(1,2) > F1,(1,2) > F2,(0,3) > F1,(0,3) (2*) Chúng ta tính tốn ad A D viết thứ tự sở (1*) là: diag (3,1, −1,5,3,1) ad A D viết thứ tự sở (2*) là: diag (8,6,6, 4, 4, 2, 2,0) Vì thế: ad A D = span{ { F1,(0,3) } 74 Chương : ĐIỀU KIỆN HỘI TỤ CỦA DẠNG CHUẨN 3.1 Sự hội tụ dạng chuẩn Poincaré-Dulac 3.1.1 Dạng chuẩn Poincaré-Dulac Định lý 3.1.1.1 Cho X trường vecto giải tích địa phương (𝕂𝕂n ,0), với 𝕂𝕂=ℝ 𝕂𝕂=ℂ, X (0) = Giả sử có số tự nhiên m, ≤ m ≤ n cho có m trường vecto giải tích địa phương X = X , X , , X m n − m hàm số giải tích địa phương f1 , , f n −m (𝕂𝕂n ,0) thỏa tính chất sau: i) Trường vecto X = X , X , , X m giao hoán cặp, nghĩa  X i , X j  = ∀i, j = 1, m, độc lập tuyến tính hầu hết nơi, nghĩa X ∧ X ∧ ∧ X m ≠ ii) Các hàm số f1 , , f n −m tích phân đầu cho X , X , , X m , nghĩa X i ( f j ) = ∀i = 1, , m ; j = 1, , n − m, chúng hàm độc lập hầu hết khắp nơi, nghĩa df1 ∧ df ∧ ∧ df n − m ≠ Khi đó, tồn dạng chuẩn hóa Poincare-Dulac giải tích địa phương cho trường vecto X lân cận 𝕂𝕂n Nói cách khác, có hệ tọa độ giải tích địa phương (𝕂𝕂n ,0) cho ký hiệu phần nửa đơn phần tuyến tính X X s tương ứng với hệ tọa độ có:  X , X s  = 75 Chú ý 3.1.1.2 Trong định lý m số tự nhiên n Khi m = ta có đầy đủ tập hợp tích phân đầu Khi m = n ta có tập đầy đủ vi phân đối xứng giao hoán Khi < m < n ta có hỗn hợp vi phân đối xứng giao hốn tích phân đầu Chú ý 3.1.1.3 Nếu trường vectơ thỏa hai điều kiện i) ii) định lý ta nói X khả tích theo nghĩa non- Hamiltonian Chú ý 3.1.1.4 Khi n = định lý chứng minh Bruno Walcher Chú ý 3.1.1.5 Sự khác biệt định lý với kết Stolovitch là: Giống : kết Stolovitch nói tồn chuẩn hóa hội tụ vài điều kiện khả tích Khác nhau: Stolovitch cần tích phân đầu hình thức (nó nói nhiều điều kiện A Bruno) Trong sử dụng giải tích, bù lại Stolovich phải dùng thêm điều kiện Diophantine cịn định lí không cần Nguyên nhân quan tâm đến điều kiện khả tích nghiên cứu dạng chuẩn địa phương trường vectơ là: hai tìm kiếm tích phân đầu, phép đối xứng tìm kiếm chuẩn hóa phương pháp để quy giải phương trình vi phân Trong trường hợp tốt người ta giải phương trình vi phân cách đầy đủ hai phương pháp Vì hai phương pháp có liên hệ mật thiết với 3.1.2 Sự chuẩn hóa tác động hình xuyến Cho X trường vectơ giải tích lân cận điểm 𝕂𝕂n , 𝕂𝕂=ℝ 𝕂𝕂=ℂ, với X (0) = Khi 𝕂𝕂=ℝ, ta xem X trường vectơ 76 chỉnh hình xác định bởi: X = X (1) + X (2) + X (3) + khai triển Taylor X hệ tọa độ địa phương, X ( k ) trường vectơ cấp k với k ≥ Ta có: (1) X= X s + X nil X s phần nửa đơn X nil phần lũy linh X (1) Có hệ tọa độ tuyến tính phức ( x j )  n cho với hệ tọa độ X s có dạng đường chéo xác định sau: n X s = ∑γ j xj j =1 ∂ , ∂x j γ j hệ số phức, gọi giá trị riêng X ( X (1) ) Đối với số tự nhiên k ≥ 1, trường vectơ tuyến tính X s tác động tuyến tính đến khơng gian trường vectơ bậc k móc Lie trường vectơ đơn thức vectơ riêng tác động Ta có  n   n  b b ∂ ∂ bn ∂ b , x1b1 x2b2 x= ∑ γ j x j   ∑ b j γ j − γ l  x11 x22 xnn n ∂x j ∂xl   j ∂xl =   j = Khi đẳng thức: n ∑b γ j =1 j j −γl = cho n số nguyên không âm b j , ∀j =1 n với trường vectơ đơn thức: ∑b j ≥ 2, nói 77 x1b1 x2b2 xnbn ∂ ∂xl số hạng cộng hưởng ( b1 , , bl − 1, , bl ) quan hệ cộng hưởng cho giá trị riêng ( γ i ) Chính xác hơn, quan hệ cộng hưởng cho n − giá trị riêng ( γ j ) trường vectơ X n − ( c j ) nguyên thỏa mãn ∑c c j ≥ 1, j ∑c γ j j = cho: ≥ nhiều có c j âm Ta định nghĩa ℛ ⊂ n tập  n bao gồm tất mối quan hệ cộng hưởng ( c j ) cho từ trường vectơ X Số q = dim  ( bao tuyến tính ℛ  n ) gọi bậc cộng hưởng X Lưu ý: Bậc cộng hưởng phụ thuộc vào giá trị riêng phần tuyến tính trường X Nó khơng phụ thuộc vào việc chọn tọa độ địa phương Nếu q = ta nói X không cộng hưởng Định nghĩa 𝓠𝓠 ⊂  n dàn tích phân  n bao gồm vectơ n − chiều ( ρ j ) ⊂  n thỏa mãn tính chất sau: n ∑ρ c j =1 j j =0 ∀ ( c j ) ∈ ℛ, ρ j = ρ k γ j = γ k ( *) 78 ( ℛ tập quan hệ cộng hưởng cho giá trị riêng ( γ j ) trước) Chúng ta gọi số: r = dim  𝓠𝓠 bậc vòng xuyến X ( X (1) ) Tất nhiên, số phụ thuộc vào giá trị riêng phần tuyến tính X có bất đẳng thức sau: q + r ≤ n, q bậc độ cộng hưởng r Đặt ( rr j ) , , ( j ) sở 𝓠𝓠 Đối với k = 1, , r định nghĩa trường vectơ Z k dạng đường chéo sau: n Z k = ∑ ρ kj x j j =1 ∂ ∂x j Khi đó, trường vectơ Z1 , , Z r có tính chất: Tính chất 3.1.2.1 Các trường vectơ Z1 , , Z r giao hoán cặp, giao hoán với X s , X nil chúng độc lập tuyến tính hầu khắp nơi Tính chất 3.1.2.2 iZ j trường vectơ tuần hoàn với chu kỳ 2π j ≤ r ( i= −1 ) Điều có nghĩa viết: iZ j = ℜ( iZ j ) + i𝔍𝔍( iZ j ) ℜ( iZ j ) trường vectơ thực tuần hoàn  n =  n bảo toàn cấu trúc phức 79 Tính chất 3.1.2.3 Các iZ1 , , iZ r tạo tác động tuyến tính 𝕋𝕋r  n bảo toàn X s X nil Định lí 3.1.2.4 Nếu X dạng chuẩn Poincaré-Dulac hay  X , X s  = có: [ X , Zk ] = ∀k = 1, , r Chứng minh Thật vậy, W = x1b x2b xnb n ∂ số hạng đơn thức cộng hưởng chúng ∂xl ta có: ∑b γ j j −γl = Từ phương trình (*) suy ra: n ∑b ρ j =1 j k j − ρl = Dẫn đến:  n   j =1  [ Z k ,W =]  ∑ b j ρ kj − ρl W= Do đó, tất số hạng phi tuyến tính X cộng hưởng có: = Z k , X (1)  [ Z k , X ] = Mối quan hệ giao hoán nghĩa X dạng chuẩn bảo tồn tác động hiệu vòng xuyến r − chiều tạo iZ1 , , iZ r 80 Định lí 3.1.2.5 Một trường vectơ chỉnh hình X lân cận  n thừa nhận chuẩn hóa hội tụ Poinca ré-Dulac bảo tồn tác động chỉnh hình hiệu vịng xuyến thực có số chiều r Chú ý 3.1.2.6 Định lí phạm trù hình thức Tất nhiên trường vectơ thừa nhận chuẩn hóa Poincaré-Dulac hình thức tác động xuyến hình thức 3.2 Điều kiện hội tụ Bruno 3.2.1 Sự phân tích phổ Cho S = n ∑λ x i =1 i i ∂ , λi ∈  trường vectơ tuyến tính chéo Nếu ta xét ∂x i Bruno thì: n ∂ với X i x i−1x i X = ∑ Xi x i = ∂x i i =1  ( x ∈ M ) i n Dễ dàng suy ra: n [ S , X ] = ∑ ( S Xi )x i i =1 ∂ ∂x i Hay X vectơ riêng S giá trị riêng α nếu: S X i =α X i , i = 1, , n Mặt khác, ta xét x Q = x1q x qn với Q= ( q1 , ,q n ) ∈  n , ta có: n  n  S x Q =  ∑ λi q i  x Q =  i =1  Λ =( λ1 , , λn ) ( Λ, Q ) x Q 81  Các giá trị riêng toán tử [ S ,.] X n số phức α Q = Q qi ≥ −1, có nhiều qi = −1 và= ( Λ, Q ) mà ∑ q ≥ Tập hợp số ta i gọi phổ toán tử [ S ,.] , kí hiệu ζ ⊂   Mỗi α ∈ ζ tương ứng không gian riêng Eα ⊂ X n khơng gian riêng có sở tự nhiên tập hợp trường đơn thức có dạng: xQ xi ∂ ∂x i ∑q ≥ xQ xi ∂ ∂x i với ( Λ, Q ) = α , qi ≥ −1, q j ≥ j ≠ i i Định nghĩa 3.2.1.1 Các trường q i = −1 thành phần khác Q dương gọi với ( Λ, Q ) = cộng hưởng Dulac Mệnh đề 3.2.1.2 Cho X= S + N chuẩn hình thức, ζ phổ tốn tử [ S ,.]  X n Eα , α ∈ ζ không gian riêng tương ứng Khi với  Y ∈ X n tồn trường bậc Y0 ∈ E0 Z ∈ ∑ Eα cho: α ≠0 Y = Y0 + [ S + N , Z ]   Hơn nữa, Y k − phẳng (Y ∈ M nk X n ) Y0 Z k − phẳng 3.2.2 Sự chuẩn hóa phương pháp Newton  Cho X ∈ X n giả sử X chuẩn với bậc k ≥ 1, có nghĩa là: X =S + N + R mà S + N dạng chuẩn hình thức đại diện cho khai triển Taylor X đến bậc k ( N trường đa thức bậc k R trường k − phẳng ) 82 Xét phương trình: R = R0 + [ S + N ,U ] (1) Theo mệnh đề 3.2.1.2, ta có R0 ∈ E0 , U ∈ ∑ Eα trường R0 , U k − phẳng α ≠0 Mệnh đề 3.2.2.1 Cho ϕ = exp U , ta có: ϕ∗X = S + N + R0 + R′ với R′ 2k − phẳng Chứng minh Sử dụng công thức cổ điển: t2 X +t [ U, X ] + U , [U , X ] +  , ( exp tU )∗ X = hệ số t k − phẳng, t 2k − phẳng,…,của t p pk − phẳng Do đó, ta có: ϕ∗X = X+ [U , X ] modulo trường 2k − phẳng Kết hệ trực tiếp đẳng thức (1) 3.2.3 Điều kiện ( Ω ) Bruno  Các giá trị riêng tốn tử móc Lie [ X,.] X n số phức n αQ = ( Λ, Q ) = ∑ λi qi i =1 Q với = ∑ q ≥ 0, q ≥ −1 có nhiều q = −1 i i i Đặt { } = ωk Min α Q , Q ≤ 2k +1 , α Q ≠ Điều kiện ( Ω ) là: ∞ ∑ k =0 ln ωk 2k < ∞ 83 3.2.4 Điều kiện A Bruno Ta nói dạng chuẩn hình thức X thỏa mãn điều kiện A có dạng: X = α S , n với α hàm vô hướng S = ∑ λi xi i =1 ∂ ∂xi 3.2.5 Định lí Bruno Định lí 3.2.5.1 Cho X ∈ X n mầm trường vectơ chỉnh hình Với λ1 , , λn giá trị riêng phần tuyến tính thỏa mãn điều kiện ( Ω ) Khi đó, X nửa đơn hình thức đẳng cấu chỉnh hình với trường n S = ∑ λi x i i =1 ∂ ∂x i Chứng minh Ta dùng phương pháp chuẩn hóa Newton kết hợp với phương pháp lồng vào liên tiếp Ghi chú: Cho ρ > Đặt Dρ = {x ∈ {n , xi ≤ ρ} Nếu x = ∑ xQ xQ hàm chỉnh hình lân cận Dρ ta đặt Q x = ∑ xQ ρ Nếu x trường vectơ x Q ρ ρ kí hiệu cho chuẩn lớn chuẩn thành phần với số chiều cho trước n Cho S = ∑ λi xi i =1 ∂ với λi thỏa điều kiện ( Ω ) , giả sử ωk ≤ ∂xi Đặt m σ k = (ωk ) m −2 m m τ k = (ωk ) m −1 m với m = 2k 84 Ta có: σ k < τ k < theo điều kiện ( Ω ) σ k → k → ∞ ≤ ρ ≤ Y trường vectơ chỉnh hình 2k − phẳng Bổ đề 3.2.5.2 Cho ( k đủ lớn) đĩa Dρ , với Y < Cho U trường đa thức có bậc 2k +1 ρ xác định phương trình: Y= Y0 + [ S ,U ] modulo trường 2k +1 − phẳng (Y0 ∈ E0 ) Khi đó, ta có: 2k với r = τ k r Dr1 ⊂ ϕ ( Dr ) với ρ1 = σ k ρ