Cấu trúc nambu và phân lá kì dị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Chí Thành CẤU TRÚC NAMBU VÀ PHÂN LÁ KÌ DỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Chí Thành CẤU TRÚC NAMBU VÀ PHÂN LÁ KÌ DỊ Chun ngành: Hình học tôpô Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN ĐÌNH LÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Đình Lân Trong trình viết luận văn, Thầy nhiệt tình, tận tuỵ trang bị nhiều kiến thức, tài liệu hướng dẫn phương pháp nghiên cứu khoa học viết luận văn Qua xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy, tơi xin chúc Thầy gia đình dồi sức khoẻ ngày thành công nghiệp giảng dạy nghiên cứu khoa học Tôi chân thành cảm ơn quý thầy tổ Hình học, khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi nâng cao trình độ chun mơn phương pháp học tập suốt trình học Cao học Tôi chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cơ, cán phịng Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin chân thành cảm động viên, giúp đỡ bạn bè gia đình giúp tơi hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2015 Tác giả luận văn PHẠM CHÍ THÀNH ii MỤC LỤC TRANG PHỤ BÌA LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii DANH MỤC KÍ HIỆU iv MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .3 1.1 Đa tạp 1.2 Móc Lie – Đạo hàm Lie .4 1.3 Đạo hàm 1.4 Không gian phủ Chương PHÂN LÁ CHÍNH QUY .7 2.1 Phân 2.1.1 Atlas phân 2.1.2 Phân 2.1.3 Một số ví dụ .9 2.1.4 Một số cách định nghĩa phân .14 2.1.5 Một số cấu trúc phân .17 2.2 Định lý Frobenius 18 2.2.1 Phân bố 18 2.2.2 Định lý Frobenius 21 2.2.3 Phân bố xác định dạng vi phân 23 2.3 Định lý ổn đinh Reeb .27 2.3.1 Holonomy 27 2.3.2 Định lý ổn định Reeb 29 Chương .33 iii PHÂN LÁ KÌ DỊ VÀ CẤU TRÚC NAMBU 33 3.1 Phân kì dị 33 3.2 Cấu trúc Nambu .36 3.2.1 Móc Nambu Nambu tensơ 36 3.2.3 3.3 Các dạng vi phân khả tích 42 Từ cấu trúc Nambu đến phân kì dị ngược lại 43 3.3.1 Cấu trúc Nambu tiếp xúc cấu trúc Nambu tương ứng 43 3.3.2 Phân tương ứng .48 3.3.3 Từ phân đến cấu trúc Nambu ngược lại 52 Chương .57 CẤU TRÚC NAMBU TUYẾN TÍNH 57 4.1 Cấu trúc Nambu tuyến tính 57 4.2 Tính tuyến tính cấu trúc Nambu 63 3.2.1 Tính tách ω .67 4.2.2 Dạng tuyến tính hình thức phân tương ứng 69 3.2.3 Dạng tuyến tính hình thức cấu trúc Nambu Λ 72 KẾT LUẬN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO .75 iv DANH MỤC KÍ HIỆU A : Atlas phân A : Atlas phân tối đại  : Phân L : Lá Mm : Đa tạp m chiều P : Phân bố n : Không gian vectơ n chiều Λ : Nambu tenxơ Λ X Y : Đạo hàm Lie trường vectơ X theo trường vectơ Y Ω : Dạng thể tích ω : p − dạng vi phân S (Λ) : Tập điểm kì dị Λ S ( ) : Tập điểm kì dị  X ,Y : Trường vectơ X , Y MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Phân kì dị (singular foliation) phân chia đa tạp thành hợp đa tạp gọi Phân kì dị thơng thường xem tổng quát hố hệ động lực Nó xuất cách tự nhiên vấn đề vật lý tốn học, ví dụ đường tích phân (integral curves) trường vectơ đa tạp, mặt mức hàm lượng, quỹ đạo tác động nhóm Lie, phân symplectic đa tạp Poisson Một cách tổng quát thuận tiện để sinh phân kì dị dùng cấu trúc Nambu, tức trường đa vectơ (multi-vector field) thoả mãn điều kiện khả tích Frobenius Phương pháp tensơ hố đối tượng hình học phân kì dị giúp ta có thêm nhiều cơng cụ đại số giải tích để nghiên cứu, vấn đề dạng chuẩn, ổn định biến dạng Mặc dù đối tượng quan trọng, nhưung thời điểm hầu hết kết nghiên cứu phân kì dị chủ yếu cho trường hợp đối chiều Việc sử dụng phương tiện đại số thông qua cấu trúc Nambu hứa hẹn hướng tiếp cận hiệu cho việc nghiên cứu phân kì dị trường hợp đối chiều tổng quát Tính chất quan trọng phân kì dị cấu trúc Nambu chí lý tơi chọn chúng làm đối tượng cho đề tài luận văn Trong khn khổ luận văn, tơi cố gắng tìm hiểu rõ tính chất mối quan hệ hai đối tượng này, đồng thời thông qua cấu trúc Nambu nghiên cứu toán dạng chuẩn trường hợp đơn giản phân kì dị phân kì dị tuyến tính Mục đích đề tài Nghiên cứu phân kì dị, cấu trúc Nambu mối quan hệ chúng Thông qua cấu trúc Nambu xây dựng chuẩn cho phân kì dị tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phân kì dị, cấu trúc Nambu, dạng đa vi phân, tiêu chuẩn khả tích, dạng chuẩn cấu trúc Nambu tuyến tính Phương pháp nghiên cứuTổng hợp, đọc hiểu trình bày chi tiết lại kết chứng minh chi tiết Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu chương, phần kết luận Cụ thể là: a) Phần mở đầu: Nêu số vấn đề lịch sử, phạm vi nghiên cứu phương pháp nghiên cứu b) Chương 1: Trình bày số kiến thức đa tạp, đại số Lie dạng vi phân c) Chương 2: Trình bày khái niệm, tính chất phân lá, điều kiện khả tích định lí ổn định Reeb d) Chương 3: Trình bày cụ thể phân kì dị, cấu trúc Nambu mối quan hệ phân kì dị cấu trúc Nambu e) Chương 4: Trình bày số vấn đề cấu trúc Nambu tuyến tính dạng tuyến tính phân tương ứng f) Phần kết luận: Tóm tắt nội dung đã làm luận văn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp Định nghĩa 1.1.1 Cho ( M , T ) không gian tôpô Hausdorff, có sở đếm M gọi đa tạp tôpô tồn số tự nhiên n với điểm p ∈ M có lân cận mở U p , ánh xạ ϕ : U →  n mà đồng phơi lên ảnh ϕ (U ) Cặp (U , x) gọi đồ địa phương (mảnh tọa độ) M , số tự nhiên n gọi chiều M Để ký hiệu chiều M n ta viết M n Định nghĩa 1.1.2 Một tập N M gọi đa tạp với p ∈ N tồn đồ (U p , ϕ p ) cho p ∈ U p ϕ p : U p →  n ×  n − m thoả mãn: ϕ p (U p ∩ N = ) ϕ p (U p ) ∩  n × {0} Định nghĩa 1.1.3 Cho M đa tạp khả vi p ∈ M ε ( p) tập hàm giá trị thực khả vi lân cận mở p Một vectơ tiếp xúc X p p ánh xạ X p : ε ( p ) →  thoả mãn: i) X p ( λ ⋅ f + µ ⋅ g ) = λ ⋅ X p ( f ) + µ ⋅ X p ( g ) ii) X p ( f ⋅ g= ) X p ( f ) ⋅ g ( p) + f ( p) ⋅ X p ( g ) với λ , µ ∈, f , g ∈ ε ( p) Tập hợp tất vec tơ tiếp xúc p gọi không gian tiếp xúc p ký hiệu Tp M Định nghĩa 1.1.4 Cho φ : M → N ánh xạ khả vi hai đa tạp Khi vi phân dφ p Φ p ∈ M ánh xạ dφ p : Tp M → Tφ ( p ) N cho với X p ∈ Tp M f ∈ ε (f ( p ) ) ( X ) )= (f) X (f° ) ( dff p p p Định nghĩa 1.1.5 Một ánh xạ khả vi φ : M → N đa tạp gọi phép dìm với p ∈ M vi phân dφ p : Tp M → Tφ ( p ) N đơn ánh Một phép nhúng phép dìm φ : M → N mà đồng phơi lên ảnh φ ( M ) Định nghĩa 1.1.6 Một ánh xạ φ : N n → M m đa tạp gọi phép ngập (submersion) với p ∈ N có vi phân dφ p : Tp N → Tφ ( p ) M tồn ánh 1.2 Móc Lie – Đạo hàm Lie Định nghĩa 1.2.1 Cho M đa tạp trơn Với trường vectơ X , Y ∈ χ ( M ) ta định nghĩa móc Lie [ X , Y ] p : C ∞ ( M ) → X , Y p ∈ M ,Y ]p ( f ) [ X= X p (Y ( f ) ) − Yp ( X ( f ) ) Định nghĩa 1.2.2 Một dòng X tác động nhóm nhóm cộng số thực X Rõ ràng dòng ánh xạ ϕ : X × → X cho với x ∈ X với số thực s t : ), s )) ϕ ( x, s + t ) ϕ ( x, 0) = x , ϕ (ϕ ( x, t= Định nghĩa 1.2.3 Cho X trường vectơ trơn đa tạp M , ϕt dòng địa phương X Ta định nghĩa đạo hàm Lie trường ten xơ K theo trường vectơ X : X K := lim t →0 K − (ϕt )* ( K ) t = − d (ϕt )* ( K ) dt t =0 Định nghĩa 1.2.4 Một nhóm Lie đa tạp trơn G với cấu trúc nhóm ánh xạ ρ : G × G → G với ánh xạ ρ : ( p, q) → p ⋅ q −1 ánh xạ trơn cho 61 với s số thoả ≤ s ≤ min( p − 1, m − p − r ) Thay = x j ( j p, , p + r ) x j = x j  α j xi i ta ω = dx1 ∧  ∧ dx p −1 ∧ α , p+r s α = d (∑ ±x 2j / + ∑ xi x p + r +i ) =j p=i (với −1 ≤ e ≤ q = m − p, ≤ s ≤ q − r ) Đây dạng khả tích tuyến tính loại I định lý 4.1.1 Trường hợp b) Giả sử d ′α ≠ Khi d ′α hệ số hằng, nên ta biến đổi toạ độ ( x p , , xn ) cách tuyến tính cho hệ toạ độ d ′α = dx p ∧ dx p +1 +  + dx p + r ∧ dx p + r +1 với r ≥ Với r ≥ , xét hệ số thành phần dx p ∧ dx p +1 ∧ dxi (i > p + 1), dx p ∧ dx p + ∧ dx p +3 dx p +1 ∧ dx p + ∧ dx p +3 0= α ∧ d ′α , tất hệ số α 0, điều vô lý Vậy ′α dx p ∧ dx p +1 , từ điều kiện α ∧ d ′α = ta suy d= = α α1dx p + α dx p +1 với α1 , α hàm tuyến tính phụ thuộc vào x1 , , x p −1 , x p , x p +1 Trong trường hợp này, ω = dx1 ∧  ∧ dx p −1 cịn có dạng (3.1.3) trường hợp II Giả sử ω có dạng (3.1.3), tương tự trường hợp II trường hợp b trường hợp I, ta có: = ω Ta xét hai trường hợp: ∑ x= iωi p +1 ∑ a dx ∧  ∧ dx j =1 j j −1 ∧ dx j +1 ∧  ∧ dx p +1 62 a) ∂a j / ∂xi = với j =1, , p + 1, i =p + 2, , m Nói cách khác, P +1 ∑ a x dx ∧  ∧ dx = ω i , j =1 i j i j −1 ∧ dx j +1 ∧  ∧ dx p +1 a ij hệ số Ta có Nambu tensơ tuyến tính Λ đối ngẫu với ω (nghĩa là, ω= iΛ Ω dạng thể tích hằng) phép nhân với hằng: p +1 Λ= ( ∑ ±a ij xi ∂ / ∂x j ) ∧ ∂ / ∂x p + ∧  ∧ ∂ / ∂xm i , j =1 Thành phần thứ Λ trường vectơ tuyến tính xác định phép biến đổi tuyến tính  p +1 →  p +1 cho ma trận (a ij ) , ma trận a ij biến đổi dạng Jordan b) Tồn j ≤ p + i ≥ p + cho ∂a j / ∂xi ≠ Ta giả sử ∂a1 / ∂xm ≠ Với A =∂ / ∂x3 ∧  ∧ ∂ / ∂x p +1 phương trình iAω ∧ dω = trở thành = (a1dx2 + a2 dx1 ) ∧ ∑ i= 1,…, m j =1,…, p +1 dxi ∧ ∂a j ∂xi dx1 ∧  ∧ dx j −1 ∧ dx j +1 ∧  ∧ dx p +1 Xét hệ số dx1 ∧  ∧ dx p +1 ∧ dxm phương trình ta a1∂a2 / ∂xm − a2 ∂a1 / ∂xn = Vì ∂a1 / ∂xm ≠ , nên a2 phụ thuộc tuyến tính vào a1 Tương tự, a j phụ thuộc = j 1, , p + Do ω = a1ω1 với ω tách không đổi: tuyến tính vào a1 với ω1 = dx1 ∧  ∧ dx p hệ toạ độ tuyến tính Nếu a1 độc lập tuyến tính với x1 , , x p ta giả sử x p +1 = a1 hệ toạ độ Từ phép biến đổi toạ độ tuyến tính ta trở lại trường hợp a trường hợp II 63 Định lý 4.1.3 Mọi Nambu tensơ Λ bậc q ≥ (hoặc bậc q = có thêm điều kiện rankΛ ≤ ) không gian tuyến tính m − chiều ln biểu diễn hai dạng sau: Dạng I: Λ= r +1 ∑ ±x j j =1 s ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ + ∑ ±xq +1+ j ∧ ∧ ∧ , ∂x1 ∂x j −1 ∂x j +1 ∂xq +1 j =1 ∂x1 ∂xr + j ∂xq +1 với −1 ≤ r ≤ q , ≤ s ≤ min( p − 1, q − r ) m Dạng II: Λ =∂ / ∂x1 ∧  ∧ ∂ / ∂xq −1 ∧ ( ∑ bij xi ∂ / ∂x j ) i, j =q Định lí 4.1.3 dạng đối ngẫu định lý 4.1.1 Định nghĩa 4.1.4 Một phân Nambu tuyến tính phân kì dị Λ tương ứng Nambu tensơ Λ bậc q ≥ ( bậc q = với điều kiện rankΛ ≤ ) Một phân Lie tuyến tính phân kì dị sinh đại số Lie trường vectơ tuyến tính khơng gian tuyến tính Chú ý 4.1.5 Một phân Nambu tuyến tính phân Lie tuyến tính, điều ngược lại khơng 4.2 Tính tuyến tính cấu trúc Nambu Xét điểm kì dị cấu trúc Nambu tuyến tính Λ bậc q Trong hệ toạ độ địa phương đặt điểm đó, ta có khai triển Taylor Λ có dạng: Λ = Λ (1) + Λ (2) + ⋅⋅⋅ Λ ( k ) q − vectơ bậc k Khi Λ (1) Nambu tensơ tuyến tính, gọi thành phần tuyến tính Λ Dựa vào tự đẳng cấu tuyến tính Λ (1) định nghĩa tốt, nghĩa khơng phụ thuộc vào việc chọn hệ toạ độ địa phương 64 Sau ta tìm hiểu số kết tính tuyến tính Λ ( nghĩa tồn vi phôi địa phương biến Λ thành thành phần tuyến tính Λ (1) ) Ta xét trường hợp Λ có biểu diễn dạng I trường hợp Λ có biểu diễn dạng II Một điểm kì dị cấu trúc Nambu gọi Dạng I thành phần tuyến tính Dạng I Điểm kì dị Dạng II định nghĩa tương tự Đầu tiên ta xét trường hợp điểm kì dị Dạng II Bổ đề 4.2.1 Cho Ω dạng thể tích Λ Nambu tensơ bậc q > đa tạp M Khi đó, với r = 0,1,…, q − , hàm trơn g1 ,…, g r , ta có: a) i( dg ∧∧ dx ) DΩ Λ ∧ Λ = Đặc biệt, tích ngồi trường vecto Hamilton bất r kì DΩ Λ với Λ b) [i( dg ∧∧ dg ) DΩ Λ, Λ ] =0 Đặc biệt, trường vectơ Hamilton DΩ Λ r tự đẳng cấu vô bé Λ Định lý 4.2.2 Cho Λ Nambu tensơ bậc q đa tạp M , Ω dạng thể tích M Khi q = ta bổ sung thêm điều kiện rankΛ ≤ Giả sử DΩ Λ ( z ) ≠ z ∈ M Khi lân cận z tồn hệ toạ độ địa phương ( x1 , , xq −1 , y1 , , y p +1 ) , trường vectơ X phụ thuộc vào ( y1 , , y p +1 ) , cho = Λ ∂ ∂ ∧ ∧ ∧ X ∂x1 ∂xq −1 Chứng minh Xét trường hợp q > Vì DΩ Λ Nambu tensơ bậc q − ≥ (hoặc rank ≤ q − =2 ) DΩ Λ ( z ) ≠ , nên lân cận z tồn hệ toạ độ địa phương cho DΩ= Λ ∂ ∂ ∧ ⋅⋅⋅ ∧ ∂x1 ∂xq −1 65 Khi ∂ trường vectơ Hamilton địa phương DΩ Λ Từ phát biểu a) ∂xi bổ đề 3.2.1 ta suy ∂ ∧ Λ= (∀i= 1, , q − 1) , nghĩa là, Λ có dạng biểu diễn ∂xi ∂ ∂ ∧ ∧ , ∂x1 ∂xq −1 = Λ X trường vectơ mà khơng chứa thành phần biểu b) bổ đề 4.2.1 ta suy [ ∂ ∂ Từ phát , …, ∂x1 ∂xq −1 ∂ , Λ ] = ∀i = 1, …, q − Do X bất biến ∂xi ∂ ∂ , …, ∂x1 ∂xq −1 Trường hợp q = chứng minh tương tự  Mệnh đề 4.2.3 Cho z điểm kì dị khơng suy biến Dạng II Nambu tensor Λ bậc q ≥ (hoặc bậc q = với kiện rankΛ ≤ ), đa tạp m − chiều M , mà thành phần tuyến tính có dạng m Λ (1) =∂ / ∂x1 ∧ ⋅⋅⋅ ∧ ∂ / ∂xq −1 ∧ ( ∑ bij xi ∂ / ∂x j ) i , j =q Nếu ma trận (bij )im, j = q có vết khác 0, tồn hệ toạ độ địa phương ( x1 , , xm ) cho Λ viết dạng = Λ X = m ∑ c ( x , , x i =q i q m ∂ ∂ ∧ ∧ ∧X ∂x1 ∂xq −1 )∂ / ∂xi trường vectơ mà không phụ thuộc vào ( x1 , , xq −1 ) Chứng minh Ta kiểm tra với dạng thể tích Ω tuỳ ý 66 m = z ) (∑ bij )∂ / ∂x1 ∧ ∧ ∂ / ∂xq −1 ( z ) ≠ ( DΩ Λ )( i =q Do mệnh đề hệ trực tiếp Định lý 4.2.2 Chú ý 4.2.4 Mệnh đề cho trường hợp  ∑b i i = với det (bij ) ≠ q ≤ m−2 Mệnh đề giúp chuyển tốn tính tuyến tính Λ thành tốn tính tuyến tính trường vectơ X Áp dụng định lý tính tuyến tính Sternberg cho trường hợp trường vectơ trơn định lý Bruno cho trường hợp khả tích, ta có định lý sau: Định lý 4.2.4 Cho z điểm kì dị Dạng II Nambu tensơ Λ bậc q ≥ (hoặc bậc q = với điều kiện rankΛ ≤ ) đa tạp m − chiều M , mà thành phần tuyến m tính Λ có dạng Λ (1) =∂ / ∂x1 ∧  ∧ ∂ / ∂xq −1 ∧ ( ∑ bij xi ∂ / ∂x j ) Nếu ma trận (bij ) i , j =q không cộng hưởng (nonresonant), nghĩa là, giá trị riêng (λ1 ,…, λ p +1 ) p +1 không thoả λi = ∑ m j λ j với m j số nguyên không âm j =1 ∑m i ≥ , Λ tuyến tính, nghĩa tồn hệ toạ độ địa phương ( x1 ,…, xn ) lân cân O mà Λ trùng với thành phần tuyến tính nó: n Λ =∂ / ∂x1 ∧  ∧ ∂ / ∂xq −1 ∧ ( ∑ bij xi ∂ / ∂x j ) i, j =q Sự tuyến tính hố định lý áp dụng cho trường hợp giải tích (giải tích thực chỉnh hình) Λ giải tích giá trị riêng λ1 ,…, λ p +1 (bij ) thoả mãn ω − điều kiện Bruno Chú ý 4.2.5 Hai Nambu tensơ bậc q ≥ có dạng = Λ ∂ ∂ ∧ ∧ ∧Z ∂x1 ∂xq −1 67 (trong Z trường vectơ khơng phụ thuộc vào x1 , , xq −1 ) đẳng cấu địa phương trường vectơ Z tương đương quỹ đạo địa phương Do lý thuyết sử dụng để nghiên cứu tính kì dị cấu trúc Nambu lý thuyết phân loại quỹ đạo trường vectơ Tiếp theo ta xét tính kì dị Dạng I Gọi Λ cấu trúc Nambu bậc q ≥ z điểm kì dị Dạng I Λ Khi z gọi khơng suy biến thành phần tuyến tính Λ (1) Λ z có dạng Λ= q +1 ∑ ±x ∂ / ∂x ∧  ∧ ∂ / ∂x j =1 j j −1 ∧ ∂ / ∂x j +1 ∧  ∧ ∂ / ∂xq +1 (3.2.1) Nói cách khác, z khơng suy biến p − dạng khả tích tuyến tính ω (1) đối ngẫu với Λ (1) có dạng ω (1) = dx1 ∧  ∧ dx p −1 ∧ dQ (2) , (3.2.2) (2) Q= m ∑ ±xi2 hàm bậc hai không suy biến có q + biến Nếu i= p m Q (2) = ± (∑ xi2 ) hàm xác định dương xác định âm, z gọi điểm kì i= p dị elipttic không suy biến Dạng I Định lý 4.2.5 Cho z điểm kì dị Dạng II Nambu tensơ Λ trơn bậc q ≥ (hoặc bậc q = với điều kiện rankΛ ≤ ) đa tạp m − chiều M Khi Λ tuyến tính hình thức z Nếu Λ giải tích (thực phức) Λ tuyến tính giải tích Nếu z eliptic Λ tuyến tính trơn 3.2.1 Tính tách ω Cho Λ Nambu tensơ bậc q ≥ (hoặc bậc q = với điều kiện rankΛ ≤ đa tạp m − chiều M ω p − dạng khả tích đối ngẫu với Λ ( ω =Ω (Λ ) ) Ta có kết sau đây: 68 Cho z điểm kì dị dạng II khơng suy biến Khi lân cận mở z , ω phân tích thành tích nêm: ω = γ ∧  ∧ γ p −1 ∧ α , = γ i dxi + θi với θi ( z ) = Đặc biệt, từ tính tách ω ta suy tập điểm kì dị ω đa tạp p − chiều Σ Chứng minh Từ định nghĩa điểm kì dị khơng suy biến Dạng I, ta giả sử ω có khai triển Taylor ω = ω (1) + ω (2) + , với ω (1) = dx1 ∧  ∧ dx p −1 ∧ dQ (2) = (3.2.3) m ∑ ±x 2j Trong dx1 ,…, dx p−1 , ω biểu diễn j= p đa thức: p −1   ∧ dx ∧ β ω = dx1 ∧  ∧ dx p −1 ∧ α + ∑ dx1 ∧  dx j p −1 j j =1 + ∑ 1≤i < j ≤ p −1   dx   ∧ dx ∧ γ +  dx1 ∧  dx i j p −1 ij α , βi , γ ij ,… dạng vi phân mà biểu diễn chúng hệ toạ độ ( x1 , , xm ) không chứa thành phần dx1 , …, dx p −1 Với A =∂ / ∂x1 ∧ ⋅ ∧ ∂ / ∂x p −1 Từ suy α ∧ β j = iAω ∧ ω = ta có α ∧ ω = , v.v Ta xem α , α ∧ γ ij = β j dạng vi phân không gian biến ( x p …, xm ) , tham số hoá x1 , …, x p −1 , α , β j khơng suy biến, ta sử dụng định lý chia de Rham sau: Vì số biến q + ≥ β j có bậc nên β j= α ∧ θ j θ j 1-dạng trơn Với A =∂ / ∂x1 ∧  ∧ ∂ / ∂x j −1 ∧ ∂ / ∂x j +1  ∂ / ∂x p −1 ∧ ∂ / ∂x p , phương trình iAω ∧ ω = trở thành 69 = ω ∧ (〈α , ∂ / ∂x p 〉 ((−1) p − j dx j + θ j ) − 〈θ j , ∂ / ∂x p 〉α ) ta có ω ∧ γ j = Vì 〈α , ∂ / ∂x p 〉 =〈α (1) , ∂ / ∂x p 〉 +  =± x p +  ≠ ω ∧ α = với γ =j dx j + (−1) p − j θ j Vì γ j khơng suy biến độc lập tuyến tính z , nên ω phân tích thành tích γ j : ω = γ ∧  ∧ γ p −1 ∧ α ′ với α ′ 1-dạng Sử dụng tính kết hợp γ j α ′ , ta giả sử hệ toạ độ ( x1 , , xn ) biểu diễn α ′ không chứa thành phần dx1 , , dx p −1 Khi xét thành phần chứa dx1 , , dx p −1 hai vế phương trình ω = γ ∧  ∧ γ p −1 ∧ α ′ , ta suy α ′ = α 4.2.2 Dạng tuyến tính hình thức phân tương ứng Áp dụng thuật toán Godbillon-Vey hai lần ta thu dạng tuyến tính hình thức phân tương ứng m Từ dạng biểu diễn ω = γ ∧  ∧ γ p −1 ∧ α (với γ i =dxi +  , α =∑ ±xi dxi +  ) định i= p lý hàm ẩn ta có tập điểm kì dị gần z ω đa tạp ( p − 1) − chiều Σ Sử dụng phép kéo thẳng (rectifying) Σ , ta giả sử Σ cho Σ= {x p= = xm= 0} (3.2.4) Để biểu diễn công thức đề cập đơn giản ta gọi q + toạ độ cuối y : y := ( y1 , …, yq +1 ) := ( x p , …, xm ) Trong phần ta kí hiệu dạng vi phân F khai triển Taylor F tương ứng với biến y F = F (0) + F (1) + F (2) + F ( k ) hàm bậc k theo y Đặc biệt, ta có α (0) = 70 α (1) = ∑ α ij ( x)dyi α ij ( x) = ±δ ij + thành phần bậc cao Sử dụng phép biến đổi tuyến tính biến mà bỏ biến y khơng đổi, ta giả sử γ i = dxi + γ i(1) + γ i(2) +  ∀i = 1,…, p − Sử dụng phép biến đổi toạ độ ta triệt tiêu cách liên tục thành phần γ i( k ) biểu diễn Giả sử ta loại bỏ (k − 1) thành phần (k ≥ 1) , γ i = dxi + γ i( k ) + γ ik +1 +  , ∀i = 1,…, p − Sau ta trình bày chi tiết cách loại bỏ thành phần γ i( k ) Do ω khả tích nên γ ∧  ∧ γ p −1 ∧ α ∧ d γ i = ∀i = 1,…, p − Từ thành phần bậc k (theo y ) phương trình ta có 0, dx1 ∧  ∧ dx p ∧ α (1) ∧ d yγ ik = d y đạo hàm ngồi tương ứng với y Từ suy α (1) ∧ d yγ ik = sử dụng định lý chia de Rham ta d y= γ ik α (1) ∧ βi( k − 2) (3.2.5) (1) Tương tự, γ ∧  ∧ γ p −1 ∧ α ∧ dα = , d yα= α (1) ∧ β , nên α (1) ∧ d yα (1) = ta có d yα (1) = Áp dụng phương trình d y °d y = 0, cho phương trình (3.2.5) ta suy α (1) ∧ d y βi( k − 2) = dó 71 − 2) d y βi( k= α (1) ∧ βi( k − 4) (3.2.6) Thực lại ta thu dãy hữu hạn 1-dạng βi( k − 2) , βi( k − 4) , hàm theo y Do tồn r ( r = r = ) cho d y βi( r ) = βi( r ) = d yφi( r +1) , φi( r +1) hàm bậc (r + 1) theo y Từ phương trình d y βi( r + 2) = α (1) βi( r ) ta suy d y βi( r + 2) = −d y [φi( r +1)α (1) ] , βi( r + 2) = −φi( r +1)α (1) + d yφi( r +3) với φi( r +3) hàm bậc (r + 3) theo y Tương tự, từ phương trình d y βi( r + 4) = α (1) β i( r + 2) ta d y βi( r + 4) = −d y [φi( r +3)α (1) ] , βi( r + 4) = −φi( r +3)α (1) + d yφi( r +5) Tiếp tục thực bước ta thu dạng biểu diễn γ i( k ) : γ i( r ) = −φi( k −1)α (1) + d yφi( k +1) (3.2.7) Thay γ i γ i′ + φ ( k )α , xi x=i′ xi + φi( k +1) , ta ω = γ 1′ ∧  ∧ γ ′p −1 ∧ α với γ i′ =+ dxi′ (γ ′)i( k +1) + Nói cách khác ta triệt tiêu thành phần bậc k (theo y) biểu diễn γ Bằng cách lặp lại tiến trình với k tiến dần từ đến ∞ lấy giới hạn (hình thức) ta tìm hệ toạ độ hình thức ( x1 ,…, x p −1 , y1 ,…, yq +1 ) gần z mà ω có dạng: ω = dx1 ∧  ∧ dx( p −1) ∧ α , ta giả sử α khơng chứa thành phần dx1 ,…, dx p −1 Khi điều kiện khả tích ω α ∧ d yα = 72 Như ta xem α họ 1-dạng khả tích hình thức theo biến ( y1 , …, yq +1 ) tham số hoá x1 , …, x p −1 có thành phần tuyến tính khơng suy biến 3.2.3 Dạng tuyến tính hình thức cấu trúc Nambu Λ Giả sử q +1 Λ = f Λ1 = f (∑ ±xi i =1 ∂ ∂ ∂ ∂ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ) ∂x1 ∂xi −1 ∂xi +1 ∂xn f hàm khơng triệt tiêu Ta cần tìm phép biến đổi toạ độ ( x1 ,…, xq +1 ) (và loại bỏ toạ độ xq + ,…, xm không đổi) cho hệ toạ độ f = Ta xem ( xq + ,…, xm ) tham số đặt m= q + Đặt f = ∑ f ( k ) , f ( k ) hàm bậc k ( x1 ,…, xq +1 ) Bằng phép đổi toạ độ x1′ =gx1 ,…, xq′ +1 =gxq +1 ta có f (0) = Giả sử f (1)=  = f ( k −1)= với k ≥ Ta chứng minh tồn phép biến đổi toạ độ biến xi thành thành phần bậc lớn r triệt tiêu f ( k ) Nghĩa ta cần tìm trường vectơ X cho X Λ= f ( k ) Λ1  đạo hàm Lie Xét dạng thể tích Ω = dx1 ∧  ∧ dxq +1 Bằng cách sử dụng ánh xạ thăng biến Λ1 thành Ω , ta có phương trình X Λ= f ( k ) Λ1 tương đương với phương trình dX= (Q) ( f ( k ) + divΩ X )dQ , Q = (1/ 2)∑ ε i xi2 , ε = ±1 Phương trình tương đương hệ phương trình sau: i 73 divΩ X + f ( r ) X (Q) d (2QF (Q)) = , dQ = 2QF (Q), F hàm chưa biết Đặt X= A + Y , với A = F (Q)∑ xi ∂ , Y ∂xi trường vectơ cho Y (Q) = Khi hệ phương trình tương đương với hệ sau: Y (Q) β (Q) + divΩY = 0, = f (k ) , β hàm chưa biết Phương trình Y (Q) = tương đương với Y = ∑ fijYij i< j Yij= ε i x j ∂ / ∂xi − ε j xi ∂ / ∂x j Với trường vectơ Y ta có divΩY = ∑ Yij ( fij ) i< j Gọi J tập đa thức bậc k Tính giải hệ phương trình suy từ tính chất sau: I +1 I Nếu đơn thức x= x1I … xq +1 có I i số lẻ x I thuộc J q Q s tương đương với λ x12 s theo modulo J với λ ≠ , nghĩa Q s − λ x s ∈ J I +1 I Đơn thức x= x1I … xq +1 có tất I i số chẵn tương đương với q λ x1∑ theo modulo J với λ số Ii Do hệ phương trình ln giải được, ta triệt tiêu thành phần f 74 KẾT LUẬN Qua nội dung trình bày, ta thấy mối quan hệ cấu trúc Nambu phân kì dị Từ cấu trúc Nambu ta xác định phân kì dị ngược lại, cho trước phân kì dị ta xây dựng cấu trúc Nambu Trên sở tiến hình nghiên cứu số tính chất phân kì dị tuyến tính mà chủ yếu phân có đối chiều Đồng thời, việc sử dụng phương tiện đại số thông qua cấu trúc Nambu để nghiên cứu phân kì dị mở hướng tiếp cận hiệu cho việc nghiên cứu phân kì dị trường hợp đối chiều tổng quát Do nhiều hạn chế khách quan chủ quan, Luận văn dừng lại khuôn khổ định Tác giả hi vọng cịn có dịp tiếp tục nghiên cứu vấn đề tương lai Sau cùng, có nhiều cố gắng việc tìm hiểu soạn thảo, sai sót tránh khỏi, nên mong nhận ý kiến đóng góp để luận văn tốt 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO César camacho (1985), Geometric theory of foliations, Boston: Birkhauser,1985 Candel,A and Condon, L (2000), Foliations I, Graduate Studies in Mathemathtics 23 Dufour,J.P and Zung,NT (2005), Poisson Structures and their Normal Forms, Progr.Math., vol.242, Boston,MA: Birkhauser Epstein, D.B.A (1976), Foliations with all leaves compact, Ann.Inst Fourier (Grenoble) 26 no 1, 265-282 Hector,G and Hirsch, V (1981, 1983), Introduction to the Geometry of Foliations Part A, Part B (Vieweg, Braunschweig) I Moerdijk and J Mrcun (2003), Introduction to Foliations and Lie Groupoids, Cambridge University Press, New York Truong Hong Minh and Nguyen Tien Zung (2013), "Commuting Foliations", Regular and Chaotic Dynamics, Pleiades Publishing, Ltd Pierre Molino (1988), Riemannian Foliations, Boston; Basel: Birkhauser Zung,N.T.(2013), "New Results on the Linearization of Nambu Structures", J Math Pures Appl, vol.99, no.2, pp.211-218 ... qua cấu trúc Nambu nghiên cứu toán dạng chuẩn trường hợp đơn giản phân kì dị phân kì dị tuyến tính Mục đích đề tài Nghiên cứu phân kì dị, cấu trúc Nambu mối quan hệ chúng Thông qua cấu trúc Nambu. .. 42 Từ cấu trúc Nambu đến phân kì dị ngược lại 43 3.3.1 Cấu trúc Nambu tiếp xúc cấu trúc Nambu tương ứng 43 3.3.2 Phân tương ứng .48 3.3.3 Từ phân đến cấu trúc Nambu ngược... .33 iii PHÂN LÁ KÌ DỊ VÀ CẤU TRÚC NAMBU 33 3.1 Phân kì dị 33 3.2 Cấu trúc Nambu .36 3.2.1 Móc Nambu Nambu tensơ 36 3.2.3 3.3 Các dạng vi phân khả tích