Các vành di truyền và nửa di truyền

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thị Bích Liễu CÁC VÀNH DI TRUYỀN VÀ NỬA DI TRUYỀN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thị Bích Liễu CÁC VÀNH DI TRUYỀN VÀ NỬA DI TRUYỀN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn khoa học PGS.TS Bùi Tường Trí Các nội dung nghiên cứu, kết đề tài trung thực chưa công bố hình thức Tp Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng năm 2016 Học viên thực Lê Thị Bích Liễu LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành với hướng dẫn giúp đỡ chân tình PGS.TS Bùi Tường Trí, người Thầy gợi cho ý tưởng đề tài mà thân chưa nghĩ đến Trong trình làm việc, Thầy đưa góp ý lời khuyên quý báu, không mặt chuyên môn mà cách thức làm việc, điều mà lâu thân cịn nhiều thiếu sót Xin gởi lời cám ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Qua đây, xin gởi lời cám ơn đến Thầy Cơ khoa Tốn – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Cám ơn tri thức mà Thầy Cô dạy cho giảng đường sư phạm tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận văn thời hạn Đồng thời, xin phép gửi lời cám ơn đến quý Thầy Cô Hội đồng Bảo vệ Luận văn Thạc sĩ đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá luận văn Gia đình, bạn bè nguồn động viên chỗ dựa tinh thần cho tơi lúc khó khăn Bản thân cho phải nổ lực thật nhiều mong đền đáp chân tình họ Xin cám ơn tất cả, chúc tất nhiều sức khoẻ Tp Hồ Chí Minh – Tháng năm 2016 Lê Thị Bích Liễu CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa  Vành số nguyên  Trường số hữu tỷ  Trường số thực ( RM ) Phạm trù R-môđun phải (trái) Ab Phạm trù nhóm aben CR Tập phần tử quy R Tập rỗng ⊂, ⊆ Tập thực tập nhỏ Bao hàm nghiêm ngặt A B A nhóm chuẩn tắc nhóm B |A| Sử dụng thay cho lực lượng môđun A MR , R N R-môđun phải M, R-môđun trái N (k) Vành ma trận vuông cấp n trường k Hom R (M, N) Nhóm R-đồng cấu vành từ M vào N B Tích Descartes hai môđun A B A⊕B Tổng trực tiếp hai R-môđun A, B rad R Radical Jacobson R PRID Miền iđêan phải U(K) Nhóm gồm phần tử khả nghịch vành K End (M R ) Vành tự đồng cấu R-môđun phải M  Kết thúc chứng minh MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cám ơn Các kí hiệu Mục lục Lời nói đầu CHƯƠNG NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN .2 1.1 Tổng trực tiếp tích trực tiếp………………………………………………… 1.2 Mơđun tự do.………….…………………………………………………………8 1.3 Môđun xạ ảnh ………………………………………………………………… 1.4 Môđun Noether môđun Artin……………………………………………….17 CHƯƠNG CÁC VÀNH DI TRUYỀN VÀ NỬA DI TRUYỀN 25 2.1 Khái niệm vành di truyền nửa di truyền……………………………… 25 2.2 Một số ví dụ vành di truyền nửa di truyền……….…………………32 2.3 Các vành Artin di truyền………………….……………………………………40 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 LỜI NÓI ĐẦU Lớp vành di truyền nửa di truyền đưa nhà toán học Cartan, Eilenberg, Kaplansky, Lam, Small Luận văn này, nghiên cứu cách có hệ thống kiến thức lớp vành mơđun chúng Và mục đích luận văn xây dựng hệ thống lại ví dụ minh họa vành di truyền nửa di truyền Từ đó, biết hình ảnh cụ thể hai lớp vành Ngồi ra, cịn cho thấy lớp vành di truyền phải lớp vành di truyền trái không trùng nhau, lớp vành di truyền nhỏ lớp vành nửa di truyền Nhưng ngược lại, lớp vành Artin di truyền phải lớp vành Artin di truyền trái trùng Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN Chương nhằm mục đích cung cấp kiến thức phục vụ cho chương sau 1.1 Tổng trực tiếp tích trực tiếp 1.2 Môđun tự 1.3 Môđun xạ ảnh 1.4 Môđun Noether môđun Artin Chương CÁC VÀNH DI TRUYỀN VÀ NỬA DI TRUYỀN Chương nội dung luận văn 2.1 Khái niệm vành di truyền vành nửa di truyền Trình bày định nghĩa vành di truyền vành nửa di truyền đưa tính chất vành 2.2 Các ví dụ vành di truyền vành nửa di truyền Đưa ví dụ cụ thể, mối liên hệ vành di truyền phải (trái) vành nửa di truyền phải (trái) Đồng thời, đưa định nghĩa tính chất vành Artin di truyền CHƯƠNG NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN Trong luận văn này, luôn xét môđun bên phải Khi cần thiết nói rõ mơđun trái hay phải hay 2-phía Và vành đề cập luận văn hiểu vành không giao hốn khơng giải thích thêm 1.1 TỔNG TRỰC TIẾP VÀ TÍCH TRỰC TIẾP Khái niệm tổng trực tiếp tích trực tiếp xây dựng cho họ môđun Tuy nhiên, mở đầu với trường hợp đơn giản tổng trực tiếp họ hai môđun A Tổng trực tiếp hai mơđun Cho A, B R-mơđun Trên tập tích Descartes AB, đưa vào hai phép toán cộng nhân sau (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ), r (a, b) = (ra, rb), ∀(a1 , b1 ), (a2 , b2 ), (a, b) ∈ A× B, ∀r ∈ R Dễ kiểm tra thấy AB với hai phép toán xác định thoả mãn tất yêu cầu R-môđun Chúng ta gọi mơđun tổng trực tiếp hai môđun A, B viết A ⊕ B Chú ý phần tử A ⊕ B cặp (0, 0) phần tử đối cặp (a, b) (− a, −b) Tổng trực tiếp hai môđun A B đơi gọi tích trực tiếp tương ứng với cách gọi cách ký hiệu AB Chúng ta dễ thấy A ⊕ B ≅ A′ ⊕ B′ ⇔ A ≅ A′, B ≅ B′ B Tổng trực tiếp Tổng trực tiếp xác định mục đơi cịn gọi tổng trực tiếp để phân biệt với khái niệm tổng trực tiếp mà đưa Định lý 1.1.1 Cho A, B môđun X thoả tính chất i) A ∩ B = 0, ii) A + B = X Khi đó, có đẳng cấu X ≅ A ⊕ B Chứng minh Xây dựng ánh xạ ϕ : A ⊕ B → X mà ϕ (a, b) = a + b, với (a, b) ∈ A ⊕ B Dễ dàng kiểm tra ϕ đồng cấu Do đẳng thức A + B = X nên ∀x ∈ X ∃a ∈ A b ∈ B mà a + b = x Vậy ϕ toàn cấu Do A ∩ B = nên Ker ϕ = {(a, b) | a + b = 0} = {(a, b) | a = − b ∈ A ∩ B} = {(0, 0)} Do ϕ đơn cấu Vậy ϕ đẳng cấu hay A ⊕ B ≅ X  Thay cho dấu “ ≅ ” kết Định lý 1.1.1., viết dấu “ = ”, tức X= A ⊕ B , đồng thời trường hợp có: X tổng trực tiếp hai mơđun A, B X Chúng ta có định nghĩa khác tổng trực tiếp tạo môđun sau Định lý 1.1.2 Môđun X tổng trực tiếp hai môđun A B với x ∈ X có cách biểu diễn x = a + b với a ∈ A, b∈ B Chứng minh Nếu X = A ⊕ B ∀x ∈ X, x = a + b ∈ A + B Cách biểu diễn x = a′ + b′ a + b = a′ + b′ ⇒ a − a′ = b − b′ ∈ A ∩ B = nên a − a′ = b − b′ = a = a′, b = b′ Nếu x ∈ X có biểu diễn x = a + b ∈ A + B trước hết X = A + B Hơn nữa, từ trường hợp riêng x = với cách biểu diễn = + 0, c ∈ A ∩ B = c + (− c) ∈ A + B nên c = 0, nghĩa A ∩ B = Vậy X = A ⊕ B  Từ đó, có định nghĩa sau hạng tử trực tiếp môđun Định nghĩa 1.1.3 Môđun A  X gọi hạng tử trực tiếp X có mơđun B  X cho X = A ⊕ B Khi đó, B gọi hạng tử bù trực tiếp môđun A Chúng ta nhắc lại định nghĩa Định nghĩa 1.1.4 Cho R vành bất kỳ, R-môđun M ≠ gọi không phân tích (trực tiếp) M khơng thể viết thành tổng trực tiếp hai R-môđun khác không M Định nghĩa 1.1.5 Vành R ≠ gọi vành địa phương R có iđêan tối đại Định nghĩa 1.1.6 R-môđun khác không M gọi khơng thể phân tích trực tiếp mạnh End (M R ) vành địa phương Mệnh đề 1.1.7 Nếu R-môđun M phân tích trực tiếp mạnh M khơng thể phân tích trực tiếp C Tích trực tiếp họ mơđun Để xây dựng khái niệm tích trực tiếp họ môđun, trước hết nhắc lại vài điều cần thiết khái niệm tích Descartes họ tập hợp Cho họ không rỗng tập hợp {A i } i∈ I Tích Descartes họ tập hợp {A i }, ký kiệu ∏ A , tập hợp ánh xạ x : I → ∪Ai i∈I i cho x(i) ∈ A i , ∀i ∈ I Bởi ánh xạ x ∈ ∏ A i xác định cách giá trị (x(i)) i∈I nên có quyền đồng ánh xạ x với giá trị (x(i)) Và ký hiệu xi = x ( i ) phần tử ∏ A i x = (x i ) i∈I với điều kiện x i ∈ A i , ∀i ∈ I Vậy = ∏ Ai {( xi )i∈I | xi ∈ Ai , ∀i ∈ I } i∈I Về cách viết x = (x i ) i∈I , đơi để tránh rườm rà viết gọn x = (x i ) 30 Định nghĩa 2.1.7 Vành R gọi vành nửa di truyền phải (tương ứng trái) iđêan phải (tương ứng trái) hữu hạn sinh R R-môđun phải (tương ứng trái) xạ ảnh Nếu R vừa vành nửa di truyền phải vừa vành nửa di truyền trái, nói R vành nửa di truyền Miền nguyên nửa di truyền gọi miền Pr fer (như miền nguyên di truyền gọi miền Dedekind) Nhận xét 2.1.8 Từ định nghĩa, dễ dàng suy vành di truyền vành nửa di truyền Do đó, lớp vành nửa di truyền rộng lớp vành di truyền Với vành nửa di truyền phải, có định lý F Albrecht bên tương tự Định lý 2.1.2 Kaplansky Định lý 2.1.9 Cho R vành nửa di truyền phải Khi đó, mơđun hữu hạn sinh P R-môđun tự (hoặc xạ ảnh) đẳng cấu với tổng trực tiếp hữu hạn iđêan phải hữu hạn sinh R; đặc biệt, P môđun xạ ảnh Chứng minh Chúng ta đủ để nói trường hợp F tự do, giả sử F = ⊕in=1 ei R Chúng ta tiếp tục quy nạp theo n, trường hợp n = phủ định nghĩa Lý luận chứng minh Định lý 2.1.2., có phân hoạch tổng trực tiếp P = (P ∩ ) ⊕ A F1 = ⊕in=−11 ei R , A môđun P đẳng cấu với iđêan phải hữu hạn sinh R Như hạng tử trực tiếp P, P ∩ hữu hạn sinh Chúng ta chứng minh xong cách vận dụng giả thiết quy nạp P ∩ F1 ⊆ F1  Từ đó, có hệ sau Hệ 2.1.10 Vành R vành nửa di truyền phải môđun hữu hạn sinh R-môđun xạ ảnh xạ ảnh Chứng minh.(⇒) Gọi A môđun hữu hạn sinh R-môđun xạ ảnh P Do vành R vành nửa di truyền phải nên theo Định lý 2.1.10 có A đẳng cấu với tổng trực tiếp hữu hạn iđêan phải hữu hạn sinh R A R-môđun xạ ảnh (⇐) Vì R R-mơđun R nên R R-mơđun tự Hơn nữa, theo Mệnh đề 1.3.9 R môđun xạ ảnh Theo giả thiết, môđun hữu hạn sinh R môđun xạ ảnh 31 Nói cách khác, iđêan phải hữu hạn sinh R R-mơđun xạ ảnh Do đó, R vành nửa di truyền phải  Tiếp theo, nói tính chất điều kiện để miền Pr fer Nhắc lại môđun tự không xoắn, môđun xạ ảnh không xoắn Ngược lại, môđun không xoắn không cần xạ ảnh Ví dụ, R ≠ K, trường thương R, khơng xoắn, khơng xạ ảnh theo Hệ 1.4.37 Một câu hỏi nhiều thú vị để hỏi là: R-môđun không xoắn hữu hạn sinh môđun xạ ảnh? Chú ý môđun không xoắn hữu hạn sinh M miền nguyên R nhúng vào mơđun tự Thật ra, cố định M S = R\{0}, có kết luận M ⊆ S −1M =M ⊗ R K =K n (với n đó), sau thực phép đồng thích hợp Do M hữu hạn sinh, tồn r ∈ S cho Mr ⊆ , nhúng M vào phép nhân phải r Sự quan sát dẫn đến cách nhanh chóng Hệ 2.1.11 Hệ 2.1.11 Miền nguyên R miền Pr fer R-môđun không xoắn hữu hạn sinh xạ ảnh Chứng minh (⇒) Vì R miền Pr fer nên R vành nửa di truyền Do hiển nhiên theo định nghĩa vành nửa di truyền có điều phải chứng minh (⇐) Chứng minh R miền Pr fer, tức cần chứng minh R vành nửa di truyền Chúng ta áp dụng Hệ 2.1.11 để chứng minh R vành nửa di truyền phải chứng minh cách tương tự cho R vành nửa di truyền trái Bây giờ, với A môđun hữu hạn sinh R-môđun xạ ảnh P, chứng minh A R-mơđun xạ ảnh Vì P R-môđun xạ ảnh nên P R-môđun không xoắn Theo Mệnh đề 1.4.34 suy A R-môđun hữu hạn sinh không xoắn Theo giả thiết, có A mơđun xạ ảnh.Vậy R vành nửa di truyền phải Do R vành nửa di truyền Kết hợp với R miền nguyên, R miền Pr fer  32 Chúng ta đưa số ví dụ vành di truyền (và nửa di truyền) phải 2.2 MỘT SỐ VÍ DỤ CỦA CÁC VÀNH DI TRUYỀN, NỬA DI TRUYỀN Trong phần này, xây dựng hệ thống ví dụ nhằm mơ tả tính chất cụ thể lớp vành di truyền nửa di truyền Đặc biệt, ví dụ Small lấy chất liệu vành ma trận vuông cho hình ảnh cụ thể chứng tỏ lớp vành di truyền bên phải lớp vành di truyền bên trái không trùng nhau, lớp vành nửa di truyền phải nói chung thật rộng lớp vành di truyền phải lớp vành nửa di truyền trái rộng lớp vành di truyền trái 2.2.1 Các ví dụ (a) Mọi vành nửa đơn R vành di truyền Thật ra, theo Mệnh đề 1.4.17., R, tất R-môđun phải hay trái xạ ảnh (b) Từ Nhận xét 1.2.6 suy vành chia vành di truyền (c) Như đề cập, PRID di truyền phải Một ví dụ đẹp D[x], vành đa thức biến vành chia D (d) Xét vành quy von Neumann, nghĩa là, vành R mà phần tử a ∈ R viết dạng axa với x ∈ R (phụ thuộc vào a) Ở đây, e = ax ∈ aR luỹ đẳng nên e =e ⇒ axax =ax ⇒ ea =a Vậy a = ea ∈ eR suy aR = eR Tổng quát, theo Định nghĩa 1.4.30 iđêan phải hữu hạn sinh R biểu thị dạng eR với luỹ đẳng e thích hợp Do R = eR ⊕ (1 - e)R, R môđun xạ ảnh nên theo Mệnh đề 1.3.10 xạ ảnh Do đó, R vành nửa di truyền phải (và trái) Từ Định lý 2.1.10., suy Rmôđun hữu hạn sinh P xạ ảnh P đẳng cấu với tổng trực tiếp hữu hạn iđêan phải (e) Trong vành quy von Neumann R, họ đếm sinh iđêan xạ ảnh Thật ra, viết phải hợp tăng dây chuyền ,ở iđêan phải hữu hạn sinh Bởi điều nói (d) trên, hạng tử trực tiếp R, viết với iđêan phải thích hợp Do xạ ảnh, xạ ảnh Theo Mệnh 33 xạ ảnh Đặc biệt, R đề 1.3.10., suy vành quy von Neumann đếm được, R di truyền phải (và trái) (f) Chúng ta dễ dàng thấy tích trực tiếp hai vành (nửa) di truyền phải (nửa) di truyền phải (g) Cho miền nguyên R, từ Định lý 1.4.36 suy R vành di truyền, R vành Noether Lấy | I | ≥ (f), nhiên, thấy miền di truyền không cần Noether phải hay Noether trái (h) Miền nguyên R gọi miền định giá nếu, với phần tử khác không x trường thương nó, x x-1 thuộc R Cho R miền trên, dễ dàng để thấy iđêan R dạng dây chuyền Chúng ta suy (R địa phương và) iđêan hữu hạn sinh R chính; vậy, R miền nửa di truyền 2.2.2 Ví dụ Small Trước đưa ví dụ Small, cung cấp số kiến thức bổ trợ sau Ví dụ 2.2.2.1 Xét tập sau vành  (( x))    , 0     ,     ( x)   ,   0   ( x)     ( x )     / 2  Các vành liệt kê vành   xét dễ tất   0 trường hợp đặc biệt nhiều xây dựng tổng quát Cho R, S hai vành, cho M (R, S)-song môđun Điều nghĩa M R-môđun trái S-môđun cho (rm) s = r (ms ) với r ∈ R, m ∈ M , s ∈ S Cho song môđun M trên, có dạng   R M   r m  = A  =    : r ∈ R, m ∈ M , s ∈ S  ,  S   s   định nghĩa phép nhân A sử dụng phép nhân ma trận thức  r m  r ' m '   rr ' rm '+ ms '    =  ss '   s  s '   34 Kiểm tra điều kiện định nghĩa vành rằng, với phép nhân này, A trở thành vành (Tính chất song mơđun (rm) s = r (ms ) M không cần thiết định nghĩa trên, cần việc kiểm tra tính giao hoán phép nhân A) Sự xây dựng (cho nên-được gọi) vành tam giác A rõ ràng phủ tất ví dụ nói đến lúc bắt đầu Ví dụ 2.2.2.1 Trong tài liệu lý thuyết vành, nhiều ví dụ thật ngạc nhiên phản ví dụ xây dựng thơng qua xây dựng vành tam giác, cách thay đổi lựa chọn R, S M Những làm cho điều thật cấu trúc iđêan phải, trái 2-phía A suy dễ Trong điều sau đây, cố gắng hồn thành mơ tả iđêan phải, trái 2-phía A Đầu tiên, thuận lợi để định nghĩa nhóm R, S M A (trong cách trên) xem A R ⊕ M ⊕ S Trong số hạng phân tích này, phép nhân A mơ tả biểu đồ sau R M S R R M M 0 M S 0 S Từ điều này, rõ ràng R iđêan trái, S iđêan phải M iđêan (căn không) A Hơn nữa, R ⊕ M M ⊕ S hai iđêan A, với A / ( R ⊕ M) ≅ S A / ( M ⊕ S ) ≅ R Cuối R ⊕ S vành A Mệnh đề 2.2.2.2 (1) Các iđêan trái A có dạng I1 ⊕ I , I2 iđêan trái S, I1 R-môđun trái R ⊕ M chứa MI2 (2) Các iđêan phải A có dạng J1 ⊕ J , J iđêan phải R, J S-môđun phải M ⊕ S chứa J M (3) Các iđêan A có dạng K1 ⊕ K ⊕ K , K iđêan R, K iđêan S, K (R, S)-song môđun M chứa K M + MK 35 Chứng minh Sự thật I1 ⊕ I iđêan trái, J1 ⊕ J iđêan phải K1 ⊕ K ⊕ K iđêan R rõ ràng từ bảng phép nhân  r m Ngược lại, cho I iđêan trái A Nếu   thuộc I 0 s    r m   r m    =   0  s   0   0  r m   0    =    s   s  Do đó, có I= I1 ⊕ I , I1 =I ∩ ( R ⊕ M ) I 2= I ∩ S Rõ ràng, I1 Rmôđun trái R ⊕ M , I2 iđêan trái S Sau cùng, MI= M ( I ∩ S ) ⊆ I ∩ M ⊆ I ∩ ( R ⊕ M)= I1 Điều chứng minh (1), (2) chứng minh tương tự Nếu K iđêan A  r m   thuộc K, 0 s   r m1 0  r   = 0 s 0 0 0 0 0 r m 0   = 0 10 s  0 0 , 0 0 , s 0 m   tính Điều K = K1 ⊕ K ⊕ K , 0  K1 = K ∩ R, K0 = K ∩ M , K2 = K ∩ S Do K M iđêan Chúng ta phải có K1M + MK ⊆ K ∩ M = K tính chất yêu cầu khác K , K , K rõ ràng  Theo mệnh đề này, cấu trúc iđêan trái phải A gắn chặt chẽ với tương ứng cấu trúc R-môđun trái M cấu trúc S-mơđun M Thường cấu trúc hai mơđun M xếp hồn tồn khác biệt Trong tình vậy, vành A biểu diễn hành vi mạnh khác iđêan trái phải Để minh hoạ điểm này, sử dụng hình thành tam giác để xây 36 dựng vài vành bên mà Noether (tương ứng Artin) phải không Noether (tương ứng Artin) trái R M  Định lý 2.2.2.3 Cho A =   Mệnh đề 2.2.2.2 Khi A Noether 0 S  phải (tương ứng trái) R S Noether phải (tương ứng trái) M S-môđun phải (tương ứng R-môđun trái) Noether Lý luận tương tự thay từ “Noether” “Artin” Chứng minh Chúng ta đủ để xử lý trường hợp “Noether phải”, trường hợp khác lý luận tương tự Đầu tiên, giả sử A Noether phải Do R S vành thương A, theo Mệnh đề 1.4.6 chúng Noether phải Nếu M ⊆ M ⊆  dây chuyền tăng S-môđun 0  M, qua ma trận   , có dây chuyền tăng iđêan phải  Mi  A Vì M ⊆ M ⊆  phải dừng, M S-môđun Noether Ngược lại, giả sử R, S Noether phải M S-môđun Noether Xét dây chuyền tăng I (1) ⊆ I (2) ⊆  iđêan phải A Sự co lại dây chuyền đến R phải dừng, R Noether phải Mặt khác, co lại dây chuyền đến M ⊕ S phải dừng, S-môđun M ⊕ S Noether (vì R, S Noether phải theo Mệnh đề 1.4.6 nên S-môđun M ⊕ S Noether) Nhắc lại I (i ) = ( I (i ) ∩ R) ⊕ ( I (i ) ∩ ( M ⊕ S )), Chúng ta thấy I (1) ⊆ I (2) ⊆  phải dừng, chứng minh  A Noether phải Ví dụ 2.2.2.4 (Ví dụ Small) Chúng ta xét vành T ma trận có dạng , vành số nguyên, miền iđêan chính; trường số hữu tỷ, trường thương Chúng ta biết iđêan dạng < n > = n , n ∈ có iđêan thật nên dễ dàng thấy T có ba dạng iđêan phải khơng 37 (n ≠ 0), (n ≠ 0), Hơn nữa, M iđêan trái T Chúng ta cần T-môđun xạ ảnh Do n ≠ 0, với ∈T, có ∈ M1 Ngược lại, ∀ ∈ , = , môđun tự có hạng Suy theo Mệnh Vì vậy, có đề 1.3.9 T-mơđun xạ ảnh Mặt khác, M ∩ = (0) M + = M Suy theo Định lý 1.1.1 (trong V0 = (0) ⊕  , lý 1.3.11, và ), hạng tử trực tiếp mơđun tự Do theo Định T-môđun xạ ảnh Sau cùng, chứng minh T-môđun xạ ảnh Chúng ta xét đồng cấu vành ϕ: T q 38 Hơn nữa, ϕ toàn cấu vành Thật vậy, chọn ∈ T  r p   r ' p ' thoả  =  Suy r = r′, p = p ′, q = q ′ ; hay q q '     Do ánh xạ Dễ dàng kiểm tra có   r p   r ′ p′    r + r ' p + p ' ∗ ϕ  ϕ = +   q + q'     q   q′   = q + q' r p  r ' p ' = ϕ  +ϕ  ; 0 q   q'   r p   r ′ p′    rr ' rp '+ pq '  ∗ ϕ  ϕ = ⋅   qq '     q   q′   = qq '  r p   r ' p ' = ϕ  ⋅ϕ  ; 0 q   q' ∈ T Hơn nữa, với q ∈ , chọn ∈ T, có = q Vì V -khơng gian vector ⊕ xem -khơng gian vector V xem T-mơđun theo tồn cấu vành ϕ Khi phép nhân vơ hướng x ∈ T với số hữu tỷ q nhân x với ảnh q qua toàn cấu vành ϕ Khi T-mơđun, lấy Thế V xem hoặc , với -không gian vector có ba dạng (0) ⊕ Nếu V ≅ ≅ V theo (*) T-môđun xạ ảnh Do ≅ luỹ đẳng T Thật vậy, rõ ràng , 39 r p 0  ∀x =   ∈T, y =  ∈ 0 q   q ' , có 0 0  r p  0 e.x = ⋅  = 0 1 0 q  0 0  0 0 0 y=  =  ⋅  q '    Vì 0  ∈ M V0 , q 0 ey ∈ eT = q ' T-môđun tự với hạng 1, mâu thuẫn Định lý 1.3.12 Do ≅ V ≅  ⊕  mơđun xạ ảnh (do ≅ V ) Từ đó, theo Mệnh đề 1.3.9 T- T-mơđun xạ ảnh Do T vành di truyền phải Hoàn toàn tương tự chuyển sang iđêan trái T Vành T có ba dạng iđêan trái (n ≠ 0), = M1 , , N = M iđêan 2-phía T, nhóm số ngun hữu hạn sinh, nhóm số hữu tỷ vơ hạn sinh Do T có ba loại mơđun trái, cần chứng minh T không vành di truyền trái vành nửa di truyền trái Tương tự chứng minh trên, có N = T⋅ n T-môđun trái tự với hạng kiểm tra trực tiếp (với luỹ đẳng T) T- mơđun trái tự Vì vậy, theo Mệnh đề 1.3.9 N , N T-môđun trái xạ ảnh Bây giờ, xét Khi đó, Lưu ý G nhóm cộng aben nên đương nhiên G mơđun có cấu trúc mơđun trái tồn cấu vành µ : T → ∈ T thành tự động mơđun cho chuyển thành mơđun T Do đó, phép nhân vô hướng x ∈ T với số hữu tỷ q nhân x với ảnh q qua tồn cấu vành µ 40 T-iđêan trái hữu hạn sinh (tức T-môđun trái hữu hạn sinh) Xét trường hợp Khi đó, G phải nhóm hữu hạn sinh dạng (0) hoặc G có ba nhóm hữu hạn sinh (do nhóm vơ hạn sinh) Chúng ta có khả sau + Nếu G = G phần tử luỹ đẳng T Do là T-mơđun trái tự với hạng Vậy T-môđun trái xạ ảnh + Nếu G = tương tự chứng minh có T-mơđun trái xạ ảnh (do là T-môđun trái xạ ảnh theo Định lý 1.3.6) Tóm lại, mơđun trái hữu hạn sinh T T-mơđun trái xạ ảnh Vì T vành nửa di truyền trái Cuối cùng, lấy G = (0) ⊕ (vì ≅ G khơng phải môđun trái hữu hạn sinh không môđun trái hữu hạn sinh ) Khi N G không iđêan trái hữu hạn sinh T Bằng phản chứng, giả sử N G T-môđun trái xạ ảnh Lấy mơđulo Kerµ = I , với đồng cấu vành µ : T → có -môđun trái xạ ảnh, mâu thuẫn với Hệ 1.4.37 Do Nên khơng T-mơđun trái xạ ảnh Vậy T khơng vành di truyền trái Tóm lại, ví dụ có T vành di truyền phải không vành di truyền trái vành nửa di truyền trái Hoàn toàn tương tự, xét tập Chúng ta nhận vành di truyền bên trái, không vành di truyền bên phải lại vành nửa di truyền bên phải 2.3 CÁC VÀNH ARTIN DI TRUYỀN Trong việc học cấu trúc vành di truyền phải, lớp vành di truyền phải mà vành Artin phải đóng vai trị quan trọng Chúng ta có cách đơn giản để nhận liệu vành Artin phải R vành di truyền phải: người ta cần kiểm tra liệu rad R, radical Jacobson R, R-môđun xạ ảnh Trong kết này, 41 sử dụng khái niệm luỹ đẳng nguyên thuỷ vài thực tế sở luỹ đẳng Tuy nhiên, luỹ đẳng nguyên thuỷ sử dụng chứng minh đơn giản làm việc với tất luỹ đẳng Kết cho định lý bên Trong trường hợp này, chứng minh điều kiện tương đương với sử dụng chu kì (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (5) ⇒ (1) Định lý 2.3.1 Cho R vành Artin phải với J = rad R, điều sau tương đương (1) R vành di truyền phải (2) J R-môđun xạ ảnh (3) eJ R-môđun xạ ảnh, với luỹ đẳng e ∈ R (4) eJ R-môđun xạ ảnh, với luỹ đẳng nguyên thuỷ e ∈ R (5) Mọi iđêan phải tối đại R R-môđun xạ ảnh Chứng minh (1) ⇒ (2) Hiển nhiên theo định nghĩa (2) ⇒ (3) Chúng ta có phân hoạch iđêan phải J = eJ ⊕ (1 - e)J với luỹ đẳng e ∈ R Do J R-môđun xạ ảnh nên theo Mệnh đề 1.3.11 eJ R-môđun xạ ảnh với luỹ đẳng e ∈ R (3) ⇒ (4) Hiển nhiên Với hai điều suy lại, sử dụng Bổ đề 1.3.14 Các lý luận sau cung cấp minh hoạ tốt Bổ đề 1.3.14 áp dụng thực tế = R/J xét iđêan phải tối đại R Khi đó, theo Mệnh đề R-mơđun đơn đẳng cấu với với luỹ đẳng nguyên thuỷ (4) ⇒ (5) Cho 1.4.28 R/ e= e + J Theo Định lý 1.4.18 J nil, ln ln tìm luỹ đẳng e ∈ R cho e + J = e Khi đó, theo Mệnh đề 1.4.25 e luỹ đẳng nguyên thuỷ R Chúng ta có hai dãy khớp ngắn sau 0→ → R → R/ → 0, → eJ → eR → eR/eJ → 0, R/ Do R = eR ⊕ (1 - e)R R R môđun xạ ảnh nên theo Hệ 1.3.11 (eR) R môđun xạ ảnh Vậy theo Bổ đề 1.3.14 suy 42 (*), R-môđun Bởi (4), hai vế (*) môđun xạ ảnh, suy xạ ảnh (5) ⇒ (1) Để chứng minh iđêan phải I ⊆ R R-môđun xạ ảnh, áp dụng quy nạp theo n = length(R/I) + Nếu n = 0, I = R tất nhiên I R-môđun xạ ảnh + Nếu n > 0, chọn iđêan phải R/ , ⊃ I cho I R-môđun phải đơn đẳng cấu với iđêan phải tối đại thích hợp Khi lenght(R/ ) = n – 1, giả thiết quy nạp, R-môđun xạ ảnh Áp dụng Bổ đề 1.3.14 với dãy khớp ngắn 0→I→ 0→ thấy I ≅ R/ → → 0, → R → R/ → 0, Chúng ta có đẳng cấu môđun xạ ảnh, 1.3.11 suy phải Sử dụng (5), môđun xạ ảnh Vậy theo Hệ môđun xạ ảnh Vậy R vành di truyền  Chúng ta ý ngẫu nhiên (1) ⇔ (2) định lý nói chung với vành nửa nguyên thuỷ Nhận xét 2.3.2 Từ Định lý 2.3.1., thấy cần J R-mơđun xạ ảnh R vành di truyền phải Mặt khác, theo Nhận xét 1.4.14 R vành di truyền trái Như áp dụng, đưa ví dụ cổ điển vành di truyền bên Ví dụ 2.3.3 Cho k vành chia bất kỳ, R vành ma trận vuông cấp n mà ma trận tam giác trên k Khi R vành di truyền phải (và vành di truyền trái) 43 KẾT LUẬN Qua đề tài này, đưa + Khái niệm, tính chất vành di truyền phải (trái) vành nửa di truyền phải (trái) + Khái niệm vành Artin di truyền với điều kiện tương đương vành Artin di truyền Đồng thời, chúng tơi nêu ví dụ mô tả cụ thể vành mối liên hệ vành, tiêu biểu ví dụ Small Và cho thấy lớp vành di truyền phải lớp vành di truyền trái không trùng lớp vành nửa di truyền phải (trái) thực rộng lớp vành di truyền phải (trái) 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học Quốc gia Tp.HCM Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Bài tập Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học Quốc gia Tp.HCM Bùi Xuân Hải, Trịnh Thanh Đèo (2013), Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia Tp.HCM Tiếng Anh M F Atiyah, I G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison – Wesley, Reading, Masachusetts N Herstein (1968), Noncommutative rings, The Mathematical Association of America T Y Lam (1991), A First Course in Noncommutative Rings, Graduates Texts in Mathematic, Springer-Verlag T Y Lam (1999), Lectures on Modules and Rings, Graduates Texts in Math, Springer - Verlag ... Chương CÁC VÀNH DI TRUYỀN VÀ NỬA DI TRUYỀN Chương nội dung luận văn 2.1 Khái niệm vành di truyền vành nửa di truyền Trình bày định nghĩa vành di truyền vành nửa di truyền đưa tính chất vành 2.2 Các. .. CHƯƠNG CÁC VÀNH DI TRUYỀN VÀ NỬA DI TRUYỀN 25 2.1 Khái niệm vành di truyền nửa di truyền? ??…………………………… 25 2.2 Một số ví dụ vành di truyền nửa di truyền? ??…….…………………32 2.3 Các vành Artin di truyền? ??……………….……………………………………40... ? ?vành di truyền trái”, ? ?vành di truyền trái” khác ? ?vành nửa di truyền trái” Đầu tiên, đưa khái niệm vành di truyền nửa di truyền 2.1 KHÁI NIỆM CÁC VÀNH DI TRUYỀN VÀ NỬA DI TRUYỀN Trong vành tổng