Bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH _ Trần Thái Diệu Hằng BÀI TOÁN BIÊN TUẦN HỒN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN Chun ngành : Tốn Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Anh Tuấn, người tận tâm hướng dẫn tạo điều kiện tối đa để tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận văn giành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến giúp cho tơi hồn thành luận văn cách hồn chỉnh Tơi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng KHCN -Sau Đại học tồn thể thầy khoa Tốn-Tin học trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh giảng dạy tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian nghiên cứu đề tài Tôi chân thành cảm ơn gia đình, anh chị bạn đồng nghiệp động viên, giúp đỡ hồn thành luận văn Cuối cùng, q trình viết luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý Quý Thầy Cơ bạn đọc nhằm bổ sung hồn thiện đề tài Xin chân thành cảm ơn TP Hồ Chí Minh tháng 10 năm 2009 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài tốn biên tuần hồn cho hệ phương trình vi phân thường phương trình vi phân cấp cao nghiên cứu từ lâu ngày tìm ứng dụng nhiều lĩnh vực kinh tế khoa học kỹ thuật Bắt đầu từ năm 1995 việc nghiên cứu phát triển theo hướng thực phát triển mạnh với kết tổng quát cho toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tác giả I Kiguradze B Puza Các kết toán biên tuần hồn cho hệ phương trình vi phân tuyến tí nh phi tuyến nghiên cứu cách rộng rãi Vì chúng tơi chọn đề tài làm nội dung nghiên cứu luận văn nhằm học tập phát triển đề tài theo hướng tác giả Mục đích nghiên cứu Trong luận văn chúng tơi nghiên cứu tính giải tốn biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính, tốn biên tuần hồn cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến áp dụng cho hệ phương trình vi phân hàm đối số lệch Đối tượng phạm vi nghiên cứu Lý thuyết tốn biên cho hệ phương trình vi phân hệ ph ương trình vi phân hàm Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Khi nghiên cứu toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính phi tuyến đạt nhiều kết cụ thể cho tốn biên tuần hồn cho hệ phương trình vi phân hàm đối số lệch Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn gồm chương Chương 1: Bài toán biênổng t quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính Nội dung chương nghiên cứu tồn nghiệm toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính, áp dụng cho hệ phương trình vi phân hàm đối số lệch Chương 2: Bài tốn biên tu ần hồn cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến Chương nghiên cứu tính giải tốn biên tuần hồn cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến áp dụng cho hệ phương trình vi phân hàm đối số lệch DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU  I = [a, b], R = (−∞, ∞), R= [0, ∞) +  R n không gian véc tơ cột n chiều x = ( xi )in=1 với xi ∈ R (i = 1,, n) chuẩn n x = ∑ xi i =1  R n×n khơng gian ma trận cấp n × n X = ( xik )in,k =1 với xik ∈ R (i, k = 1,, n) chuẩn n X = ∑ xik i ,k =1  R+n= {( x ) = {( x  R+n×n ∈ R : x ≥ (= i 1,, n)} n n i i= i : x ≥ (i, k= 1,, n)} n n×n ik i ,k = ik ) ∈R  Nếu x, y ∈ R n X , Y ∈ R n×n  x ≤ y ⇔ y − x ∈ R+n , X ≤ Y ⇔ Y − X ∈ R+n×n x y tích vơ hướng véc tơ x y∈ Rn X ( xik )in,k =1 ∈ R n×n  Nếu = x ( xi )in=1 ∈ R n= = x (= xi )i = , X ( xik )i ,k , = n n sgn( x) = (sgn xi )in=1  det( X ) định thức ma trận X  X −1 ma trận nghịch đảo X  r ( X ) bán kính phổ ma trận X  E ma trận đơn vị  θ ma trận không  C ( I ; R n ) không gian hàm véc tơ liên tục x : I → R n với chuẩn = x C max { x(t ) : t ∈ I }  C ([0, ω ]; R n ) không gian hàm véc tơ liên tục x :[0, ω ] → R n với chuẩn = x C max { x(t ) : ≤ t ≤ ω}  Cω ( R n ) với ω > không gian hàm véc tơ ω -tuần hoàn liên tục x : R → R n với chuẩn = x C max { x(t ) : ≤ t ≤ ω} ω  Nếu = x ( xi )in=1 ∈ C ( I ; R n ) ( ) x C = xi n C i =1  Nếu = x ( xi )in=1 ∈ Cω ( R n ) ( ) x C = xi ω n Cω i =1  Lµ ( I ; R n ) với ≤ µ < +∞ khơng gian hàm véc tơ x : I → R n với thành phần khả tích tích bậc µ chuẩn 1/ µ x Lµ b  µ =  ∫ x(t ) dt  a   Nếu = x ( xi )in=1 ∈ Lµ ( I ; R n ) x Lµ = ( xi µ L ) n i =1  L( I ; R n×n ) khơng gian ma trận hàm khả tích X : I → R n×n = Nếu X ( xik )in,k =1 : I → R n×n (t ) : t ∈ I } max { X= ( max {x ik (t ) : t ∈ I })i ,k =1 n  L([0, ω ]; R n ) không gian hàm véc tơ x : R → R n với thành phần khả tích [0,ω ] chuẩn ω x L = ∫ x(t ) dt  Lω ( R n ) không gian hàm véc tơ ω -tuần hoàn x : R → R n với thành phần khả tích [0,ω ] chuẩn ω x Lω = ∫ x(t ) dt  Lω ( R+ ) ={ x ∈ Lω ( R ) : x(t ) ≥ 0, t ∈ R}  Lω ( R− ) ={ x ∈ Lω ( R) : x(t ) ≤ 0, t ∈ R}  Lω ( R n×n ) khơng gian ma trận hàm X : R → R n×n với phần tử thuộc Lω ( R)  Nếu Z ∈ C ( I ; R n×n ) ma trận hàm với cột z1 ,, zn g : C ( I ; R n ) → L( I ; R n ) tốn tử tuyến tính g ( Z ) hiểu ma trận hàm với cột g ( z1 ),, g ( zn )  Nếu Z : R → R n×n ma trận hàm liên tục, ω -tuần hoàn với cột z1 ,, zn g : Cω ( R n ) → Lω ( R n ) toán tử tuyến tính g ( Z ) hiểu ma trận hàm với cột g ( z1 ),, g ( zn ) Chương BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH 1.1 Giới thiệu Xét hệ phương trình vi phân hàm dx(t ) = p ( x)(t ) + q (t ) dt (1.1) l ( x) = c0 (1.2) với điều kiện biên Trong p : C ( I ; R n ) → L( I ; R n ) l : C ( I ; R n ) → R n toán tử tuyến tính bị chặn, q ∈ L( I ; R n ) c0 ∈ R n Những trường hợp riêng điều kiện (1.2) là: Điều kiện ban đầu x(t0 ) = c0 với t0 ∈ I (1.3) điều kiện biên tuần hoàn x (b) − x ( a ) = c0 (1.4) Định nghĩa 1.1 Hàm véc tơ x : I → R n gọi nghiệm tốn (1.1), (1.2) liên tục tuyệt đối, thỏa (1.1) hầu khắp nơi I thỏa (1.2) Trong phần hai ta xét điều kiện tồn nghiệm toán biên (1.1), (1.2) Phần ba áp dụng kết cho hệ phương trình vi phân hàm đối số lệch dx(t ) = P (t ) x(τ (t )) + q0 (t ) dt (1.5) thỏa mãn điều kiện sau c0 , x(t ) = u (t ) với t ∉ I , l ( x) = (1.6) c0 , x(t ) = u (t ) với t ∉ I , x(t0 ) = (1.7) x(t ) = u (t ) với t ∉ I , x(b) − x(a ) = c0 (1.8) Trong P ∈ L( I ; R n×n ), q0 ∈ L( I ; R n ), τ : I → R hàm đo u : R → R n hàm véc tơ liên ụt c bị chặn Các toán đưa dạng (1.1), (1.k) (k=2,3,4) Để thấy điều đặt τ (t ) < a, a  = τ (t ) τ (t ) k h ≤ τ (t ) ≤ b, b τ (t ) > b,  (1.9) p ( x)(t ) = χ I (τ (t )) P (t ) x(τ (t )) (1.10) q (t ) = (1 − χ I (τ (t ))) P(t )u (τ (t )) + q0 (t ) (1.11) với χ I hàm đặc trưng I 1.2 Hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính 1.2.1 Các định lý tồn nghiệm Trước tiên xét hệ phương trình vi phân hàm tương ứng toán (1.1), (1.2) dx(t ) = p ( x)(t ), dt l ( x) = (1.10 ) (1.20 ) Trong suốt phần 1.2 ta giả thiết (i) p : C ( I ; R n ) → L( I ; R n ) tốn tử tuyến tính tồn hàm khả tích η : I → R cho p ( x)(t ) ≤ η (t ) x C với t ∈ I , x ∈ C ( I ; R n ); (ii) l : C ( I ; R n ) → R n tốn tử tuyến tính bị chặn; (iii) q ∈ L( I ; R n ), c0 ∈ R n Lấy t0 điểm cố định thuộc I Ta định nghĩa dãy toán tử p k : C ( I ; R n ) → C ( I ; R n ) ma trận Λ k ∈ R n×n sau : t = p ( x)(t ) x= (t ), p ( x)(t ) k ∫ p( p k −1 = ( x))( s )d sk ( 1,2,), (1.12) t0 = Λ k l ( p ( E ) + p1 ( E ) +  + p k −1 ( E= )) (k 1,2,) (1.13) Nếu tồn k cho ma trận Λ k không suy biến ta lập p k ,0 ( x)(t ) = x(t ), p k ,m ( = x)(t ) p m ( x)(t ) −  p ( E )(t ) +  + p m−1 ( E )(t )  Λ k−1l ( p k ( x)) (1.14) Định lý 1.2 Bài tốn (1.1), (1.2) có nghiệm n ếu toán tương ứng (1.10 ), (1.20 ) có nghiệm tầm thường Chứng minh Đặt B C ( I ; R n ) × R n không gian Banach chứa phần tử u = ( x; c) = x ∈ C ( I ; R n ) c ∈ R n với chuẩn u= B x C + c Với = u ( x; c) ∈ B tùy ý t0 ∈ I cố định ta đặt t f (u )(t ) = (c + x(t0 ) + ∫ p( x)( s )ds; c − l ( x)) với t ∈ I , (1.15) t0 t  h(t ) =  ∫ q ( s )ds; c0  với t ∈ I t  0  Bài tốn (1.1), (1.2) tương đương với phương trình sau B = u f (u ) + h, (1.16) u = ( x; c) nghiệm (1.16) c = x nghiệm toán (1.1), (1.2)  t +ω  t +ω  t  exp  σ ∫ p0 (ξ )dξ  ∫ exp  σ ∫ p0 (ξ )dξ q ( s )d + s  t  t  s  u (t )  t +ω  + exp  σ ∫ p0 ( s )ds  u (t )  t  hay   t +ω  u (t ) 1 − exp  σ ∫ p0 ( s )ds   =   t    t +ω  t +ω  t  = exp  σ ∫ p0 (ξ )dξ  ∫ exp  σ ∫ p0 (ξ )dξ q ( s )d  t  t  s  Do p0 ∈ Lω ( R ) nên t +ω ∫ ω t +ω ∫ t s t p0 ( s )ds = ∫ p0 ( s )ds Do 0 ω p0 ( s )ds = ∫ p0 ( s )ds + ∫ p0 ( s )ds + t t +ω ∫ ω p0 ( s )ds ω t 0  ω =∫ p0 ( s )ds +  ∫ p0 ( s )ds + ∫ p0 ( s )ds  =∫ p0 ( s )ds 0 t  Suy  ω  t +ω  t  exp  σ ∫ p0 ( s )ds  ∫ exp  σ ∫ p0 (ξ )dξ q ( s )ds   t  s  u (t ) = ω    1 − exp  σ ∫ p0 ( s )ds         ω   Từ u (t ) =− exp ( ) ) σ p s ds   ∫  − 1     −1 t +ω ∫ t  t  exp  σ ∫ p0 (ξ )dξ q( s )ds  s  Mặt khác từ (2.48) ta có bất đẳng thức σ q (t ) ≤ γ (t , u R , kết hợp với (2.46), (2.51) ta có: Cω (2.51) ) hầu hết  ω  u (t ) ≤ exp  −σ ∫ p0 ( s )ds  −   −1  t +ω  t   ∫ exp  σ ∫ p0 (ξ )dξ  γ s, u  s   t ( với ≤ t ≤ ω Cω )  ds    (2.52) Giả sử (2.50) không thỏa mãn, tồn t0 ∈ [0, ω ] cho u= u (t0 ) > ρ0 Kết hợp với (2.49) (2.52) ta có u C ω Cω < u Cω Điều vô lý Vậy bổ đề chứng minh  Chứng minh định lý 2.10 Từ (2.47) tồn số dương ρ0 cho (2.49) thỏa Với x y ∈ Cω ( R n ) đặt p ( x, y )(t ) = σ p0 (t ) y (t ) Khi p thỏa điều kiện (i), (ii) định nghĩa 2.2 Với x ∈ Cω ( R n ) q ∈ Lω ( R n ), gọi y nghiệm ω -tuần hoàn dy (t ) = σ p0 (t ) y (t ) + q(t ) dt Ta có   ω   y (t ) = exp  −σ ∫ p0 ( s )ds  − 1     −1 t +ω ∫ t  t  exp  σ ∫ p0 (ξ )dξ q ( s )ds  s  t +ω y (t ) = ∫ G(t , s)q(s)ds, t với −1   ω    t  G (t , s ) = exp  −σ ∫ p0 ( s )ds  − 1 exp  σ ∫ p0 (ξ )dξ       s  Đặt = B : max { G (t , s ) : ≤ t , s ≤ ω} > Ta có ω y (t ) ≤ B ∫ q ( s ) ds với ≤ t , s ≤ ω Từ suy p ∈Vωn Theo định lý 2.4, để chứng minh định lý 2.10 ta chứng minh với λ ∈ (0,1) , nghiệm ω -tuần hồn phương trình vi phân dx(t ) = (1 − λ )σ p0 (t ) x(t ) + λ f ( x)(t ) dt (2.53) thỏa (2.8) Thật vậy, gọi x nghiệm Đặt u (t ) = x(t ) Từ (2.45), (2.53) ta có σ u′(t ) = x′(t ).sg n(σ x(t ) ) = (1 − λ ) p0 (t ) x(t ) + λ f ( x)(t ).sg n(σ x(t ) ) ≤ ≤ p0 (t ) x(t ) + γ (t , x Cω ) = p0 (t )u (t ) + γ (t , u Cω ) Do u nghiệm ω -tuần hồn khơng âm (2.48) Theo bổ đề 2.11 ta có (2.50) Do x thỏa (2.8)  Định lý 2.12 Giả sử với x , y ∈ Cω ( R n ) hầu hết R có điều kiện [ f ( x)(t ) − f ( y)(t )].sg n[σ ( x(t ) − y(t ))] ≤ ≤ p0 (t ) x(t ) − y (t ) + γ (t ) x − y σ ∈{−1,1}, p0 ∈ Lω ( R) thỏa (2.54) Cω ω ∫ p (s)ds < γ 0 ∈ Lω ( R+ ) thỏa t +ω ∫ t  t   ω  exp  σ ∫ p0 (ξ )dξ  γ ( s )d < exp s  −σ ∫ p0 (ξ )dξ  − với ≤ t ≤ ω (2.55)  s    Khi tốn (2.1) có nghiệm ω -tuần hoàn Chứng minh Từ (2.54) ta có [ f ( x)(t ) − f (0 ()t )].sg n(σ ( x(t ) ) ≤ ≤ p0 (t ) x(t ) + γ (t ) x Cω Suy f ( x)(t ).sg n(σ ( x(t ) ) ≤ p0 (t ) x(t ) + γ (t ) x Cω + f (0 ()t ) Đặt γ= (t , ρ ) γ (t ) ρ + f (0 ()t ) Khi ta có f ( x)(t ).sg n(σ x(t ) ) ≤ p0 (t ) x(t ) + γ (t , x Cω ) Từ (2.55), theo cách đặt γ (t , ρ ) ta có (2.47) Do theo định lý 2.10 tốn (2.1) có nghiệm ω -tuần hồn x Ta cịn phải nghiệm ω -tuần hồn y tốn (2.1) trùng x Đặt u= (t ) x(t ) − y (t ) Ta có σ u′(t ) = ( ( x′(t ) − y′(t ) ) sg n(σ ( x(t ) − y (t ) ) = ( f ( x)(t ) − f ( y)(t ) ) sg n(σ ( x(t ) − y(t ) ) ≤ p0 (t ) x(t ) − y (t ) + γ (t ) x − y ≤ p0 (t )u (t ) + γ (t ) u Cω Cω Đặt γ (t , ρ ) = γ (t ) ρ Ta có σ u′(t ) ≤ p0 (t )u (t ) + γ (t , u Cω ) Suy u nghiệm ω -tuần hồn khơng âm (2.48) Mặt khác từ (2.55) hàm γ thỏa (2.49), với ρ0 = , theo bổ đề 2.11 ta suy u (t ) ≡ Do x(t ) ≡ y (t )  Lưu ý Trong định lý 2.10 (định lý 2.12)) dấu (2.47) ((2.55)) xảy Thật vậy, xem ví dụ sau : Xét phương trình vi tích phân +∞   dx(t ) = σ p0 (t ) x(t ) + σ  p0 (t ) ∫ p1 ( s ) x( s ) d +s p2 (t )  dt −∞   (2.56) với σ , σ ∈{−1,1}, p1 : R → R+ hàm khả tích, p0 ∈ Lω ( R− ) p2 ∈ Lω ( R+ ) hàm khác tập có độ đo dương, t +ω ∫ g (t , s ) p0 ( s ) ds = (2.57) g (t , s ) p2 ( s )ds ≥ δ , (2.58) t t +ω ∫ t −1   ω   t  g (t , s ) = exp  −σ ∫ p0 (ξ )dξ − 1  exp  σ ∫ p0 (ξ )dξ      s   δ số dương Ta đặt +∞   f ( x)(t ) = σ p0 (t ) x(t ) + σ  p0 (t ) ∫ p1 ( s ) x( s ) d +s p2 (t )  −∞   γ (t ) = p0 (t ) +∞ ∫ p (s)ds −∞ Khi f ( x)(t ) thỏa (2.54) * Nếu +∞ ∫ p (s)ds < 1 −∞ (2.59) ⇒ γ ( s ) < p0 ( s ) t +ω ⇒ ∫ g (t , s ) γ ( s )ds < t t ⇒ ∫ t g (t , s ) p0 ( s ) ds = t −1 ∫ t +ω ∫ ω      t  p d p d − − σ ξ ξ σ ξ ξ exp ( ) exp ( )      ∫  γ ( s )d < 1s ∫       s  t +ω ⇒ t +ω ω  t    s  −σ ∫ p0 (ξ )dξ  − exp  σ ∫ p0 (ξ )dξ γ ( s )d < exp  s    Theo định lý 2.12 (2.56) có nghiệm ω -tuần hoàn * Nếu +∞ ∫ p ( s)ds ≥ (2.60) −∞ Khi (2.56) khơng có nghiệm ω -tuần hồn Thật vậy, giả sử trái lại (2.56) có nghiệm x Khi −1   ω   x(t )= exp  −σ ∫ p0 ( s )ds )  − 1 ×     t +ω ×∫ t +∞  t    ex pσ ∫ p0 (ξ )dξ  σ  p0 ( s ) ∫ p1 (ξ ) x(ξ ) dξ + p2 ( s )   ds −∞    s    σ0 t +ω ∫ t +∞   g (t , s )  p0 ( s ) ∫ p1 (ξ ) x(ξ ) dξ + p2 ( s ) ds −∞   Đặt = µ { x(t ) : t ∈ R} Từ (2.57), (2.58), (2.60) ta có +∞ µ ≥ µ ∫ p1 (ξ )dξ + δ ≥ µ + δ Vơ lý −∞ Do (2.56) khơng có nghiệm ω -tuần hồn +∞ ∫ p ( s)ds ≥ 1 −∞ Định lý 2.13 Giả sử tồn ρ0 ∈ (0, +∞), δ ∈ (0,1) σ ∈{−1,1} cho với x ∈ Cω ( R n ) bất đẳng thức f ( x)(t ).sgn (σ x(t ) ) ≤ (2.61) {t ∈ R : x(t) > (1 − δ ) x } (2.62) hầu hết tập Cω x Cω > ρ0 (2.63) Khi tốn (2.1) có nghiệm ω -tuần hoàn Chứng minh Đặt p ( x, y )(t ) = −σ y (t ) Tương tự định lý 2.10 ta có p ∈Vωn Do theo định lý 4, để chứng minh định lý 2.13 ta cần chứng minh với λ ∈ (0,1), nghiệm ω -tuần hồn phương trình vi phân dx(t ) = −σ (1 − λ ) x(t ) + λ f ( x)(t ) dt (2.64) thỏa (2.8) Giả sử trái lại tồn λ ∈ (0,1) cho phương trình (2.64) có nghiệm ω -tuần hồn x thỏa (2.63) Khi tồn t0 ∈ (0, +∞), t* ∈ (0, t0 ) t * ∈ (t0 , +∞) cho x(t0 ) = x Cω , x(t ) > (1 − δ ) x { Rõ ràng [t* , t * ] ⊂ t ∈ R : x(t ) > (1 − δ ) x thỏa mãn hầu hết [t* , t * ] Do Cω Cω với t* ≤ t ≤ t * } Do bất đẳng thức (2.61) σ d x(t ) =−(1 − λ ) x(t ) + λ f ( x)(t ).sgn(σ x(t )) < dt với hầu hết [t* , t * ] Do với σ = (σ = −1) ta có x(t* ) > x(t0 ) ( x(t * ) > x(t0 ) ) Vơ lý x(t0 ) = x Cω Định lý chứng minh  Xét hệ vi phân phi tuyến dxi (t ) λ = −σ l0 (t ) xi (t ) sg nxi (t ) + σ f1i (t , x1 (t ),, xn (t )) + (2.65) dt + f 2i (t , l1 ( x1 )(t ),, ln ( xn )(t )) ( i = 1,2,, n) Với σ ∈{−1,1}, λ ∈ (0, +∞), l0 ∈ Lω ( R+ ), f1i f 2i : R × R n → R (i = 1,, n) ω -tuần hoàn theo đối số thứ nhất, thỏa mãn điều kiện Carathéodory địa phương, li : Cω ( R) → Cω ( R) (i = 1,2,, n) tốn tử tuyến tính bị chặn với chuẩn l1 ,, ln Đặt λ − 0 µ (λ ) =  λ > λ ≤ Hệ 2.14 Giả sử R × R n có bất đẳng thức λ   n    η η f t x x x l t x ( , , , )sgn ( ) ≤ +  1∑ i  ∑ 1i 0, n i =i =   i   n λ   n   f 2i (t , x1 ,, xn ) ≤ l0 (t ) η2  ∑ xi  + η0  ∑ =i =   i   (2.66) n (2.67) với ηi (i = 0,1,2) số dương thỏa λ η1 + li η2 < n − µ ( λ ) (i = 1,, n) Khi hệ (2.65) có nghiệm ω -tuần hoàn (2.68) Chứng minh Đặt x(t ) = ( xi (t ) )i =1 , n fi ( x)(t ) = −σ l0 (t ) xi (t ) sg nxi (t ) + σ f1i ( t , x1 (t ),, xn (t ) ) + λ +f 2i ( t , l1 ( x1 )(t ),, ln ( xn )(t ) ) (i = 1,, n) f ( x)(t ) = ( fi ( x)(t ) )i =1 , n Suy dx(t ) = f ( x)(t ) dt Từ (2.66) (2.67) ta có n f ( x)(t ).sgn (σ x(t ) ) = ∑ fi ( x)(t ).sgn (σ xi (t ) ) i =1 n = ∑[ − σ l0 (t ) xi (t ) sg nxi (t ) + σ f1i ( t , x1 (t ),, xn (t ) ) + λ i =1 + f 2i ( t , l1 ( x1 )(t ),, ln ( xn )(t ) )]sgn (σ xi (t ) ) λ λ   n    n    ≤ −l0 (t )∑ xi (t ) + l0 (t ) η1  ∑ xi (t )  + η0  + l0 (t ) η2  ∑ li ( xi (t ))  + η0  =i = =    i    i  λ n λ λ   n    n    ≤ −l0 (t )∑ xi (t ) + l0 (t ) η1  ∑ xi (t )  + η0  + l0 (t ) η2  ∑ li xi (t )  + η0  =i = =    i    i  λ n Đặt li0 = max { l1 ,, ln } Ta có λ ( ) f ( x)(t ).sg n(σ x(t ) ) ≤ −l0 (t )∑ xi (t ) + l0 (t )  η1 + li0 η2 x  i =1 n λ Mà x(t ) ≤ n µ (λ ) n ∑ x (t ) i =1 i λ nên λ λ Cω + 2η  ,  ( ) f ( x)(t ).sg n(σ x(t ) ) ≤ −l0 (t )  n − µ ( λ ) x(t ) − η1 + li0 η2 x  λ λ λ Cω − 2η  ,  (2.69) λ Từ (2.68) tồn δ ∈ (0,1) cho ε = (1 − δ )λ n − µ ( λ ) − η1 − li0 η2 > Đặt ρ0 = (2η0 / ε ) Lấy x ∈ Cω ( R n ) hàm véc tơ thỏa (2.63) λ { Xét tập t ∈ R : x(t ) > (1 − δ ) x Cω }, (2.69) ta có ( ) f ( x)(t ).sg n(σ x(t ) ) ≤ −l0 (t )  n − µ ( λ ) (1 − δ )λ x C − η1 + li0 η2 x ω  λ λ ≤ −l0 (t )  x C n − µ ( λ ) (1 − δ )λ − η1 − li0 η2 − 2η  ω   λ ( ( ≤ −l0 (t ) x λ Cω ε − 2η λ ) λ Cω − 2η   )  2η  ≤ −l0 (t ) ρ0λ ε − 2η = −l0 (t )  ε − 2η  =  ε  ( ) Vậy bất đẳng thức (2.61) hầu hết tập (2.62) với x thỏa (2.63) Do tất giả thiết định lý 2.13 thỏa Theo định lý 2.13 ta có (2.65) có nghiệm ω -tuần hoàn  2.3 Nghiệm tuần hoàn hệ phương trình vi phân hàm đối số lệch Trong suốt phần này, f : R × R ( m+1) n → R n giả thiết hàm véc tơ thỏa điều kiện Carathéodory địa phương điều kiện (2.3), với τ k : R → R (k = 1,, m) hàm đo thỏa điều kiện (2.4) Với x ∈ Cω ( R n ) ta đặt f ( x)(t ) = f (t , x(t ), x(τ (t )),, x(τ m (t ))) Khi tốn tử f : Cω ( R n ) → Lω ( R n ) liên tục Từ hệ 2.8 ta có Hệ 2.15 Giả sử R × R ( m+1) n có bất đẳng thức m f (t , x0 , x1 ,, xm ) − ∑ Pk (t , x0 , x1 ,, xm ) xk ≤ γ ( t , x0 , x1 ,, xm k =0 ) Pk : R × R ( m+1) n → R n×n (k = 0,1,, m) hàm ω -tuần hoàn theo đối số thứ thỏa điều kiện Carathéodory địa phương, γ : R × R+m+1 → R+ không giảm theo m + đối số cuối ω -tuần hoàn theo đối số thứ Hơn giả sử tồn ma trận A B ∈ R+n×n cho r ( A + BA2 ) < 1, lim sup ρ →+∞ ρ ω −1 ∫ γ (s, ρ ,, ρ )ds < ( E − A − BA ) ( E + BA) −1 với x ∈ Cω ( R n ) ma trận m ω ∑ ∫ P (s, x(s), x(τ (s)),, x(τ k =0 k m ( s )))ds không suy biến, m ω ∑ ∫ P (s, x(s), x(τ (s)),, x(τ k =0 k m ( s ))) ds ≤ A m ω   ∑ ∫ Pk ( s, x( s ), x(τ ( s )),, x(τ m ( s )))ds   k =0  −1 ≤B Khi tốn (2.2) có nghiệm ω -tuần hoàn Từ định lý 2.10 ta có Hệ 2.16 Giả sử R × R ( m+1) n ta có f (t , x0 , x1 ,, xm ).sgn(σ x0 ) ≤ p0 (t ) x0 + γ ( t , x0 , x1 ,, xm ) Trong σ ∈{−1,1}, p0 ∈ Lω ( R), ω ∫ p (s)ds < 0, γ (., ρ ,, ρ ) ∈ Lω ( R ) với + 0 < ρ < +∞  t +ω  t  lim sup  ∫ exp  σ ∫ p0 (ξ )dξ  γ ( s, ρ ,, ρ )d ρ ρ →+∞  s   t   ω  