Về các bất đẳng thức kiểu hadamard cho hàm r lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CÙ THỊ NGỌC MAI VỀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU HADAMARD CHO HÀM r-LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CÙ THỊ NGỌC MAI VỀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU HADAMARD CHO HÀM r-LỒI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn ii Danh sách ký hiệu số bất đẳng thức quan trọng iii Mở đầu Các bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard cho hàm r -lồi 1.1 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm r -lồi 1.2 Một số bất đẳng thức khác 12 1.3 Bất đẳng thức Fejer cho hàm r-lồi r-lồi suy rộng 19 Một số mở rộng bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho họ hàm r-lồi 26 2.1 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho họ hàm r-lồi 26 2.2 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho lớp hàm (h, r)-lồi 33 2.3 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho lớp hàm r-lồi hai biến 2.4 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho lớp hàm ϕ − r−lồi 46 2.5 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho lớp hàm r-lồi hình học 51 38 Kết luận Đề nghị 58 Tài liệu tham khảo 59 ii Lời cảm ơn Sau thời gian nghiên cứu đề tài, luận văn đến hồn thành Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Tạ Duy Phượng tận tình bảo, hướng dẫn tơi thời gian làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô giáo mơn Tốn ứng dụng nói riêng khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun nói chung Tơi xin cảm ơn động viên, giúp đỡ gia đình, bạn bè dành cho tơi q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, 2015 Cù Thị Ngọc Mai Học viên Cao học Toán K7Y, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên iii Danh sách ký hiệu số bất đẳng thức quan trọng Một số kí hiệu sử dụng luận văn Lr (x, y) r-logarit trung bình mở rộng hai số dương x, y Fr (x, y) Logarit trung bình luân phiên suy rộng hai số dương x, y E(x, y, r, s) Trung bình Stolarsky hai số dương x, y L(x, y) Logarit trung bình hai số dương x, y HR(h, r, I) Lớp hàm (h, r)-lồi khoảng I ⊂ R fx Ánh xạ riêng cố định biến x Ko Phần tập K Một số bất đẳng thức quan trọng Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân a+b √ ≥ ab, với a, b ≥ Bất đẳng thức Minkowski: Với số thực x1 , , xn , y1 , , yn ta có n |xk + yk |p k=1 p n |xk |p ≤ k=1 p n |yk |p + k=1 Bất đẳng thức Young: Với số dương a, b, p, q thỏa mãn ap b q + ≥ ab p q p 1 + = ta có p q Bất đẳng thức Jensen: Nếu f hàm lồi khoảng K ⊂ R, với x1 , , xn ∈ K n ak = ta có k=1 n n ak x k ≤ f ak f (xk ) k=1 k=1 Bt ng thc Hăolder: Trong khụng gian cỏc hàm giá trị thực khả tích, với 1 p, q > + = ta có p q b b |f (x)|p dx f (x)g(x)dx ≤ p b a a |g(x)|q dx q a Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Trong khơng gian tích hàm giá trị phức khả tích-bình phương, ta có f (x)g(x) dx ≤ |f (x)|2 dx · |g(x)|2 dx Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích lồi đóng vị trí quan trọng tốn học Giải tích lồi liên quan đến hầu hết ngành toán học giải tích, giải tích hàm, giải tích số, hình học, tốn kinh tế, tối ưu phi tuyến, Một kết kinh điển cho hàm lồi bất đẳng thức Hermite-Hadamard, sau mở rộng thành bất đẳng thức Fejer Sau nhiều tác giả mở rộng bất đẳng thức Hermite-Hadamrd Fejer cho lớp hàm lồi suy rộng khác Bất đẳng thức Hermite-Hadamard Hermite phát biểu năm 1883 Hadamard phát biểu năm 1893 thường gọi bất đẳng thức Hadamard Nhiều tốn thực tế mơ tả hàm khơng thiết lồi Vì vậy, cần phải mở rộng khái niệm hàm lồi nghiên cứu tính chất hàm lồi suy rộng, nhằm áp dụng vào toán tối ưu nảy sinh thực tế Các nhà toán học B Martos, M Avriel định nghĩa nghiên cứu lớp hàm r-lồi, mở rộng lớp hàm lồi có số tính chất tốt áp dụng vào tốn tối ưu Bởi bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm lồi có nhiều ứng dụng Giải tích Tối ưu, nên tự nhiên cần mở rộng bất đẳng thức HermiteHadamard cho hàm r-lồi với hy vọng có nhiều ứng dụng toán học toán thực tế Với mục đích nghiên cứu tổng quan bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard cho hàm r-lồi, chọn đề tài: "Về bất đẳng thức kiểu Hadamard cho hàm r-lồi" Có nhiều tác giả nghiên cứu lớp hàm r-lồi bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm r-lồi Để có nhìn tổng quan bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm r-lồi, luận văn tơi trình bày vấn đề sau: Chứng minh bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard, kiểu Fejer cho hàm r-lồi r-lồi suy rộng Chứng minh bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho họ hàm r-lồi, cho lớp hàm (h, r)-lồi, cho lớp hàm r-lồi hai biến, Mục đích đề tài Trình bày cách tổng quan bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard cho hàm r-lồi Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho lớp hàm r-lồi lớp hàm r-lồi suy rộng Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu, tổng kết kiến thức hàm lồi, hàm r-lồi bất đẳng thức Hermite-Hadamard, bất đẳng thức Fejer cho hàm r-lồi Ý nghĩa khoa học đề tài Các kết nghiên cứu cho thấy hàm lồi suy rộng đa dạng theo bất đẳng thức Hermite-Hadamard mở rộng theo nhiều cách khác Ý nghĩa thực tiễn đề tài Các kết nghiên cứu áp dụng để chứng minh, mở rộng số bất đẳng thức giải toán toán học toán thực tế Chương Các bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard cho hàm r -lồi 1.1 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm r -lồi Mục trình bày định nghĩa hàm lồi, định nghĩa hàm r-lồi, chứng minh bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm lồi chứng minh số bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard cho hàm r-lồi biến theo tài liệu [2], [4], [7], [11], [12] Định nghĩa 1.1.1 Hàm f : [a, b] ⊂ R → R+ gọi lồi bất đẳng thức sau thỏa mãn với x, y ∈ [a, b] λ ∈ [0, 1] f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) Ta nói f hàm lõm −f hàm lồi Định nghĩa 1.1.2 Hàm f : [a, b] → R+ r-lồi với x, y ∈ [a, b] t ∈ [0, 1] ta có f (tx + (1 − t)y) ≤    tf r (x) + (1 − t)f r (y) r , r = 0,  f t (x)f (1−t) (y), r = Nhận xét Ta thấy hàm 1-lồi hàm lồi theo nghĩa thông thường Nếu f hàm r-lồi (r = 0) hàm ϕ(t) = f r (t) hàm lồi Hàm 0-lồi gọi hàm log-lồi, tức logf (x) hàm lồi thông thường f (x) > với x ∈ [a, b] Định lí 1.1.1 (Bất đẳng thức Hermite-Hadamard), [2, pp 55-56] Nếu f : R → R hàm lồi f a+b ≤ b−a b f (x)dx ≤ a f (a) + f (b) (1.1) Chứng minh Do tính lồi f [a, b] với t ∈ [0, 1] ta có f (ta + (1 − t)b) ≤ tf (a) + (1 − t)f (b) Tích phân theo t [0, 1] ta 1 f (ta + (1 − t)b)dt ≤ f (a) Từ tdt = 1 (1 − t)dt = (1 − t)dt tdt + f (b) 0 đổi biến x = ta + (1 − t)b ta có b f (ta + (1 − t)b)dt = b−a f (x)dx a Như ta chứng minh phần thứ hai (1.1): b−a b f (x)dx ≤ a f (a) + f (b) Do tính lồi f ta có: ta + (1 − t)b + (1 − t)a + tb f (ta + (1 − t)b) + f ((1 − t)a + tb) ≥ f 2 a+b =f Tích phân bất đẳng thức theo t [0, 1] ta a+b f ≤ 1 f (ta + (1 − t)b)dt + f ((1 − t)a + tb)dt 46 Hệ 2.3.4 Trong Định lí 2.3.3, ta chọn r1 = r2 = 2, ta có (b − a)(d − c) ≤ 2(b − a) × 2(b − a) + d f (x, y)g(x, y)dxdy a c b [f (x, c)]2 dx a + 2(b − a) b [g(x, c)]2 dx a [f (a, y)]2 dy c d [g(a, y)]2 dx c b [f (x, d)]2 dx a + 2(b − a) d 2(d − c) 2(d − c) × b b [g(x, d)]2 dx a d + 2(d − c) + 2(d − c) [f (b, y)]2 dy c d [g(b, y)]2 dy c Hệ 2.3.5 Trong Định lí 2.3.3, ta chọn r1 = r2 = f (x, y) = g(x, y), ta có b d [f (x, y)]2 dxdy (b − a)(d − c) a c b b ≤ [f (x, c)] dx + [f (x, d)]2 dx 4(b − a) a a d d [f (a, y)] dy + [f (b, y)]2 dy + 4(d − c) c c 2.4 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho lớp hàm ϕ − r−lồi Mục trình bày định nghĩa tập ϕ−lồi, hàm ϕ−lồi, hàm logarit ϕ−lồi, hàm ϕ − r−lồi chứng minh số bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard cho hàm ϕ − r−lồi theo tài liệu [9] Cho K tập đóng khác rỗng Rn Cho f, ϕ : K → R hàm liên tục Định nghĩa 2.4.1 [9, p 2) Cho u ∈ K Khi tập K gọi ϕ-lồi 47 u ứng với ϕ, u + teiϕ (v − u) ∈ K, với u, v ∈ K, t ∈ [0, 1] Định nghĩa 2.4.2 [9, p 2) Hàm f tập ϕ-lồi K gọi ϕ-lồi ứng với ϕ, f u + teiϕ (v − u) ≤ (1 − t)f (u) + tf (v), với u, v ∈ K, t ∈ [0, 1] Hàm f gọi ϕ-lõm −f ϕ-lồi Chú ý hàm lồi hàm ϕ-lồi với ϕ = 0, ngược lại không Định nghĩa 2.4.3 [9, p 3] Hàm f tập ϕ-lồi K gọi logarit ϕ-lồi ứng với ϕ, nghĩa t f u + teiϕ (u − v) ≤ f (u))1−t f (v) , u, v ∈ K, t ∈ [0, 1] Ở f (.) > Định nghĩa 2.4.4 [9, p 4] Hàm f nhận giá trị dương tập ϕ − r−lồi K gọi ϕ − r−lồi ứng với ϕ    (1 − t)[f (u)]r + t[f (v)]r r , f u + teiϕ (u − v) ≤  [f (u)]1−t [f (v)]t , r = 0, r = Ta có hàm ϕ − 0−lồi đơn giản hàm logarit ϕ-lồi hàm ϕ − 1−lồi hàm ϕ-lồi Định lí 2.4.1 [9, pp 3-4] Cho f : K = [a, a + eiϕ (b − a)] → (0, ∞) hàm ϕ − r−lồi khoảng số thực K (phần K) a, b ∈ K π với a < a + eiϕ (b − a) ≤ ϕ ≤ Khi eiϕ (b − a) a+eiϕ (b−a) f (x)dx ≤ a r r+1 r ([f (a)]r + [f (b)]r ) r (2.20) 48 Chứng minh Từ f hàm ϕ − r−lồi r = 0, với t ∈ [0, 1] ta có f u + teiϕ (u − v) ≤ (1 − t)[f (u)]r + t[f (v)]r r Dễ thấy a+eiϕ (b−a) eiϕ (b − a) f (x)dx a (2.21) f a + teiϕ (b − a) dt = 1 (1 − t)[f (a)]r + t[f (b)]r r dt ≤ Sử dụng bất đẳng thức Minkowski cho (2.21) ta có 1 (1 − t)[f (a)]r + t[f (b)]r r dt r ≤ r − t) f (a)dt + = r [f (a)]r + r+1 r r+1 r t f (b)dt = r r r r [f (b)]r r+1 r ([f (a)]r + [f (b)]r ) r Do ta có bất đẳng thức (2.20) Hồn thành chứng minh Hệ 2.4.1 Trong Định lí 2.4.1, r = ta có bất đẳng thức eiϕ (b − a) a+eiϕ (b−a) f (x)dx ≤ a f (a) + f (b) Định lí 2.4.2 [9, pp 4-6] Cho f, g : K = [a, a + eiϕ (b − a)] → (0, ∞) hàm ϕ − r−lồi ϕ − s−lồi khoảng số thực K (phần π K) a, b ∈ K với a < a + eiϕ (b − a) ≤ ϕ ≤ Khi iϕ a+e (b−a) f (x)g(x)dx eiϕ (b − a) a r ≤ ([f (a)]r + [f (b)]r ) r + r+2 s ([g(a)]s + [g(b)]s ) s s+2 (2.22) 49 a+eiϕ (b−a) iϕ e (b − a) f (x)g(x)dx a rs (r + 2)(s + 2) ≤ (2.23) r s ([f (a)]r + [f (b)]r ) ([g(a)]s + [g(b)]s ) Chứng minh Do f hàm ϕ − r−lồi r = 0, g hàm ϕ − s−lồi r > 0, s > 0, ta có iϕ r r r f a + te (b − a) ≤ (1 − t)[f (a)] + t[f (b)] (2.24) s g a + teiϕ (b − a) ≤ (1 − t)[g(a)]s + t[g(b)]s (2.25) Nhân hai vế (2.24) với (2.25) ta f a + teiϕ (b − a) g a + teiϕ (b − a) r r ≤ (1 − t)[f (a)] + t[f (b)] r s s (1 − t)[g(a)] + t[g(b)] s (2.26) Tích phân bất đẳng thức (2.26) với t [0, 1], ta eiϕ (b − a) a+eiϕ (b−a) f (x)g(x)dx (2.27) a (1 − t)[f (a)]r + t[f (b)]r ≤ r s (1 − t)[g(a)]s + t[g(b)]s dt Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có (1 − t)[f (a)]r + t[f (b)]r r (1 − t)[g(a)]s + t[g(b)]s s dt r (1 − t)[f (a)]r + t[f (b)]r dt ≤ 2 s (1 − t)[g(a)]s + t[g(b)]s dt 0 (2.28) Sử dụng bất đẳng thức Young cho vế phải bất đẳng thức (2.28) r (1 − t)[f (a)]r + t[f (b)]r dt ≤ 2 s (1 − t)[g(a)]s + t[g(b)]s dt 2 r (1 − t)[f (a)]r + t[f (b)]r dt + 2 (1 − t)[g(a)]s + t[g(b)]s s dt (2.29) 50 Sử dụng bất đẳng thức Minkowski cho vế phải bất đẳng thức (2.29) ta có (1 − t)[f (a)]r + t[f (b)]r r dt r 2 r − t) [f (a)]2 dt ≤ r t [f (b)]2 dt + r 2 r (2.30) 0 r ([f (a)]r + [f (b)]r ) r r+2 = Tương tự ta có s ([g(a)]s + [g(b)]s ) s (2.31) s+2 (1 − t)[g(a)]s + t[g(b)]s s dt ≤ Cộng (2.30) (2.31) viết lại (2.27) ta (2.22) Bây sử dụng bất đẳng thức Minkowski cho vế phải bất đẳng thức (2.28), ta có 1 2 r (1 − t)[f (a)]r + t[f (b)]r dt r ≤ r 2 − t) [f (a)] dt + t [f (b)] dt r r (2.32) 0 = r r r+2 ([f (a)]r + [f (b)]r ) r Tương tự ta có s (1 − t)[g(a)]s + t[g(b)]s dt ≤ s s+2 ([g(a)]s + [g(b)]s ) s (2.33) Viết (2.32) (2.33) vào (2.28) viết lại (2.27) ta (2.23) Hoàn thành chứng minh Hệ 2.4.2 Trong Định lí 2.4.2, với r = s = ta có iϕ e (b − a) a+eiϕ (b−a) f (x)g(x)dx ≤ a f (a) + f (b) + g(a) + g(b) 51 eiϕ (b − a) a+eiϕ (b−a) f (x)g(x)dx ≤ f (a) + f (b) g(a) + g(b) a Hệ 2.4.3 Trong Định lí 2.4.2, với r = s f (x) = g(x) ta có eiϕ (b − a) a+eiϕ (b−a) f (x)dx ≤ r r+2 f r (a) + f r (b) f (x)dx ≤ r r+2 f r (a) + f r (b) r a r eiϕ (b − a) a+eiϕ (b−a) a Chú ý 2.4.1 Nếu ta lấy g(x) = Hệ 2.4.2 ta có iϕ e (b − a) a+eiϕ (b−a) f (x)dx ≤ a eiϕ (b − a) 2.5 a+eiϕ (b−a) a f (a) + f (b) + f (a) + f (b) f (x)dx ≤ Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho lớp hàm rlồi hình học Mục trình bày định nghĩa hàm r−lồi hình học chứng minh số bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard cho hàm r−lồi hình học theo tài liệu [10] Định nghĩa 2.5.1 Cho r ∈ R, hàm f : I ⊆ R+ → R+ gọi r-lồi hình học (geometrically r-convex)   [λf r (x) + (1 − λ)f r (y)] 1r , f (xλ y 1−λ ) ≤  f λ (x)f 1−λ (y), với x, y ∈ I λ ∈ [0, 1] r=0 r = 0, (2.34) 52 Bổ đề 2.5.1 Cho f : I ⊆ R+ → R+ hàm khả vi I a, b ∈ I với a < b Nếu f ∈ L[a, b] b f (a) + f (b) f (x) − dx ln b − ln a a x ln b − ln a 1−t t = t[a b f (a1−t bt ) − at b1−t f (at b1−t )]dt (2.35) Bổ đề 2.5.2 Cho u, v > r ∈ R với r = 0, ta có: 1 t2 [(1 − t)ur + tv r ] r dt = S(u, v, r), (2.36) 1 t[(1 − t)ur + tv r ] r dt = R(u, v, r) (2.37) Ở   r{2r2 [E(u, v, 3r + 1, r)]2r+1 + [v r − (2r + 1)ur ]v r+1 }   ,  r − ur )2  (r + 1)(2r + 1)(v     1   với u = v; r = −1, − ,− ;     −1  uv[u − 3v + 2v L (u, v)   ,   2(v − u)       với u = v; r = −1;     uv 1 1 (−2v L−1 (u , v ) + u− v + 1), S(u, v, r) = 1  (u − v )2       với u = v; r = − ;      uv 1 1   L−1 (u , v ) + 5u + v ), (−2u  1   (u − v )2       với u = v; r = − ;        u, với u = v 3 r+1 r[v − ur E(u, v, r, r + 1)]    , với u = v; r = −   (2r + 1)(v r − ur )   uv 1 1 −1 R(u, v, r) = (u , v ) + u− ), với u = v; r = − 1 (−2L  (u − v )       u, với u = v 53 Hàm E(x, y, r, s) trung bình Stolarsky hai số dương x, y (the Stolarsky mean of two positive numbers) xác định r y s − xs s−r , r = s rs = 0; E(x, y, r, s) = s y r − xr 1 y r − xr r E(x, y, r, 0) = E(x, y, 0, r) = , r = 0; r ln y − ln x xr xr −yr x , r = 0; E(x, y, r, r) = e− r yr y √ E(x, y, 0, 0) = xy; E(x, y, r, s) = x x = y > 0; L(u, v) = E(u, v, 0, 1) Bổ đề 2.5.3 Cho u, v > 0, ta có 1 1−t t u ut v 1−t dt = L(u, v); v dt =  v − L(u, v)   , 1−t t ln v − ln u R0 (u, v) := tu v dt =   u, u = v; u = v,   v(ln v − ln u) + L(u, v) − 2v   , 2 1−t t (ln v − ln u) S0 (u, v) := t u v dt =    u, u = v; u = v Ở L(u, v) xác định Bổ đề 2.5.2 Định lí 2.5.1 [10, p 6] Cho f : I ⊆ R+ → R+ hàm khả vi I a, b ∈ I với a < b, r ∈ R, r = f ∈ L([a, b]) Nếu |f | r-lồi hình 54 học [a, b] b f (a) + f (b) f (x) − dx ln b − ln a a x ln b − ln a ≤ aR(|f (a)|, |f (b)|, r) + (b − a)S(|f (a)|, |f (b)|, r) + bR(|f (b)|, |f (a)|, r) + (a − b)S(|f (b)|, |f (a)|, r) (2.38) Ở R(u, v, r) S(u, v, r) xác định Bổ đề 2.5.2 Chứng minh Từ |f | r-lồi hình học [a, b], theo Bổ đề 2.5.1, 2.5.2 bất ng thc Hăolder ta cú b f (a) + f (b) f (x) − dx ln b − ln a a x ln b − ln a 1−t t ≤ t[a b |f (a1−t bt )| + at b1−t |f (at b1−t )|]dt ln b − ln a ≤ 1 t[(1 − t)a + tb][(1 − t)|f (a)|r + t|f (b)|r ] r dt 1 t[ta + (1 − t)b][t|f (a)|r + (1 − t)|f (b)|r ] r dt + ln b − ln a = 1 [at + (b − a)t2 ][(1 − t)|f (a)|r + t|f (b)|r ] r dt 1 [bt + (a − b)t2 ][t|f (a)|r + (1 − t)|f (b)|r ] r dt + ≤ ln b − ln a aR(|f (a)|, |f (b)|, r) + (b − a)S(|f (a)|, |f (b)|, r) + bR(|f (b)|, |f (a)|, r) + (a − b)S(|f (b)|, |f (a)|, r) Định lí 2.5.1 chứng minh Định lí 2.5.2 [10, p 7] Cho f : I ⊆ R+ → R+ hàm khả vi I 55 a, b ∈ I với a < b, r ∈ R, r = f ∈ L([a, b]) Nếu |f |q r-lồi hình học [a, b] với q > b f (a) + f (b) f (x) − dx ln b − ln a a x q q−1 q ln b − ln a ≤ [R0 (a q−1 , b q−1 )] q [R(|f (a)|q , |f (b)|q , r)] q q q + [R0 (b q−1 , a q−1 )] q−1 q (2.39) [R(|f (b)|q , |f (a)|q , r)] q Ở R(u, v, r) R0 (u, v) xác định Bổ đề 2.5.2, 2.5.3 Chứng minh Từ |f |q r-lồi hình học [a, b], theo Bổ đề 2.5.1, 2.5.2, 2.5.3 bt ng thc Hăolder ta cú b f (a) + f (b) f (x) − dx ln b − ln a a x ln b − ln a 1−t t ≤ t[a b |f (a1−t bt )| + at b1−t |f (at b1−t )|]dt ln b − ln a ≤ + ta q(1−t) q−1 ta b qt 1−q q−1 q b 1−t t q b )| dt q(1−t) 1−q q−1 q q t 1−t q dt t|f (a b )| dt q q q−1 ln b − ln a ≤ [R0 (a q−1 , b q−1 )] q + [R0 (b t|f (a dt qt q−1 q q q−1 ,a q q−1 )] qr r t[(1 − t)|f (a)| + t|f (b)| ] dt q−1 q qr r t[t|f (a)|qr + (1 − t)|f (b)|qr ] dt q = q q q−1 ln b − ln a [R0 (a q−1 , b q−1 )] q [R(|f (a)|q , |f (b)|q , r)] q q q + [R0 (b q−1 , a q−1 )] q−1 q [R(|f (b)|q , |f (a)|q , r)] q Định lí 2.5.2 chứng minh Định lí 2.5.3 [10, p 8] Cho f : I ⊆ R+ → R+ hàm khả vi I q 56 a, b ∈ I với a < b, r ∈ R, r = f ∈ L([a, b]) Nếu |f |q r-lồi hình học [a, b] với q > b f (x) f (a) + f (b) − dx ln b − ln a a x q−1 ln b − ln a ≤ [R0 (a, b)] q [aR(|f (a)|q , |f (b)|q , r) + (b − a)S(|f (a)|q , |f (b)|q , r)] q + [R0 (b, a)] q−1 q [bR(|f (b)|q , |f (a)|q , r) + (a − b)S(|f (b)|q , |f (a)|q , r)] q (2.40) Ở R(u, v, r), S(u, v.r) R0 (u, v) xác định Bổ đề 2.5.2, 2.5.3 Chứng minh Từ |f |q r-lồi hình học [a, b], theo Bổ đề 2.5.1, 2.5.2, 2.5.3 v bt ng thc Hăolder ta cú b f (a) + f (b) f (x) − dx ln b − ln a a x ln b − ln a 1−t t ≤ t[a b |f (a1−t bt )| + at b1−t |f (at b1−t )|]dt ln b − ln a ≤ ta1−t bt dt t 1−t ta1−t bt |f (a1−t bt )|q dt ta b q−1 q t 1−t dt ta b t 1−t q |f (a b q )| dt q−1 ln b − ln a ≤ [R0 (a, b)] q qr r t[(1 − t)a + tb][(1 − t)|f (a)| + t|f (b)| ] dt q−1 q qr r t[(ta + (1 − t)b][(t|f (a)|qr + (1 − t)|f (b)|qr ] dt = q 0 + [R0 (b, a)] 1 + q−1 q q−1 ln b − ln a [R0 (a, b)] q [aR(|f (a)|q , |f (b)|q , r) + (b − a)S(|f (a)|q , |f (b)|q , r)] q q q 57 + [R0 (b, a)] q−1 q [bR(|f (b)|q , |f (a)|q , r) + (a − b)S(|f (b)|q , |f (a)|q , r)] q Định lí 2.5.3 chứng minh Kết luận chương Chương trình bày số mở rộng bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho lớp hàm r−lồi bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho họ hàm r−lồi, cho lớp hàm (h, r)−lồi, cho lớp hàm r−lồi hai biến, cho lớp hàm ϕ − r−lồi, cho lớp hàm r−lồi hình học 58 Kết luận Đề nghị Luận văn giới thiệu, hệ thống hóa, chứng minh số bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard cho hàm r−lồi, cho họ hàm r−lồi, cho lớp hàm (h, r)−lồi, cho lớp hàm r−lồi hai biến, cho lớp hàm ϕ − r−lồi, cho lớp hàm r−lồi hình học, bất đẳng thức Fejer cho hàm r−lồi r−lồi suy rộng Qua q trình làm luận văn, tơi biết đến bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard mà từ trước tới chưa biết đến Qua thấy kiến thức bất đẳng thức Hermite-Hadamard, kiến thức tốn giải tích tốn ứng dụng nâng lên rõ rệt Việc tìm hiểu bất đẳng thức giúp tơi nâng cao trình độ ứng dụng thiết thực học tập giảng dạy Theo tôi, bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard cho hàm lồi hàm lồi suy rộng vấn đề lý thú, địi hỏi thời gian tiếp tục tìm tịi, đặc biệt ứng dụng Hy vọng nhận đóng góp q báu từ thầy giáo bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! 59 Tài liệu tham khảo [1] Adiyasuren ities V involving (2010), several A Note on r-convex integral inequal- functions, web: iom.num.edu.mn/journal/2010/V.Adiyasuren.pdf [2] Cerone P., Dragomir S S (2011), Mathematical Inequalities: A perspective, CRS Press, Taylor and Francis Group, LLC, USA [3] Chen F and Liu X (2013), “Refinements on the Hermite–Hadamard Inequalities for r-Convex Functions”, Journal of Applied Mathematics, Volume 2013, Article ID 978493, Hindawi Publishing Corporation, pages [4] Gill P M., Pearce C E M., and Peări´c J (1997), “Hadamard’s inequality for r-convex functions”, J Math Anal Appl., pp 461–470 [5] Hap L V and Vinh N V (2013), “On some Hadamard–type Inequalities for (h, r)-Convex Functions”, Int Journal of Math Analysis, pp 2067–2075 [6] Lee K C and Tseng K L (2000), “On weighted generalization of Hadamard’s Inequality for G–convex functions”, Tamsui Oxford Journal of Mathematical Sciences, pp 91–104 [7] Ngoc N P N., Vinh N V and Hien P T T.(2009), “Integral Inequalities 60 of Hadamard type for r-convex functions, International Mathematical Forum, pp 17231728 ă [8] Ozdemir M E and Akdemir A O (2010), On Hadamar–type inequalities for co-ordinated r-convex functions, arXiv:1009.4081v2 [math.CA], pp 1-10 [9] Sarikaya M Z., Yaldiz H and Bozkurt H (2012), On the Hadamard Type Integral Inequalities Involving Several ϕ − r−Convex Functıons, arXiv:1203.2278v1 [math.CA] [10] Xi B Y and Qi F (2014), “Hermite–Hadamard Type Inequalities for Geometrically r-Convex Functions”, Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, pp.530–546 [11] Sulailman W T (2010), “Integral inequality regading r-convex and rconcave functions”, J Korean Math Soc., pp 373-383 [12] Zabandan G., Bodaghi A and Kılıc¸man A (2012), “The HermiteHadamard inequality for r-convex functions”, Journal of Inequalities and Applications , 2012:215 ... 1.3 Bất đẳng thức Fejer cho hàm r- lồi r- lồi suy r? ??ng 19 Một số mở r? ??ng bất đẳng thức Hermite -Hadamard cho họ hàm r- lồi 26 2.1 Bất đẳng thức Hermite -Hadamard cho họ hàm r- lồi 26 2.2 Bất đẳng. .. nhiều bất đẳng thức kiểu Hermite -Hadamard, kiểu Fejer cho hàm r- lồi 26 Chương Một số mở r? ??ng bất đẳng thức Hermite -Hadamard cho họ hàm r- lồi 2.1 Bất đẳng thức Hermite -Hadamard cho họ hàm r- lồi. .. Chương Các bất đẳng thức kiểu Hermite -Hadamard cho hàm r -lồi 1.1 Bất đẳng thức Hermite -Hadamard cho hàm r -lồi Mục trình bày định nghĩa hàm lồi, định nghĩa hàm r- lồi, chứng minh bất đẳng thức Hermite-Hadamard