Một số tính chất của ma trận và áp dụng vào đồ thị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– MẠC ANH VĂN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MA TRẬN VÀ ÁP DỤNG VÀO ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 10/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– MẠC ANH VĂN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MA TRẬN VÀ ÁP DỤNG VÀO ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Thái Nguyên, 10/2018 i Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm đồ thị phổ đồ 1.1.1 Khái niệm đồ thị 1.1.2 Phổ đồ thị 1.2 Ma trận kề Ma trận trọng số 1.3 Ma trận liên thuộc thị Tính chất ma trận biểu diễn đồ thị phép tốn đồ thị 2.1 Tính chất ma trận biểu diễn đồ thị 2.1.1 Ma trận Laplace đồ thị số tính chất 2.1.2 Ma trận Laplace cạnh 2.1.3 Phân tích ma trận Laplace 2.1.4 Định lý Kirchhoff 2.2 Các phép toán đồ thị Áp 3.1 3.2 3.3 3 10 13 14 14 14 17 19 20 26 dụng số tính chất ma trận vào đồ thị 32 Ứng dụng định lý Kirchhoff tìm số bao trùm đồ thị 32 Ứng dụng đếm số đồ thị 33 Ứng dụng xác định bậc quy tính hai phần 36 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 ii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt • G: Đồ thị n đỉnh, m cạnh • A: Ma trận kề n × n G có đường chéo • L = D − A: Ma trận Laplace G ã B: Ma trn liờn thuc n ì m · L = B T B • Ckk : Là phần bù đại số phần tử thứ k đường chéo ma trận vng L • [L]k,k : Là định thức thứ k ma trận vuông L iii Lời cảm ơn Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Thầy hướng dẫn tạo điều kiện tốt tác giả hoàn thành luận văn Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học Toán K10Q, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, khoa Toán - Tin tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tập thể lớp cao học tốn K10Q, gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tạo điều kiện tốt cho tác giả học tập nghiên cứu Mặc dù thân có nhiều cố gắng điều kiện thời gian ngắn, trình độ kinh nghiệm nghiên cứu khoa học hạn chế, nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp thầy bạn đồng nghiệp để tác giả tiếp tục nghiên cứu tốt Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018 Người viết luận văn Mạc Anh Văn Mở đầu Lý thuyết đồ thị lĩnh vực nghiên cứu hình thành phát triển từ lâu lại có nhiều ứng dụng đại Những tư tưởng lý thuyết đồ thị xuất từ năm 30 kỷ XVIII nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sĩ Leonhard Euler Chính ơng người đề xuất mơ hình đồ thị sử dụng để giải tốn ting v cõy cu thnh ph Kăonigsberg T ú, lý thuyết đồ thị ngày khẳng định vị trí quan trọng việc áp dụng để giải nhiều tốn lĩnh vực Đồ thị mơ tả quan hệ hai tập hợp cách trực quan sinh động: giúp mô ta toán phức tạp trở lên cụ thể, đơn giản Sơ đồ biểu diễn hệ thống tuyến bay hãng hàng khơng hình ảnh đồ thị Các đối tượng sân bay, đường bay thẳng biểu diễn mối liên hệ sân bay đầu cuối tuyến Các tính chất đồ thị biểu diễn ngơn ngữ đại số tuyến tính kết đại số tuyến tính thể trực quan đồ thị Ma trận khái niệm Đại số tuyến tính Ma trận có ứng dụng hầu hết lĩnh vực khoa học Ma trận có vai trị quan trọng lý thuyết đồ thị Có thể nói ma trận cơng cụ kết nối lý thuyết đồ thị đại số tuyến tính Trong phạm vi luận văn tốt nghiệp thạc sĩ chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp từ đề xuất hướng nghiên cứu trực tiếp hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, xác định đề tài “Một số tính chất ma trận áp dụng vào đồ thị” Với đề tài này, hy vọng làm rõ mối liên hệ đại số tuyến tính lý thuyết đồ thị dựa biểu diễn ma trận nó, từ tìm ứng dụng Kết đề tài thể trình tập dượt nghiên cứu Mục tiêu luận văn tìm hiểu liên hệ ma trận đồ thị, phổ đồ thị, từ góp phần làm rõ mối quan hệ đại số tuyến tính với lý thuyết đồ thị Nhiệm vụ nghiên cứu đặt khuôn khổ luận văn nghiên cứu lợi ích biểu diễn đồ thị dạng ma trận, từ sử dụng cơng cụ đại số nhằm tìm ứng dụng thực tế ma trận đồ thị Đối tượng nghiên cứu luận văn xoay quanh đồ thị hữu hạn biểu diễn đồ thị dạng ma trận là: ma trận kề, ma trận liên thuộc, ma trận có trọng số ma trận Laplace (xem [1-2], [4-6]) Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia làm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tơi trình bày cách xây dựng đồ thị ma trận đại số khái niệm phổ đồ thị Chương Tính chất ma trận biểu diễn đồ thị phép toán đồ thị Trên cở sở loại ma trận đồ thị hướng đến chứng minh định lí Kirchhoff Rõ ràng, việc tính số bao trùm đồ thị trực quan thường thời gian dễ gây nhầm lẫn, thiếu xót với định lí Kirrchoff từ công cụ đại số tác giả xây dựng nên cách tính số bao trùm đồ thị cách xác khoa học phần bù đại số ma trận Laplace Tiếp theo phép toán đồ thị để đếm số đồ thị xác định bậc quy tính hai phần Chương Áp dụng số tính chất ma trận vào đồ thị Tác giả trình bày ứng dụng sử dụng tính chất nêu chương hai Ứng dụng sử dụng định lý kirchhoff nhằm giải toán xây dựng mạng lưới đường sắt tàu hỏa cách kinh tế tối ưu Ứng dụng thứ hai thứ ba sử dụng tính chất phổ đồ thị để đếm số đồ thị xác định bậc quy tính hai phần Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở cho chương sau Trước tiên trình bày khái niệm đồ thị có hướng đồ thị vơ hướng, từ biểu diễn đồ thị dạng ma trận ý nghĩa Mục đích chương nhằm giới thiệu vài khái niệm lí thuyết đồ thị, đặc biệt phổ đồ thị Kiến thức chương sử dụng tài liệu [1], [2] [4] 1.1 Khái niệm đồ thị phổ đồ thị 1.1.1 Khái niệm đồ thị Định nghĩa 1.1.1 Một đồ thị vô hướng G cặp có thứ tự G = (V, E), V tập hữu hạn; E tập với phần tử tập hai phần tử V , E ⊆ {{u, v}|u, v ∈ V, u = v} Các phần tử V gọi đỉnh, tập đỉnh G ký hiệu V (G) Các phần tử E gọi cạnh, tập cạnh đồ thị vô hướng G ký hiệu E(G) Nhưng để đơn giản ta viết “đỉnh v ∈ V ” hay “cạnh e ∈ E” Cho a, b ∈ V , tồn e ∈ {a, b} e cạnh G với hai đỉnh đầu mút a, b hay a, b hai đỉnh liên thuộc với e Cạnh e = {a, b} thường ký hiệu ngắn gọn ab hay ba Trong luận văn này, ta xét tới đơn đồ thị, không xét tới đồ thị có khuyên đa đồ thị Do nhắc đến đồ thị, ta ngầm hiểu đơn đồ thị vơ hướng Có thể biểu diễn đồ thị cách trực quan sau: Các đỉnh V biểu diễn vòng tròn nhỏ (rỗng đặc), cạnh biểu diễn đường cong (đường thẳng) nối đầu mút cạnh Ví dụ 1.1.2 Cho G = (V, E) với V = {a, b, c, d, f, g}; E = {ad, db, dc, bc, cf, cg, gf } Khi biểu diễn đồ thị vơ hướng G: Hình 1.1: Đồ thị G Giả sử mạng lưới giao thông gồm trạm xe bus đường chúng, trạm ln có khơng q đường trực tiếp, khơng có đường quay vịng từ trạm tới Ta biểu diễn mạng lưới giao thơng mơ hình đồ thị sau: trạm đỗ xe đỉnh, đường trực tiếp hai trạm cạnh Ta có hình ảnh xác đồ thị Hình 1.2: Mạng lưới xe bus Các đường giao thông chạy theo chiều Chúng ta dùng đồ thị có hướng để mơ hình hóa mạng Định nghĩa 1.1.3 Một đồ thị có hướng G cặp có thứ tự G = (V, E), V tập hữu hạn, E tập tích Đề V × V Các phần tử V gọi đỉnh, phần tử E gọi cung đồ thị vô hướng G Nếu (a, b) ∈ E (a, b) gọi cung G với đỉnh đầu a, đỉnh cuối b có hướng từ a tới b Khi cho G = (V, E) đồ thị có hướng, cung (a, b) ∈ E thường ký hiệu ngắn gọn ab với a đỉnh đầu b đỉnh cuối; ba cạnh với b đỉnh đầu, a đỉnh cuối Biểu diễn đồ thị có hướng mặt phẳng trực quan tương tự biểu diễn đồ thị vô hướng: Các đỉnh V biểu diễn vòng tròn nhỏ (rỗng đặc), cung biểu diễn đường cong có hướng (với mũi tên) từ đỉnh đầu tới đỉnh cuối Định nghĩa 1.1.4 Đồ thị có hướng vô hướng G = (V, E) gọi đồ thị có trọng số (hay thường gọi tắt trọng đồ) có hai hàm: f : V → WV g : E → WE xác định Ở Wv WE tập số Giá trị f (v) cho v ∈ V gọi trọng số đỉnh v, giá trị g(e) cho e ∈ E gọi trọng số cung hay cạnh e Người ta thường ký hiệu trọng đồ G = (V, E, f ) hay hay G = (V, E, f, g) tùy thuộc vào việc hàm f , hàm g hay hai hàm f g xác định Trong khuôn khổ luận văn này, sử dụng tới G = (V, E, g) Biểu diễn đồ thị G = (V, E, g) có trọng số mặt phẳng ta biểu diễn đồ thị có hướng gắn giá trị trọng số tương ứng lên trực tiếp sát phía bên cạnh cung mang giá trị Ví dụ 1.1.5 Cho đồ thị có hướng có trọng số với V = {a, b, c, d, f, g}, E = {ad, db, dc, bc, cf, cg, gf }, g(ad) = g(dc) = g(gf ) = 3, g(db) = g(bc) = 2, g(cf ) = g(cg) = Khi biểu diễn đồ thị có trọng số G: Hình 1.3: Đồ thị có trọng số G ... Chương Áp dụng số tính chất ma trận vào đồ thị Trong chương này, ta xem xét vài ứng dụng phổ đồ thị việc xác định tính chất định tính đồ thị tìm số bao trùm đồ thị, đếm số đồ thị con, tính quy đồ thị, ... phép toán đồ thị để đếm số đồ thị xác định bậc quy tính hai phần Chương Áp dụng số tính chất ma trận vào đồ thị Tác giả trình bày ứng dụng sử dụng tính chất nêu chương hai Ứng dụng sử dụng định... Tính chất ma trận biểu diễn đồ thị phép tốn đồ thị 2.1 Tính chất ma trận biểu diễn đồ thị 2.1.1 Ma trận Laplace đồ thị số tính chất 2.1.2 Ma trận Laplace cạnh