Định lý pompeiu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THỊ LUYẾN ĐỊNH LÝ POMPEIU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THỊ LUYẾN ĐỊNH LÝ POMPEIU Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Tất Thắng THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục MỞ ĐẦU Định lý Pompeiu 1.1 Định lý Pompeiu 1.2 Bất đẳng thức Ptolemy Định lý Pompeiu 1.3 Định lý đảo định lý Pompeiu 12 Định lý Pompeiu tổng quát 2.1 Số phức 2.2 Định lý Pompeiu tổng quát 2.3 Cơng thức diện tích 2.4 Tam giác đồng dạng thông qua số phức 14 14 18 23 25 Ứng dụng định lý Pompeiu 27 3.1 Điểm Fermat - Toricelli 27 3.2 Một số toán ba cạnh tam giác 31 3.3 Bất đẳng thức hình học 33 KẾT LUẬN 36 Tài liệu tham khảo 37 MỞ ĐẦU Hình học phẳng nội dung Toán học Tốn sơ cấp nói riêng Các tốn tam giác bất đẳng thức hình học tam giác vấn đề phổ biến Để giải tốn đó, số phương pháp sử dụng như: phương pháp biến hình (phép quay, tịnh tiến, nghịch đảo, ), vẽ thêm hình điểm mới, Bên cạnh việc sử dụng số phức phương pháp hiệu quả, tốn bất đẳng thức hình học Luận văn trình bày số tốn tam giác bất đẳng thức hình học Cụ thể, nội dung luận văn xoay quanh định lý cổ điển Pompeiu, nói ba độ dài đoạn thẳng nối từ điểm mặt phẳng đến ba cạnh tam giác lập thành ba cạnh tam giác Các tính chất liên quan đến tam giác nghiên cứu; đồng thời phiên tổng quát Định lý Pompeiu, định lí đảo Định lí Pompeiu số ứng dụng Định lí Pompeiu trình bày luận văn Nội dung luận văn gồm Chương: Chương 1: Trình bày Định lý Pompeiu định lý đảo Chương 2: Trình bày tổng qt hóa Định lý Pompeiu Chương 3: Trình bày ứng dụng Định lý Pompeiu Một số vấn đề liên quan đến toán tam giác nhắc đến Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Tất Thắng Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Tất Thắng, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu em Đồng thời em chân thành cảm ơn thầy giáo khoa Tốn – Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, thầy cô trang bị kiến thức cho em thời gian học tập trường, tạo điều kiện cho em tài liệu thủ tục hành để em hoàn thành luận văn Chương Định lý Pompeiu Ba đoạn thẳng lập thành ba cạnh tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh thứ ba Trong Chương cách dựng ba cạnh tam giác 1.1 Định lý Pompeiu Định lý 1.1 (Định lý Pompeiu, xem [5]) Cho tam giác ABC M điểm mặt phẳng chứa tam giác Khi M A, M B M C lập thành độ dài ba cạnh tam giác Tam giác suy biến điểm M nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác Trong mục ta chứng minh nửa đầu định lý trên, phần lại chứng minh mục sau π biến A thành B Gọi M ảnh M qua phép quay Từ M A = M B M M = M C Vậy ∆M M B có ba cạnh với độ dài M B, M C, M A Thực phép quay tâm C , góc Định nghĩa 1.1 Với kí hiệu Định lý 1.1, ta gọi tam giác với độ dài ba cạnh M A, M B , M C tam giác Pompeiu Nhận xét 1.1 Theo cách chứng minh Định lý 1.1, M thuộc miền ∆ABC tam giác Pompeiu xây dựng cách tường minh Định lý 1.2 (Định lý Tabrica, xem [7] ) Cho tam giác AB C M điểm nằm miền tam giác Khi góc diện tích tam giác Pompeiu tính sau ◦ ◦ ◦ (a) Ba góc tam giác BM √C − 60 , CM A − 60 , AM B − 60 , |M O|2 , O tâm tam giác (b) Diện tích S∆ABC − ABC Bổ đề 1.1 Cho ∆ABC , với G trọng tâm tam giác Cho M bất kì, ta có: M A2 + M B + M C = 3M G2 + AB + BC + CA2 Chứng minh Ta có −−→ −−→ −−→ M A2 + M B + M C = M A2 + M B + M C −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ = M G + GA + M G + GB + M G + GC −−→ −−→ −→ −→ −−→ −−→ −−→ = M G2 + 2M G.GA + GA2 + M G2 + 2M G.GB −−→ −−→ −−→ −→ −→ + GB + M G2 + 2M G.GC + GC −−→ −−→ −→ −−→ −→ = 3M G2 + 2M G GA + GB + GC −→ −−→ −→ + GA2 + GB + GC −−→ −−→ → −−→ −→ − −→ = 3M G2 + 2M G + GA2 + GB + GC −−→ −→ −−→ −→ = 3M G2 + GA2 + GB + GC Suy M A2 + M B + M C = 3M G2 + GA2 + GB + GC Mà GA = AA 4 AB + AC − BC = AA = 9 (1.1) Trong AA’ trung tuyến kẻ từ đỉnh A tam giác ABC Vậy 2 GA2 = AB + AC − BC 9 Tương tự 2 GB = AB + BC − AC , 9 2 GC = AC + BC − AB 9 Suy GA2 + GB + GC = AB + BC + CA2 Thay (1.2) vào (1.1) ta có M A2 + M B + M C = 3M G2 + (1.2) AB + BC + CA2 Chứng minh Định lý Tabrica (a) Gọi N điểm mặt phẳng ∆ABC cho ∆BN M tam giác tia BC nằm hai tia BM BN Xét hai tam giác AM B BN C , ta có AB = BC, BM = BN M BA = 60◦ − M BC = CBN Vậy ∆AM B = ∆BN C(c.g.c) Do AM = CN, tức ∆N M C tam giác Pompeiu Ta có CM N = CM B − N M B = CM B − 60◦ , CN M = CN B − M N B = CN B − 60◦ = AM B − 60◦ M CN = 180◦ − (CM N + CN M ) = 180◦ − (CM B − 60◦ + AM B − 60◦ ) = AM C − 60◦ (b) Từ phần (a), suy S∆CM N = CM.M N sin CM N = CM.BM sin CM B − 60◦ √ 1 = CM.BM sin CM B − cosCM B 2 √ = CM.BM sin CM B − CM.BM cos CM B 4 √ = S∆CM B − CM + BM − a2 , với a = BC = CA = AB Tương tự ta chứng minh √ CM + M A2 − a2 S∆CM N = S∆CM A − √ S∆CM N = S∆BM A − BM + M A2 − a2 Cộng ba đẳng thức trên, ta √ 3S∆CM N = S∆ABC − 2M A2 + 2M B + 2M C − 3a2 Mặt khác, ta có cơng thức Leibniz cho ∆ABC với trọng tâm G điểm M AB + BC + CA2 Khi ∆ABC G ≡ O (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác) a2 = AB = BC = AC , M A2 + M B + M C = 3M G2 + M A2 + M B + M C = 3M O2 + a2 Do đó, ta √ 6M O2 + 2a2 − 3a2 3S∆CM N = S∆ABC − √8 √ 3.6 = S∆ABC − M O2 + a 8 √ a , nên Hơn S∆ABC = √ 3 3S∆CM N = S∆ABC − M O2 + S∆ABC √ 3 = S∆ABC − M O2 Định lý 1.3 (Định lý Van Schooten, xem [8]) Cho điểm P nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đoạn dài ba đoạn thẳng P A, P B , P C có độ dài tổng độ dài hai cạnh lại Chứng minh Giả sử điểm P nằm cung nhỏ BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Thực phép quay tâm B góc 60◦ biến điểm C thành điểm A, AP B = 60◦ nên phép quay biến điểm P thành P thuộc tia P A Ta có tam giác P P B đều, P nằm đoạn P A Xét hai tam giác AP B CP B , ta có AB = BC, P AB = BCP Ngoài ABP = CBP (vì 60◦ − P BC ) Do ∆AP B = ∆CP B Suy AP = CP Vậy P A = P P + P A = P B + P C 1.2 Bất đẳng thức Ptolemy Định lý Pompeiu Bất đẳng thức Ptolemy liên hệ độ dài đường chéo với độ dài cạnh tứ giác Từ bất đẳng thức Ptolemy suy Định lý Pompeiu cho chứng minh khác định lý Định lý 1.4 (Định lý Ptolemy, xem [4]) Nếu A, B , C , D đỉnh tứ giác lồi nội tiếp đường trịn AC.BD = AB.CD + BC.AD Nhận xét 1.2 Định lý phát biểu thành định lý thuận đảo - Thuận: Nếu tứ giác nội tiếp đường trịn tích hai đường chéo tổng tích cặp cạnh đối diện - Đảo: Nếu tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng tích cặp cạnh đối diện tích hai đường chéo tứ giác nội tiếp đường trịn Chứng minh Định lý Ptolemy ... ĐẦU Định lý Pompeiu 1.1 Định lý Pompeiu 1.2 Bất đẳng thức Ptolemy Định lý Pompeiu 1.3 Định lý đảo định lý Pompeiu 12 Định lý Pompeiu tổng quát 2.1... phiên tổng quát Định lý Pompeiu, định lí đảo Định lí Pompeiu số ứng dụng Định lí Pompeiu trình bày luận văn Nội dung luận văn gồm Chương: Chương 1: Trình bày Định lý Pompeiu định lý đảo Chương... Ptolemy Định lý Pompeiu Bất đẳng thức Ptolemy liên hệ độ dài đường chéo với độ dài cạnh tứ giác Từ bất đẳng thức Ptolemy suy Định lý Pompeiu cho chứng minh khác định lý Định lý 1.4 (Định lý Ptolemy,