Chuyen de Bat dang thuc

WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Trong nội dung của đề tài này xin được tập trung giới thiệu các tính chất cơ bản, một số phương pháp hay được sử dụng k[r]

WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng A ĐẶT VẤN ĐỀ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học là khoa học tự nhiên, toán học đời từ sớm nhằm đáp ứng nhu cầu đo đạc ruộng đất và xây dựng nhà cửa Càng ngày xã hội loài người càng tiến dần lên mức độ cao và đến đang trình độ cao từ mà loài người chưa có Do đó toán học củng không nằm ngoài quy luật phát triển từ sơ khai đến đại Toán học nghiên cứu nhiều, đa dạng và phong phú Trong đó các bài toán bất đẳng thức là bài toán khó , để giải các bài toán bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất bất đẳng, còn phải nắm các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải vào đặc thù bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng nhiều phương pháp giải khác , có bài phải phối hợp nhiều phương pháp cách hợp lí giải Bài toán chứng minh bất đẳng thức vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đặc biệt , tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức và đề thi học sinh giỏi huyện, thành phố, tuyển sinh vào lớp 10 thường có bài toán bất đẳng thức, đó sách giáo khoa phổ thông lại trình bày Vì học sinh cần thiết phải nắm kiến thức bất đẳng thức Trong thực tế trường THCS và THPT, học sinh gặp nhiều khó khăn giải các bài toán liên quan bất đẳng thức , vì các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường không có cách giải mẫu, không theo phương pháp định nên học sinh không xác định hướng giải bài toán Mặt khác vì nhận thức học sinh THCS Và THPT còn có nhiều hạn chế và khả tư chưa tốt đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Trong nội dung đề tài này xin tập trung giới thiệu các tính chất bản, số phương pháp hay sử dụng chứng minh bất đẳng thức : dùng định nghĩa , biến đổi tương đương , dùng các bất đẳng thức đã biết , phương pháp phản chứng, tam tức bậc hai …., số bài tập vận dụng và các ứng dụng bất đẳng thức nhằm giúp học sinh bớt lúng túng gặp các bài toán chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh có thể tự định hướng phương pháp chứng minh, giải các bài toán liên quan và hứng thú học bất đẳng thức nói riêng và môn Toán nói chung Qua đề tài (một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức ) tôi muốn giúp học học sinh có thêm số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đó là lý tôi chọn đè tài này, nghiên cứu không tránh khỏi sai sot mác phải mong góp ý các thày cô giáo, các bạn để đề tài hoàn thiện hơn, tôi xin chân thành cảm ơn! NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - kỹ giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức - kỹ vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán: Tìm giá trị lớn nhất-nhỏ nhất, giải hệ phương trình, phương trình nghiệm nguyên, phương trình vô tỉ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Học sinh trung học sở - Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng nó 4- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : Qua quá trình học tập từ trước đến nay, tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút, tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết kiểm tra chất lượng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các học, thể trên nhiều đối tượng học sinh khác : Học sinh giỏi, khá và học sinh trung bình môn Toán Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng PHẠM VI NGHIÊN CỨU Giới hạn phần chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng bất đẳng thức chương trình toán trung học sở B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ PHẦN I CƠ SỞ LÝ LUẬN Để giải bài toán đòi hỏi mổi người phải đọc kỹ bài toán xem bài toán yêu cầu cái gì, phải sử dụng phương pháp nào để giải, đã gặp bài toán nào đã giải có dạng tương tự bài toán đó hay không để từ đó có thể tìm cách giải Đối với học sinh trung học sở việc vận dụng khiến thức lý thuyết, nhận dạng bài toán để tìm cách giải chưa rèn luyện nhiều đôi lúc trình bày vấn đề này còn sơ sài Khi nghiên cứu bất đẳng thức ta thấy nó thật có tác dụng rèn luyện và phát huy khả tư để giải toán không riêng gì bất đẳng thức mà còn giải các dạng toán khác muốn giải nó đòi hỏi phải thật có kiến thức toán học lớn Phương pháp để giải các bài toán bất đẳng thức không đâu xa xôi ngoài chương trình các em học sinh trung học sở Nhưng việc các em vận dụng nó nào đó là vấn đề cốt lỏi Muốn làm điều đó đòi hỏi học sinh phải thật nắm vững kiến thức, phải có lập luận lôgic, xét đầy đủ các mặt khác bài toán, nhận dạng bài toán Đặc biệt các học sinh khá giỏi phải linh hoạt, sáng tạo không giải bài toán mà còn phải khái quát dạng nó để đua phương pháp chung cho các bài toán khác tuơng tự Khi giảng dạy cho học sinh các giáo viên phải rèn luyện cho các em nắm phần lý thuyết, đưa các ví dụ minh hoạ cụ thể, các bài tập vận dụng, nên chú ý tạo cho các em cách nhìn nhận bài toán để giải không nên giải tắt, làm tắt tạo cho học sinh khó hiểu chí không hình thành lôgic toán học Thời lượng chương trình dành cho bất đẳng thức phổ thông sở là hạn chế Do đó việc học tập và vận dụng thành thao cho các em sẻ khó khăn đói với các em có học lực trung bình, khá PHẦN NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I> CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1) Định nghĩa bất đẳng thức + a nhỏ b , kí hiệu a < b + a lớn b , kí hiệu a > b , + a nhỏ b , kí hiệu a  b, + a lớn b , kí hiệu a  b , 2) môt số tính chất bất đẳng thức: a) Nếu a  b và b  c thì a  c (tính chất bắc cầu) b) Nếu a  b và c bất kì thì a  c  b  c Tức là: Khi cộng vào vế bất đẳng thức với cùng số bất kì thì bất đẳng thức không đổi chiều c) Nếu a  b  c thì a  b  c Tức là: Ta có thể chuyển số hạng bất đẳng thức từ vế này sang vế và phải đổi dấu số hạng đó d) Nếu a  b và c  d thì a  c  b  d Tức là: Nếu cộng vế với vế bất đẳng thức cùng chiều ta bất đẳng thức cùng chiều Chú ý: Không cộng vế với vế bất đẳng thức ngược chiều e) Nếu a  b và c  d thì a  c  b  d Tức là: Nếu trừ vế với vế bất đẳng thức ngược chiều ta bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ Chú ý: Không trừ vế với vế bất đẳng thức cùng chiều f) Nếu a  b và c  thì ac  bc Nếu a  b và c  thì ac  bc Tức là: Nhân vế bất đẳng thức với cung số dương thf bất đẳng thức không đổi chiều Nhân vế bất đẳng thức với cùng số âm thì bất đẳng thức đổi chiều g) Nếu a  b  và c  d  thì ac  bd Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều có các vế dương thì ta bất đẳng thức cung chiều Chú ý: Không nhân vế với vế hai bất đẳng thức ngược chiều Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1  0 h) Nếu a  b  thì b a Tức là: Nếu nhân vế bất đẳng thức dương thì phép lấy nghịch đảo dổi chiều bất đẳng thức n k) Nếu a  b  và n nguyên dưong thì a  b Nếu a  b và n nguyên dưong thì a Một số bất đẳng thức thông dụng n n  b n 1 + + A 0( A 0  A 0); A A A B   B A B (B 0)  A B A B    A  B + A  B  A  B Dấu “=” xảy và A, B Cùng dấu + A  B  A  B Dấu “=” xảy và A B 0 + A B 0 2 A  B  A  B + 2 + a 0 (a 0  a 0) 2 + a  b 2ab (Dấu “=” xảy và a b ) a b  2 b a + (Với a, b cùng dấu) Chú ý: Để chứng minh bất đẳng thức có nhiều cách, tuỳ thuộc vào dạng bài toán Sau đây là số cách thường dùng II> CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Pương pháp sử dụng định nghĩa Để chứng minh A B (hoặc A  B ) ta chứng minh A  B 0 (hoặc A  B  ) - Lưu ý : A2  với A ; dấu '' = '' xảy A = - Ví dụ : Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Bài toán 1.1 Chứng minh bất đẳng thức Côsi hai số thực không âm ( còn gọi là bất đẳng thức Ơclit ) a  b  ab a,b  R* Dấu “ = “ xảy và a b Thật vậy, a  b  ab  a  b  ab 0  ( a  b)2 0 Với a,b 0 Dấu “ = “ xảy và a b Bài toán 1.2 a  b  c2  a  b  c    3   với số thực a, b, c Chứng minh Phân tích: Đây là đẳng thức khá quen thuộc, ta có thể giải cách xét hiệu vế trái và vế phải Lời giải: Xét hiệu a b c 2 2  a  b c  2 2   3a  3b  3c  (a  b  c)  =  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2 = a  b2  c2  a  b  c   3   0 Vậy Dấu “=” xảy  a b c a  b2  c2  a  b  c   3   Do đó Khai thác bài toán: - Bằng phương pháp xét dấu hiệu A  B ta xét đúng đắn bất đẳng thức A B Để ý với số thực bất kì u, v ta củng có: Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng u  v2  u  v      - tương tự chứng minh trên ta có thể chứng minh bài toán sau Bài toán 1.3 Với số : x, y, z chứng minh : x2 + y2 + z2 +3  2(x + y + z) Lời giải: Ta xét hiệu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2  với x (y - 1)2  với y (z - 1)2  với z => H  với x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3  2(x + y + z) với x, y, z Dấu xảy <=> x = y = z = Khai thác bài toán: Tương tự ta có thể chứng minh bài toán sau: Cho a, b, c, d, e là các số thực : Chứng minh : a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a(b + c + d + e) Bài toán 1.4 Chứng minh rằng: a  b 2 b a với a, b cùng dấu Lời giải: 2 a  b  a b  2ab (a  b) b a ab ab Ta có: (a  b) a, b cùng dấu  ab >  ab  a  b 2 Vậy b a dấu “=” xảy và a  b 0 hay a b Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Khai thác bài toán: 1.4.1 Chứng minh tương tự trên ta có thể chứng minh bài Toán sau Chøng minh r»ng víi mäi x tho¶ m·n x 5, ta cã : - x  x  2 Hướng dẩn: - x  x  2    - x  x  2 4     x  x  1 4   x 5      x  x  1 0  § óng dÊu b»ng   x     1.4.2 ab  bc  ca c Chứng minh bất đẳng thức: với a ,b là cạnh góc vuông tam giác ABC, còn c là cạnh huyền Hướng dẩn: Ta có : ab + bc + ca < 2.c2 hay ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 Xét: a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 2a  2b  2c  2ab  2bc  2ca    2  a  b   (b  c)  (c  a)    Bài toán 1.5 Chứng minh a.b 1 thì:   1 a 1 b2 1 ab Phân tích: Củng có thể xét hiệu vế thì sử dụng giả thiết a.b 1 (  ab  0 ) Lời giải: Xét hiệu: Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng       1 a 1 b2 1 ab 1 a 1 ab 1 b  ab (b  a) (ab  1) 0  (1 ab)(1 a )(1 b ) Khai thác bài toán: - Với số dương a, b, c mà abc 1 , bất đẳng thức sau đúng hay sai? Chúng ta có thể phát triển bài toán tổng quát hay không? Nếu được, hãy phát biểu bài toán tổng quát    1 a 1 b2 1 c2 1 abc - Với số x, y mà x  y 0 ta có:    4x  y 1 2x  y Phương pháp biến đổi tương đương - Để chứng minh A B ta biến đổi tương đương A B  …  C D đó bất đẳng thức cuối cùng C D là bất đẳng thức hiển nhiên đúng là bất đẳng thức đơn giản bất đẳng thức A B Sau khẳng định tính đúng đắn bấtđẳng thức C D ta kết luận bất đẳng thức A B đúng - Một số đẳng thức thường dùng : (A+B)2=A2+2AB+B2 (A-B)2=A2-2AB+B2 (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 Bài toán 2.1 Chứng minh a, b, c, d  R thì Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a  b2  c2  d2  e2 a(b +c +d +e) Lời giải Bất đẳng thức xét tương đương với bấ đẳng thức sau: (nhân hai vế với 4, chuyển vế) (a  4ab  4b2 )  (a  4ac  4c2 )  (a  4ad  4d ) +(a  4ae  4e2 ) 0  (a  2b)2  (a  2c)2  (a  2d)2  (a  2e)2 0 là đúng Bài toán 2.2 Cho a, b, c là các số thực Chứng minh rằng: a  b2 1 ab  a  b Lời giải: Bất đẳng thức     a  b2 1 ab  a  b (a  b2 1)  2(ab  a  b) 0 (a  2ab  b2 )  (a  2a 1)  (b2  2b 1) 0 (a  b)2  (a  1)2  (b  1)2 0 đúng Điều cần chứng minh Khai thác bài toán: Tương tự bài toán trên hãy chứng minh bất đẳng thức sau: Cho a, b, c là các số thực Chứng minh rằng: a  b  c 2     bc ca ab  a b c  Bài toán 2.3 x, y chứng minh x  y4 xy3  x y Lời giải: Ta có: x  y4  xy3  yx x (x  y)  y3 (x  y)   y 3y 2 (x  y)  (x  )  0   Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x  y4 xy3  x y Vậy Bài toán 2.4 a  b3  c3  3abc 0 a b c Chứng minh (1) Lời giải Ta có: (1)  a b c  a   b2  c  ab  ac  bc  0 a b c  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2 0 (2) (2) đúng  (1) đúng Bài toán 2.5 Chứng minh a (1 b2 )  b2 (1  c2 )  c2 (1  a ) 6abc (1) Lời giải:  (a  bc)  (b  ac)  (c  ab) 0 (1) (2) đúng  (1) đúng Khai hác bài toán: Tương tự trên ta có thể chứng minh bài toán sau 2.5.1 2 (2) Cho a  0; b  vµ a  b3 a  b Chøng minh r»ng: a  b  ab  Hướng dẩn: a + b = a - b   a - b   a + b + ab  =  a - b   a + b + ab  a3 - b3   a - b   a + b + ab  = a - b  a + b + ab = a + b3 a3 - b3 2 VËy a + b + ab <  <  a3 - b3 < a3 + b3  < b3 a +b 3 2 3 2 2.5.2 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Chøng minh víi mäi sè dong a, b, c ta lu«n cã :  a  b b  c2 c2  a a  b  c2    ab bc ca a bc Hướng dẩn:   a  b b  c2 c2  a   3 a  b  c B§ T   a  b  c    b c ca   ab c a  b a b  c2 b c2  a    a  b  c a b b c ca 2 ac c  a  bc c  b  ab b  a     0 § óng   a  b  b  c  a  b  a  c  c  a  b  c Phương pháp quy nạp toán học - Kiến thức : Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n > phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = (n = n0) + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > (k > n0) + Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + + Kết luận bất đẳng thức đúng với n > (n > n0) Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có n số (n  N) Thì ta nên chú ý sử dụng phương pháp quy nạp toán học - Ví dụ : Bài toán 3.1 Chứng minh bất đẳng thức Côsi trường hợp tổng quát         Với a1, a a n  R n , n 2 thì a1  a  a n n a a a n n Lời giải: Ta dùng phương pháp quy nạp theo n :  Với n =2 bất đẳng thức đả chứng minh (bất đẳng thức Ơclit)  Để chứng minh bất đẳng thức tổng quát, trứơc hết ta hãy xét  vài bất đẳng thức phụ Nếu x1, x  R thì Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x1  x  x1n   x 2n  x , x  R  Vậy phải, ta được) thì ta luôn có (chuyển phận sang vế (x1n   x 2n  1)(x1  x ) 0 x1n  x 2n x1x 2n   x x1n   Lấy n số thực không âm x1,x x n  R , viết các bất đẳng thức tương ứng cộng lại ta được: (x1n  x n )  (x1n  x n )   (x1n  x n n )  (x n  x n )   (x n  x n n )   (x n  1n  x n n ) (x1 x n   x x1n  )  (x1 x n   x x1n  )   (x1x n n   x n x1n  )  (x n  1x n n   x n x n  1n  ) (*) Từ đó: (n  1)(x1n  x 2n   x n n )  x1(x 2n   x 3n    x n n  1)  x (x1n   x 3n    x n n  )  x n (x1n   x 2n    x n  1n  1) (**) Bây theo giả thiết quy nạp, ta thừa nhận n  số thực không âm bất kì , trung bình cộng không nhỏ trung bình nhân chúng Thế thì nói riêng ta có: Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x 2n   x3n    x n n  (n  1)x x x n x1n   x3n    x n n  (n  1)x1x x n ………………………………………………… x1n   x 2n    x n  1n  (n  1)x x x n  Sử dụng các bất đẳng thức này, ta có thể tăng cường các bất đẳng Thức ( ** ) (n  1)(x1n  x 2n   x n n ) n(n  1)x1x x n ) n n n Trong hệ thức này đặt x1 a1,x a , x n a n ta a1  a  a n n a a a n n ( đpcm ) Trong tất quá trình lý luận trên, dấu “=” xảy và x1 x  x n tức là và a1 a  a n Trong lý thuyết đả có số bất đẳng thức chúng minh phương pháp quy nạp (bất đẳng thức Côsi, Becnuli, ) Sau đây ta xét số bài toán khác Bài toán 3.2 u  v2  u  v      Tổng quát bất đẳng thức Cho a, b là hai số dương, chứng minh với số tự nhiên n 2 Ta có: u n   u  v  n     Phân tích: Việc xét hiệu trực tiếp không đạt kết vì chúng ta có thể nghĩ đến cách sử dụng phương pháp quy nạp Lời giải: a  b  a  b    Với n 2 ta có: 2  2  (bằng cách xét hiệu) Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Giả sử bất đẳng thức đúng với n k , tức là a k  bk  a  b      k Ta phải chứng minh bất đẳng thức củng đúng với n k 1 , tức là a k 1  bk 1  a  b      Thật vậy, a k  bk  a  b      k  k 1 a  b a k  bk  a  b    2   k1 Ta chứng minh:     a k 1  bk 1 a  b a k  bk 2  a k 1  bk 1 abk  a k b a k 1  a k b  bk 1  abk 0 (a k  bk )(a  b) 0 (a  b)2 (a k  a k  2b   ab2 k  bk  1) 0 (đúng) Khai thác bài toán: a) Bài toán vẩn đúng trường hợp a 0; b 0 a n  bn 1 b) Với a  b 2 ta có Bài toán 3.3 n  N , n >1, chứng minh rẳng:     13 n 1 n  2n 24 Lời giải: VT 1   14  13 VP 12 24 24 Với n 2 tacó Giả sử bất đẳng thức đúng với n , nghĩa là ta có: Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng     13 n 1 n  2n 24 Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n 1 , nghĩa là phải chứng minh:     13 n 1 n  2(n 1) 24 VT     (   ) n 1 2n 2n 1 2n  n 1 Ta có      13 VP n 1 2n (2n 1)(2n  2) 24  Bất đẳng thức đúng với n 1 Kết luận : bất đẳng thức đúng với n  N , n >1 Tương tự trên ta có thể chứng minh các bất đẳng thức sau 1) Cho a,b,c là cạnh tam giác vuông với c là cạnh huyền Chứng minh rằng: a 2n  b2n c2n n  N 2) n  N , Chứng minh rằng: 22n 2  2n  3) n  N , n >1, chứng minh rẳng:      n 12 22 n2 a,b,c,d,e   0;1 thì Bài toán 3.4 Chứng minh với 1  a  1  b 1  c 1  d  1  e 1  a  b  c  d  e Và hãy chứng minh kết tổng quát kết bài toán trên lời giải: Ta sẻ chứng minh kết tổng quát sau đây Với a1 ,a , ,a n   0;1  n 2     a1    a    a n    a  a   a n Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Chứng minh quy nạp toán học theo n n 2   a 1 a 1  a  a a   a  a  1   1 2 - Với - Giả sử kẳng định đún với n k , ta sẻ chứng minh khẳng định củng đúng với n k  Do khẳng định đúng với n k    a1    a    a k    a1  a   a k Với    a k   1 a  1 a    a k    a k 1     a  a   a k    a k 1  Mà vế phải  a1  a   a k  a k 1   a1  a   a k  a k 1        0   a1  a   a k  a k 1    a    a    a k 1    a1  a   a k 1 Vậy khẳng định đúng với n  Phương pháp tam thức bậc hai a) Các tính chất tam thức bậc hai thương dùng bất đẳng thức * F(x) ax  bx  c F(x) 0  x  R (a 0) a      0  * a x b  (x  a)(x  b) 0 4ac-b F(x) ax  bx  c  4a * x  R (a  0) b) Phương pháp *> Phương pháp 1: Để chứng minh bất đẳng thức M  N ta biến đổi M  N  B  4AC 0 (A  0) Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Xét tam thức F(x) Ax  Bx  C ta cần chứng minh F(x) 0 x  R *> Phương pháp 2: Để chứng minh bất đẳng thức M  N ta biến đổi M  N  B2  4AC 0 Xét tam thức F(x) Ax  Bx  C Ta cần chứng minh: x / aF(x ) 0 *> Phương pháp 3: Để chứng minh bất đẳng thức M  N ta biến đổi M  N  Ax Bx  C 0 x và cần chứng minh: B2  4AC 0  A  Bài toán 4.1 Cho a, b là các số thoả mản điều kiện a  a  2b  4b2  4ab 0 Chứng minh a  2b 1 (1) Phân tích Để ý bất phương trình bậc hai at  bt  c 0 (a  0)  t1  t  t đó t1 , t là các nghiệm tam thức at  bt  c ta có lời giải sau Lời giải: 2 (1)  a  4ab  4b  (a  2b) 0  (a  2b)2  (a  2b) 0 Đặt t a  2b  t  t 0  t 1  a  2b 1 Khai thác bài toán: Ta đã dùng định lý dấu tam thức bậc hai để giải bài toán này nên ta có thể giải các bài toán sau phương pháp khác đơn giản: Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Tìm giá trị lớn (bé nhất) có các biểu thức:  2x  2003 x y x2 y  x  3x  2 Căn vào đặc điểm Parabol y a.x  bx  c với a  ( a  ) quay S  b ,    2a 4a  là điểm có tung độ bề lõm lên trên (xuống dưới), đó đỉnh    bé (lớn nhất), ta có thể thêm cách tìm giá trị lớn (bé nhất) các bểu thức có dạng y a.x  bx  c ( a 0 ) Bài toán 4.2 x,y  R , chứng minh bất đẳng thức sau: x y4  2(x  2)y2  4xy  x 4xy3 (1) Lời giải: (1)  (y2 1)2 x  4y(1 y2 )x  4y2 0 F(x) (y2 1)2 x  4y(1  y2 )x  4y2 ' 4y2 (1 y2 )2  4y2 (y2 1)2 '  16y2  '  f (x) 0   0     y  R x, y  R   Bài toán 4.3 Với a,b,c,d  R , chứng minh bất đẳng thức sau: (a  b  c  d)2  8(ac  bd) (1) Lời giải: (1) Xét tam thức  a  2(b  3c  d)a  (b  c  d)2  8bd    a  R;b  c  d  F(a) a  2(b  3c  d)a  (b  c  d)2  8bd Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng ' (b  3c  d)2  (b  c  d)2 8bd ' 8(c  b)(c  d) '   F(a)  a  R Vậy (1) đúng Bài toán 4.4 Chứng minh bất đẳng thức Côsi – Bunhiacôpski Cho n cặp số thực bất kì a i , bi , i =1, ,n thì (a1b1  a 2b2   a n bn ) (a12  a 22   a n )(b12  b22   bn ) Dấu “=” xảy và tồn số k  R cho b1 ka1 , b2 ka , …, bn ka n Lời giải: Với x  R ta có: (a1x  b1)2 0 ……………… (a n x  bn )2 0 Từ đó suy ra: a12 x  2a1b1x  b12 0 ………………………… a n x  2a n bn x  bn 0 Cộng vế với vế ta (a12  a 22   a n n )x  2(a1b1  a 2b2   a n bn )x (b12  b22   bn n ) 0 f x Ax  2B'x  C với A 0 Và Vế trái là tam thức bậc hai   f (x) 0 x  R nên A  thì ' B'  AC (a1b1  a 2b2   a n bn )  (a12  a 22   a n )(b12  b22   bn ) 0 Và thu đựơc bất đẳng thức cần chứng minh Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Còn A 0 thì a1 a  a n đó bất đẳng thức cần chứng minh là hiển nhiên Cuối cùng ta thấy dấu “=” bất đẳng thức xảy và ' 0  a1x b1  a n x bn  b1 ka1, ,bn ka n Với k  R Khai thác bài toán: Tương tự bài toán trên ta có thể chứng minh các bất đẳng thứưc sau: 2 1) 5x  3y  4xy  2x  8y  0 2 2) 3y  x  2xy  2x  6y  1 x, y  R x, y  R 3) (x  y)  xy 1 (x  y) Bài toán 4.5 Cho a.b 0 Chứng minh rằng: a b2 a b       0 b2 a b a Lời giải: a b  Đặt x = b a a b2 x   2 b a a b2  x  2  b a ta có : Bất đẳng thức trở thành: x   3x  0  x  3x  0   x  1  x   0 Nếu ab  Thì ta có a  2ab  b 0  a  b  2ab Chia hai vế cho ab ta a  b2  ab Vậy x  x  1  x   0 Trong hai trường hợp thì  Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Dấu đẳng thức xảy a b Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy #>Với hai số a, b 0 ta luôn có: a  b  ab Dấu “=” xảy và a b Chứng minh: Cách1: (Phương pháp biến đổi tương đương)  a b a b  a.b    ab  (a  b) 0   Bđt hiển nhiên đúng Đẳng thức xảy  a b Cách 2: (Phương pháp hình học) + Nếu a 0 b 0 thì BĐT hiển nhiên đúng + Nếu a  và b  thì ta đặt: HA a , HB b ( Hình vẽ )  a b OI HC  HA.HB  a.b C I H B O Đẳng thức xảy  HC OI  H O  a b #> Dạng tổng quát bất dẳng thức Cauchy Cho a1,a , ,a n 0 A a1  a   a n n a a a n n Ta có: Dấu “=” xảy và a1 a  a n Chứng minh phương pháp quy nạp Bài toán 5.1   a,b,c  0.Chøng minh  a + b +c      9 a b c Cho Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Phân tích: Vế trái chứa a,b,c  và các nghịch đảo chúng.vì ta nghĩ đến việc dùng bất dẵng thức côsi Lời giải: 1, 1,1 Cách Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số a,b,c và a b c ta có: a  b  c 3 abc (1)   33 a b c abc (2) Nhân vế (1) và(2)ta đựơc: Cách 2:  a  b  c   1a  1b  1c  9     (đpcm)  a  b  c   1a  1b  1c  3   ba  ac    ac  ac    bc  bc  3    9           Dấu “=”xảy  a b c Khai thác bài toán: Tương tự trên ta có thể chứng minh bất đẳng thức sau Cho a,b,c  và a  b  c  d 1 Chứng minh a  b  c  b  c  d  b  d  a  c  d  a 2 Bài toán 5.2 Cho a, b, c  và a  b  c 1 1   9 2 a  2bc b  2ca c  2ab Chứng minh Lời giải: Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1   a  2bc b  2ca c  2ab 1 2   a  b  c       a  2bc b  2ca c  2ab    a  2bc    b  2ca    c  2ab   1       9  a  2bc b  2ca c  2ab  Khai thác bài toán Chứng minh tương tự trên ta có thể chứng minh các bài toán sau 5.2.1 Chứng minh với a,b  thoả mãn a + b = ta có 1  6 ab a  b 5.2.2 Chøng minh r»ng víi mäi a, b  tho¶ m·n : a.b  1, ta cã: Hướng dẩn: 1   3 a b a b 1 2 a b a b    a  b      a b a b a b 2 a b a b  a b       ab  3 2 a  b   Bài toán 5.3 11 Cho x,y >0, chứng minh x y x  y (1) Phân tích : Do x,y >0 nên bất đẳng thức (1)có thể suy từ bất đẳng thức Côsi trực tiếp xét hiệu Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Lời giải : Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Côsicho hai số dương: x  y 2 xy  x  y 4xy    xy  xy x  y Cách hai : Xét hiệu hai vế Khai thác bài toán: Bất đẳng thức trên có liên quan đến viêc “cộng mẫu” nên có thể sử dụng để chứng minh bất đẳng thưc sau: Bài toán 5.3.1 Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác, chứng minh rằng:   2     a b c p  a p  b p  c  a b c  Trong đó p= Bài toán 5.3.2 Cho a  0;b  , chứng minh a  b 5 ab Hướng dẩn Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số  Bài toán 5.4 a, a, b, b, b a + a + b + b + b 5 ab a  b 5 ab Cho a,b,c là độ dài cạnh tam giác a  b  c 3 Chứng minh rằng: bc a a c b ba  c Lời giải: Cách 1: Nhận xét: Do a,b,c là độ dài cạnh tam giác nên ta có a  b  c  0; a  c  b  0; b  c  a  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp số dương: Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng (a  b  c)(a  c  b) a  b  c  a  c  b a (a +c-b)(b + c-a) c (1) (b +c-a)(b +a -c) b (3) (2) Để ý vế các bất đẳng thức (1) (2) (3) là các số dương và ba bất đẳng thức này cùng chiều, nhân vế chúng ta (a  b  c)(a  c  b)(b  c  a) abc Trở lại bài toán: a  b  c 33 abc b c  a a c  b b a  c (b  c  a)(a  c  b)(a  b  c) 3 abc abc Cách2: Đặt x b  c  a;y a  c  b;z a  b  c , đó x, y,z  và a y  z ,b x  z ,c x  y 2 Vế trái: a  b  c 1 ( y z  x z  x  y ) b c  a a c  b b a  c x y z x y x z y z  (      )  (2   2) 3 y x z x z y  x y  y  x 2   x z   2  z x y z   2  z y x y z  a b c Dấu “=” xảy Khai thác bài toán: Trong bài toán trên chúng ta đã sử dụng ẩn phụ dùng bất đẳng thức Côsi để giải Sử dụng cách thức trên, hảy giải bài toán sau: Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1) Cho a,b,c  và a  b  c  d 1 Chứng minh a  b  c  b  c  d  b  d  a  c  d  a 2 2) Cho a,b,c,d  , Chứng minh rằng: a) (1 a)(1 b)(1 c) (1  abc ) (a  b)(c  d)  (a  c)(b  d)  b)  (a  d)(b  c) 6 abcd x ,x , ,x n   0;1 Bài toán 5.5 Cho , chứng minh rằng: (1 x1   x n )2 4(x12  x 22   x n ) Lời giải: Theo Côsi ta có: (1 x1   x n ) 4(x1  x   x n ) 4(x12  x 22   x n ) xi xi2 Do Phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Bunhacôpski #> Với a, b, c, d  R tacó: ac  bd  (a  b2 )(c2  d ) a c Dấu “=” xảy và b d #> Trường hợp tổng quát Cho n cặp số Ta có: a1,a , ,a n b1,b2 , ,bn (a1b1  a 2b2   a n bn )n (a12  a 22  a n )(b12  b22   bn ) a1 a  a n bn Dấu “=” xảy và b1 b2 Bài toán 6.1 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Víi c¸c sè a, b, c > tho¶ m·n ®iÒu kiÖn abc = Chøng minh r»ng : a  ab + a + 1 + b  bc + b + 1 + c  ca + c + 1  a+b+c Lời giải: VT     a  ab  a  1 a  ab  a  abc  a  bc  b  1 2    b  bc  b  1 b  bc  b  1 b  bc  b  1 2    c  ca  c  1 cb  abc  bc  b  b 2c  bc  b  1 1    b  b 2c    bc  b  1  a á p dụng bất đẳng thức Bunhia - copxki cho hai số : ; b;b c ta cã : a   2 2 b + c    +   a    a; b; c vµ         a + 2 + b c   + b + bc  hay     b   + b + b c   bc + b + 1 a   a + b + c    1 1  + b + b c      a + b + c  bc + b + 1  a Bài toán 6.2 a a , ,a n Cho n số thực 1, và n số dương ( n 1 ) Chứng minh (§PCM) b1,b2 , ,bn Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a12  a 22   a n (a1 a  a n ) b1 b2 bn b b  b 2 n Phân tích: Bất đẳng thức trên tương đương với   (a1  a   a n )2  ( a1 )2   ( a n )2   ( b1 )2   ( bn )2  bn     b1 Vậy ta có lời giải sau Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski cho n cặp số: a12 a 22 an2 b1 , b2 ,…, bn Và b1 , b2 , …, bn ta có:    2 a a n  a1   a1   a n  (b   b ) b  b   b n  n  b b1 bn   b b n   a12 a n (a1  a n )     b1 bn b1  b n  Dấu “=” xảy Bài toán 6.3 a1 a2 an b1 b b    n  a1  a n b1 bn b1 b2 bn a,b,c  ,a  b  c 3 Cho Chứng minh 4a   4b   4c  3 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski cho cặp: ( Ta có 4a  ;1), ( 4b  ; 1), ( 4c  ; 1) 4a   4b   4c  3(4a   4b   4c  3) 3 Khai thác bài toán: Bằng cách xét các cặp số trên ta có thể giải các bài toán sau: Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 2 x  2y  3z  14 1) Cho x  y  z 1, chứng minh 2) Cho a,b,c 0 , chứng minh rằng: a  b  c 1  a  b  b  c  c  a  3) Cho a,b,c 0 , chứng minh rằng: c(b  c)  c)a  c)  ab 4) Chứng minh rằng: (a1  a   a n )2 n(a 22  a 22   a n ) 5) Cho ax  by C , chứng minh rằng: 2 A2 x  B2 y2  2A2B C2 a B b A Bài toán 6.4 Chứng minh sin( x )+cos( x )  Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski: x  R 1.sin(x)+1.cos(x )  (12 12 )(sin(x) cos(x) )   sin( x )+cos( x )  x  R Bài toán 6.5 Cho a,b,c là các số dương chứng minh bất đẳng thức: Lời giải: a  b2  c2 a  b  c b c c a a b Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski Phương pháp phản chứng - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết đề bài để suy điều vô lý Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , là điều trái nhược , từ đó suy đẳng thức cần chứng minh là đúng - Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định suy điều trái với giả thiết + Phủ định suy trái với đIều đúng + Phủ định suy hai điều trái ngược + Phủ định suy kết luận - Các ví dụ : Bài toán 7.1 3 Cho a  b 2 , Chứng minh rằng: a  b 2 Lời giải: 3 3 3 Đặt a = m , b = n thì a m , b n Ta có m + n =2 Cần chứng minh m  n  Giả sử m  n  thì (m  n)3   m3  n3  3mn(m  n)    3mn(m  n)   mn(m  n)   mn(m  n)  m3  n Chia vế cho số dương m  n (theo giả thiết phản chứng) mn  m2  mn  n   (m  n)2 (vô lí) Vậy phải có m  n  Bài toán 7.2 Cho 25 số tự nhiên a1 ,a , ,a 25 thoả mãn điều kiện    9 a1 a2 a 25 Chứng minh 25 số tự nhiên đó, tồn hai số Lời giải: Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên đả cho, không có hai số nào Không tính tổng quát, giả sử a1  a   a 25 a1 1,a  2, ,a 25  25 Suy        a1 a2 a 25 25 Thế thì (1) Ta lại có Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng    1 25  25  9 (2)    a1 a2 a 25 < 9, trái với giả thiết Vậy Từ (1) và (2) suy tồn hai sô 25 số a1,a , ,a 25 Bài toán 7.3 Chứng minh không có số dương a, b, c nào thoả mãn bất đẳng thức: a Lời giải:  2; b 1 b   2; c  c a Giả sử tồn ba số dương a, b, c thoả mãn bất đẳng thức: a  2; b 1 b   2; c   c a Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: 1 a  b c 6 b c a 1  1  1    a    b    c    a  b  c  (1) Vì a, b, c > nên ta dể dàng chứng minh 1  2; b   2; c   b c a 1  1  1   a     b     c   6 a  b  c Như  điều này mâu thuẩn với (1) Vậy không tồn các số dương a, b, c thoả mãn bất a đẳng thức đã cho Khai thác bài toán: Tương tự bài toán trên ta có thể chứng minh bất đẳng thức sau Chứng minh không có số dương a, b, c thoả mãn bất đẳng Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Thức sau: 4a(1  b)  1; 4 4b(1  c)  ; 4c(1  a)  Bài 7.4 Cho a  b  a  b Chứng minh rằng: a  b  Lời giải Phương pháp phản chứng: a 1  x  b 1  y với x  y 0 Giả sử a  b 2 Đặt  Xét hiệu: 4 a  b  a  b   x     y     x     y   x  y    x  y    x  y   x  y    x  y    x  y   x  xy  y  0 x; y 4 3 4 3 hay a  b  a  b 0  với a  b 2 Thì: a  b a  b Trái với giả thiết Vậy a  b  Bài 7.5 cho 3 : a b 2 Chứng minh rằng: a  b  Lời giải : Phương pháp phản chứng Giả sử a  b 2 a 1  x  b 1  y ta đặt  với x  y 0 Ta có: 3 a  b   x     y  2   x  y    x  y   x  y =   x  y    x  y    x  y   x  xy  y 2  Vì x  y 0 3 Suy a  b 2 Trái giả thiết.Vậy a  b  Phưong pháp hình học Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Nói chung ta sử dụng các bất đẳng thức tam giác: *> Tổng hai cạnh tam giác củng lớn cạnh còn lại *> Hiệu hai cạnh tam giác luôn bé cạnh còn lại A  B  C  *> ABC *> Lưu ý đến tính chất các cung liên két: Đối, phụ, bù, khác  Bài toán 8.1 Chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c,d  (a  c2 )(b2  c2 )  (a  d )(b2  d2 ) (a  b)(c  d) Lời giải: Xét tứ giác ABCD Có AC  BD,O là giao điểm hai đường chéo; OA a,OC b,OB c,OD d với a,b,c,d  Theo định lý Pitago: AB  a  c2 ,BC  b2  c2 ,AD  a  d ,CD  b  d AC a  b,BD c  d Cần chứng minh AB.BC  AD.CD AC.BD Thật vậy, ta có Suy AB.AC 2S ABC AD.CD 2S ADC AB.BC  AD.CD 2SABCD AC.BD (a  c2 )(b2  c2 )  (a  d )(b2  d ) (a  b)(c  d) Vậy Cách giải khác Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski (m2  n )(x  y ) (mx  ny)2 với m a,n c,x c, y b ta điều cần chứng minh Bài toán 8.2 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học: a  b2 b2  c2 b(a  c) với a,b,c là số dương Lời giải: Đặt các đoạn BH a,HC c trên đường thẳng Kẻ đoạn Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng HA b vuông góc với BC Dể thấy AB.AC 2SABC BC.AH Khai thác bài toán: Tương tự trên ta có thể chứng minh đươc bất đẳng thức sau Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : a  b b  c b(a  c) với a, b,c  2 2 Bài toán 8.3 Cho tam tam giác ABC có các cạnh a, b, c và các đường cao tương ứng h a , h b , h c Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Chứng minh r , r , r 1 hb hc Phân tích: Chúng ta biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác và đường cao liên quan trực tiếp đến công thức diện tích Vì chúng ta sể sử dụng diện tích tam giác để tính r và h a , h b , h c Lời giải: S Pr  r S p Ta có: 2S a.h a  h a 2S a r a  a a   a 1 h a 2p a  b  c a  (b  c) a  a Vậy Trong quá trình chứng minh bất đẳng thức ta đả sử dụng đến bất đẳng thức tam giác “trong tam giác, tổng hai cạnh lớn cạnh còn lại” Khai thác bài toán Nếu thêm vào điều kiện tam giác ABC có a, b thoả mãn điều kiện r 0,4 a  b  c thì h c Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Ta có thể áp dụng “trong tam giác, tổng hai cạnh lớn cạnh còn lại” để chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) Cho tam tam giác ABC có các cạnh a, b, c Chứng minh a  b2  c2  2(ab  ac  bc) 2) Cho tam tam giác ABC có các cạnh a, b, c Chứng minh abc (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b) với a  b  c 3) Cho tam tam giác ABC có các cạnh a, b, c Chứng minh a 3(b2  c2 )  b3(c2  a )  c3(a  b2 )  với a  b  c Bài toán 8.4 Cho tam giác ABC có các cạmh góc vuông là a,b và Cạnh huyền là c Chứng minh ta luôn có ab c Lời giải: 2 2 Với a, b ta luôn có a  b 2ab Nhưng a  b c ( Định lý Pitago) Nên: c 2ab  2c a  b  2ab  2c  a  b  2 a b Dấu đẳng thức xảy và a b  c a  b  c  Bài 8.5 Cho a, b, c , là độ dài ba cạnh tam giác CMR: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc Lời giải: Bất đẳng thức ba cạnh tam giác cho ta viết b  c  a   a  (b  c) a c  a  b   b  (c  a) b Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a  b  c   c  (a  b) c a  (b  c) b  (c  a) c  (a  b) a b c Từ đó   a  b  c   a  b  c   b  c  a   b  c  a   c  a  b   c  a  b  a b 2c 2 2   a  b  c   b  c  a   c  a  b  a b 2c   a  b  c   b  c  a   c  a  b  abc Vì a, b,c là cạch tam giác nên a b c 0 bc a 0 ca  b 0 Và abc  Vậy bất đẳng thức đã chứng minh Phương pháp sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số Bài toán 9.1 chứng minh với số thực x  3x  4x  5x (1) Phân tích: 2  3  4  5       1  5  5 Để ý 3, 4, là số Pitago: và x x     y   , y   5   nghịch biến, ta có lời giải sau: các hàm số Lời giải: Bất đẳng thức (1)   3   5 a     5 x  a 1 x    y   , y    5   nghịch biến (cơ số bé 1) Do các hàm số mũ Nên với x  ta có: Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x x  3  3  4  4          5 <  5 ,  5 <  5  3   5 x x          5 < 5 2       =1  4 5 Vậy Khai thác bài toán: a a a Bất đẳng thức x  y  z ( a  ) đúng với số Pitago ( x x x x, y,z  R gọi là số Pitago x  y2  z2 ) 10 Phương pháp làm trội, làm giảm Dùng tính chất BĐT để đưa vế BĐT cần chứng minh dạng để tính tổng hữu hạn tích hữu hạn Bài toán 10.1 Chứng minh bất đẳng thức sau với n  N,n 2 n       n  n Lời giải:    n A Đặt a) Chứng minh A > n  cách làm giảm mổi số hạng A : 1 2  2( k 1  k ) k k k k 1  k với k  N* Do đó A   ( n 1   n )   (  3)  (  2)    2( n 1  2) 2 n 1  2  n 1   n  b) Chứng minh A < n  phương pháp làm trội mổi số hạng A : 1 2  2( k  k  1) * k k k k  k với k  N Do đó Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng A   ( n  2( n  n  1)   (  2)  (  1)   1) 2 n  * Bài toán 10.2 Chứng minh các BĐT sau với n  N :      2 n n2 a)     2 n2 b) Lời giải: a) Với k 1 ta có   1 k k(k  1) k  k Lần lượt thay k 2,3, ,n cộng lại ta có:    1 n  đpcm 12 22 n2 b) Với k 1 ta có:  2     k2  2k  2k 1  Lần lượt thay k 2,3, ,n cộng lại ta có:    1 2(1  ) 1 5 12 22 n2 2n 1 3 Khai thác bài toán: Tương tự trên ta chứng minh bất đẳng thức sau:     2 (n 1) n 11 Phương pháp dung miền giá trị hàm số Đ ể chứng minh B  F(x)  A Với x ta đặt y= F(x)  y- F(x) =0 (*) Biện luận phương trình (*) theo y,  y  (A,B)  đpcm Bài toán 11.1 Chứng minh Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x  x 1 3 x2  x  với x Lời giải: x  x 1 y = x  x  có miền xác định D=R Đặt  (y  1)x  (y 1)x  y  0 có ngiệm  với y 1  x 0  với y 1 ta có Khai thác bài toán:  0  (y 1)2  4(y  1)2 0   y  3 Tương tự chúng ta có thể chứng minh các bài toán sau: 2x  x  1  2x  x  với x 1) 12 Sử dụng phương pháp đánh giá: Đây là PP tương đối khó việc chứng minh BĐT, tuỳ dạng bài mà có có cách đánh giá khác nhau.Cần chỳ ý điều kiện đề bài để có hướng phù hợp cho bài toán Bài toán 12.1 Cho x, y, z là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2] 2(x  y  z)  (xy  yz  zx) 4 Chứng minh rằng: Lời giải: Do giả thiết x, y, z là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]  (2  x)(2  y)2  z) 0   4xyz  2(xy  yz  xz)  xyz 0  2(x  y  z)  (xy  xz  yz)  xyz 2(x  y  z)  (xy  xz  yz) Suy ĐPCM Đẳng thức xảy chẳng hạn X 2, Y Z 0 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Bài toán 12.2 Chứng minh với số nguyên n 3 ta có : n n 1   n  1 n Lời giải: 4 Ta có 81, 64    Bất đẳng thức cần chứng minh đúng với n 3 n n  n 1   1  n    1   n n    n n  Với , ĐPCM (1) Ta lại có n n n(n  1) n(n  1) (n  n  1)  1 k       C n k   n n n 2! n n! n    1    1              2!  n  n!  n   n  1 1           n  2! n! 2 1      n   1  3 2 1 n  1       n  (1)  n Bài toán 12.3 x; y;z   0;1 Cho Chứng minh 2(x  y3  z )  (x y  y z  z x) 3 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x; y;z  0;1   Lời giải:   x ;1  y ;1  z ;1  x;1  y;1  z 0 x  x ; y3  y ;z  z  1- y - x  x y   z  y  zy   x  z  z x 0   (x  y  z )  (x  y  z)  x y  y 2z  z x 0  x  y  z  x  y  z   x y  y 2z  z x  Dấu “ ” xảy và số x; y;z 1, số còn lại Biến đổi riêng tưng vế so sánh kết suy điều chứng minh Bài toán 12.4 Chứng minh 200300  300200 Lời giải: Ta có 200300 (2003 )100 8000000100 300200 (3002 )100 90000100  200300  300200 (đpcm) Bài toán 12.5 CMR: x1 x  x x   x 2002 x 2003  x 2003 x1 x12  x 22   x 22003 Lời giải: Xét bất đẳng thức: 2 2  x1  x    x  x     x 2002  x 2003    x 2003  x1  2  x12  2x1x  x 22    x 22  2x x  x 32     x 2002  2x 2002 x 2003  x 2003    x 22003  2x 2003x1  x12  2x1x  2x x   x 2003 x1 2x12  2x 22   2x 2003 Từ đó suy ĐPCM 13 Phương pháp dùng tính chất tỉ số Cho số dương a, b, c : Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a  (a  c) a 1 Nếu b thì b (b  c) a  (a  c) a 1 Nếu b thì b (b  c) a  c  a  (a  c)  c b (b  d) d Nếu b,d  thì từ b d Bài toán 13 Cho số dương a, b, c Chứng minh rẳng 1 a  b  c  a b c b a c Lời giải: Do c  Tương tự ta có Và a  a  a c a  b  c a  b a  b  c (1) a   b  a b a  b  c c  b a  b  c (2)   c  c  b c a b c a c a b c (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức kép trên ta được: 1 a  b  c  a b c b a c (đpcm) Bài toán 13.2 Chøng minh r»ng : 1 1    a  2b  b  2c2  c  2a  dã a, b, c lµ c¸c sè thùc d ong tho¶ m·n: abc 1 Lời giải a  b 2ab; b  2b  a  2b  2  ab  b  1  Tương tự ta 1  a  2b  ab  b  Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1  b  2c2  bc  c  1 1  c  2a  ac  a  Lại có : 1 1 ab b      ab  b  bc  c  ac  a  ab  b  ab c  abc  ab abc  ab  b ab b  ab  b    1 ab  b  ab  b  ab  b  ab  b  1 1    2 2 2 a  2b  b  2c  c  2a  Vậy  14 Phương pháp sử dung các bất đẳng thức trị tuyệt đối * Một số bất đẳng thức thông dụng 1> 2> A 0( A 0  A 0); A A A B   B A B (B 0)  A B A B    A  B 3> A  B  A  B Dấu “=” xảy và A, B Cùng 4> dấu A  B  A  B Dấu “=” xảy và A B 0 5> 6> A B 0 A  B  A  B2 * a ,a , ,a n thì hiển nhiên a) Cho các số thực a1  a   a n  a1  a   a n b) Cho các số thực khác không bất kì a, b thì: Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a b  2 b a dấu “=” xảy và a b Thật vậy:  a b    0  b a 2 2  a  b      2  b  a   a   b        4  b  a  a b  a b     22   2 b a b a Bài toán 14.1 Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c Biết a  b  c Chứng minh rằng: a b c b c a      1 b c a c a c Lời giải: Ta có a b c b c a a 2c  b a  c b  a b  c a  b c       b c a c a c abc  a  b  b  c  c  a  abc = Mà a, b, c là cạnh tam giác nên: a  b  c; b  c  a; c  a  b   Vậy 15  a  b  b  c  c  a   a  b  b  c  c  a   abc 1 abc a b c b c a      1 b c a c a c Phương pháp Đổi biến số Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng - Kiến thức : Thực phương pháp đổi biến số nhằm đưa bài toán đã cho dạng đơn giản , gọn , dạng bài toán đã biết cách giải - Các ví dụ : Bài toán 15.1 Chứng minh bất đẳng thức Netbit Lời giải: a  b  c 3 , a,b,c  b c a c a b Đặt x b  c, y a  c,z a  b a y  z  x ,b x  z  y ,c x  y  z 2 Khi đó x,y,z > và a  b  c 1  y  z  x  x  z  y  x  y  z   2  Ta có: b  c a  c a  b  Dấu (=) xảy  a b c Cách khác: a  b  c 1  x  y  z  x  y  z  x  y  z     x y z b  c a  c a  b    x  y  z       1  3    x y z  2  2     Khai thác bài toán : Bằng cách tương tự, ta có thể chứng minh các bất đẳng thức sau: 2    b c c a a b a b c a2 b2 c2 a b c 2)    b c ca a b 1) Bài toán 15.2 Chứng minh ; với số thực x, y ta có bất đẳng thức : Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng (x  y )(1x y )   2 2 (1  x ) (1  y ) Lời giải: x  y2  x y2 2 2 Đặt : a = (1  x )(1  y ) và b = (1  x )(1  y ) (x  y )(1  x y ) 2 2 => ab = (1  x ) (1  y ) 1 (a  b) ab  (a  b) Ta có dễ thấy với a, b thì : - 2     x  1 a  b  Mà : =     a  b  =  y2  1 1  ab  4 Suy : Bài 15.3 Cho a,b,c  0; a  b  c 1 Chứng minh : 1   9 a  2bc b  2ca c  2ab Lời giải: 2 a  2bc  x;b  2ac  y;c  2ab z Đặt : x  y  z a  2bc  b  2ac  c  2ab Khi đó  a  b  c  1 Bài toán trở thành : Cho x, y,z  0;x  y  z 1 Chứng minh : 1   9 x y z Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1 (   ) 9 x  y  z x y z Ta chứng minh :  (Theo bất đẳng thức Côsi ) 1   9 x  y  z  x y z Mà : nên suy Bài toán 15.4 Chứng minh Lời giải: Đặt 10000001 20000001  10000002 20000002 x 10000002, y 20000002 1 y 1 x y x và 1 x y  x y Ta Giả sử 1 x 1 1 y 1     x x y y Vậy 16 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học phẳng Bài 16.1 : CMR tam giác nhọn thì tổng các trung tuyến nó lớn lần bán kính đường tròn ngoại tiếp C A1 B1 G A C1 B Lời giải: Gọi ma, mb, mc là độ dài ba đường trung tuyến và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC, ta phải chứng minh ma+ mb+mc>4R Vì  ABC là tam giác nhọn nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm tam giác ABCnếu G là trọng tâm tam giác ABC thì tâm nằm Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng ba tam giác tam giác GAB, tam giác GAC ,tam giác GBC Giả sử tâm O nằm tam giác GAB thì OA +OB=2R và GA+ GB > 2R mà GA= 2 AA1= ma ,GB= BB1 = mb Nên GA+GB > 2R  (ma+mb) >2R  ma+mb >3R Mà tam giác OCC1 có CC1 >OC  mc >R Do đó ma+ mb+ mc > 3R+R=4R Vậy ma+mb+ mc >4R Bài 16 2: Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh tam giác vuông đỉnh A hai điểm B và C , kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt các cạnh AB  AC  AB và AC M và N , chứng minh MB+NC< AB  AC Lời giải: A N C l M B Gọi I là tiếp điểm tiếp tuyến MN với đường tròn tâm O tính chất tiếp tuyên cho ta MB=MI ,NC=NI Từ đó MN=MB+NC tam giác vuông AMN thì MN< AM+AN Nên 2MN < AM+AN +BM+ CN =AB +AC AB  AC  MN< Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Ngoài tam giác vuông AMN ta có cạnh huyền MN>AM và MN> AN  2MN > AM+AN Vì MN=BC+CN Nên 3MN > AM+AN +BM+CN đó 3MN > AB+AC  MN > AB  AC AB  AC AB  AC  Vậy MB+NC< 17 Phương pháp dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa các số tự nhiên Bài toán : Cho a>b>0 CMR: a1996  b1996 a1995  b1995 a1996  b1996 > a1995  b1995 Lơi giải: Để chứng minh bất đẳng thức trên , ta chứng minh bất đẳng thức trung gian sau a > b > và m, n là hai số tự nhiên mà m>n thì a m  bm a n  bn  a m  b m a n  b n (1) Thật ta dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh a m  b m  2b m a n  b n  2b n  a m  bm a n  bn (1)  2b m 2b n 2b m 2b n 1 n  m  n m m  1- a  b a  bn a  bm a  bn Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng bm bm bn bn bm bn  m  n  m m  m n a b a n bn a b a b   b m bm bn b n 1  m  n am an a a 1 1  m 1  n 1 bm bn b b m n a a a a  m  n  ( )m  ( )n b b b b (2) a 1 b Bất đẳng thức (2) luôn đúng vì a > b > nên và m > n bất đẳng thức (1) luôn đúng a m  bm a n  bn  n m m a  b a  b n vối a> b > Áp dụng bất đẳng thức trung gian và m > n nên m=1996, n=1995 thì bất đẳng thức phải chứng a1996  b1996 a1995  b1995 a1996  b1996 > a1995  b1995 minh luôn đúng Ngoài còn có số phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức : Phương pháp Lượng giác hoá , sử dụng tính chất bất đẳng thức, kĩ thuật Côsi ngược dấu ta phải vào đặc thù bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Trong phạm vi nhỏ đề tài này không hệ thống phương pháp đó PHẦN III ỨNG DỤNG CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÁC Chủ điểm 1: Ứng dụng bất đẳng thức côsi để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Bài toán 1.1 Tìm giá trị nhỏ Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng A   x x với  x  Lời giải: Để áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta xét biểu thức 2x  x B  1 x x 2x 1 x Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương  x và x có 2x  x B 2 2 1 x x  2x  x  (1)  B 2  1  x x 0  x  (2) 2x (1  x)  x 1  x Giải (1) ta Do  x  nên x 1  x  x   21 1 Như B 2  x   Bây ta xét hiệu A  B   2x  x   2x   x  A  B        x  1 x x  1 x x   1 x 2  3 Do đó A 2  và x   Khai tác bài toán: Tương tự trên ta có thể tìm giá trị nhỏ A (x  a)(x  b) x Hướng dẩn: Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng ( x  a )( x  b) x  ax + bx +ab  ab  A   x    (a  b) x x x   Áp dụng bất đẳng thức Côsi Bài toán 1.2 Cho các số dương a, b,c thoả mản a  b  c 1 Tìm giá trị lớn Phân tích: 1 P (1  )(1  )(1  ) a b c abc 1  3 abc Từ a, b, c  suy Do đó có thể khai triển biểu thức P ước lượng theo bất đẳng thức Côsi Lời giải: P 1       a b c ab ac bc abc Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta có: a  b  c 3 abc  3 abc  abc  33  33 (1) abc   3 ( )2 32 abc Mặt khác: ab ac bc ;   3 3 a b c abc P 1  32  33 (1 3)3 64 Vậy Cách Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng P a 1 b 1 c 1  (a 1)(b 1)(c 1)  a c b abc = (a  a  b  c)(b  a  b  c)(c  a  b  c) abc 34 4 4 a b c 4 64 abc Khai thác bài toán: Ta có bài toán tổng quát: Cho số dương a, b, c có S a  b  c f (a,b,c) (1 )(1 )(1 1) a c b Tìm giá trị lớn của, Bài toán 1.3 Tìm giá trị lớn B y x  x y Lời giải: ab  a b với a Bất đẳng thức Côsi cho phép làm trội môt tích x  1, y  và b không âm Ta xem các biểu thức là các tích 2(y  2) y  x   1(x  1) và Theo bất đăng thức Cô-si 1(x  1)  x  1 x1    x x 2x y 2(y  2)  y  2     y y 2y 2  x  1 2 max B      y   2 4   x 2   y 4 Bà toán 1.4 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x y z A   x  y y  z z  x biết x, y, z > , Tìm GTNN xy  yz  zx 1 2 Lời giải: Ta có: x y z x yz    xy yz zx 2 Theo bất đẳng thức Cauchy : xy y z zx  xy ;  yz ;  zx 2 xy  yz  zx x+y+z   2 Nên Vậy 1  x y z  A = xy yz zx   z x y với Tìm GTNN x, y,z  0; x  y  z 1 A Bà toán 1.5 Lời giải: xy yz xy yz  2 2y z x z x Theo bất đẳng thức Cauchy : yz zx zx xy  2z ;  2x x y y z Tương tự : 2A  2(x  y  z) Suy A = với x y z  Chủ điểm II Ứng dụng bất đẳng thức bunhacôpski để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Bài toán 2.1 Tìm giá trị nhỏ A   x x với  x  Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski cho cặp số (a  b )(m  n ) (am  bn) , ta có 2    1           x   x       (1  x) 1     1 x  x   1 x x     x 2      x  x    x  1 x  2 2  A.1 3  2 Xảy đẳng thức và khi:  x(  1) 1  x   Vậy A 3  2 và x   Bài toán 2.2 Gi¶ sö x, y 0 tho¶ m·n : x  y 1 a ) Chøng minh r»ng x  y  b ) TÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc : P   2x   y Lời giải: 0  x 1  x  x x, y 0; x  y 1   0  y 1  y  y Ta có 2  x  y x  y hay x  y 1  x  y Vậy b)  12  12   x  y  2  x  y   x  y  x  y    2x   y  2   x  y  4    2x   y 2  x y  Dấu “=” xảy và Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Nên giá trị lớn p là  Bài toán 2.3 x y  a6 b6 c6   3 3 b  c c  a a  b đó Timg giá trị nhỏ a, b,c là só thực dương thoả m ãn điều kiện a  b  c 1 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski  b3  c3  c3  a  a  b    2  a   b   c   3  3      b  a  c      3   b  c   c  a   b  a         Hay b6 c6   a6 3 2  a  b  c   3    a  b  c    3  b c c a a b  3 b6 c6   a  b  c   a6  3    I 3  b  c c  a a  b   3 Lại Có  a  b  c   a  a  b  c  (II) 3  1 1  a 2    2     b    c   a    b    c   3  b  c2   a  b  c  1   a  b  c2   (III) Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng b6 c6   a6  3   3  b  c c  a a  b   18 Từ (I), (II), (III) a b c  Khi b6 c6   a6 a b c   b3  c3  c3  a  a  b3  18  Vây  Chủ điểm III Sử dung bất đẳng thức để giải phương trình - Kiến thức : Nhờ vào các tính chất bất đẳng thức , các phương pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) phương trình sau đó suy luận để nghiệm phương trình Nếu VT = VP giá trị nào đó ẩn ( thoả mãn TXĐ) => phương trình có nghiệm Nếu VT > VP VT < VP giá trị ẩn => phương trình vô nghiệm - Các ví dụ : Bài toán 3.1 Giải phương trình x   x  x  8x 18 Phân tich: Xét thấy x  8x 18 (x  4)  2 Vì chúng ta có thể tìm giá trị lớn vế trái so sánh giá trị bé vế phải Lời giải: Điều kiện: x 5 2 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Vế phải (VP ): x  8x 18 (x  4)  2 Dấu “=” xảy  x 4 Đánh giá vế trái (VT ) theo bất đẳng thức Bunhacôpski: 2 ( x  3.1  x.1)2 (x    x)(12 12 ) 4 x -3   x 2  x    x  x  5  x  x 4 1 Dấu “=” xảy Ta có VP 2; VT 2  VP 2   x 4   VT 2 Vậy VP = VT   Kết luận: Phương trình có nghiệm x 4  Khai thác bài toán: Ta có bài toán tương tự xuất phát từ vế phải là bình phương “thừa”, chẳng hạn giải phương trình: x    x x  6x 11 Tổng quát: Giải phương trình sau với  a  b : x  a  b  x x  a b a  b b a x 2 2 Bài toán 3.2 Chứng tỏ phương trình vô nghiệm vì có vế luôn nhỏ vế Giải phương trình x  1 5x   3x  (1) Lời giải: Điều kiện xác định (1) là x 1 Với điều kiện này thì x  5x , đó x   5x  suy vế trái (1) là số âm, còn vế phải không âm Phương trình vô nghiệm Bài toán 3.3 Sử dụng tính đối nghịch vế Giải phương trình: Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 3x  6x   5x 10x 14 4  2x  x (1) Lời giải: 2 3( x  1)   5( x  1)    5 Vế trái  2x  x =  (x 1) 5 Vế phải Vậy hai vế (1) bàng 5, đó x  Kết luận: x  Khai thác bài toán Tương tự bài toán trên chúng ta có thể chứng minh các bất đẳng thức sau 1) 2) x   x  x  16x  66 2x   x   x 1 x   x   (x  1)(x  3x  5) 4  2x 3) Bài toán 3.4 Sử dụng tính đơn điệu hàm số giải phương trình 2x 1  x 1 (1) Lời giải: Ta thấy x 0 là nghiệm đúng phương trình (1) Với x  thì 2x 1 1, 2x 1 1 , x  nên vế trái (1) lớn x  nên vế trái (1) nhỏ Với x  thì Vậy x 0 là nghiệm đúng phương trình (1) Bài toán 3.5 Giải phương trình : 3 13 x  + x  = 16x Lời giải: Điều kiện : x  (*) Cách : Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13 x  + x  1 x x 1 = 13.2 + 3.2  13( x - + ) + 3(x + + ) = 16x Dấu '' = '' xảy Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng  x      x 1 3  x=  +  thoả mãn (*) Phương trình (1) có nghiệm  dấu '' = '' (2) xảy Vậy (1) có nghiệm x = Chủ điểm IV Dùng bất đẳng thức để giải hệ phương trình - Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi phương trình hệ , suy luận và kết luận nghiệm Lưu ý : Một số tính chất : a2 + b2  2ab a + c < ; c > => a < b a 1 b a > b > - Các ví dụ : Boài toán 4.1 Giải hệ phương trình : (1)  x  y  y  0  2  x  x y  y 0  x3 = - - 2(y - 1)2  x3  x  - (*) 2y x2   y  ( vì + y2  2y)  -1  x  (**) Từ (*) và (**) => x = -1 Thay x = -1 vào (2) ta có : y = => Hệ phương trình có nghiệm : x = -1 ; y = - Kiến thức : Biến đổi phương trình hệ , sau đó so sánh với phương trình còn lại , lưu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc (2)  - Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Bài toán 4.2 : Giải hệ phương trình :  x  y  z 1  4  x  y  z  xyz Lời giải: Áp dụng : BĐT : A2 + B2  2AB dấu '' = '' xảy A = B Ta có : x4 + y4  2x2y2 ; y4 + z4  2y2z2 ; z4 + x4  2z2x2 => x4 + y4 + z4  x2y2 + y2z2 + z2x2 (*) Mắt khác : x2y2 + y2z2  2x2yz y2z2 + z2x2  2xy2z x2y2 + z2x2  2xyz2 => 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 )  2xyz(x + y + z) = 2xyz => x2y2 + y2z2 + z2x2  xyz (**) 4  Từ (*) và (**) => x + y + z xyz Dấu '' = '' xảy : x = y = z mà x + y + z = nên : x=y=z= Vậy hệ phương trình có nghiệm : x = y = z = Cách 2: Áp dụng BĐT Côsi ; - Kiến thức : Dùng phương pháp Bài toán 4.3 Giải hệ phương trình x  y  z 14   1 x y z  (    x y z )(   ) 1  (với x, y, z > 0) Lời giải: a b  2 Áp dụng : Nếu a, b > thì : b a (   )(3 x  y  z ) 36 (2)  x y z Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x y x z y z (  )  3(  )  2(  ) 22 z x z y  y x x y (  ) 12 Mặt khác : vì x, y, z > nên y x x z 3(  ) 6 z x ; z y 2(  ) 4 y z x y x z y z (  )  3(  )  2(  ) 22 y x z x z y Dấu '' = '' xảy x = y = z , thay vào (1) ta : x + x2 + x3 = 14 <=> (x - 2)(x2 + 3x + 7) = <=> x - = <=> x = Vậy hệ phương trình có nghiệm : x = y = z = Chủ điểm VI Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên Ngoài còn có số ứng dụng khác bất đẳng thức , đòi hỏi học sinh phải linh hoạt và sáng tạo giải , học sinh phải nắm các kiến thức bất đẳng thức thì vận dụng Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên Bài : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 1   x y z =2 Lời giải: Không tính tổng quát , ta giả sử x  y  z , ta có : Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1   x y z 2= z => 2z  , mà z nguyên dương Vậy z = Thay z = vào phương trình ta :  1  1 x y 1  Theo giả sử , x  y , nên = x y  y Y nguyên dương nên y = y = Với y = không thích hợp Với y = ta có : x = Vậy (2 ; ; 1) là nghiệm phương trình Hoán vị các số trên , ta nghiệm phương trình là : (2 ; ; 1) ; (2 ; ; 2) ; (1 ; ; 2) Chủ điểm VII Áp dụng các bất đẳng thức và các mệnh đề khác để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ *> Các định lý Mệnh đề Nếu tổng các số thực dương x1, x , , x n số thực dương cho trước thì tích chúng lớn x1 x  x n Chứng minh: Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: S x1  x   x n  n x1x x n n n  S  x1x x n     n n Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x x  x n Với S đã cho, Dấu “=” xảy và đó tích có giá trị lớn Tổng quát hơn, ta có định lý sau: Định lí Nếu n số thực dương x1, x , , x n có tổng S không đổi thì m1 x m x mn P  x n tích có giá trị lớn x1 x x    n m1 m mn m Trong đó i là các số hữu tỉ dương cho trước Một cách đối ngẩu ta có: Mệnh đề 3: Nếu tích các số dương x1 , x , , x n số cho trước thì tổng chúng bé x1 x  x n Chứng minh hoàn toàn mệnh đề Một cách tổng quát, ta có định lý sau Định lý Nếu n số thực dương x1 , x , , x n có tích trị nhỏ P x1m1 x 2m2 x n mn không đổi thì tổng S = x1  x1   x n x1 x x    n mn có giá m1 m (trog đó m1,m2 , ,m N là các số hửu tỉ dương) Bài toán 4.1 Trong tất các hình chử nhật có chu vi cho trước, hình nào có diện tích lớn ? Lời Giải: Giả sử x, y là độ dài hai cạnh kề hình chử nhật, 2S là chu vi nó, P là diện tích Ta có x  y S,xy P Với tổng đã x y S , tức là hình cho, tích P sẻ có giá trị lớn Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng chử nhật là mộ hình vuông Bài toán 4.2 Giá trị nhỏ hàm số sau đạt nào ? y (a  x)(b  x) , a, b, x  R  x Lời giải: ab  x y ab  x  a  b x Ta có bé x bé ab x ab Tích x không đổi, nên y có giá trị bé ab x x tức là ab x Bài toán 5.3 Từ hình vuông cạnh a , hãy cắt bốn góc hình vuông cạnh x cho gấp lại thì cái hộp có thể tích lớn (không có mép) Lời giải: Diện tích mặt đáy hình hộp (a  2x) , độ cao x , thể tích cái hộp là: V x(a  2x) 2V  (2x)y y a  2x Đặt = thì thu Ta có 2x  y a không đổi Vậy 2V b  4ac (do đó, V ) sẻ có giá trị lớn x a Từ đó 2x y 2x a  2x tức là Bài toán 4.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ A x   y  đó x  y 5 Lời giải: a  b a  b a) Áp dụng A  x   y  6  Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng max A 6  chẳng hạn x  2, y  x  y  x  y b) Áp dụng chất trị tính tuyệt đối A x   y  4  A 4  2 chẳng hạn x 2, y 3 Khai thác bài toán Bằng cách áp dụng bài toán trên ta có thể tính giá trị nhỏ 2 a) A  x  2x   x  6x  b) B  x  x   x  x  c) C  x   2x   4x   5x  10 Bài 4.4 Tìm gia trị nhỏ biểu thức  x10 y10  16 Q       x  y16     x y  2 y x  Lời giải:  x10 y10  4 12 12    x y dÊu b»ng x y 2 y x  16 x  y16   x y8 dÊu b»ng x16 y16  2  Q  x y8  x y    x y  2 1   x y8  2x y  1    x y   2  2 4 x y  1   x y  1   2 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng l¹i cã: 12  12  x y2      12   x y    hay x y   x y   4 x y    Q  2 2    dÊu b»ng x y 1   x y  1 2 1 4 2 2 1 5 x y   x y     x y       8  2       dÊu b»ng x y 1 x y 1 PHẦN IV BÀI TÂP TỔNG HỢP I> CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1> Chứng minh các bất đẳng thức: VËy Q  a) x  x 1  ; b) x  x 1  ; 2> Chứng minh các bất đẳng thức: 2 2 a) (x  y  z) 3(x  y  z ) ; 3 b) a  b  abc ab(a  b  c) với a, b, c  ; 3> Cho a  2004  2003,b  2005  So sánh a và b , số nào lớn 2004 1 1     1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 4> Cho Chứng minh A 1,999 5> Chứng minh với số nguyên dương n : a) A 1,999     2 (n  1) n b) 6> Chứng với số tự nhiên n 2 có A Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng n        n n 7> Chứng minh với số nguyên dương n     n n n 1 a       25  24 1 2 3 24  25 8> Cho a2 Chứng minh A 1 2n  (n  N,n 2) 46 2n 9> ) Cho Chứng minh rằng: ; 2n 1 a) A ; 3n 1 b) A 10> Chứng minh các bất đẳng thức sau với các số dương a, b, c, d : (a  b)(c  d)  ac  bd 11> Chứng minh bát đẳng thức sau a  b2  c2  d a  b  c  d a b b c c d d a Với các số dương a, b, c, d 12> Chứng nêu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài thành tam giác a , b, c củng lập 13> Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác Chứng minh 2(a  b  c)  a  b2  b2  c2  a  c2  3(a  b  c) 14> 108) Cho các số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức a  b  c 2 a c b c a b Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 15> Cho các số dương a, b, c, d Chứng minh a  b  c  d 2 b c c d d a a b 16> Chứng minh bất đẳng thức x  y  3  x  y    2 y2 x2  y x 17> Chứng minh bất đẳng thức a b  ( a  b) ab  8b với a,b  a b c d    1 a, b, c, d  a  b  c  d 18> Cho các số dương Biết abcd  81 Chứng minh 19> Chứng minh bất đẳng thức x y2 z2 x y z      y z x y z x với các số dương x, y, z Bằng cách vận dụng các bất đẳng thức Cô-si và Bunhacôpski 3 20> Cho a     21> Chứng minh a) 3, b 2 3 Chứng minh a  b       (vế trái có 100 dấu căn) 2      b)      ( tử có 100 dấu căn, mẩu có 99 dấu căn) 22> a) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có n  1 1    n Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng b) Chứng minh các số có dạng n 2 ) số n n ( n là số tự nhiên, có giá trị lớn 23> Cho a, b, c là các số thực không âm và a  b  c 1 Chứng minh a   b   c   3,5 ; a) a b  b c  c a  24> ) Cho a, b, c là cạnh tam giác còn x, y, z là số thoả b) mản điều kiện ax  by  cz 0 Chứng minh xy  yz  xz 0 (1) 25> Cho a  36 và abc 1 Chứng minh a2  b  c  ab  bc  ca 26> Cho (a  c)(a  b  c)  Chứng minh (b  c)  4a(a  b  c) 27> Cho các số a, b,c,d,m, n thoả mãn: m  n  a  b  c  d  Chứng minh (m  a  b )(n  c  d ) (pq  ac  bd) 28> Chứng minh với a, b,c ta có: 19a  54b  16c2  36ab  24bc  16ca 0 29> Chứng minh với a, b, c ta có: a) a  b  c 3 (a,b,c  0) b c a b)a  b2  c2 ab  bc  ca 30> Chứng minh các bất đẳng thức a) a  b 1  ab đó a 1, b 1 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1    b  ab b) Với a  b  thì  a 31> Chứng minh các bất đẳng thức (a  b)(b  d)  ab  cd ( a, b, c, d > 0) 32> Chứng minh các bất đẳng thức a m  bm a n  bn  n m m a  b a  b n với a > b > 0, m, n N a) n n n x  và n  N, n >1 (1  x)  (1  x)  b) với 33> Chứng minh các bất đẳng thức sau với a, b, c 2 2 a) a  b  ab  a  b b) a  b  ab  2(a  b) a2  b  c2 ab  ac  2bc c) 34> Chứng minh với x y ta có x  5y  4xy  2x  6y   35> Nếu a + b = Chứng minh 36> Chứng minh rằng: x2  2 x  R a) x  x 8 6 x  b) , x  a4  b4  c) (a  b)(ab  1) 4ab, a,b  37> Chứng minh a) (a  b)(b  c)(c  a) 8abc 2 2 2 b) a (1  b )  b (1  c )  c (1  a ) 6abc 2 x  2y  38> a) Cho x  y 1 Chứng minh Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 2 2x  3y  b) Cho 2x  3y 5 Chứng minh 39> Chứng minh 1 25 )  cos x  )  sin x cos2 x 2 2 40> Cho a  b  c  d 1 Chứng minh (x  ax  b)2  (x  cx  d ) (2x  1)2 x  R (sin x  41> Chứng minh 1 1      n  n  n  2n a) 1 n     n n b) a ,a ,a , a n Chứng minh 42> Cho n số dương 1 1    a1 a an  a a1a a n ( Vế trái gọi là trung bình điều hoà a1 ,a ,a , a n ) 1   4 x y z 43> Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: 1 CMR: 2x  y  z + x  2y  z + x  y  2z ≤ x  y 10 44> CMR: thì x - 2y  200 45> Tích số dương lớn tổng chúng CMR: tổng chúng lớn 3 x  y  x  y 46> / Các số dương x, y thoả mãn: CMR: 47> CMR: x  y3 2 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a  b  c4  abc  a  b  c    ab  bc  ca  48> Tìm tỉ số lớn số có chữ số với tổng các chữ số nó 49> Giả sử a, b, c là các số dương, biết abc 1 CMR: a  b  c 3 1 1 1 37        98 100 120 50> CMR: 51> Giả sử a, b, c thoả mãn bất đẳng thức: a  b  c   ab  ac  bc  abc   CMR: a > 0; b > 0; c > 52> Có thể có các cạnh x, y, z tam giác, thỏa mãn bất đẳng thức: x  y3  z3  2xyz x  y  z   y  z  x   z  x  y  53> CMR:  a  b   b  c   c  a  abc 5 Với a, b, c là độ dài các cạnh tam giác 2 2 x  x  x  x  x x1  x  x  x  x  54> CMR: 55> Giả sử a, b, c là cạnh tam giác, chứng minh bất đẳng thức: a3+b3+3abc > c3 ab  bc  ca c 56> Chứng minh bất đẳng thức: với a ,b là cạnh góc vuông tam giác ABC, còn c là cạnh huyền 57> CMR: Với các số dương a, b, c không vượt quá ta có bất đẳng thức: 58> a b c   2 bc  ac  ab  Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Cho c¸c sè x, y, z  vµ x  y  z 1 Chøng minh r»ng : x  2y  z 41 - x 1  y 1  z  59> Cho a  b  c  d 2 Chứng minh a  b  c  d 1 60> Cho hai số dương a,b thoả mản a  b 1 Chứng minh 2 1  1 25  a   b   a  b  60> Cho ba số dương a, b,c thoả mãn a  b  c 1 Chứng minh a  b 16abc 61> Cho số dương a, b,c thoả mản a  b  c 2  2 a  b  c 2 Chứng minh a, b, c   0;1 ta luôn có 62> Chứng minh với   a  b  c  4  a  b  c  63> Cho a, b,c là số dương Chứng minh b c a bc   c a abc 64> Cho các số dương a, b,c thoả mãn abc 1 Chứng minh a3 b3 c3    1  b 1  c 1  a  1  c 1  a  1  b a,b,c  65> Cho a, b thoả mãn ab. a  b  a  b 1 Chứng minh  64 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 66> Cho x  R thoả mãn x  Chứng minh x4 1 2 x3  x 67> Cho < a, b, c, d <1 Chứng minh rằng: Ít có bất đẳng thức sau là sai : 2a(1 - b) > 3b(1 - c) > 8c(1 - d) > 32d(1 - a) > 69> Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh tam giác ) Chứng minh : 1   2 (   ) p a p b p c a b c II> TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT 2 70> Tìm giá trị nhỏ A  x  x   x  x  71> Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn của: a) A   x   x b) B  x    x 72> Tìm giá trị lớn A 2x   x 73> Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn của: 74> Tìm giá trị nhỏ A x  y biết x, y là các số dương thoả mãn a b  1 (a,b  0) x y 4 75> Tìm giá trị nhỏ A x  y  z biết xy  yz  xz 1 2 A  x  y x  4y 1 76> Tìm giá trị lớn biết Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng b c  cd a b 77> Tìm GTNN với b  c  a  d ; b,c  0; a,d 0 Tìm giỏ trị nhỏ A x  y với x  y 4 A 78> Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x  x2  x  x  x  1  với x  R 79> Giả sử x, y,z là các số dương thay dổi và thoả mãn điều kiện xy z  x z  y 3z Hãy tìm giá trị lớn biểu thức z4 P  z  x  y4  80> Tìm giá trị nhỏ biểu thức x P  y3    x  y   x  1  y  1 Trong đó x, y là số dương lớn 81> Với giá trị x thoả mãn: biểu thức x  , hãy tính giá trị lớn f  x   2x  5x   x   2x Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng T  x y x z    82> Tìm giá trị nhỏ biểu thức Trong đó x, y, z la nhửmg số dương thoả mản điều kiện  x  y  z  xyz 1 83> T × m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc :  x10 y10  Q =  +  + x16 + y16 - 1+ x y 2 y x     84> Giả sử a, b,c là số thực dương thoả mãn điều kiện b + c2 a Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 2 1 2 b + c + a +    2  a2 b c  85> Cho x  R thoả mãn x  Chứng minh x4 1 2 x3  x 86> Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x   x  2x  2 87> Tìm giá trị nhỏ nhấ, lớn biểu thức A  x 1 y 89> Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x x  x2 x 90> Tìm giá trị nhỏ biểu thức A   x  4x  12  91>  x  2x  Tìm giá trị lớn các biểu thức biết x  y 4 a) A  x 1 y B y x  x y b) 92> Tìm giá trị nhỏ biểu thức Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng A 3x  3y với x  y 4 93> Tìm giá trị nhỏ biểu thức A III b c  cd a b với b  c  a  d; b,c ; a,d 0 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH x  +  2x x  +  2x - x2 + 4x - = (*) 94> a) Tìm giá trị lớn L = 95> b Giải phương trình : Giải phương trình : 6 x + x  = x2 - 6x + 13 96> Giải phương trình : x  12 x  16 + I y  y  13 = PHẦN V HƯỚNG DẨN GIẢI BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC 1> a) x  x 1  ; a Hướng dẩn: b)   x   0   2 Biến đổi  a  b  a  b  a với a, b  Hướng dẩn: 2> Hướng dẩn: Biến đổi tương đương 2 2 Xét hiệu 3(x  y  z )  (x  y  z) 3> Hướng dẩn: 1  2004  2003,  2005  2004 b Cách 1: a Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1 So sánh a và b Cách 2: Ta có Nên 2003  2005  2004 2003  2005  2004  2004 Do đó 2005  Tức là b  a 4> Hướng dẩn: 2004  2004  2003  Dùng bất đẳng thức ab a  b chúng minh mổi số hạng A  0,001 5> a) 1 1     1 1   (n 1) n  n n 1 Hướng dẩn: Ta có 1  (n  1) n  n n  n n  1( n   n) = Dể dàng giải tiếp n 1  n   n n  n n 1     2 (n  1) n b) Hướng dẩn: Ta có Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1   1  n    n (n  1) n  n n  1   n  1     1    n  n n       = 1     n n 1   n  n   n 1    n 1  Dể suy điều cần chứng minh 6> Hướng dẩn:      n Ta có Đặt a  1 1    a n  n n nên n 2   2( n  n n n n Mặt khác n n  1) Nên a  n 7> Hướng dẩn: Dùng phương pháp quy nạp toán học Với n k  Sk 1 Sk  k  k k 1  k 1 Cần chứng minh: k k 1 k 2  k  (k  1)  2k 3k 2 Cách 2: Với n 1 bất đẳng thức đúng Với n 2 áp dung bất đẳng thức Bunhacôpski 8> Hướng dẩn: Xét Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng n 1  n n 1  n n 1  n n 1  n    n  (n  1) 2n  4n  4n  4n  4n 1 1      2 n n 1  9> Hướng dẩn: Ta có 2n  A  2n 2n A  n 1  A2  2n  Suy điều cần chứng minh 10> Hướng dẩn: Bình phương hai vế rút gọn, ta bất đẳng thức tương đương (ad  bc) 0 11> Hướng dẩn: Áp dụng Cô-si 12> Hướng dẩn: Giả sử a b c  Theo đề bài: c  b  a suy b  c  bc  a  b c a 13> Hướng dẩn: Lần lượt chứng minh a  b  b  c  c  a  2(a  b  c) (1) a  b  b  c  c  a  3(a  b  c) (2) 2 Chứng minh (1) Dể thấy (a  b) 2(a  b ) nên a  b  2(a  b2 ) Tương tự c  b  2(c  b ) Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a  c  2(a  c2 ) 2(a  b  c)  a  b  b  c  a  c Chứng minh (2): Do a, b, c là độ dài cạnh tam giác nên Suy (a  b)2  c2  a  b  c  2ab  a  b2  c2  2ab Tương tự b  b  a  2cb a  c2  b  2ac Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được: 2(a  b  c)  a  b2  b  c2  a  c2 2 (3) Dể dàng chứng minh (x  y  z) 3(x  y  z ) nên (x  y  z)  3(x  y  z ) Áp dụng bất đẳng thức trên ta chứng minh được: a  b  b2  c2  a  c2  3(a  b  c) (4) Từ (3) và (4) suy điều cần chứng minh 14> Hướng dẩn: Theo bất đẳng thức Cô-si (b  c) bca  b c    1 :  a 2a  a  2a  b  c a  b c 2b b  a  c a  b c 2c c  b  a a b c a Do đó Tương tự Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a  b  c 2 a c a b Cộng vế ta b  c a b  c  b a  c  a  b  c 0 c a  b Dấu “=” xảy và  tráivới giả thiết a, b, c là các số dương Vậy đẳng thức không xảy 15> Hướng dẩn:  xy (x  y) Áp dụng bất đẳng thức với x  0, y  thì a c a  ad  bc  c2 4(a  ad  bc  c )    b c d a (b  c)(a  d) (a  b  c  d) (1) 2 b d 4(b  ab  cd  d )   d  c b  a (a  b  c  d) Tương tự (2) Cộng (1) và (2) ta 2 2 a  b  c  d 4(a b c d ad bcabcd) 4B b c c d d a a b (a bcd) B 2  (a  c)  (b  d) 0 đúng Ta chứng minh Dấu “=” xảy và a c và b d 16> Hướng dẩn: x y  a y x Đặt x2 y2  2 2 y x Chứng minh nên a 4 đó a 2 a 2 (1) Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a   3a  a 2 a 1 (2) Từ (1) và (2) suy điều cần chứng minh 17> Hướng dẩn: a b  Ta có  a b  Cần chứng minh ninh 18> Hướng dẩn: Từ giả thiết ta có: ab  a  b  ab  2 a  b   8b  a b  2 suy điều cần chứng b c d a   1   b 1 c 1 d 1 a 1 a 1 Áp dụng bất dẳng thức Cô-si cho số dương ta có b c d bcd    33 a 1 b 1 c 1 d 1 (b  1)(c  1)(d  1) acd 33 b 1 (a  1)(c  1)(d  1) Tương tự abd 33 c 1 (a  1)(b  1)(d  1) abc 33 d 1 (a  1)(c  1)(b  1) Nhân vế bất đẳng thức, ta 81abcd nên 19> Hướng dẩn: A x2  y2  abcd  81 z2 y z x Gọi Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x y z 3A      y z x (1) Áp dụng bất dẳng thức Cô-si với số x, y, z không âm, ta x y z x y z   33 3 y z x y z x (2) x y z A   y z x Nhân vế (1) và (2) ta 20> Hướng dẩn: Đặt x 3  3 , y   3 thì x  y3 6 b3  a3 suy điều cần chứng minh Bằng cách xét hiệu 21> Hướng dẩn: a) Kí hiệu a n      ( có n dấu căn) Ta có a1   a   a1   2 a   a   2 a100  a  99   2 b) Hướng dẩn: Với kí hiệu câu a thì tử là  a100 tử là  a 99 2  (a 2100  2) 4  a 2100 2 a  a  a 100  a Đặt , cần chứng minh 22> Hướng dẩn: Theo quy nạp Với n 2 ta có : Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng n n(n  1) n(n  1)(n  2) n(n  1).2.1  1 2   n    1  n  n 2! 3! n!  n n n n 1 1         n!   2! 3! Dể dàng chứng minh 1 1 1        2! 3! n! 1.2 2.3 n(n  1) 1 1 1 1       1   2 n n n n  1 1   n Do đó  23> Hướng dẩn: a) Cách 1: Ta nhìn tổng a  dạng tích 1( a  ) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: a   1(a  1)  (a  1)  a  1 2 b b 1  1 Tương tự c c   1 Cộng vế theo vế ta a   b   c  3,5 Dấu “=” xảy và a  b  c   a b c 0 trái với giả thiết a  b  c 1 suy a   b   c   3,5 a  x; b  y; c  z áp dụng bất Cách 2: Đặt đẳng thức (x  y  z) 3(x  y  z ) (Dể chứng minh được) Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Suy điều cần chứng minh b) Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski với hai số (1; a  b); (1; b  c); (1; a  c) suy điều cần chứng minh Cách 2: Đặt a  b x; b  c y; a  c z 2 2 Áp dụng bất đẳng thức (x  y  z) 3(x  y  z ) suy điều phải chứng minh 24> Hướng dẩn: ax  by c Từ ax  by  cz 0 ax  by  xy  xz  yz xy  (x  y) 0 c Vậy (1)  ax  xy(a  b  c)  by 0 (2) Nếu y 0 thì (2)  ax 0 đúng  (1) đúng  z  Nếu y 0 , đó x x  a    (a  b  c)  b 0 (3) y  y (2) x Ta xem vế trái (3) là tam thức bậc hai y có hệ số x  y   là a  và (a  b  c)  4ab a  b  c  2ab  2ac  2bc Từ Tương tự b  c  a  b  2bc  c  a a  2ac  c  b Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a  2ab  b  c Vậy a  b  c < 2ab  2bc  2ac  a  b  c  2ab  2bc  2ac  Nên vế trái (3) luôn lớn Suy (1) chứng minh Dấu “=” xảy x y z 0 25> Hướng đẩn: Từ abc 1 Ta có:  bc  a và a  36 nên chắn là a  a2  (b  c)2  2bc  bc  a(b  c) a2  (b  c)  a(b  c)  3bc  > (1) a2 f (x) x  ax  3bc  ta có hệ số Xét tam thức bậc hai x là > 4a 36  a a   12bc 0 3a Và Theo định lý thuận dấu Tam thức bậc hai thì f (x) >0 với x a2 f (a  b) (b  c)  a(b  c)  3bc    (1) đúng Suy Suy điều cần chứng minh 26> Hướng dẩn: Nếu a 0 thì từ giả thiết ta có c(b  c)  (1) Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng (b  c)  Từ (1) suy b c Vậy (2) đúng suy (1) đúng (2) Nếu a 0 xét tam thức bậc hai f (x) ax  x(b  c)  a  b  c Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Từ f (0) a  b  c;f (  1) 2(a  c) suy từ giả thiết ta có f (0)f (  1)  Theo định lý đảo dấu tam thức bậc hai suy phương trình f (x) 0 có hai Nghiêm phân biệt Hay (b  c)  4a(a  b  c)   (b  c)  4a(a  b  c) Suy điều cần chứng minh 27> Tự giải 28> Tự giải 29> Hướng dẩn: a) Dùng bất đẳng thức Côsi cho phần tử b) Tính hiệu a b c , , b c a a  b  c2  (ab  bc  ac)  1  a  b    a  c    b  c   0 30> Hướng dẩn: a) Bình phương vế b) Chuyển vế, đưa vì a b 1 nên ab 1  b  a   ab  1 0   ab    a    b  là đúng 31> Hướng dẩn: a) Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho ba phần tử a, b, c và 1 , , a b c b) Bình phương vế để đến kết đúng ab  cd 2 abcd 32> Hướng dẩn: a) Vì a m  b m  0,a n  b n  nên bất đẳng thức cần chứng Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng minh tương đương với (a n  b b )(a m  b m )  (a m  b m )(a n  b n ) Khai triển ta bất đẳng thức đúng b) Đặt a 1  x, b 1  x đó a,b  n n n 2n (a  b) n na   b  nab    b A Ta có: n n n Do a,b  nên A  Vậy  a  b (ĐPCM) 33> Hướng dẩn: a) Nhân hai vế với 2, ta có bất đẳng thức đúng  a  b    a  1   b  1 0 b) Nhân hai vế với 2, ta có bất đẳng thức đúng  a  b    a     b   0 a    b  c  0  c) Tương đương với  , đúng 34> Hướng dẩn: Dùng tam thức bậc hai với ẩn x có  là tam thức bậc hai y ,  0 Ta có y , từ đó suy điều phải chứng minh 35> Hướng dẩn: Chỉ cần chứng minh cho trường hợp a, b có cùng dấu dương Trường hợp trái lại thì bất đẳng thức hiển nhiên Ta có a  b  a  b   2ab 1  ab a  b (a  b)  2a b (1  2ab)  2a b (1) ab  Vì a  b 1 và a  b 2 ab nên ab  vào (1) ta được: Thay Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1   1 a  b (1  2ab)  2a b     2.   4   4 4 2 36> Hướng dẩn: a) Dùng bất đẳng thức Côsi cho hai số x  và b) Dùng bất đẳng thức Côsi cho hai số x   và c) Dùng bất đẳng thức Côsi, ta có a  b 2 ab và ab  2 ab Nhân vế, ta có ĐPCM 37> Hướng dẩn: a) Ta có a  b 2 ab , c  b 2 cb , a  c 2 ac Nhân vế với các bất đẳng thức trên, ta ĐPCM b) Khai triển vế trái, dùng bất đẳng thức Côsi cho số và để ý 6 a b 6c 6abc, a, b, c 38> Hướng dẩn: a) Dùng bất đẳng thức Côsi-Bunhacôpski, ta có  x  y   12  22  x  y2 5  2 x  y 1 ) (do x  2y  Vậy b) Dùng bất đẳng thức Côsi-Bunhacôpski, ta có  2x  3y     2x 2 3y     5 2x  3y             Từ đó suy ĐPCM 39> Hướng dẩn: Dùng bất đẳng thức Côsi-Bunhacôpski cho các số 1;1;sin x  sin x ;cos x  cos x ta có Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng  2         sin x     cos x      sin x   cos x    2  2 1      sin x   cos x       2   sin x cos x   sin x     25 Từ đó suy ĐPCM 40> Hướng dẩn: Dùng bất đẳng thức Côsi-Bunhacôpski cho các số x,a,b và x, x, ta có:  x  ax  b   x  a  b2  x  x 1 (1) Áp dụng cho x, c, d và x, x, ta có:  x  cx  d   x  c2  d2  x  x  1 (2) Cộng vế với vế (1) và (2) ta có:  x  ax  b  x  cx  d     x 1 x  a  b2  c2  d   2x   41> Hướng dẩn: a) Ta có 1  n  2n 1  n  2n 1  n  2n Cộng vế theo vế ta thu điều cần chứng minh Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng b) Ta có 22 1 1    2.3 3 1 1    3.4 4  Cộng vế với vế với vế ta điều cần chứng minh 42> Hướng dẩn: a) Dùng bất đẳng thức Côsi cho n số dương 2 2 a ,a ,a , ,a n n b) Dùng bất đẳng thức Côsi cho số dương và chất khai bậc bất đẳng thức có hai vế dương 43> Hướng dẩn: - Cách 1 1 1 1 Ta có : 2x  y  z = (x  y)  (x  z) ≤ ( x  y + y  z ) ≤ 16 ( x + 1 y + z + z) Tương tự: 1  b  b  4ac 1 1 x  2y  z ≤ 16 2a (x + y + z + z) 1 1 1 x  y  2z ≤ 16 ( x + y + z + z ) Cộng theo vế BĐT trên: 1 1 1 1 2x  y  z + x  2y  z + x  y  2z ≤ 16 ( x + y + z + z ) Mà 1 1 x + y + z + z=4 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1 2x  y  z + x  2y  z + x  y  2z ≤ Vậy Dấu “=” xảy x = y = z = - Cách 2: 1 1 1 1 1 Ta có 2x  y  z = 2x  (y  z) ≤ ( 2x + y  z ) ≤ 8x + 16 ( y + z ) = 8x + 1 16y + 16z 1 1 Tương tự: x  2y  z ≤ 16x + 8y + 16z 1 1 x  y  2z ≤ 16x + 16y + 8z Cộng theo vế các BĐT: 1 1 1 x  2y  z + x  y  2z + 2x  y  z  ( x + y + z )=1 1 Vậy x  2y  z + x  y  2z + 2x  y  z  44> Hưóng dẩn: x y 10  x 10  y x 100  y  20 y   y  10  200 200 Xét x - 2y  - y + 20 y +100 = 45> Hưóng dẩn: Theo giả thiết: x + y < xy Ta đưa dạng: (x - 1).(y - 1) >  x > 1; y > 1;  x  1   y  1 2  x  1  y  1  Theo biểu thức Côsi ta có: x+y>4 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 46> Hưóng dẩn: 2 Ta có x  y x  y (), 2 3 giả sử x  y x  y theo giả thiết: x  y x  y   x  x    y  y   2y  2y điều đó ngược với x  x 2x và y  y 2y 2 Từ () ta có: x  y  x  y  x3  y  x  y  x  y  x3  y   x     y  2 x  y Mặt khác: x  y  x  y    x  y  x  y  x  y  ĐPCM 47> Hưóng dẩn: Biến đổi biểu thức dạng: 2 2 1 2 2 2 2 2 a  b  b  c  c  a  a  bc  b  ca  c  ab               0 2    48> Hưóng dẩn: Ta có: 100a  10b  c 99a  9b a  b  c 99a  9b    1 a bc a bc a b c a b = 90a 9a  9b 90a  1   10 90  10 100 a b a b a Vậy tỉ số lớn 100, dấu =xảy c = 0, b = 49> Hưóng dẩn: Nếu a b c 1 thì a  b  c 3 Ta giả sử a  1,b  Thì từ ta có abc 1 ab  a  b   a  1  b  1  a d cb Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 50> Hưóng dẩn: Biến đổi vế trái dạng:   1  1  1                      10 12   98 100  37  1  1  1  1                  10 12  24 60 120 51> Hưóng dẩn: Thật vậy: a  -b-c  a (-b-c)  (-b-c) bc  b  2bc  c  b  bc  c  (*) 52> Hưóng dẩn: Bất đẳng thức đã cho có thể viết:  x  y  z   x  y  z    x  y  z  0 x, y, z là cạnh tam giác nên nhân tử lớn Vậy bất đẳng thức không thể xảy 53> Hưóng dẩn: Biến đổi  a  b   b  c   c  a   5abc  ab  a  b  c   bc  b  c  a   ca  c  a  b   Vì a, b, c dương, và a + b > c, b + c > a, c + a > b Vậy (a + b)(b + c)(c + a) > 5abc 54> Hưóng dẩn: 2 2 4( x1  x  x  x  x ) - x1  x  x  x  x  = x  x1   4x1x  4x 22    x12  4x1x  4x 32   () 2 = 2x    x1  2x    x1  2x    x1  x 52  0 55> Hướng dẩn: a b c   2 a  ab  b   Ta có a3 + b3 + 3.abc = (a - b)(a2 – ab + b2) + 3.abc > c.(a2 – ab + b2) + 3.abc Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng = c.(a2 + 2.ab + b2) = c.(a + b)2 > c.c2 = c3 56> Hưóng dẩn: ab + bc + ca < 2.c2 ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = Hay Xét: 1 2a  2b  2c  2ab  2bc  2ca    a  b   (b  c)  (c  a)  2   57> Hướng dẩn: Ta viết :  a  b  c  (1 – a ).(1 – b)   a + b  + ab  + 2.ab  a + b + c  a + b + 2 + 2.ab  + ab  + ac  + bc a b c a bc    2 bc  ac  ab  1  ab 58> Hướng dẩn:   x    z    x  z    y     x    y    z    y    y    y  Cần chứng minh:  y 1-y (đúng) 59> Hướng dẩn: Cách 1> 2 2 2 Ta có b  c 2bc;c  d 2cd;d  a 2ad; Cộng vế với vế ta  a  b  c2  d  2  ab  ac  ad  bc  bd  cd    a  b  c  d  a  b  c  d   ab  ac  ad  bc  bd  cd    a  b  c  d   a  b  c  d  4   a  b  c  d  1 Cách Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng  a  b  c  d   12  12  12  12   a  b  c  d   a  b  c  d  8 60> Hướng dẩn: 1 1   a  b  2   2   1  1  a b a b   a   b    a  b 2  2      25 a b    2 61> Hướng dẩn: 2  a  b  c  4  a  b  c  a  b 4  a  b  c Ta có a  b 4ab  a  b 16abc   Lại có 62> Hướng dẩn:  b  c     a    a   3a  4a 0  a  Ta có Tương tự 63> Hướng dẩn: 4 b  ; c  3 1  a  b  c 2 4  a  b  c  Lại có a a ;b b ;c c 1  a  b  c Vậy 64> Hướng dẩn: Áp dụng bất đẳng thức Côsi 2 4  a  b  c  Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a a b a 2b 3a   3  b b c bc abc b b c 3b   3 c c a abc c c a 3c   3 a a b abc Tương tự Cộng vế với vế ta điều phải chứng minh 65> Hướng dẩn: Áp dụng bất đẳng thức Côsi a   b    c  3a a3 1 b 1 c   3   b  c 8 64  b  c       b3  a  c 3b     a  1  c 8 Tương tự  c3  a  b 3c    1  a  1  b Cộng vế với vế ta được: a3 b3 c3 a  b  c 3 abc       2 1  b 1  c 1  a  1  c 1  a  1  b 66> Hướng dẩn: ab  a  b    ab  ab  ab. a  b      64 ab    a b   ab     Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ab và  1-2 ab  Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng   ab  ab    ab  ab  ab   ab 1   ab  ab  hay: 2   67> Hướng dẩn: Giả sử ngược lại bốn đẳng thức đúng Nhân ta có : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) >  a(1  a)  b(1  b)  c(1  c)   d (1  d )  256 => (1) Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : a (1  a )  a 1  a  2 => a(1 - a)  Tương tự : b(1 - b)  c(1 - c)  d(1 - d)  Nhân các bất đẳng thức ; ta có :  a(1  a)  b(1  b)  c(1  c)  d (1  d )  256 (2) Từ (1) và (2) suy vô lý Điều vô lý đó chứng tỏ ít bất đẳng thức cho đầu bài là sai 69> Hướng dẩn: bc  a 0 Ta có : p - a = Tương tự : p - b > ; p - c > ; Áp dụng kết bài tập (3.5) , ta ; Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Tương tự : 1 4    p  a p  b ( p  a )  ( p  b) c 1   p b p c a 1   p a p c b 1 1 1 2(   ) 4(   ) p a p c p c a b c => => điều phải chứng minh Dấu '' = '' xảy : p - a = p - b = p - c  a = b = c Khi đó tam giác ABC là tam giác iii TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤ 70> Hướng dẩn: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta A 2 x 0 71> Hướng dẩn: a) A   x   x Hướng dẩn: Xét A 2 2  x ta A  với x 1 , max A 2 với x=0 b) B  x    x B 4  (x  2)(6  x) ta có Hướng dẩn: Xét  x 2 B 2    x 6 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si a  b 2 ab ta max B 2  x  6  x 4 72> Hướng dẩn: Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Áp dụnh bất đẳng thức Bunhacôpski ta max A 5  x 2 73> Hướng dẩn: Áp dụng bất đẳng thức Côsi và Bunhacôpski ta A  100  x  10,max A 1000  x 10 74> Hướng dẩn: Cách 1:  a b ay bx A x  y 1(x  y)    (x  y) a   b x y x y   Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta  x a  ab A a  b  ab ( a  b)    y b  ab Cách Dùng bất đẳng thức Bunhacôpski  a b  a b A (x  y).1 (x  y)     x  y  x y  x y  75> Hướng dẩn: 4 2 4 2 4 2 Ta có x  y 2x y ; z  y 2z y ; x  z 2x z 4 2 2 2 x  y  z x y  z y  x z Suy Mặt khác, để chứng minh a  b  c 1 thì a  b2  c2  Do đó Vậy 76> Hướng dẩn: 3 A   x y z  3 x y2  z y2  x 2z  A  x  y 0 , đó A lớn và A lớn Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng A2  ( Bunhacôpski) 77> Hướng dẩn: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số x  y  z và t Vậy  2x   max A  y   x  4y 1    x   y   10   x    y   10 78> Hướng dẩn: P x  x x 2 x  x  1     x  x  1   x  x  1   x  x  1   x  x  1   x 0 dÊu d¼ng thøc x  x  1  1    x  79> Hướng dẩn: Ta có z4 1 P     x  y4  4 P z 1 z  x  y  x2 y xy z  x z  y 3z  xy   3 z z Từ Áp dụng Côsi cho số không âm 2 2 x8 x2 2 4   x  x 4 4 1; ;x ; x z z z z có Áp dụng Côsi cho số không âm 1 y4 y 1 4    y 4 4 1; ; ; y z z z z z z có Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net 2 WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Áp dụng Côsi cho số không âm 4 4 1; x ; y4 ; y có  x  y  y 4 x y 4xy Cộng vế với vế bất đẳng thức trên ta  x2 y  1 4   3.x  3.y 4.   xy  12  3 dÊu b»ng x y z 1 z P  z z  VËy Pmax  x y z 1 80> Hướng dẩn: x P  y3    x  y   x  1  y  1 x  x  1  y2  y  1 x2 y2     y x  x  1  y  1 2xy  x  1  y  1 x2 y2 x  1 x  l¹i cã  x-1   dÊu b»ng x 2 y x 2 y  1 y  dÊu b»ng y 2  y  1  2 2xy  P 8 dÊu b»ng x y 2 x y 2 VËy Pmin 8 x y 2 81> Hướng dẩn: dÊu b»ng Ta có f  x   2x  5x   x   2x  Áp dụng Côsi cho số không âm Ta có  x    2x  1   x   vµ  2x  1  x    2x x   2x  3x   2 dÊu d¼ng thøc khi: x  2x   x 1 vµ  x  3 Áp dụng Côsi cho số không âm  x    2x  1  Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 4x 3 x 7  2 DÊu d¼ng thøc : x   x 1  x  3  Ta có   x    2x  1   x    2x  3x  x    2x 5 2 dÊu d¼ng thøc x 1 VËy: f  x  5 x 1 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 82> Hướng dẩn: Ta có T  x  y   x  z  x  xz  xy  yz x  x  y  z   yz Tõ:  x  y  z  xyz 1  x  x  y  z   thay vµo T ta cã: yz T  yz 2 dÊu d¼ng thøc yz 1 yz 83> Lời giải  x10 y10  4   x y   2 12 12 y x   Ta có Dấu “=” xảy và x y 16 x  y16   x y8 dÊu b»ng x16 y16  2 1  Q  x y8  x y    x y    x y8  2x y  1    x y   2 2 1   x y  1   x y  1  2 l¹i cã:  12  12    x y   12   x y  1   hay  x y  1  x y  1 dÊu b»ng x y 1 84> Hướng dẩn: Ta có 1 a  1  3a  1  2 P  b c  a     b c          a  b c   b2 c2  b c  a Có a2  1  a2  1  2  b  c    b2  c  2 a  b  c   b2  c  a2     a2 a2  1  2 2  b  c  2 dÊu b»ng  b  c      a b  c2 a b c  Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng  4b c a ; b c a2  1  a2    3 3 b c b  c   Lại có dấu “=” xảy và 2 b c a2 a2 2 2  P 5 dÊu b»ng b c  VËy Pmin 5 b c  2 85> Hướng dẩn: 2 x   x  1  2x x2  2x    2 x3  x x x2  x  x  1 86> Hướng dẩn: Áp dụng bất đẳng thức : a2  b2  c2  d  (a  c)2  (b  d)2 A  x  12  (1  x)2  22  ( x   x)2  (1  2)  10 1 x A  10  2  x  x 87> a) Điều kiện : x 1, y 2 Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm tổng : a b  ab Ở đây ta muốn làm tăng tổng Ta dựng bất đẳng thức : a  b  2(a  b2 ) A  x   y   2(x   y  3)   x  y   x 1,5 max A       x  y 4  y 2,5 Cách khác : Xét A2 dùng bất đẳng thức Cauchy b) Điều kiện : x 1, y 2 Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội tích : ab  a b Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x  , y  là các tích : 2(y  2) x   1.(x  1) , y   x  1.(x  1)  x  1    x x 2x Theo bất đẳng thức Cauchy : y 2.(y  2)  y  2     y y 2y 2  x  1  x 2 2 M ax B        4  y  2  y 4 Ta xem các biểu thức 88> Hướng dẩn: 2  x = y ≥ 0, ta có : y x  2 1 9  a 2  y  y   y      max A =  y   x  2 4 4  Điều kiện x 2 Đặt 89> Hướng dẩn Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | A =  ≤ x ≤ Áp dụng các bất đẳng thức đả biết Áp dụng xét hiệu 90> Hướng dẩn ( x  2)(6  x) 0  x  x  12 0     x 3  ( x  1)(3  x )   x  x    Tập xác định :  (1) Xét hiệu : (- x2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + Do (1) nên 2x + > nên A >  A2  ( x  2)(6  x)  ( x  1)(3  x)  Xét : Hiển nhiên A2 ≥ dấu “ = ” không xảy (với A > 0) Ta biến đổi A2 dạng khác : ( x  2)(6  x )( x  1)(3  x ) A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) - = Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net  WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng = (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 – x) – (3 – x) - ( x  2)(6  x )( x  1)(3  x ) = (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) – =  ( x  2)(6  x)( x  1)(3  x) ( x  1)(6  x)  +3 ( x  2)(3  x) A2 ≥ Do A > nên A =  3 với x = 91> Lời giải: 2 a  b  2(a  b ) (*) (a + b ≥ 0) Trước hết ta chứng minh : Áp dụng (*) ta có : S  x   y   2(x   y  2)   x    x  y  2 maxS       x  y 4  y 5  2  Có thể tính S áp dụng bất đẳng thức Cauchy 92> Lời giải: A 3x  3y 2 3x.3y 2 3x y 2 34 18 A = 18 với x = y = 93 Lời giải: Không tính tổng quát, giả sử a + b ≥ c + d Từ giả thiết suy : a bcd b c b c  c c  a b cd  c d cd  A         cd a b cd  cd a b  2(c  d)  c d a b  Đặt a + b = x ; c + d = y với x ≥ y > 0, ta có : bc  A xy y y x y  x y x y 1           2   2 2y y x 2y x  2y x  2y x 2 A    d 0 , x y , b  c a  d ; Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a   1, b   1,c 2,d 0 Chẳng hạn II GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 94> Hướng dẩn : a Tóm tắt : ( x  +   2x )2  2(2x - + - 2x) = x  +  2x  => MaxL = x = x  2 b TXĐ : (*)  x  +  2x = x2 - 4x + VP = (x - 2)2 +  , dấu '' = '' xảy x = => với x = ( thoả mãn TXĐ ) thì VT = VP = => phương trình (*) có nghiệm x = 95> Hướng dẩn: TXĐ : -2  x  VP = (x - 3)2 +  Dấu '' = '' xảy x = VT2 = (  x + x  1)2  (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16 6 x = x2  x = => VT  , dấu '' = '' xảy => không có giá trị nào x để VT = VP => Phương trình vô nghiệm 96> Hướng dẩn: y  y  13  => VT  x  0  x 2   y   y 2  Dấu '' = '' xảy :  x  12 x  16 2 ; 5 => phương trình có nghiệm : x = ; y = c KẾT LUẬN Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Các bài tập bất đẳng thức thường là tương đối khó học sinh , hướng dẫn học sinh xong đề tài (một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức ), học sinh thấy việc làm bài toán bất đẳng thức rễ Đồng thời đứng trước bài toán khó cho dù dạng bài tập nào học sinh có hướng suy nghĩ và tập suy luận , các em có tự tin Chuyên đề còn có thể còn nhiều thiếu sót , mong ủng hộ các Thầy, Cô giáo Và các bạn để đề tài ngày càng hoàn thiện Nhân đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu nhà trường, ban chủ nhiệm Khoa Toán – Tin, đặc biệt là giảng viên.Th.S.NCS.Nguyễn Quang Hoè đã tạo điều kiện và trực tiếp hướng dẫn , giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Lý chọn đề tài .1 Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu .2 Phương pháp nghiên cứu .2 Phạm vi nghiên cứu B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ PHẦN I CƠ SỞ LÝ LUẬN .3 PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI I CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý Định nghĩa bất đẳng thức .3 Một số tính chất bất đẳng thức Các bất đẳng thức thông dụng II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC Phương pháp sử dụng định nghiă Phương pháp biến đổi tương đương Phương pháp quy nạp toán học 12 Phương pháp tam thức bậc hai 16 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Phương pháp Cauchy 21 Phưong pháp Bunhacôpski .26 Phương pháp phản chứng 29 Phương pháp hình học .32 Phương pháp sử dụng tính đòng biến, nghịch biến hàm số .36 10 Phương pháp làm trội, làm giảm .36 11 Phương pháp dùng miền giá trị 38 12 Phưong pháp đánh giá .39 13 Phương pháp dùng tính chất tỉ số 41 14 Phương pháp sử dung các bất đẳng thức trị tuyệt đối 42 15 Phương pháp Đổi biến số 44 16 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học phẳng .46 17 Phương pháp dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa các số tự nhiên .48 PHẦN III ỨNG DỤNG CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÁC .49 Chủ điểm I: Ứng dụng bất đẳng thức côsi để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức .49 Chủ điểm II Ứng dụng bất đẳng thức Bunhacôpski để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ .53 Chủ điểm III Sử dung bất đẳng thức để giải phương trình .55 Chủ điểm IV Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Dùng bất đẳng thức để giải hệ phương trình .58 Chủ điểm VI Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên .61 Chử điểm VII Áp dụng các bất đẳng thức và các mệnh đề khác để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ .62 PHẦN IV BÀI TÂP TỔNG HỢP .65 I> CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC .66 II> TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT .83 III.> GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH .75 MỤC LỤC 107 ************************************************************ TÀI LIỆU THAM KHẢO 1> 2> 3> 4> 5> 6> Đại số sơ cấp và thực hành giải toán Hoàng Kỳ( chủ biên) Bài tập và nâng cao đại số (Phan Văn Đức-Ngyễn TháI Hoà - Nguyễn Thế Thựơng Nguyễn Anh Dũng) Bài tập toán chọn lọc BĐT (GS: Phan Huy Khải) Nâng cao và phát triển toán (Vũ Hữu Bình) Toán nâng cao đại số (Nguuyễn Vĩnh Cận) Bất đẳng thức (Trần Đức Huyên) Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 7> 8> Toán nâng cao và các chuyên đề đại số (Vũ Dương Thụy: Chủ biên) Nguyễn Ngọc Đạm Nâng cao và phát triển toán Vũ Hữu Bình) Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net