kien thu toan 10 hk1

Các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình được gọi là các phép biến đổi tương đương * Phép cộng trừ: fx =gx  fx  hx = gx  hx Cộng hoặc trừ vào hai vế của phương[r]

Chương I: MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP MỆNH ĐỀ & MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Mệnh đề: Mệnh đề là khẳng định đúng sai Mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai Ví dụ: i) + = là mệnh đề đúng ii) “ là số hữu tỉ” là mệnh đề sai iii) “Mệt quá !” không phải là mệnh đề Mệnh đề chứa biến: Ví dụ: Cho mệnh đề + n = với giá trị n thì ta đề đúng sai Mệnh đề trên gọi là mệnh đề chứa biến Phủ định mệnh đề: Phủ định mệnh đề P kí hiệu là P Nếu mệnh đề P đúng thì P sai, P sai thì P đúng Ví dụ: P: “3 là số nguyên tố” P : “3 không là số nguyên tố” Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề “nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo Kí hiệu P  Q Mệnh đề P  Q sai P đúng và Q sai 2 Ví dụ: Mệnh đề “     ( 3)  ( 2) ” sai    ” đúng P  Q thì: Trong mệnh đề Mệnh đề “ P: giả thiết (điều kiện đủ để có Q) Q: kết luận (điều kiện cần để có P) Ví dụ: Cho hai mệnh đề: P: “Tam giác ABC có hai góc 60 0” Q: “Tam giác ABC là tam giác đều” P Q Hãy phát biểu mệnh đề dạng điều kiện cần, điều kiện đủ i) Điều kiện cần: “Để tam giác ABC có hai góc 60 thì điều kiện cần là tam giác ABC là tam giác đều” ii) Điều kiện đủ: “Để tam giác ABC là tam giác thì điều kiện đủ là tam giác ABC có hai góc 60 0” Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương Mệnh đề đảo mệnh đề P  Q là mệnh đề Q  P Chú ý: Mệnh đề P  Q đúng mệnh đề đảo Q  P chưa đúng P  Q và Q  P đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh Nếu hai mệnh đề PQ Kí hiệu ,  :  : Đọc là với (tất cả)  : Đọc là tồn (có hay có ít một) Phủ đỉnh  và  : đề tương đương Kí hiệu * Mệnh đề phủ định mệnh đề “ x  X , P  x  ” là “ x  X , P  x  ” * Mệnh đề phủ định mệnh đề “ x  X , P  x  ” là “ x  X , P  x  ” Ghi nhớ: - Phủ định  là  - Phủ định  là  - Phủ định = là  - Phủ định > là  - Phủ định < là  Ví dụ: P: “ n  Z : n  ” P : " n  Z : n 0" ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC Định lí và chứng minh định lí: - Trong toán học, định lí là mệnh đề đúng Nhiều định lí phát biểu dạng x  X , P  x   Q  x  (1) P  x  ,Q  x  Trong đó là mệnh đề chứa biến, X là tập hợp nào đó - Chứng minh định lí dạng (1) là dùng suy luận và kiến thức đúng đã biết để khẳng định mệnh đề (1) là đúng, tức là cần chứng tỏ với x thuộc X mà P(x) đúng thì Q(x) đúng Có thể chứng minh định lí dạng (1) cách trực tiếp gián tiếp * Phép chứng minh trực tiếp gồm các bước: - Lấy x thùy ý thuộc X mà P(x) đúng; - Dùng suy luận và kiến thức toán học đúng đã biết để Q(x) đúng * Phép chứng minh phản chứng gồm các bước: P x  Q x  x  X cho 0 - Giả sử tồn đúng và sai, tức là mệnh đề (1) là mệnh đề sai - Dùng suy luận và kiến thức toán học đúng đã biết để điều mâu thuẫn Điều kiện cần, điều kiện đủ: " x  X , P  x   Q  x  " Cho định lí dạng: (1) - P(x) gọi là giả thiết và Q(x) gọi là kết luận định lí - Định lí (1) còn phát biểu dạng: + P(x) là điều kiện đủ để có Q(x), + Q(x) là điều kiện cần để có P(x) Định lí đảo, điều kiện cần và đủ: Xét mệnh đề đảo định lí dạng (1) là x  X , Q  x   P  x  (2) Mệnh đề (2) có thể đúng, có thể sai Nếu mệnh đề (2) đúng thì nó gọi là định lí đảo định lí (1), lúc đó (1) gọi là định lí thuận Định lí thuận và đảo có thể viết gộp lại thành định lí dạng: x  X , P  x   Q  x  (3) Khi đó ta nói: P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x) (hoặc ngược lại) Ngoài ta có thể nói “P(x) và (nếu và nếu) Q(x)” TẬP HỢP I TẬP HỢP: - Tập hợp là khái niệm toán học - Cho tập hợp A Phần tử a thuộc tập A ta viết a  A Phần tử a không thuộc tập A ta viết a A Cách xác định tập hợp: a) Cách liệt kê: Là ta liệt kê tất các phần tử tập hợp A  1,2,3,4,5 Ví dụ: b) Cách nêu tính chất đặc trưng: Chỉ tính chất đặc trưng các phần tử tập đó Ví dụ: A  x  R : x  x  0   Ta thường minh hoạ tập hợp đường cong khép kín gọi là biểu đồ Ven Tập hợp rỗng: Là tập hợp không chứa phần tử nào Kí hiệu  Vậy: Tập con: A   x : x  A A  B  x ( x  A  x  B ) B A Chú ý: i) A  A, A ii)   A, A iii) A  B, B  C  A  C Hai tập hợp nhau: A B  x ( x  A  x  B ) II CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP Phép giao: A  B  x / x  A vaøx  B x  A x AB   x  B Ngược lại: A B A Phép hợp: A  B  x / x  A x  B xA x AB    xB Ngược lại: Hiệu hai tập hợp: A \ B  x / x  A vaøx  B x  A xA\ B   x  B Ngược lại: Phần bù: Khi Vậy: A  E thì E\A gọi là phần bù A E Kí hiệu: C A B CE A = E\A A  E III CÁC TẬP HỢP SỐ: Tập số tự nhiên: N  0,1,2,3,4,  Tập số nguyên: ; N *  1,2,3,4,  Z  ,  2,  1, 0,1,2,    m Q  x  / m, n  Z , n 0  n   Tập các số hữu tỉ: Tập số thực: kí hiệu R, gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ Tập số thực biểu diễn trục số Quan hệ các tập số:        -  + Các tập thường dùng R: Chú ý: Cách biểu diễn phép hợp, giao, hiệu tập hợp trên trục số: Vẽ trục số, biểu diễn các số là biên tất các tập hợp lên trục số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn Sau đó biểu diễn tập hợp theo qui tắc sau:    Phép hợp: Muốn lấy hợp hai tập hợp A và B Tô đậm bên hai tập hợp, phần tô đậm đó chính là hợp hai tập hợp Phép giao: Muốn lấy giao hai tập hợp A và B Gạch bỏ phần bên ngoài tập A, tiếp tục gạch bỏ bên ngoài tập B phần không gạch bỏ đó chính là giao hai tập hợp A và B Cách tìm hiệu (a;b) \ (c;d): Tô đậm tập (a;b) và gạch bỏ tập (c;d) Phần tô đậm không bị gạch bỏ là kết cần tìm SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Số gần đúng: Trong đo đạc, tính toán ta thường không biết giá trị đúng các đại lượng ta quan tâm mà biết giá trị gần đúng nó Sai số tuyệt đối và sai số tương đối: a) Sai số tuyệt đối: Giả sử a là giá trị đúng đại lượng và a là giá trị gần đúng a Giá trị phản ánh mức độ sai lệch a và a Ta gọi hiệu là a a a a là sai số tuyệt đối số gần đúng a và kí a , tức là: a  a  a  Trên thực tế nhiều ta không biết a nên không thể tính chính xác a Tuy nhiên, ta có thể đánh giá * Nếu a không vượt quá số dương nào đó a d thì: a  a d   d a  a d  a  d a a  d Khi đó ta qui ước viết: a a d  a  d ; a  d  Như viết: a a d ta hiểu số đúng a nằm đoạn  Vì vậy, d càng nhỏ thì độ sai lệch càng ít b) Sai số tương đối: Sai số tương đối số gần đúng a, kí hiệu là  d đó: Nếu a a d thì a Nếu d a a  a a  a , là tỉ số a  Tức là: a a d a càng nhỏ thì chất lượng phép đo đạc hay tính toán càng cao Người ta thường viết sai số tương đối dạng phần trăm Số qui tròn: Nguyên tắc qui tròn số: * Nếu chữ số sau hàng qui tròn nhỏ thì ta việc thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó số * Nếu chữ số sau hàng qui tròn lớn hay thì ta thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó và cộng thêm đơn vị vào chữ số hàng qui tròn Chú ý: Khi qui tròn số đúng a đến hàng nào thì ta nói số gần đúng a nhận là chính xác đến hàng đó Nếu kết cuối cùng bài toán yêu cầu chính xác đến hàng 10 n các phép tính trung gian ta cần lấy chính xác ít đến hàng 10 thì quá trình tính toán, kết   n 1 Cho số gần đúng a có độ chính xác d (tức là a a d ) Khi yêu cầu qui tròn số a mà không nói rõ qui tròn đến hàng nào thì ta qui tròn số a đến hàng cao mà d nhỏ đơn vị hàng đó Chữ số và cách viết chuẩn số gần đúng: a) Chữ số chắc: Cho số gần đúng a số a với độ chính xác d số a, chữ số gọi là chữ số (hay đáng tin) d không vượt quá đơn vị hàng có chữ số đó * Nhận xét: Tất các chữ số đứng bên trái chữ số là chữ số tất các chữ số đứng bên phải chữ số không là chữ số không b) Dạng chuẩn số gần đúng: Trong cách viết a a d , ta biết độ chính xác d số gần đúng a Ngoài cách viết trên, người ta còn qui ước dạng viết chuẩn số gần đúng và cho số gần đúng dạng chuẩn, ta biết độ chính xác nó * Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà chữ số nó là chữ số k * Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn nó là A.10 , đó A là số nguyên, k là hàng thấp có chữ số  k  N Chú ý: Với qui ước dạng chuẩn số gần đúng thì hai số gần đúng 0,14 và 0,140 viết dạng chuẩn có ý nghĩa khác Số gần đúng 0,14 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,005 còn số 0,140 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,0005 Kí hiệu khoa học số:    10,n  Z Mỗi số thập phân khác viết dạng  10 , đó: Dạng gọi là kí hiệu khoa học số đó Người ta thường dùng kí hiệu khoa học để ghi số lớn số bé n Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Khái niệm hàm số: a) Hàm số: Cho tập hợp khác rỗng D   Hàm số f xác định trên D là qui tắc đặt tương ứng số x thuộc D với và số, kí hiệu là f(x); số f(x) đó gọi là giá trị hàm số f x Tập D còn gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số hàm số f Để rõ kí hiệu biến số, hàm số f còn viết là y  f  x b) Hàm số cho biểu thức: Cho hàm số cho biểu thức f(x) * Tập xác định hàm số: y  f  x , đó ta nói hàm số Ta qui ước rằng: Khi cho hàm số biểu thức y = f(x), không nói gì thêm thì tập xác định hàm số y = f(x) là tập hợp tất các giá trị x để biểu thức y = f(x) có nghĩa (hay là giá trị biểu thức f(x) xác định) Kí hiệu là: D Vậy: Tập xác định D  x  R / y  f ( x ) coù nghóa * Tập xác định các hàm số thường gặp:  y P( x ) Q( x ) có nghĩa  Q( x ) 0  y  P( x ) có nghĩa  P( x ) 0 P( x )  y Q( x ) có nghĩa  Q( x )   P( x ) 0  Q( x ) 0  y  P( x )  Q( x ) có nghĩa  Các hàm đa thức như: y = ax2 + bx + c, y = ax + b, có tập xác định là  c) Đồ thị hàm số: Cho hàm số y=f(x) có TXĐ là D Đồ thị (C) hàm số là tập hợp các điểm x  D Vậy M x, f  x    trên mặt phẳng tọa độ Oxy với  C   M  x, f  x   y  f  x  , x  D Lưu ý giải toán: Điểm thuộc đồ thị  tọa độ điểm phải thỏa mãn phương trình đồ thị Sự biến thiên hàm số: Ta kí hiệu K là khoảng, nửa khoảng hay đoạn Ta có: * Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu: giảm) trên K nếu: x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) * Hàm số y = f(x) gọi x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) là nghịch biến (hay Nhận xét: - Nếu hàm số đồng biến trên K thì trên đó đồ thị nó lên từ trái sang phải - Nếu hàm số nghịch biến trên K thì trên đó đồ thị nó xuống từ trái sang phải * Phương pháp khảo sát biến thiên hàm số B1: Lấy x1 , x2  K , x1  x2 T f ( x2 )  f ( x1 ) x2  x1 B2: Lập tỉ số: B3: Nếu tỉ số T > thì hàm số tăng trên K Nếu tỉ số T < thì hàm số giảm trên K Tính chẵn lẻ hàm số: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D x  D   x  D  f ( x )  f ( x ) * Hàm số y = f(x) gọi là hàm số chẵn  x  D   x  D   f ( x )  f ( x ) * Hàm số y = f(x) gọi là hàm số lẻ * Phương pháp chứng minh hàm số chẵn, hàm số lẻ B1: Tìm tập xác định D hàm số B2: Chứng minh tập D là tập đối xứng (cần c/m: x  D   x  D ) B3:Tính f(-x) Nếu f(-x) = f(x) thì hàm số là hàm số chẵn Nếu f(-x) = - f(x) thì hàm số là hàm số lẻ * Lưu ý: Hàm số có thể không chẵn không lẻ Đồ thị hàm số chẵn và hàm số lẻ: * Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung * Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ HÀM SỐ y = ax + b y ax  b  a 0  Hàm số bậc nhất: a Tập xác định D =  b Sự biến thiên: - Nếu a > hàm số đồng biến trên  - Nếu a < hàm số nghịch biến trên  c Đồ thị: Đồ thị là đường thẳng không song song, không trùng với hai trục toạ độ và cắt  b  A  ;0 a  , Oy B(0; b) trục Ox  * Chú ý: - a gọi là hệ số góc đường thẳng - Nếu gọi  là góc tạo đường thẳng y=ax+b và chiều dương trục Ox thì - Nếu a>0 thì đường thẳng y=ax+b nghiêng bên phải - Nếu a< thì đường thẳng y=ax+b nghiêng bên trái - Cho hai đường thẳng  d  : y ax  b,  d ' : y a ' x  b ' Ta có: a a ' +  d  / /  d '  b b '  a a ' + +  d   d '  b b '   d  cắt  d '  a a ' a tan  +  d    d '  a.a '  Hàm số y = b - Tập xác định D =  - Hàm số là hàm số chẵn - Đồ thị là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung điểm (0; b) Hàm số yx - Tập xác định D =  - Hàm số yx là hàm số chẵn Đồ thị đối xứng qua trục tung - Hàm số đồng biến trên khoảng Bảng biến thiên:  x  y  0; và nghịch biến trên khoảng 0 Đồ thị:     ;  HÀM SỐ BẬC HAI Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số cho biểu thức có dạng y ax  bx c , đó a, b, c là số thực và a 0 Đồ thị hàm số bậc hai: - Tập xác định D =   b  b I ;  x  2a a  , nhận đường thẳng 2a làm trục - Đồ thị là đường parabol có đỉnh  đối xứng, có bề lõm quay lên a > 0, quay xuống a < Sự biến thiên hàm số:  b    ;   2a  và đồng biến trên khoảng Nếu a > thì hàm số nghịch biến trên khoảng   b  ;     2a   b    ;   2a  và nghịch biến trên khoảng Nếu a < thì hàm số đồng biến trên khoảng   b  ;     2a  Bảng biến thiên: x a>0 b  y  2a      a<0 x 4a b   y 2a    4a - Dạng toán: Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai: - - Các bước vẽ đồ thị hàm số bậc hai:  b  I ;  2a 4a  + Xác định đỉnh parabol:  + Xác định trục đối xứng và hướng bề lõm parabol + Xác định số điểm cụ thể parabol, chẳng hạn: giao điểm parabol với hai trục tọa độ và các điểm đối xứng với chung qua trục đối xứng + Căn vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để “nối” các điểm đó lại Dạng 2: Lập phương trình parabol (P) thỏa điều kiện K: y ax  bx  c  a 0  Bước 1: Giả sử parabol (P) có phương trình (P): Bước 2: Dựa vào điều kiện K để xác định a, b, c Trong bước này ta thường có các điều kiện thường gặp sau: * Điểm A  x0 ; y0    P   y0 ax02  bx0  c I  x ; y0  * (P) có đỉnh  b  x0  2a   y    f  x   4a * (P) có giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) y0 a  a         y0   y0  4a 4a   * (P) đạt giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) điểm có hoành độ a    b  x0  2a  a    b  x0  2a  b  x0  x  x 2a làm trục đối xứng * (P) nhận đường thẳng x0 Chương III PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I Khái niệm phương trình Phương trình ẩn x là mệnh đề có dạng f(x) = g(x) (1) Nếu hai hàm số D D f  Dg y  f  x  , y g  x  có tập xác định là D f , Dg , thì gọi là tập xác định phương trình (1) x D Nếu có số cho f(x0) = g(x0) thì x0 gọi là nghiệm phương trình f(x) = g(x) Giải phương trình là ta tìm tất các nghiệm nó Phương trình không có nghiệm ta nói phương trình vô nghiệm Chú ý: Các nghiệm phương trình (1) chính là hoành độ các giao điểm đồ thị các hàm số y  f  x  & y g  x  y  f  x  & y g  x  Phương trình (1) gọi là phương trình hoành độ giao điểm đồ thị các hàm số Điều kiện phương trình: Là điều kiện ẩn x để hai vế phương trình có nghĩa * Chú ý: Khi giải phương trình, việc tìm tập xác định phương trình đôi còn khó việc giải phương trình đó, nên giải ta cần ghi điều kiện phương trình là đủ Khi giải xong ta việc thay nghiệm vào điều kiện để loại nghiệm ngoại lai Phương trình chứa tham số: Là phương trình ngoài ẩn x còn có các chữ số khác xem là số và gọi là tham số Ví dụ: x2 + 2x – m = Với m là tham số Phương trình tương đương: Hai phương trình gọi là tương đương chúng có cùng tập nghiệm (kể tập rỗng) Kí hiệu: “ f1  x  g1  x   f2  x  g2  x  ” Chú ý: Khi muốn nhấn mạnh hai phương trình có cùng tập xác định D và tương đương với nhau, ta nói “ Hai phương trình tương đương điều kiện D” Phép biến đổi tương đương: Các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm phương trình gọi là các phép biến đổi tương đương * Phép cộng (trừ): f(x) =g(x)  f(x)  h(x) = g(x)  h(x) Cộng trừ vào hai vế phương trình với biểu thức h(x) mà không làm thay đổi điều kiện phương trình thì ta phương trình tương đương * Phép nhân (chia): f(x) =g(x)  f(x).h(x) = g(x).h(x) f  x h x f(x) =g(x)     g  x h  x với h(x) 0 Nhân chia vào hai vế phương trình với biểu thức h(x) 0 mà không làm thay đổi điều kiện phương trình thì ta phương trình tương đương Chú ý: Phép chuyển vế: f  x   h  x   g  x   f  x  g  x  – h  x  Phương trình hệ quả: Cho hai phương trình: f(x) = g(x) (1) f1(x) = g1(x) (2) Phương trình (2) gọi là phương trình hệ phương trình (1) tập nghiệm phương trình (2) chứa tập nghiệm phương trình (1) Kí hiệu: (1)  (2) * Lưu ý: i) Khi bình phương hai vế phương trình thì ta phương trình hệ phương trình đã cho ii) Khi giải phương trình mà dẫn đến phương trình hệ thì phải thử lại nghiệm vào phương trình ban đầu để loại nghiệm ngoại lai PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN Giải và biện luận phương trình: ax + b = (1) ax  b 0 (1) Hệ số Kết luận a 0 a=0 x  (1) có nghiệm (1) vô nghiệm (1) nghiệm đúng với x b 0 b 0 b a Giải và biện luận phương trình: ax2 + bx + c = (2) * Trường hợp 1: Với a=0, ta có phương trình bx  c 0 , đây là phương trình có hệ số cụ thể nên có thể kết luận nghiệm phương trình (2) * Trường hợp 2: Với a 0 , ta tính biệt thức:  b  4ac + Nếu   : phương trình (2) vô nghiệm + Nếu  0 : phương trình (2) có nghiệm kép x0  b 2a x1,2   b  2a + Nếu   : phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt Kết luận: (tùy theo giá trị m ta kết luận tập nghiệm phương trình) Chú ý: Ta có thể dùng  ’ ax  bx  c 0(a 0)(2)  ' b '2  ac '   ' 0 '  Kết luận (1) có nghiệm phân biệt (2) có nghiệm kép (2) vô nghiệm x  x1,2   b '  ' a b' a Chú ý: Phương trình trùng phương: ax + bx2 + c = ( a 0 ) có thể đưa phương trình bậc hai cách đặt t = x2 ( t 0 ) Định lí Viet: - Cho phương trình bậc hai có hai ax + bx + c = ( a 0 ) có hai nghiệm x1, x2 Khi đó:  b  x1  x2  a  x x c  a - Ngược lại có hai số u và v mà có tổng u + v = S, tích u.v = P thì u và v là các nghiệm phương trình: t  St  P 0 * Chú ý: t ,t + Nếu phương trình (3) có hai nghiệm thì + Nếu đa thức u t1  v t2 f  x  ax  bx  c u t2   v t1  có nghiệm x1 , x2 thì f(x) có thể phân tích thành f  x  a  x  x1   x  x2  Dạng toán: Dạng 1: Tính giá trị biểu thức đối xứng các nghiệm phương trình bậc hai: x ,x Gọi là các nghiệm phương trình bậc hai ax  bx  c 0 Ta có số biểu thức thường gặp sau: * x12  x22  x1  x2   x1 x2 S  P * x13  x23  x1  x2   x1 x2  x1  x2  S  3PS * 1 x2  x S    x1 x2 x1 x2 P * 2 1 x1  x2 S  2P   2  x12 x22 x1 x2 P2 Dạng 2: Tìm hệ thức liên hệ các nghiệm không phụ thuộc vào tham số (giả sử là m): Bước 1: Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 a 0   0  x1  x2  f  m    x x g  m  Bước 2: Áp dụng định lí Viét ta  Bước 3: Khử m từ hệ trên ta hệ thức cần tìm Dạng 3: Sử dụng định lí Viét xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai: ax  bx  c 0  a 0  c P  0  x1   x2 a * Nếu phương trình có hai nghiệm trái dấu  0   P 0  * Nếu phương trình có hai nghiệm cùng dấu  0  P   S    x1  x2 * Nếu  phương trình có hai nghiệm dương * Nếu  0  P   S   phương trình có hai nghiệm âm  x1 x2  PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối: Các dạng bản: i) A B , ii) A B  A neáu A  A    A neáu A  Cách giải 1: Dùng định nghĩa trị tuyệt đối để bỏ trị tuyệt đối: Cách giải 2: Bình phương hai vế dẫn đến phương trình hệ Khi giải xong phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai Cách giải 3: Dùng công thức:   A B A B    A  B   B 0  A B    A B   A  B  II Phương trình chứa ẩn dấu căn: Các dạng bản: i) A  B , ii) A B Cách giải 1: Bình phương hai vế dẫn đến phương trình hệ Khi giải xong phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai Cách giải 2: Dùng công thức:   A 0 (hoặc B 0) A B  A B  B 0 A B    A B  III Phương trình và hệ phương trình bậc nhiều ẩn: Phương trình bậc hai ẩn: ax + by + c = (2) Trong đó a, b, c là các hệ số, a và b không đồng thời Cặp (x0;y0) gọi là nghiệm phương trình (2) chúng nghiệm đúng phương trình (2) a1 x  b1y c1  a x  b2 y c2 Hệ hai phương trình bậc hai ẩn:  Cách giải: Có cách: Dùng phương pháp cộng đại số Dùng phương pháp Dùng định thức: D Đặt a1 a2 b1 b2 Dx  , c1 c2 b1 b2 Dy  , * Nếu D Dx Dy 0 * Nếu D 0, Dx 0 Dy 0 a1 a2 c1 c2 thì hệ có vô số nghiệm * Nếu D 0 thì hệ có nghiệm thì hệ vô nghiệm  Dx  x  D   y  Dy  D Hệ ba phương trình bậc ba ẩn: a1 x  b1 y  c1z d1  a2 x  b2 y  c2 z d2 a x  b y  c z d 3  Cách giải:Khử dần ẩn số để đưa hệ phương trình trình dạng tam giác: a1 x d1  a2 x  b2 y d2 a x  b y  c z d 3  (pp Gausse) Hệ phương trình gồm bậc và bậc hai ẩn:  x  x  y  y 4  2 x  y 4 Ví dụ:  Cách giải: - Từ phương trình bậc ta rút ẩn theo ẩn vào phương trình bậc hai ta phương trình bậc hai ẩn - Giải phương trình bậc hai ta tìm nghiệm, thay nghiệm vừa tìm vào phương trình bậc ta tìm nghiệm ẩn còn lại Hệ phương trình đối xứng loại 1: Dạng: Là hệ phương trình mà thay x y và y x thì phương trình hệ không thay đổi  x  x  y  y 8   xy  x  y  6 Ví dụ:  Cách giải: S x  y   P  xy , thay vào hệ phương trình ta hệ phương trình theo ẩn S, P Giải hệ - Đặt này ta tìm S,P - x,y đó là hai nghiệm phương trình X  SX  P 0 (nếu có) * Chú ý: Nếu (x;y) là nghiệm thì (y;x) là nghiệm Hệ phương trình đối xứng loại 2: Dạng: Là hệ phương trình mà thay x y và y x thì phương trình này hệ trở thành phương trình hệ, và ngược lại Ví dụ:  x 2 y    y 2 x  Cách giải: - Trừ vế hai phương trình ta phương trình  x y  x  y  f  x; y  0   f  x; y  0   - Phân tích phương trình thành dạng - Kết hợp với phương trình hệ ta hệ đơn giản giải Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC & BẤT PHƯƠNG TRÌNH I Bất Đẳng Thức: Bất đẳng thức có dạng: A > B, A < B, A B, A B Bất đẳng thức hệ quả: Nếu mệnh đề A  B  C  D đúng thì ta nói BĐT C < D là BĐT hệ BĐT A < B Bất đẳng thức tương đương: Nếu BĐT A < B là hệ BĐT C < D và ngược lại thì ta nói hai BĐT tương đương Kí hiệu: A  B  C  D Các tính chất: Tính chất Nội dung Điều kiện Tên gọi a  b vaø b  c  a  c a  b  ac  bc c>0 c<0 a > 0, c> n nguyên dương Bắc cầu Cộng hai vế bất đẳng thức với số Nhân hai vế bất đẳng thức a  b  ac  bc với số a  b  ac  bc Cộng hai bất đẳng thức a  b vaøc  d  a  c  b  d cùng chiều Nhân hai bất đẳng thức a  b vaø c  d  ac  bd cùng chiều n 1 n 1 Nâng hai vế bất đẳng ab a b lên lũy thừa 2n 2n 0ab a A>0 ab ab b a b a3b Khai hai vế bất đẳng thức Bất đẳng thức Côsi: Cho hai số a và b không âm: Ta có: a  b 2 ab Đẳng thức xảy và a = b Các hệ quả: i) a  2, a  a ii) Cho hai số x > 0, y > Nếu x + y không đổi thì x.y lớn và x = y iii) Cho hai số x > 0, y > Nếu x.y không đổi thì x + y nhỏ và x = y Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối: i) x 0, x x, x  x ii) x a   a  x a, a  iii) x a  x  a x a, a  iv) a  b  a  b  a  b Các phương pháp chứng minh BĐT: i) Dùng định nghĩa: Muốn chứng minh A > B thì ta cần chứng minh: A – B > ii) Phương pháp chứng minh tương đương: A  B  A1  B1  A2  B2   An  Bn Trong đó: A > B là bđt cần chứng minh An > Bn là bđt đúng đã biết iii) Dùng các bất đẳng thức đã biết: BĐT Côsi, BĐT chứa giá trị tuyệt đối… II Bất phương trình và hệ bất phương trình ẩn: Khái niệm bất phương trình ẩn: Bất phương trình ẩn x có dạng: f(x) < g(x), f ( x ) g( x ), f ( x )  g( x ), f ( x ) g( x ) Trong đó f(x) và g(x) là biểu thức chứa x Điều kiện bất phương trình: là điều kiện ẩn x để hai vế f(x) và g(x) có nghĩa TXĐ: D =  x  R / f ( x ), g( x ) coù nghóa Hệ bất phương trình ẩn: Là hệ gồm số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung chúng Mỗi giá trị x đồng thời là nghiệm tất các bất phương trình hệ gọi là nghiệm hệ bất phương trình đã cho Phương pháp giải hệ bất phương trình: Giải bất phương trình lấy giao các tập nghiệm Bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình (hệ bất phương trình) gọi là tương đương chúng có cùng tập nghiệm Kí hiệu:  Các phép biến đổi tương đương: Cho bất phương trình P(x) < Q(x) có TXĐ D a) Phép cộng (trừ): Nếu f(x) xác định trên D thì: P(x) < Q(x)  P(x) + f(x) < Q(x) + f(x) b) Phép nhân (chia): i) Nếu f(x) > 0, x  D thì: P(x) < Q(x)  P(x).f(x) < Q(x).f(x) ii) Nếu f(x) < 0, x  D thì:P(x) < Q(x)  P(x).f(x) > Q(x).f(x) c) Phép bình phương: Nếu P(x) 0 , Q(x) 0, x  D thì: P(x) < Q(x)  P2(x) < Q2(x) Các chú ý giải bất phương trình: i) Khi biến đổi hai vế bất phương trình thì có thể làm thay đổi điều kiện bất phương trình Vì vậy, để tìm nghiệm bất phương trình ta phải tìm các giá trị x thoả mãn điều kiện bất phương trình đó và là nghiệm bất phương trình 5x   x x 4 3 x  1  4 VD: Giải bpt: ii) Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với biểu thức f(x) ta cần lưu ý dấu f(x) Nếu f(x) nhận giá trị dương lẫn âm thì ta phải xét hai trường hợp Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình iii) Khi giải bất phương trình có ẩn mẫu ta quy đồng mẫu không bỏ mẫu và phải xét dấu biểu thức để tìm tập nghiệm 1 x VD: Giải bpt: iv) Khi giải bất phương trình P(x) < Q(x) mà phải bình phương hai vế thì phải xét hai trường hợp: TH1: P(x) và Q(x) không âm thì ta bình phương hai vế bất phương trình TH2: P(x) và Q(x) âm thì ta viết P(x) < Q(x)  - Q(x) < - P(x) bình phương hai vế bất phương trình x2  VD: Giải bpt: 17 x III Dấu nhị thức bậc nhất: Nhị thức bậc nhất: Là biểu thức có dạng: f(x) = ax + b đó a, b là các số ( a 0 ) Dấu nhị thức bậc f(x) = ax + b: Bảng Xét Dấu: x   f(x) = ax + b a>0 a<0 + b a 0  + - Quy tắc: Phải cùng – Trái trái Phương pháp lập bảng xét dấu nhị thức: B1: Tìm nghiệm nhị thức B2: Lập bảng xét dấu B3: Kết luận dấu nhị thức Dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất: Phương pháp xét dấu: Tìm nghiệm nhị thức có mặt biểu thức Lập bảng xét dấu chung cho tất các nhị thức có mặt biểu thức Từ đó ta suy dấu biểu thức VD: Xét dấu biểu thức: f (x)  (4 x  1)( x  2)  3x  5 Áp dụng vào việc giải bất phương trình: a) Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn mẫu: Phương pháp giải: B1: Đưa bất phương trình dạng f(x) > f(x) < B2: Lập bảng xét dấu biểu thức f(x) B3: Dựa vào bảng xét dấu kết luận nghiệm bất phương trình VD: Giải bất phương trình: (4 x  1)( x  2) 0 1  3x  a) b)  x * Chú ý: Vì bài toán xét dấu là bài toán trung gian để giải nhiều bài toán khác và việc xét dấu không cần thiết phải trình bày vào bài giải nên ta cần sử dụng bảng xét dấu thu gọn để tiết kiệm thời gian và đảm bảo tính chính xác Bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối: Chú ý:  A neáu A 0 i) A   A neáu A  ii) A  A , A iii) x a   a x a, a  iv) x a  x  a x a, a  Phương pháp giải: Phương pháp 1: Dùng định nghĩa để khử trị tuyệt đối (phương pháp khoảng) B1: Lập bảng xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối B2: Dựa vào bảng xét dấu khử dấu giá trị tuyệt đối và giải bất phương trình trên miền xác định bất phương trình B3: Nghiệm bất phương trình là hợp các tập nghiệm trên miền xác định Phương pháp 2: Dùng công thức    f ( x ) a   a  f ( x ) a, a   f ( x )  a f ( x ) a    f ( x ) a a  A  B  A2 B2   A  B   A  B  0   B 0 A B   2  A B   B 0  A B    B 0   A2 B  Bất phương trình chứa ẩn bậc hai: *  B    A 0 A  B    B 0     A  B * B   A  B   A 0  A  B2  *  A 0 A B A  B IV Dấu tam thức bậc hai: Tam thức bậc hai x có dạng: f(x) = ax2 + bx + c ( a 0 ) 2 Dấu tam thức: Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c ( a 0 ) có  b  4ac Nếu   : Bảng xét dấu:  x f(x) TH1: Nếu  0 Bảng xét dấu: x  Cùng dấu với a với x  R TH2:  f(x) Cùng dấu với a b 2a Nếu   Bảng xét dấu:  x x1 f(x) Cùng dấu với a Trái dấu với a  Cùng dấu với a TH3:  x2 Cùng dấu với a Quy tắc: “Trong trái – Ngoài cùng” Phương pháp xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a 0 ) B1: Tính  và tìm nghiệm tam thức (nếu có) B2: Lập bảng xét dấu biểu f(x) B3: Kết luận dấu tam thức VD: Xét dấu các tam thức sau: a f(x) = -x2 + 3x - b f(x) = 2x2 - 5x + c f(x) = 9x2 - 24x + 16 d f(x) = (2x -5)(3 - 4x) e f(x) = 2x2  x  x2  f f(x) = (x2 + 3x – 4)(-3x - 5) * Chú ý: Khi xét dấu thương cần xác định điều kiện để phân số có nghĩa Bất phương trình bậc hai ẩn: Dạng: f(x) > 0, f(x) < 0, f ( x ) 0; f ( x ) 0 với f(x) = ax2 + bx + c (a 0) @ Cách giải: B1: Đưa bất phương trình các dạng f(x) > 0, f(x) < 0, f ( x ) 0; f ( x ) 0 B2: Lập bảng xét dấu biểu thức f(x) B3: Nhận nghiệm ứng với dấu bất phương trình VD: Giải các bất phương trình sau: a 2x2 - 5x + > b 9x2 - 24x + 16 > c x2 + x +2 d x2 + 12x + 36 0 e x2 + 12x + 36 0 g (x2 + 3x – 4)(-3x - 5) f (2x -5)(3 - 4x) > 0 h 2x2  x  0 x2  4 Các ứng dụng tam thức bậc hai: Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a 0) có  b  4ac o Phương trình f(x) = có hai nghiệm   0 o Phương trình f(x) = có nghiệm kép   0 o Phương trình f(x) = vô nghiệm     a 0  P  o Phương trình f(x) = có hai nghiệm trái dấu  a 0  P  o Phương trình f(x) = có hai nghiệm cùng dấu  a 0   0  S   P  o Phương trình f(x) = có hai nghiệm âm  a 0   0  S   P  o Phương trình f(x) = có hai nghiệm dương a  x     o f(x) > 0 a  x    0 f(x)  a  x     o f(x) < a  x    0 f(x)  a    0 o f(x) > vô nghiệm  f(x) 0x a     o f(x)  vô nghiệm  f(x)  0x a    0 o f(x) < vô nghiệm  f(x) 0x a     o f(x)  vô nghiệm  f(x)  0x Chương V: THỐNG KÊ I BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ & TẦN SUẤT Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho có k giá trị khác ( k n ) Gọi xi là giá trị bất kì k giá trị đó Ta có: Số lần xuất giá trị x i dãy số liệu đã cho gọi là tần số giá trị đó, kí hiệu là ni fi  ni n gọi là tần suất giá trị xi Số Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho phân bố vào k lớp (k<n) Xét lớp thứ i (i = 1, 2, 3, …,k) k lớp đó, ta có: Số ni các số liệu thống kê thuộc lớp i gọi là tần số lớp đó ni n gọi là tần suất lớp thứ i Số Chú ý:Trong bảng phân bố tần suất, tần suất tính dạng tỉ số phần trăm fi  II BIỂU ĐỒ Cách vẽ biểu đồ tần suất, tần số hình cột a/ Cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột Để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp và trình bày các số liệu thống kê, có thể vẽ biểu đồ tần suất hình cột sau: Chọn hệ trục tọa độ vuông góc Oxy với đơn vị trên trục hoành Ox dấu hiệu X nghiên cứu, đơn vị trục tung Oy là 1% Để đồ thị cân đối, đôi phải cắt bỏ đoạn nào đó trục hoành (hoặc trục tung) Trên trục hoành, đặt các khoảng có các mút biểu diễn cho các mút các lớp bảng phân bố tần suất (độ dài các khoảng bề rộng các lớp) Ta gọi các khoảng và các lớp này tương ứng với Lấy các khoảng đó làm cạnh đáy, vẽ các hình chữ nhật có độ dài các đường cao tần suất các lớp tương ứng và nằm vế phía chiều dương trục tung Các hình chữ nhật vừa vẽ lập thành biểu đồ tần suất hình cột b/ Cách vẽ biểu đồ tần số hình cột tương tự Cách vẽ đường gấp khúc tần suất, tần số a/ Giá trị đại diện Trong bảng phân bố ghép lớp, ta gọi số trung bình cộng hai mút lớp thứ i là giá trị đại diện lớp đó, kí hiệu là ci b/ Cách vẽ đường gấp khúc tần suất Cũng có thể mô tả bảng phân bố ghép lớp cách vẽ đường gấp khúc tần suất sau: c; f  i i Trên mặt phẳng tọa độ Oxy (hệ tọa độ Oxy đã nói trên), xác định các điểm i = 1, 2, …,k, đó ci và fi lận lượt là giá trị đại diện, tần suất các lớp bảng phân bố (gồm k lớp) Vẽ các c ; f  i i đoạn thẳng nối điểm với điểm gọi là đường gấp khúc tần suất c i 1 ; fi 1  , i = 1, 2,…,k – 1, ta thu đường gấp khúc, c/ Cách vẽ đường gấp khúc tần số tương tự Biểu đồ hình quạt: B1: Vẽ đường tròn, xác định tâm nó B2: Tính các góc tâm hình quạt theo công thức a0=f.3,6 (trong đó f là tần suất) III SỐ TRUNG BÌNH CỘNG SỐ TRUNG VỊ MỐT Số trung bình cộng (hay số trung bình) x là số trung bình cộng các số liệu thống kê a/ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất: x  n x  n x   nk xk   f1 x1  f2 x2   fk xk n 1 2 đó ni, fi là tần số, tần suất giá trị xi, n là số các số liệu thống kê n1  n2   nk n b/ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: x  n c  n c   nk ck   f1c1  f2c2   fk ck n 11 2 đó ci, ni, fi là giá trị đại diện, tần số, tần suất lớp thứ i, n là số các số liệu thống kê n1  n2   nk n Số trung vị: Định nghĩa: Giả sử có mẫu gồm n số liệu xếp theo thứ tự không giảm n 1 Nếu n là số lẻ thì số liệu đứng thứ (số liệu đứng chính giữa) gọi là số trung vị n n Nếu n là số chẵn, ta lấy số trung bình cộng hai số liệu đứng thứ và +1 làm số trung vị Số trung vị, kí hiệu là Me Mốt: Khái niệm: Mốt bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn và kí hiệu là MO IV PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN: Công thức tính phương sai: 1 n x  x s  n  1 2   n  x  x    n  x  x    f  x  x   f  x  x    f  x  x   x 2 k 2 k 2 k k * Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất: Trong đó ni , fi là tần số, tần suất giá trị xi ; n là các số liệu thống kê (n= n +n + … +nk); x là số trung bình cộng các số liệu đã cho * Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: 1 n c  x s  n  1  f  c  x x Trong đó 2 2   n  c  x    n  c  x    f  c  x    f  c  x  2 k 2 k 2 k k ci , ni , fi là giá trị đại diện, tần số, tần suất giá trị xi ; n là các số liệu thống kê (n= n1+n2+ … +nk); x là số trung bình cộng các số liệu đã cho Ngoài ra, người ta còn chứng minh công thức sau: bình cộng các bình phương số liệu thống kê, tức là x2  n1 x12  n2 x22   nk xk2 n   sx2 x  ( x )2 đó x là trung  f1 x12  f2 x22   fk x k2 (đối với bảng tần số, tần suất) x2  n c  n2 c22   nk ck2 n 11    f1c12  f2 c22   fk ck2 (đối với bảng tần số, tần suất ghép lớp) Độ lệch chuẩn Phương sai sx2 sx  sx2 và độ lệch chuẩn sx dùng để đánh giá mức độ phân tán các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng) Nhưng cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng vì sx có cùng đơn vị với dầu hiệu nghiên cứu sx , Chương VI: LƯỢNG GIÁC TÓM TẮT KIẾN THỨC Độ và radian:  180   (rad )  180  1(rad )        180 (rad); ; Các hệ thức bản: * tan   sin   cos  0  cos  ; * cot   cos   sin  0  sin  * sin   cos  1,  ; 2  tan   cos2   cot   sin  * *        k , k  Z    (  k , k  Z)   k tan  cot  1    , k  Z   * Các hệ cần nhớ: sin(  k 2 ) sin  ; tan(  k ) tan  ; cos(  k 2 ) cos  cot(  k ) cot      k , k  Z tan  xác định cot  xác định  k , k  Z  sin  1  cos  1 Dấu các giá trị lượng giác: Góc phần tư GTLG sin cos tan cot I + + + + II + – – III – – + + IV + – – Các cung liên kết: a Cung đối:  và   cos(  ) cos  ; tan(  )  tan  ; sin(  )  sin  cot(  )  cot  b Cung bù:  và    sin(   ) sin  ; tan(   )  tan  ; cos(   )  cos  cot(   )  cot    c Cung phụ:  và   sin     cos  ; 2    tan     cot  ; 2  d Cung sai kém  :  và    tan(   ) tan  ; sin(   )  sin  ;   cos     sin  2    cot     tan  2  cot(   ) cot  cos(   )  cos     e Cung kém :  và   sin     cos  ; 2    tan      cot  ; 2  Các công thức biến đổi: a Công thức cộng:   cos      sin  2    cot      tan  2   sin(a  b) = sina cosb  cosa sinb  cos(a  b) = cosa cosb  sina sinb  tan a  tan b  tan a tan b tan(a  b) =  tan a tan b cot(a  b) = tan a tan b Lưu ý: a Khi tính GTLG các góc không đặc biệt ta phân tích góc đó thành tổng, hiệu hai góc đặc biệt dùng công thức cộng b Khi chứng minh đẳng thức lượng giác tam giác ta thường dùng tính chất: A B  C    2 2 b Công thức nhân đôi: A  B   C ,   sau đó dùng công thức cộng và cung liên kết để c/m sin2a = sina cosa cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a tan a cot a   tan2a =  tan a ; cot2a = cot a x t tan * Công thức tính theo 2t 2t  t2 tan x  ;sin x  ; cos x   t2 1 t2 1 t2 c Công thức hạ bậc: Lưu ý:  cos 2a cos2a = ;  cos 2a sin2a = ; * Dạng đặc biệt: A = cosa.cos2a.cos4a…cos2na B = sina.cos2a.cos4a…cos2na Cách tính: (1) (2) - Nhân hai vế (1) với sina và hai vế (2) cho cosa sin a.cos a  sin 2a - Dùng công thức nhiều lần - Cuối cùng có thể dùng liên kết để rút gọn  cos 2a  cos 2a tan2a = * Khi chứng minh hay rút gọn đẳng thức, biểu thức lượng giác ta thường chọn góc chuẩn, đổi các góc khác góc chuẩn công thức nhân đôi Sau đó dùng hệ thức để làm bài * Khi tính GTLG góc không đặc biệt, ta nhân đôi góc đó để góc đặc biệt sau đó dùng công thức nhân để tính d Công thức biến đổi tích tổng: [sin(a  b)  sin(a  b)] sina.cosb = [cos(a  b)  cos(a  b)] cosa.cosb = [cos(a  b)  cos(a  b)] sina.sinb = e Công thức biến đổi tổng tích:   AB A B cos sinA + sinB = 2sin  AB A B sin sinA – sinB= 2cos  AB A B cos cosA + cosB = 2cos  AB A B sin cosA – cosB = –2sin  sin(  )     ;    k , k  Z  cos  cos     tan hay = sử dụng: Một số công thức biếntan đổi thường   sin x  cos x  sin  x   4  *   sin x  cos x  cos  x   4  *   sin x  cos x  sin  x   4  *   cos x  sin x  cos  x   4  * f Giá trị lượng giác các cung đặc biệt: 00 Góc 300 sin cos tan cot || 450 600   2  3 2 2 3 1 3 900 1200 1350 1500  2 3 –2 2 5 2 – – ||  1  1 1 – – 1800  1 ||