Gọi O’ là điểm đối xứng với O qua G.[r]
(1)§¸p ¸n to¸n vßng Tõ (a2 + b2) ⋮ (ab – 1) (1) a b v× nÕu a = b th× 2a2 ⋮ (a2 – 1) ⋮ (a2 – 1) a2 – = hoÆc a2 – = (v« lý) Gi¶ sö a >b * Trêng hîp 1: NÕu b = th× (1) (a2 + 1) ⋮ (a –1) ⋮ (a – 1) a= a = đó: 2 a +b a +1 = =5 ab −1 a −1 * Trêng hîp 1: XÐt b >1, tõ (1) b2(a2 + b2) ⋮ (ab –1) (b4 + 1) ⋮ (ab –1) b +1 ab −1 ta cã kab – k = b4 + k + ⋮ b c N*: k = bc – Ta cã b4 + = (ab – 1)(bc – 1) §Æt k = Khi đó ¿ b2 (b 2+ c 2) b4 +1 =k +1+ =bc+ab bc −1 bc −1 b2 (a2 +b 2) b +1 =ab+ 1+ =ab+ bc ab −1 ab −1 ¿{ ¿ a2 +b2 b 2+ c2 = ab −1 bc −1 Râ rµng b c V× a > b > ab – = b2 + + b(a-b) > b2 + (b2 + 1)2 > b4 + = (ab – 1)(bc – 1) (b2 + 1)(bc – 1) b2 + > bc – > b(c - b) b > c 2 NÕu c = th× t¬ng tù trêng hîp ta cã a +b = b +1 =5 ab −1 b −1 2 2 2 Nếu c > thì lập luận nh trên: d, d < c để a +b = b + c = c +d ab −1 bc −1 cd −1 TiÕp tôc nh vËy qu¸ tr×nh nµy ph¶i kÕt thóc, tøc lµ tån t¹i d·y c¸c sè h÷u h¹n 2 2 2 a > b > c > d > u > cho a +b = b + c = c +d = = u +1 ab −1 Khi đó: u 2+1 =5 u −1 bc −1 cd −1 u−1 (TH1) (®pcm) Bµi 2: Ta cã P = (x + y + z)( x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = (x + y + z)(2 – xy – yz – zx) §Æt t = x + y + z (*) t2 = (x + y + z)2 3(x2 + y2 + z2) = − √ ≤ t ≤ √6 (*) xy + yz + zx = t − 2 Khi đó : P = t 2− t − =3 t − t 2 XÐt f(t) = t 2− t − =3 t − t víi t 2 ( ( ) ) 3t 3 ± √2 ; f’(t) = t = f’(t) = B¶ng biÕn thiªn cña f(t): [ −√ ; √ 6] (2) t f'(t) f(t) - + - √6 - √2 - √2 + √6 √2 0 -2 √ Tõ b¶ng biÕn thiªn -2 √ P √ ¿ x= y=0 P = -2 √ z=− √ ¿{ ¿ ¿ x= y=0 P = √ z= √2 ¿{ ¿ VËy PMax = √ VËy PMin = -2 √ Bµi 3: x = y = 1: f2(1) = f(1) f(1) = v× f(1) > x = y = -1: f2(-1) = f(1) f(-1) = f(-x) = f(-1).f(x) = f(x) f lµ hµm sè ch½n Ta chØ cÇn xÐt víi x>0; y>0 Giả sử n N*: f(n) > Đặt f(n) = , >1 Khi đó k N* cho k>2006 f(nk) = fk(n) = k > 2006 m©u thuÉn VËy f(n) víi n N* Trêng hîp 1: NÕu ∃ n N*, n > cho f(n) < tøc lµ f(n) = n N* V× f ch½n f(n) =1: n Z* Víi x = p ; p, q Z* ta cã = f(p) = f(q.x) = f(q).f(x) = f(x) q VËy f(x) = 1, x Q* vµ f(0) = Thö l¹i f(x) tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn Trờng hợp 2: Nếu tồn n N*, n > cho f(n) < Khi đó tồn số nguyªn tè p cho f(p) < XÐt q lµ sè nguyªn tè bÊt kú, q p, ta chøng minh f(q) = ThËt vËy gi¶ sö tån t¹i q nguyªn tè q p cho f(q) < Ta chän k, l N* cho fk (q) < , fl (q) < f (qk) < ; f (ql) < 2 2 Do (p,q) =1 (pk, ql) =1 u,v Z: pk.u+ ql.v = Khi đó = f(1) = f(pk.u+ ql.v) = f(pk.u)+ f(ql.v) f(pk).f(u)+ f(ql).f(v) < + = (m©u thuÉn) 2 VËy tån t¹i nhÊt sè nguyªn tè p cho f(p) < §Æt f(p) = , < <1 Víi a N*, (a,p) = ta cã f(a) = Với x Q* : x = a pm đó a,b Z* , m Z và (ab,p) = b (3) Ta cã f(x) = f ( a) f(pm) = fm(p) = m Do đó f(0) = 0; f(x) = m với x 0, x f (b) = a pm, ë ®©y a,b Z*, m Z vµ (ab,p) = Thö l¹i f tháa m·n b Tãm l¹i: f(0) = 0, f(x) = víi x Hoặc f(0) = 0, f(x) = m với < = f(p) < 1, x = a pm đó a,b Z*, b m Z vµ (ab,p) = Bµi 4: Gäi I, J, G lÇn lît lµ trung ®iÓm AB, CD vµ träng t©m tø diÖn ABCD Ta có G là trung điểm IJ Gọi O’ là điểm đối xứng với O qua G XÐt mÆt ph¼ng () qua I vµ vu«ng gãc víi CD Ta cã: ¿ OJ ⊥CD O' I // OJ ¿{ ¿ IO' CD V× () CD nªn IO' () O' () T¬ng tù O' n»m trªn mÆt ph¼ng cßn l¹i suy ®pcm Bµi Bµi Néi dung ®iÓm Tõ (a2 Bµi 1: (5®iÓm) Tõ (a2 + b2) §iÓm (4)