Do f vừa nửa liên tục trên vừa nửa liên tục dưới tại x 0 nên f liên tục tại x0.[r]
(1)Nguyễn Văn Xá ðề bài: Cho tập lồi X ⊂ ℝ n (n ∈ ℕ*), có int X ≠ ∅ Cho hàm lồi f : X → ℝ Chứng minh f liên tục trên int X n ∑ xi Bài làm: Trên ℝ n ta xét chuẩn thông thường x := i =1 T e1 = (1;0; ;0)T , e = (0;1;0; ;0)T , , e n = (0; ;0;1) , x = ( x1; ; xn )T ∈ ℝ n Ta kí hiệu là các vectơ ñơn vị ℝ n Lấy tuỳ ý { } x = ( x10 ; ; xn0 )T ∈ int X , ta ñi chứng minh f liên tục x0 Gọi Br = x ∈ ℝ n : x ≤ r là hình cầu ñóng ℝ n với tâm gốc và ta có thể chọn r > ñủ nhỏ ñể x + B r ⊂ int X n n Với x = ( x1, , xn ) ∈ Br ⇒ ≤ xi ≤ ∑ xi ≤ n T ∑ xi i =1 n n x = ∑ xi e = ∑ λi u i với ≤ λi := i i =1 i =1 xi r n ≤ = x n ≤ r n (i = 1, , n) và i =1 x ≤ 1, u i := rei xi ≥ 0, u i := − rei xi < r n n i =1 i =1 ∑ λi ≤ ðặt λn+1 = − ∑ λi (i = 1, , n) Khi ñó thì ≤ λi ≤ (∀i = 1, , n + 1) và n+1 ∑ λi = i =1 Coi u n+1 = Ta thấy u i ≤ r nên x + u i ∈ x + Br ⊂ int X (∀i = 1, , n + 1) Do f là hàm lồi n +1 n+1 n+1 trên X nên f ( x + x ) = f ( x + ∑ λiu ) = f (∑ λi ( x + u )) ≤∑ λi f ( x0 + u i ) Tiếp theo, ta ñặt 0 i i =1 { i i =1 i =1 A = max f ( x + rei ) − f ( x ) , f ( x − rei ) − f ( x ) , với i = 1, , n} Khi ñó n+1 ( ) n n i =1 i =1 f ( x + x ) − f ( x ) ≤ ∑ λi f ( x + u ) − f ( x ) ≤∑ λi A + λn+1.0 ≤∑ 0 i =1 i x nA A= x r r nA → nên với ε > nhỏ tuỳ ý luôn tồn số thực δ ∈ ( 0; r ) r nA cho f ( x + x) − f ( x ) ≤ x ≤ ε với x ∈ Bδ Dẫn tới f nửa liên tục trên x , mà r Do x → kéo theo x x0 tuỳ ý thuộc int X nên f nửa trên trên int X , suy f nửa liên tục trên trên tập compact x + Br ⊂ int X Theo ñịnh lí Weierstrass, f ñạt cực ñại trên tập compact ñó, tức là tồn x ∈ Br cho f ( x + x) ≤ f ( x0 + x) = M , ∀x ∈ B r Bây giờ, với x ∈ Br \ {0} ta ñặt −1 x t x ⇒ z − x = r ⇒ z ∈ x + Br ⇒ f ( z ) ≤ f ( x0 + x) = M t = 1 + ∈ ( 0;1) và z = x − 1− t r Do x0 = t ( x + x0 ) + (1 − t ) z, z ∈ x0 + Br ⊂ int X , x + x0 ∈ x0 + Br ⊂ int X , t ∈ ( 0;1) , và f lồi nên f ( x ) ≤ tf ( x + x0 ) + (1 − t ) f ( z ) ≤ tf ( x + x ) + (1 − t ) M , biến ñổi ta thu ñược 1− t 1− t f ( x + x0 ) − f ( x0 ) ≥ f ( x0 ) − M Cho x → thì t → 1− và f ( x0 ) − M → , suy t t ( ) ( ) với ε > nhỏ tuỳ ý luôn tồn số thực δ ∈ ( 0; r ) ñể f ( x + x ) − f ( x ) ≥ −ε với x ∈ Bδ \ {0} , ñương nhiên bất ñẳng thức f ( x + x ) − f ( x ) ≥ −ε ñúng x = Như f nửa liên tục x0 Do f vừa nửa liên tục trên vừa nửa liên tục x nên f liên tục x0 (Mà x lấy tùy ý thuộc intX nên f liên tục trên intX.) (2)