Chưa hết, còn lấy bài của tôi làm cách hai của thầy.. Là một thầy giáo mà như vậy hả?..[r]
(1)x + 2y + x + y2 + Trích bài toán Phạm Văn Đại Bài Cho x, y là các số thực Tìm giá trị lớn biểu thức P = Bất đẳng thức Cauchy: Cho a, b là hai số không âm Ta có a + b ≥ ab Dấu xảy a = b Bất đẳng thức trị tuyệt đối A ≥ A Dấu xảy A ≥ Ta có x2 + ≥ x2 = x ≥ 2x , với x y2 + ≥ y2 = y ≥ 4y , với y Suy x + y2 + ≥ 2x + y ⇔ x2 + y2 + ≥ 2x + 4y + = ( x + 2y + ) x + 2y + 1 ≤ 2 x +y +7 x = x = x = x Dấu '' = '' xảy ⇔ y = y = y = y HẾT -⇔P= Huỳnh Đức Khánh 0975.120.189 – duckhanh0205@gmail.com Bài này là bài toán khó nên tôi không giải Nhưng tôi thấy thầy HOÀNG 0975 208 589 giải sai, giải bừa bãi mà rêu mình là luyện thi chuyên toán Chưa hết, còn lấy bài tôi làm cách hai thầy Là thầy giáo mà hả? (2) x − + x − 3x + = 2 x − + x2 − x + = ( x − 1) = ( ) 2x −1 −1 ( ) 2 x −1 = x2 + 2 − x − 2 + V 2x −1 −1 = 2x − 2x −1 = 2x − + ⇔ ⇔ 2x −1 −1 = + − 2x x − − = − x x − − = + − x 2x2 + ( ) − x − 2 + = ⇔ x = 1; x = − ới a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : (3) Bµi Cho a, b, c > Chøng minh r»ng: a b c a b c + + < + + b+a c+b a+c b+c c+a a+b Bµi T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : P = 4a 3b or 5b 16c Trong đó + + b+c−a a+c−b a+b−c a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Bài Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác và a + b + c = Chứng minh rằng: a + b + c + 2abc < Cho ba số dương a, b, c và thoả abc = Chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + ≥ (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c ≤ Chứng ming 2009 + ≥ 670 2 a +b +c ab + bc + ca (a + b + c) ≤ ta có ab + bc + ca ≤ a + b + c ⇒ ab + bc + ca ≤ 2007 ⇒ ≥ 669 ab + bc + ca Áp dụng câu ta có 1 2 + + ( a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ) ≥ 2 a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca 1 => + ≥ ≥1 a + b2 + c ab + bc + ca ( a + b + c )2 (4) 2009 + ≥ 670 dấu “=” sảy a = b = c = 2 a +b +c ab + bc + ca b) Chứng minh a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác có p là nửa chu vi th× p − a + p − b + p − c ≤ 3p ( ) b) Ta chøng minh: Víi ∀a, b, c th× ( a + b + c ) ≤ a + b + c (*) ThËt vËy (*) ⇔ a + b + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ≤ 3a + 3b + 3c2 ⇔ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ (luôn đúng) ¸p dông (*) ta cã: ( p−a + p−b + p−c ) ≤ ( 3p − a − b − c ) = 3p p − a + p − b + p − c ≤ 3p (®pcm) Suy b) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca a 2b + b c + c a Ta cã: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 mµ a3 + ab2 ≥ 2a2b (¸p dông B§T C«si ) b3 + bc2 ≥ 2b2c c3 + ca2 ≥ 2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2) ≥ 3(a2b + b2c + c2a) > ab + bc + ca a + b2 + c − (a + b + c ) 2 ⇒P≥a +b +c + 2(a + b + c ) Suy P ≥ a + b + c + 2 §Æt t = a2 + b2 + c2, ta chøng minh ®-îc t ≥ Suy P ≥ t + 9−t t t = + + − ≥ 3+ − = ⇒ P ≥ 2t 2t 2 2 DÊu b»ng x¶y vµ chØ a = b = c = VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ Câu 2: (1,5 điểm) Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt Chứng minh a2 b2 c2 + + ≥2 (b − c)2 (c − a) (a − b) Nội dung trình bày + Phát và chứng minh (5) bc ca ab + + =1 (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a )(c − b) + Từ đó, vế trái bất đẳng thức cần chứng minh bằng: b c bc ca ab a + + + + ≥2 + 2 b−c c −a a −b (a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b) Câu (1,0 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+ b + c =4 Chứng minh : a + b3 + c > 2 4a + 4b3 + 4c3 = ( a + b + c ) a + ( a + b + c ) b3 + ( a + b + c ) c3 > a + b4 + c4 = a+b+c =4 Do đó, Đặt x = a + b3 + c3 > 4 = =2 4 a; y = b;z = c => x, y , z > và x4 + y4 + z4 = BĐT cần CM tương đương: x3 + y3 + z3 > 2 hay (x3 + y3 + z3 ) > = x4 + y4 + z4 x3( -x) + y3( -y)+ z3( -z) > (*) Ta xét trường hợp: - Nếu sô x, y, z tồn it nhât sô ≥ , giả sử x ≥ thì x3 ≥ 2 Khi đo: x3 + y3 + z3 > 2 ( y, z > 0) - Nếu sô x, y, z nhỏ < thì BĐT(*) luôn đung Vậy x + y3 + z3 > 2 CM Câu (1đ) Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = Chứng minh rằng: + ≥3 x y a b2 ( a + b ) + ≥ x y x+ y Ta có x + 2y = ⇒ x = – 2y , vì x dương nên – 2y > 2 y + − 4y − 3y(3 − 2y) 6(y − 1)2 Xét hiệu + − = ≥ ( vì y > và – 2y > + −3 = = x y − 2y y y(3 − 2y) y(3 − 2y) 0) x > 0, y > x > 0, y > x = 1 ⇒ + ≥ dấu “ =” xãy ⇔ x = − 2y ⇔ x = ⇔ x 2y y = y − = y = Câu VI ( 1,0 điểm) (6) 1 + = Tìm giá trị lớn biểu thức a b 1 Q= + 2 a + b + 2ab b + a + 2ba Cho số dương a, b thỏa mãn Với a > 0; b > ta có: (a − b)2 ≥ ⇔ a − 2a 2b + b ≥ ⇒ a + b ≥ 2a 2b ⇔ a + b + 2ab ≥ 2a 2b + 2ab 1 ⇔ ≤ (1) 2 a + b + 2ab 2ab ( a + b ) 1 ≤ b + a + 2a b 2ab ( a + b ) Tương tự có (2) Từ (1) và (2) ⇒ Q ≤ ab ( a + b ) 1 1 + = ⇔ a + b = 2ab mà a + b ≥ ab ⇔ ab ≥ ⇒ Q ≤ ≤ a b 2(ab) 1 Khi a = b = thì ⇒ Q = Vậy giá trị lớn biểu thức là 2 Vì 2 Câu (1.0 điểm) : Cho a,b,c là các số dơng không âm thoả mãn : a + b + c = a b c Chứng minh : + + ≤ a + 2b + b + 2c + c + 2a + 2 2 a b2 ( a + b ) a2 b2 c2 ( a + b + c ) * C/M bổ đề: và + ≥ + + ≥ x y x+ y x y x x+ y+z Thật a b2 ( a + b ) 2 + ≥ <=> a y + b x ( x + y ) ≥ xy ( a + b ) <=> ( ay − bx ) ≥ x y x+ y (Đúng) ⇒ ĐPCM ( ) a2 b2 c2 ( a + b + c ) Áp dụng lần , ta có: + + ≥ x y x x+ y+z 2 * Ta có : a + 2b + = a + 2b + + ≥ 2a + 2b + , tương tự Ta có: … ⇒ a b c a b c A= + + ≤ + + a + 2b + b + 2c + c + 2a + 2a + 2b + 2b + 2c + 2c + 2a + 1 a b c ⇔ A≤ + + (1) a + b +1 b + c +1 c + a +1 B a b c + + ≤1 a + b +1 b + c +1 c + a +1 a b c ⇔ −1 + −1+ − ≤ −2 a + b +1 b + c +1 c + a +1 −b − −c − −a − ⇔ + + ≤ −2 a + b +1 b + c +1 c + a +1 b +1 c +1 a +1 ⇔ + + ≥2 a + b +1 b + c +1 c + a +1 Ta chứng minh ( b + 1) ( c + 1) ( a + 1) ⇔ + + ≥2 a + b + 1)( b + 1) ( b + c + 1)( c + 1) ( c + a + 1)( a + 1) ( 2 3− B (2) (7) * Áp dụng Bổ đề trên ta có: ( a + b + c + 3) ( a + b + 1)( b + 1) + ( b + c + 1)( c + 1) + ( c + a + 1)( a + 1) ( a + b + c + 3) (3) ⇒ 3− B ≥ ⇔ 3− B ≥ a + b + c + ab + bc + ca + 3(a + b + c) + * Mà: a + b + c + ab + bc + ca + 3(a + b + c) + 3 = 2a + 2b + 2c + 2ab + 2bc + 2ca + 6a + 6b + 6c + = 2a + 2b + 2c + 2ab + 2bc + 2ca + 6a + 6b + 6c + ( Do : a + b + c = 3) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca + 6a + 6b + 6c + = ( a + b + c + 3) ⇒ ( a + b + c + 3) a + b + c + ab + bc + ca + 3(a + b + c) + Từ (3) và (4) ⇒ (2) Kết hợp (2) và (1) ta có điều phải chứng minh Dấu = xảy a = b = c = =2 (4) (8)