ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAC cân đỉnh A và SC = 4a.. Gọi M là trung điểm của đoạn SC.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIÊN GIANG ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I - LỚP 12 THPT MÔN: TOÁN Ngày kiểm tra: 15/12/2011 Thời gian làm bài: 90 phút; (Đề thi có 01 trang) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) x − 3x + x 2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) điểm có hoành độ x0 , biết f / / ( x0 ) = Câu I (3,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x) = Câu II (3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAC cân đỉnh A và SC = 4a Gọi M là trung điểm đoạn SC 1) Tính thể tích khối chóp S ABCD , theo a 2) Chứng minh M là tâm mặt cầu qua các đỉnh hình chóp S ABCD Tính diện tích mặt cầu này, theo a 3) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ( AMD) , theo a Câu III (1,0 điểm) Tìm cực trị hàm số y = x2 − ex II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn: Câu IV.a (2,0 điểm) 1) Giải phương trình 27.9 x + 242.3x − = 2) Giải bất phương trình log (2 x) + ≤ log x Câu V.a (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số f ( x) = x − x + trên đoạn [1; 4] Theo chương trình Nâng cao : Câu IV.b (2,0 điểm) 1) Giải phương trình 2.log 52 x + 17.log x − = 2) Giải phương trình e x − − ln(1 + x) = Câu V.b (1,0 điểm) Tìm các tiệm cận đồ thị hàm số y = x2 − x − x −1 Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm (2) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIÊN GIANG −−−−−−−−−− (Đáp án này gồm có 03 trang) Câu I 1) 2,0 đ ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I MÔN TOÁN LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011−2012 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Đáp án * TXĐ : D = R (0,25đ) * y / = x − x + ; (0,25đ) 2 ⎡x = y/ = ⇔ ⎢ (0,25đ) ⎣x = * Giới hạn : lim y = −∞ ; lim y = +∞ (0,25đ) x →−∞ * BBT * Đồ thị x →+∞ x −∞ y’ + − y +∞ + (0,5đ) (0,25đ) +∞ −∞ Hàm số đồng biến trên (−∞ ; 1) và (3 ; +∞) ; nghịch biến trên (1 ; 3) (0,25đ) Hàm số đạt cực đại x = , yCÑ = ; đạt cực tiểu x = , yCT = I 2) 1,0đ II 1) 1,0đ • f / / ( x) = x − ; f / / ( x0 ) = ⇔ x0 = (0,25đ) • y0 = và f / (4) = (0,25đ) • Phương trình tiếp tuyến : y − y0 = f / ( x0 )( x − x0 ) (0,25đ) ⇔ y = x − 16 (0,25đ) • ∆SAC vuông cân A và SC = 4a nên SA = AC = 2a (0,25đ) • Cạnh hình vuông 2a (0,25đ) 2a • VS ABCD = SA.S ABCD = (mỗi ý 0,25đ) 3 S M A B II 2) 1,0đ D C • Vì BC ⊥ SA và BC ⊥ AB nên BC ⊥ ( SAB) Suy BC ⊥ SB (0,25đ) • Tương tự CD ⊥ SD (0,25đ) n = SDC n = SAC n = 900 nên S , A, B, C , D cùng thuộc mặt cầu đường kính SC, tâm M, • Do SBC SC = 2a (0,25đ) bánh kính r = • Diện tích mặt cầu này : 4π r = 16π a (0,25đ) Trang (3) II 3) • Ta có d ( S , ( AMD)) = 1,0đ • Vì 3VSAMD (0,25đ) S AMD VSAMD SM 1 2a (0,25đ) = = nên VSAMD = VSACD = VSACD SC • Ta có MA = MD = 2a = AD nên S AMD = 3a (0,25đ) • d ( S , ( AMD)) = III 1,0đ 2a (0,25đ) • TXĐ : D = R − x2 + x + (0,25đ) • y/ = ex ⎡ x = −1 • y/ = ⇔ ⎢ (0,25đ) ⎣x = x y’ −1 −∞ − + 1,0đ IV.a 2) 1,0đ V.a 1,0đ (0,25đ) e3 • Đặt t = 3x , t > (0,25đ) ⎡ t= • Ta phương trình 27.t + 242.t − = ⇔ ⎢ 27 ⎢ ⎣t = −9 (loại) (Tìm hai nghiệm theo t chấm 0,25đ, biết loại nghiệm : 0,25đ) 1 •t= ⇔ 3x = ⇔ x = −3 (0,25đ) 27 27 • Điều kiện : < x ≠ (0,25đ) • Bất phương trình viết lại : + log x + ≤ (0,25đ) log x ⎡t < t − 4t + • Đặt t = log x ta t + − ≤ ⇔ (0,25đ) ≤0⇔⎢ t t ⎣t = ⎡0 < x < (0,25đ) • ⇔⎢ ⎣ x=4 ⎡ x = (loại) • f / ( x) = 12 x − x3 ; f / ( x) = ⇔ ⎢ (0,25đ) ⎣x = • f (1) = ; f (3) = 28 ; f (4) = (0,25đ) • max f ( x) = f (3) = 28 (0,25đ) [1;4] • f ( x) = f (4) = (0,25đ) [1;4] IV.b 1) 1đ − y • Hàm số đạt cực tiểu x = −1, yCT = −2e ; đạt cực đại x = 3, yCÑ = IV.a 1) +∞ • Điều kiện : x > ⎡ t= • Đặt t = log x ta phương trình 2.t + 17t − = ⇔ ⎢ (0,25đ) ⎢ (0,25đ) ⎣t = −9 1 • t = ⇔ x = (0,25đ) • t = −9 ⇔ x = 5−9 (0,25đ) Trang (0,25đ) (4) IV.b 2) 1đ • Điều kiện x > −1 • Xét hàm số y = e x − − ln(1 + x) Ta có y / = e x − (0,25đ) 1+ x x y’ (0,25đ) −1 − 1đ + y nghịch biến trên 1+ x (−1; +∞) nên phương trình y / = ⇔ e x = có nghiệm x = (0,25đ) 1+ x • Từ BBT y = e x − − ln(1 + x) ta có phương trình đã cho có nghiệm x = (0,25đ) • lim− y = +∞ , lim+ y = −∞ (0,25đ) • Vì f ( x) = e x đồng biến và g ( x) = V.b +∞ x →1 x →1 nên đường thẳng x = là tiệm cận đứng đồ thị hàm số (0,25đ) −3 • lim ( y − x − 1) = lim = (0,25đ) x →±∞ x →±∞ x − nên đường thẳng y = x + là tiệm cận xiên đồ thị hàm số (0,25đ) Chú ý: • Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tối đa câu đó • Làm tròn điểm toàn bài : *,25đ → *,3đ *,5đ → *,5đ *,75đ → *,8đ (Trong đó, dấu * là đại diện cho số nguyên từ đến 9) Trang (5)