Nhận xét: Bài toán sử dụng kĩ thuật thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi Đây là phương pháp rất lôi cuốn học sinh, bằng cách thêm các số hạng phù hợp và sử dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi[r]
(1)ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2012 - 2013 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG TRƯỜNG THPT THÔNG NÔNG Lời giải giải bởi: http://violet.vn/nguyenkimhoi Câu I (2 điểm) Cho hai đường thẳng song song d và d’ Trên d có 10 điểm phân biệt, trên d’ có n điểm phân biệt n ≥ Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Hãy tìm n Bài giải: Cách 1: Chọn đỉnh trên đường thẳng d và đỉnh trên đường thẳng d’ có C 101 C n2 tam giác Chọn đỉnh trên d và đỉnh trên d’ ta có: C 102 C n1 tam giác Theo đề bài ta có: C 10 C n2 + C 10 C n1 = 2800 ↔ 5n + 40n − 2800 = n = 20 ↔ n = −28 Vì n ≥ → n = 20 Cách 2: Cứ điểm tạo thành tam giác nên ta có: C n3+10 tam giác Trên d có 10 điểm thẳng hàng nên có : C 103 không phải là tam giác Trên d’ có n điểm thảng hàng nên có: C n3 không phải là tam giác Theo đề bài ta có ngay: C n3+10 − C 103 − C n3 = 2800 Giải ta kết trên Nhận xét: Bài toán kiểm tra quy tắc cộng và quy tắc nhân Làm theo cách cẩn kiến thức tổ hợp là (2) Câu II (2 điểm) Giải phương trình: sin x + cos x + tan 2x + cos 2x = sin x − cos x Bài giải: Điều kiện: c os2x ≠ Phương trình tương đương với: −(sin x + cos x )2 sin 2x +2 + cos 2x = cos 2x cos 2x ↔ −(sin x + cos x )2 + sin 2x + cos2 2x = ↔ −1 − sin 2x + cos2 2x = ↔ sin2 2x − sin 2x = sin 2x = ↔ sin 2x = + sin 2x = → c os2x = (loại) + sin 2x = ↔ x = kπ (k ∈ Z ) Nhận xét: Giải phương trình lượng giác tương đương mức độ đề thi đại học Đề bài cho sin x + cos x và cos 2x giúp ta có mối liên hệ sin x − cos x Để giải tốt học sinh cần thuộc công thức cos 2x = cos2 x − s in x=-(sinx − cos x )(sinx + cos x ) Câu III (4 điểm) Giải phương trình: log2 (x + 2) + log4 (x − 5)2 + log = (*) x > −2 x ≠ Bài giải: Điều kiện (*) ↔ log ( x + ) + log x − = ↔ ( x + ) x − = x > x > ( x + )( x − ) − = x − x − 18 = ↔ ↔ − < x < −2 < x < ( x + )( − x + ) − = − x + x + = x > x = −3 x = x = + 17 −2 < x < ↔ ↔ x = + 17 x = x = − 17 − 17 = x (3) Nhận xét: Đây là bài toán đơn giản phương trình logarit Học sinh cần lưu ý log4 (x − 5)2 = log2 x − Nếu không có dấu trị tuyệt đối bị thiết nghiệm Để khắc phục lỗi này ngoài cách trên ta có thể biến đổi: log4 (x + 2)2 + log4 (x − 5)2 + log = Cách này an toàn mà lời giải đẹp x y3 z Câu IV (4 điểm) Chứng minh với x , y, z > thì: + + ≥ x + y2 + z y z x Bài giải: Cách 1: x3 y3 z3 + xy ≥ x ; + yz ≥ y ; + zx ≥ z y z x Ta có: Cộng vế theo vế ta được: x y3 z3 + + + xy + yz+zx ≥ 2(x + y + z ) (1) y z x Chứng minh thêm: x + y + z ≥xy + yz + zx (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta điều phải chứng minh 3 x3 x3 y3 z3 2 y 2 z Cách 2: + + y ≥ 3x ; + + z ≥ y ; + + x ≥ 3z Cộng lại vế theo vế ta có y y z z x x điều phải chứng minh Nhận xét: Bài toán sử dụng kĩ thuật thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi Đây là phương pháp lôi học sinh, cách thêm các số hạng phù hợp và sử dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi ta có thể đạt kết không ngờ! Đây là bài toán khó đề thi cho các em học sinh học các trường THPT không chuyên vì bài toán bất đẳng thức lớp 10 các em không có nhiều thời gian luyện tập Câu V (4 điểm) Hàm số y = 2x − có đồ thị (C) x −1 a Giải bất phương trình y ' < b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy A, B mà OA=4OB Bài giải: a y ' = −1 (x − 1)2 Với điều kiện x ≠ (4) Ta có: y'<4 ↔ −1 (x − 1)2 ↔ 4(x − 1)2 < < −4 ↔ 4(x − 2x + 1) < ↔ 4x − 8x + < ↔ <x < 2 1 3 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: ;1 ∪ 1; b Giả sử tiếp tuyến d (C) điểm M (x ; y0 ) cắt Ox A và Oy B cho OA=4OB Do tam giác OAB vuông O nên tan A = OB = suy hệ số góc d OA 1 − 4 Hệ số góc d M là −1 −1 x = −1 → y '(x ) = y x '( ) < → = = ↔ x = (x − 1)2 (x − 1)2 y(−1) = y(3) = y = − (x + 1) + y = − x + ↔ 4 Khi đó ta có tiếp tuyến thỏa mãn là: y = − (x − 3) + y = − x + 13 4 Nhận xét: a Là câu dễ cho điểm học sinh b Đây là bài toán tương đương với đề thi đại học Học sinh có thể gọi tọa độ điểm A( x A ;0) và B (0; yB ) Sau đó tìm quan hệ x A = yB từ đó tìm hệ số k ( đa số học sinh THPT không chuyên làm theo cách này) Câu VI (4 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB=a, cạnh bên AA’=b, Gọi α là góc (ABC) và (A’BC) a Xác định góc α và tính tan α b Tính thể tích khối chóp A’BB’C’C Bài giải: a Gọi E là trung điểm BC, H là trọng tâm ∆ ABC Vì A'.ABC là hình chóp nên góc hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC) là α = A ' EH (5) a a a 9b − 3a 2 Tá có : AE = , AH = , HE = ⇒ A ' H = A ' A − AH = Do đó: tan α = A ' H 3b − a = ; HE a b S∆ABC a2 a 3b − a = ⇒ VABC A ' B ' C ' = A ' H S ∆ABC = 4 VA ' ABC = a 3b − a A ' H S∆ABC = 12 Do đó: VA ' BB ' CC ' = VABC A ' B ' C ' − VA ' ABC VA ' BB ' CC ' a 3b − a = A ' H S∆ABC = (đvtt) Nhận xét: Đây là bài toán cho hình lăng trụ xiên Điều quan trọng là học sinh biết cách dựng đường cao là bài này làm okie Nhận xét chung toán bài thi: - Đề kiểm tra học sinh - Kiến thức lớp 10 ít ( so với đề năm 2011-2012): Giải phương trình, bất phương trình vô tỉ và hệ phương trinh là bài toán hay nên khai thác - Kiến thức 12 phần logarit học sinh vừa học tới Học sinh THPT không chuyên làm vừa sức - Đề thi cần có nhiều tính http://violet.vn/nguyenkimhoi (6)