Tải Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp Huyện, phòng GD-ĐT Đức Thọ năm 2013 - 2014 - Đề thi môn Toán - Có đáp án

Chứng minh rằng BHM  BEC.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỨC THỌ

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MƠN TỐN 9

Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:

a) A 4 10 5  4 10 5 

b)

   

   

2 2 2

2 x y x x y y

x y B

xy x x y y x y

 

  

  với xy > 0; x  y Bài 2: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn y22xy 7x 12  0

Bài 3: Giải phương trình

a)

5 x x

x x

x x

 

   

 

     

    b)    

10 14

x 2013  x 2014 1

Bài 4: Cho ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (H  BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E

a) Chứng minh BEC  ADC Tính BE theo m = AB

b) Gọi M trung điểm BE Chứng minh BHM  BEC Tính AHM c) Tia AM cắt BC G Chứng minh

GB HD

BCAH HC

Bài 5: a) Cho    

3 2

x y 3 x y 4 x y  4

xy > Tìm GTLN

1 M

x y  

b) Với a, b, c số thực dương Chứng minh

5 5 3

2 2 2

a b c a b c

a ab b b bc c c ca a

 

  

     

Bài giải Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn

Bài 1: a) Đặt                

2

x 10 10 x 8

x

   Do A =

b)

   

   

 

  

 

x y x x y y

B

x x y y x y

Xét trường hợp x < y < 0; y < x < 0; x > y > y > x > ta đượcB1

Bài 2: Cách 1:              

2

y 2xy 7x 12 x y x x

Dó

x x

x x

  

 



    

  Từ ta tìm (x; y)  {(-3; 3); (-4; 4)}

Cách 2: y2 2xy 7x 12   0 4y28xy 28x  48 0 4y2 49 4x 2y 7    1 2y 2y 4x  

    

ta có

2y x

2y 4x y

             

2y x

2y 4x y

             

Bài 3: a) Cách 1: ĐKXĐ: x  -1 Đặt          x x a

x 

 

 x

x b

x Ta có                          2

5 x x 5x x x x x

a b x x

x x x

Do

a b ab

a b a

b                     

 Với

2

2

5 x

x

a x 1 x 3x

x 3x

b 5 x x 3x 0

x x                                          

x x 2   x x           Với   2 2 x x

a x 1 x 2x

x 2x x

b x x 2x

x x                                            

  , vô nghiệm

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1; 2}

Cách 2:      

                            

2

5 x x

x x 5x x x x x 5x 11x 13x

x x

   

 x4 5x311x213x 6  0 x2 3x x 2 2x 3 0 Từ ta tìm tập nghiệm S = {1; 2}

b)             

10 14

x 2013 x 2014 x 2013 x 2014

Ta có x = 2013, x = 2014 nghiệm phương trình Ta chứng minh nghiệm Xét x < 2013               

7

x 2014 x 2014 x 2014 x 2013 x 2014

Xét 2013 < x < 2014

5

0 x 2013 x 2013 x 2013

0 x 2013

1 x 2014 0 x 2014 x 2014 x 2014

                                

x 2013 x 2014 x 2013 x 2014 x 2013 2014 x

            

Xét x > 2014               

5

x 2014 x 2013 x 2013 x 2013 x 2014

Vậy phương trình có nghiệm x = 2013, x = 2014

Bài 4: a) Xét EDC BAC có

 



0

 EDC  BAC (g – g)

EC BC

DC AC

 

Xét BEC ADC có



EC BC

DC AC

C chung 

   

  BEC  ADC (c – g - c)  BEC ADC Mặt khác AH = HD (gt) nên

   

ADH 45 ADC 135 BEC 135 AEB 45

         AEB vng cân A Do BE m 2

b) Xét AHB CAB có

 



0

AHB CAB 90 (gt) B chung

  

  

  AHB  CAB (g – g)

2 2

AB BH BE BH BM BH

AB BH.BC 2AB 2BH.BC BE 2BH.BC

BC AB 2BC BE BC BE

           

(Vì BE = 2BM) Xét BHM BEC có 

BM BH

BC BE

MBH chung 

   

  BHM  BEC (c – g - c)

  

BHM BEC 135 AHM 45

    

c) Xét AHC BAC có

 



0

AHC BAC 90 (gt) C chung

  

  

  AHC  BAC (g – g)

AH AB

HC AC

 

(1) Mặt khác AEB vng cân A có AM trung tuyến AM phân giác hay AG đường phân giác ABC Suy

GB AB

GC AC (2) Từ (1) (2) ta có:

 

GB AH

GB.HC AH.GC GB.HC AH BC GB GB.HC AH.BC AH.GB

GC HC       

AH.GB GB.HC HD.BC

   (Vì HD = AH)  GB AH HC   HD.BC

GB HD

BC AH HC

 



Bài 5: a)    

3 2

x y 3 x y 4 x y  4

x y x xy y2 2 x xy y2 x2 2xy y2 4 x y  4 0

             

x2 xy y2x y 2 x y 22 1x y 2x 2xy 2y2 2x 2y 4

                 

   2  2  2

1

x y x y x y x y x y

2  

                

 

Mà xy > x, y <

Áp dụng BĐT CauChy ta có    

 x  y

x y

2   

   

nên xy ≤ 1,

2 xy 



Vậy

1 x y

M

x y xy



   

, GTLN M -2 Đạt x = y = -1

b) Cách 1: Ta có:     

3

3 2 3

2

a 2a b

3a 2a b a ab b a b ab a b

a ab b



         

 

A

B

C H

D E M

 2

2

a ab b ab a b

      

ln Do

3

2 2

a 2a b a 2a a b

a ab b a ab b

 

  

    Chứng minh tương tự ta được

5 5 3 3 3 2

2 2 2

a b c a b c a b c a b b c c a

a ab b b bc c c ca a 3

      

   

     

Mặt khác: Vai trò a, b, c nên giả sử a b c 0  

     

3 3 2 2 2

a b c  a b b c c a a a b    b b c c c a

        2       

2 2

a a b b b a a c c c a a b a b a c b c b c

               

Từ suy

5 5 3

2 2 2

a b c a b c

a ab b b bc c c ca a

 

  

      Dấu “=” xảy a = b = c

Cách 2: Áp dụng BĐT Bunhia mở rộng ta có

5 5 6

2 2 2 2 2 2

a b c a b c

a ab b b bc c c ca a a a b ab b b c bc c c a ca  3 32

3 3 2 2 2

a b c

a b c a b ab b c bc c a ca

 



       

Mặt khác    

2 2 3

a b  0 a  ab b ab a b ab a b

tương tự  

3

b c bc b c

 

3

c a ca c a

Suy        

3 3

2 a b c ab a b bc b c ca c a 

 3 3 3      

3 a b c a b c ab a b bc b c ca c a

 3 32 3 3 3

3 3 2 2 2

a b c a b c

a b c a b ab b c bc c a ca

   

 

       