a, Nªu ®iÒu kiÖn ph¶i cã cña x vµ rót gän biÓu thøc A b, Tìm những giá trị của x để A có giá trị nguyên.. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC.[r]
(1)đề thi học sinh giỏi môn toán Thêi gian: 120 phót x x x x 1 x C©u 1:(4 đ) Cho biÓu thøc A = ( x x - x x ): x a, Nªu ®iÒu kiÖn ph¶i cã cña x vµ rót gän biÓu thøc A b, Tìm giá trị x để A có giá trị nguyên C©u 2( 4đ) Cho c¸c ®iÓm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2) a Chøng minh ®iÓm A, B ,D th¼ng hµng; ®iÓm A, B, C kh«ng th¼ng hµng b TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC Câu ( đ): Gi¶i ph¬ng tr×nh : + √ x −1 = x C©u 4( điểm )Tìm các nghiệm nguyên phương trình: 5x – 3y = 2xy – 11 Câu 5: (6đ) Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính CD = 2R Điểm M di động trên đoạn OC Vẽ đờng tròn tâm (O’) đờng kính MD Gọi I là trung điểm đoạn MC , đờng th¼ng qua I vu«ng gãc víi CD c¾t (O) t¹i E vµ F §êng th¼ng ED c¾t (O’) t¹i P 1.Chøng minh ®iÓm P, M , F th¼ng hµng 2.Chứng minh IP là tiếp tuyến đờng tròn (O’) 3.Tìm vị trí M trên OC để diện tích tam giác IPO’ lớn đáp án C©u 1: C©u (2®) Câu a, Lập luận giải kết hợp để tìm điều kiện A ( x > 0, x 1, x 2) cho (0,25®) 2x2 2x biến đổi biểu thức ngoặc: x x (0,25đ) x2 x x 2 x A = x x x2 = x2 (0,25®) x 2( x 2) 8 x2 C©u b, A = x = = - x (0,25®) §Ó A nguyªn x nguyªn 8M(x+2) hay x+2 lµ ¦8 (0,25®) Vì x > x+2 > Do đó x+ = 2; x+2 = (0,25®) TÝnh x = hoÆc x = vi x nªn x =6 Th× A cã gi¸ trÞ nguyªn (0,25®) C©u 2: (2®) a.§êng th¼ng ®i qua ®iÓm A vµ B cã d¹ng y = ax + b Điểm A(-2;0) và B(0;4) thuộc đờng thẳng AB nên ⇒ b = 4; a = Vậy đờng thẳng AB là y = 2x + (0.5®) Điểm C(1;1) có toạ độ không thoả mãn y = 2x + nên C không thuộc đờng thẳng AB (0.25®) ⇒ A, B, C kh«ng th¼ng hµng Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + nên điểm D thuộc đờng thẳng AB ⇒ A,B,D th¼ng hµng (0.25®) b.Ta cã : AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20 AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10 BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10 (0.75®) ⇒ AB2 = AC2 + BC2 ⇒ ABC vu«ng t¹i C Vậy SABC = 1/2AC.BC = √10 √10=5 ( đơn vị diện tích ) (0.25®) Bµi 3: (2®iÓm) : 2+ √ x −1=x ⇔ √ x −1=x -2 (*) (2) ¿ x −1 ≥ x −2 ≥ ¿{ ¿ §K : ¿ ⇔ x≥2 x ≥2 ¿{ ¿ ⇔ x2-6x+5 = x≥ ⇔ (*) ⇔ 2x-1 = (x-2)2 ⇔ (x-1)(x-5) = + x-1=0 ⇔ x=1 (Kh«ng tháa m·n) +x-5 =0 ⇔ x=5 (tháa m·n) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x=5 C©u 4: Giải: Biểu thị y theo x: (2x + 3)y = 5x + 11 Dễ thấy 2x + ( vì x nguyên ) đó: y x 11 x 5 2 2x x Để y phải có x 52 x 2( x 5)2 x x 72 x 72 x Ta có: 2x + -1 -7 X -1 -2 -5 Y -1 5:(3®iÓm) Bµi ’ Do P thuộc (O ) mà MD là đờng kính suy góc MPD vuông hay MP vuông góc với ED Tơng tự CE vuông góc với ED Từ đó PM//EC (1) Vì EF là dây cung, CD là đờng kính mà CD E F nên I là trung điểm E F Lại cãI lµ trung ®iÓm cña CM nªn tø gi¸c CE M F lµ h×nh b×nh hµnh VËy FM//CE.(2) Tõ (1) vµ (2) suy P, M , F th¼ng hµng (1®) Ta cã ∠ EDC = ∠ EFP (gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) Do tam gi¸c PO’D c©n t¹i O’ nªn ∠ EDC = ∠ O’PD L¹i cã ∠ EFP = ∠ IPF (do tam gi¸cIPF c©n) vËy O’P Hay IP lµ ∠ I PF= ∠ O’PD mµ ∠ FPD =1v, suy ∠ IPO’ =900 nªn IP ’ tiÕp tuyÕn cña (O ) (1®) Vì O’M =1/2 MD và IM =1/2MC nên IO’ =1/2 CD vậyIO’ =R áp dụng định lý Pytago có PI2 + PO’2 = IO’2 =R2 (không đổi ) Mặt khác 4S2 =PI2.PO’2 ( S là diện tÝch cña tam gi¸c IO’P) VËy 4S2 Max hay S Max PI = PO’ =R =2 PO’ đó DM = √ R , VËy M c¸ch D mét kho¶ng b»ng √ R (1®) (4®) √ mµ DM (3)