Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 5: 1 điểm Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ về cùng một phía của AB các.. tia Ax và By vuông góc với AB.[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS ĐA LỘC NĂM HỌC: 2012 – 2013 Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (5.0 điểm ) Rút gọn các biểu thức sau a b c A = 3x x x B = 352 C = (1+ tan2α)(1- sin2α) + (1+cotan2α)(1-cos2α) Bài 2: (4.0 điểm) Giải các phương trình a x x x x 0 b x x 36 8 3x Bài 3: (4.0 điểm) a Cho các số nguyên dương a; b; c đôi nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn: (a + b)c = ab Xét tổng M = a + b có phải là số chính phương không? Vì sao? b Cho x; y và x y 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P 20 11 x y xy Bài 4: (5.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD; BE; CF cắt H Gọi M là trung điểm HC; N là trung điểm AC AM cắt HN G Đường thẳng qua M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt K Chứng minh rằng: a Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC 2 Từ đó hãy suy SAEF = SABC cos BAC b BH.KM = BA.KN c GA5 GB GH 4 GM GK GN Bài 5: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ cùng phía AB các tia Ax và By vuông góc với AB Qua M có hai đường thẳng Mt và Mz thay đổi luôn vuông góc với M và cắt Ax, By theo thứ tự C và D và tạo góc AMC Xác định số đo để tam giác MCD có diện tích nhỏ Hết./ Họ và tên thí sinh…………………………………… ……….SBD………….………… (2) Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI MÔN: TOÁN Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang Nội dung cần đạt Ý 1,5 4 x 2; 3 x ( x 2) 3 x x 2 x 2; b B 1,5 = | 1| | 1| = = Suy A = sin cos C (1 )(1 sin ) (1 )(1 cos ) 2 cos sin = a 5.0 c (1 neu x 2 neu x ( 1) ( 1) Điểm 0.5x3 0.5 0.4x5 sin cos )(cos ) (1 )(sin ) cos sin = sin cos cos sin 1 cos sin cos sin 2 sin cos sin = cos =2 ĐK: x 0 2a 2.0 x x x x 0 4.0 2b 2.0 x(x x ) 0 x 0 x ( x 2)( x 1) 0 x 4 ĐKXĐ: x ; Học sinh đối chiếu ĐK và kết luận nghiệm 0.5 4 ( x 8x 16) (3x 3x 4.4 16) 0 ( x 4) ( x 4) 0 x 0 và x 0 x 4(tm) (a b)c ab (a c)(b c ) c 3a 2.0 2 Gọi UCLN a-c và b-c là d c d c d a d ; b d mà a; b; c là số đôi nguyên tố cùng nên d = Do đó a-c và b-c là hai số chính phương Đặt a-c = p2; b-c = q2 ( p; q là các số nguyên) c2 = p2q2 c = pq a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương P 4.0 Mà 3b 2.0 20 10 x y xy xy 0.5x4 20 20 80 20 2 x y xy x y xy ( x y )2 0.5 0.5 0.5 0,5 0.5 0,5 Ta có x y 2 0,5 20 20 20 x y xy Nên Dấu x = y =1 ( x y) 1 xy 1 xy 4 Mặt khác : Nên Dấu xảy x = y =1 Vậy giá trị nhỏ P là 21 và x = y =1 0.5 0.5 (3) 0.5 A F E K N H G B D M C AEB vuông E nên 4a 2.0 5.0 cos BAE 4c 1.5 ACF vuông F nên cos CAF 0.5 AF AC 0.5 ; Tư đó chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c) Vì tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC nên S AEF AE cos BAC S AEF S ABC cos BAC S ABC AB 4b 1.5 AE AB 0.5 0.5 ABH và MNK có BAH NMK ; ABH MKN (Góc có cạnh tương ứng song song) BA BH BA.KN BH KM KM KN Suy AHB đồng dạng với MNK ( g.g); AB AH 2 AHB đồng dạng với MNK nên MK MN ( Vì MN là đường TB tam giác AHC); AG HG 2 2 Lại có: MG ; NG ( G là trọng tâm tam giácAHC) AB AG 2 BAG GMK MK MG Mặt khác ( so le trong) ABG đồng dạng với tam giác MKG (c.g.c) GB GA GH GB GA5 GH GB GA5 GH 2 32 GK GM GN GK GM GN GK GM GN GB GA5 GH 4 GK GM GN 0.5 Do a,b là số nên SMCD nhỏ 2sin.cos lớn Theo bất đẳng thức 2xy x2 +y2 ta có : 2sin.cos sin2 +cos2 = nên SMCD ≥ ab SMCD = ab sin = cos sin = sin(900) = 900 = 450 AMC và BMD vuông cân Vậy SMCD = ab Khi = 450 ; C,D xác định trên tia Ax ; By cho AC = AM , BD = BM x 0.5 1 AMC BDM ; Ta có : SMCD = MC.MD ; Đặt MA = a , MB = b, Ta có a b ab MC = cos , MD = sin ; SMCD = cos.sin 1.0 0.5 y D (4)