Đang tải... (xem toàn văn)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Tìm m để phương trình sau có nghiệm.[r]
(1)SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG KHỐI 12 NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x x x có đồ thị là (C) và hai điểm A( 1;3), B(1; 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm các điểm M thuộc (C) cho tam giác ABM cân M Câu II (3,0 điểm) 2sin x cos x cos x cos x 1 4 Giải phương trình (x 1)(y 6) y(x 1) 2 Giải hệ phương trình (y 1)(x 6) x(y 1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm x (2 x)(2 x 2) m x 2x Câu III (1,0 điểm) Tìm hệ số x khai triển thành đa thức P ( x ) 2 x 3x 3x x Câu IV (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung 17 H ( 4;1), M ;12 và BD có phương trình tuyến CM và phân giác BD Biết x y 0 Tìm tọa độ đỉnh A tam giác ABC Câu V (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SB 1 DP BS vuông góc với đáy, SB = a P là điểm thỏa mãn Tính thể tích khối tứ diện ACSP Chứng minh mặt phẳng (ACS) vuông góc với mặt phẳng (ACP) Tính góc và khoảng cách BC và SP (2) 2 Câu VI (1,0 điểm) Cho x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện x y xy 1 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức: S x y xy 2 .Hết Họ và tên thí sinh: ………………………………Số báo danh: ………………………… ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Ý Nội dung Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y x x x x y ' 3 x 12 x 9, y ' 0 x TXĐ : Hàm số nghịch biến trên ( 3; 1) Hàm số đồng biến trên ( ; 3) và ( 1; ) Điểm cực tiểu đồ thị (-1 ; -1), Điểm cực đại đồ thị (-3 ; 3) lim y Điểm 1,00 0,25 0,25 x Lập BBT Đồ thị 0,25 0,25 I -5 -2 Tìm các điểm M thuộc (C) cho tam giác ABM cân M Tam giác ABM cân M suy MA = MB M thuộc đường trung trực x y 0 y x2 đoạn AB Pt trung trực đoạn AB là Do M thuộc (C) nên tọa độ M thỏa mãn hệ pt y x3 x x x2 x x3 x2 x x3 12 x2 17 x 0 y Giải pt này tìm x 4, x Suy tọa độ các điểm M: 2 2 2 2 ; 2 4; 1 , 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) 1,00 2sin x cos x cos x cos x 1 4 Giải phương trình sin x cos x cos x cos x 1 2 sin x sin x cos x cos x 1 sin x cos x 1 0,25 0,25 sin x 1 sin x 4 4 x k 2 x k 2 x k 2 x k 2 4 (x 1)(y 6) y(x 1) (y 1)(x 6) x(y 1) Giải hệ phương trình x y x y 2xy 0 Trừ vế và phân tích thành tích 2 TH x = y vào pt thứ ta (x 1)(x 6) x(x 1) II x 7 (y 1)(x 6) x(y 1) 2x 0,25 1,00 0,25 0,25 x 2 y 2 x 5x 0 x 3 y 3 1 x y y 2xy x y thì (loại) Xét TH x 7 x y , suy 2x Khi đó Do đó 0,25 0,25 x 2 1 (x 6) x 1 2x x 6x 15x 26x 24 0 (x 2)(x 3)(x x 4) 0 x 2 y 3 x 3 y 2 Vậy hệ có nghiệm là (2; 2), (3;3), (2;3), (3; 2) x (2 x )(2 x 2) m Tìm m để pt ĐK: x 2 Đặt x 2x (1) có nghiệm 0,25 1,00 t x x 2, t 0 t 4 x (2 x)(2 x 2) 3 Theo AM – GM t 4 x (4 x)( x 1) 4 x x x 9 0,25 Do t 0 t 3 2 PTTT t m 4t t 4t m (2) 0,25 t 3;3 x 1; 2 Pt (1) có nghiệm pt (2) có nghiệm Xét hàm số f (t ) t 4t 4, f '(t ) 2t 0 t 2 0,25 Lập BBT f (t ) suy m 0,25 (4) P ( x ) 2 x 3x x x Tìm hệ số x k k k 3x Số hạng tổng quát là C5 ( 3) x 2x C m 2m x m Số hạng tổng quát là x 2C54 ( 3) x xC75 25 x Số hạng chứa x P( x) là 4 5 Suy hệ số x P( x) là 2C5 ( 3) 3C7 1206 III Tìm tọa độ đỉnh A tam giác ABC Đt qua H và BD có pt x y 0 BD I I (0;5) Giả sử AB H ' Tam giác BHH ' có BI là phân giác và là đường cao nên BHH ' cân I là trung điểm HH ' H '(4;9) u H ' M ;3 nên có pt là x y 29 0 AB qua H’ và có vtcp 5 x y 29 B (6; 1) x y Tọa độ B là nghiệm hệ M là trung điểm AB IV 4 A ; 25 5 V Tính thể tích khối tứ diện ACSP AC BD, AC SB AC (SOP), O AC BD Vậy 1 VACSP VCOSP VAOSP CO.SOSP AO.SOSP AC.SOSP 3 a a 3a OS , OP ,SP 2 OS2 OP SP OSP vuông O 2a SOSP OS.OP 2a a VACSP a AC a , S 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 Q P 0,25 E A D O B C Chứng minh mặt phẳng (ACS) vuông góc với mặt phẳng (ACP) 0,25 (5) AC BD, AC SB AC (SOP) Theo CMT SOP 90 (SAC) (PAC) Tính góc và khoảng cách BC và SP Goi E là trung điểm SB SP // ED, BC // AD Do đó góc SP và BC là góc ED và AD 3a a ED , AE , AD a 2 Tam giác ADE có nên theo ĐL cosin ta có AD ED AE 2 cos ADE AD.ED góc ADE 500 28' 1,00 0,25 0,25 CQ BS SQ / / BC Gọi Q là điểm cho Mặt phẳng (PQS) chứa SP và song song với BC nên d ( BC ;SP ) d ( BC ;( PQS )) d ( BC ;( PQS )) d ( C ;( PQS )) 1 a3 SCPQ DC.CQ a VCPQS SCPQ SQ 2 VCPQS S PQS d (C ;( PQS )) Mặt khác 3V 3V a3 2a d (C ;( PQS )) CPQS CPQS 2a S PQS d ( BC ;SP ) SQ.QP a a 5 Vậy 2 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức: S x y xy S xy ( x y ) S ( xy ) ( x y xy ) ( xy ) (1 xy ) Đặt t xy 2 x y xy 1 ( x y ) 1 xy 0 t x y xy 1 3xy ( x y ) 0 t VI 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 t 0 f '(t ) 2t 9t 0 t 2 S f (t ) t (1 3t ), t 1; 3 1 2 f ( 1) 4, f (0) f 0, f S 4 S 2 3 243 S 2 x 1, y 1 max S 2 S x 1, y S 2 0,25 0,25 (6)