Đang tải... (xem toàn văn)
Với mục đích giúp cho học sinh có được cái nhìn tổng quan, giải quyết tốt mảng kiến thức này, đặc biệt giúp các em nâng cao kiến thức, luyện thi đại học,…tôi xin trình bày một số bài toá[r]
(1)MỞ ĐẦU Khảo sát hàm số và các dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số là mảng kiến thức quan trọng chương trình Toán lớp 12 nói riêng và chương trình Toán THPT nói chung Vì đây là phần kiến thức chiếm nhiều thời lượng PPCT không thể thiếu bất kì đề thi nào dành cho học sinh lớp 12 từ kiểm tra định kì, đến thi tốt nghiệp THPT, đặc biệt tuyển sinh Đại học, cao đẳng, THCN,…Giải vấn đề này luôn giáo viên, học sinh quan tâm Câu hỏi phụ liên quan khảo sát hàm số các đề thi luôn là câu hỏi "e ngại" phần lớn học sinh tính đa dạng, phong phú; đòi hỏi cần có kiến thức vững vàng, tư logic, sắc bén Với mục đích giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quan, giải tốt mảng kiến thức này, đặc biệt giúp các em nâng cao kiến thức, luyện thi đại học,…tôi xin trình bày số bài toán điển hình cho dạng toán chuyên đề: " Khảo sát hàm số và các dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số " Nội dung chủ yếu xét các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số bản, từ đó rút phương pháp giải cho dạng; còn khảo sát hàm số nêu các bài toán là công cụ để phục vụ cho việc giải các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số đó Nội dung chuyên đề gồm: CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ I/ Dạng II/ Dạng III/ Dạng IV/ Dạng V/ Dạng VI/ Dạng : Các bài toán tiếp tuyến có yếu tố hình học : Các bài toán cực trị : Các bài toán tính đơn điệu hàm số : Các bài toán khoảng cách : Các bài toán tương giao đồ thị : Các bài toán điểm đặc biệt trên đồ thị VII/ Dạng : Các bài toán diện tích- thể tích Tác giả muốn chuyên đề này tài liệu tham khảo dành cho học sinh và giáo viên; song chắn tác giả chưa thể đề cập hết các dạng toán và còn nhiều hạn chế Rất mong đóng góp, bổ sung đọc giả Mọi góp ý xin gửi về: info@123doc.orgặc: Tổ Toán- Trường THPT Hoàng Quốc Việt-Bắc Ninh Tác giả xin chân thành cảm ơn! CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ (2) I/ DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CÓ YẾU TỐ HÌNH HỌC * Kiến thức bản: Cho hàm số y=f(x) (C) + Tiếp tuyến (C) M(x0; y0) có hệ số góc k=f'(x0) + Phương trình tiếp tuyến M(x0; y0): y= f'(x0)(x-x0)+y0 Có ba loại phương trình tiếp tuyến sau: Loại 1: Tiếp tuyến hàm số điểm M x0 ; y0 C Tính đạo hàm y'=f'(x) và giá trị f ' x0 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y f ' x0 x x0 y0 Chú ý: Tiếp tuyến điểm M x0 ; y0 C có hệ số góc k f ' x0 Loại 2: Biết hệ số góc tiếp tuyến là k Giải phương trình: f ' x k , tìm nghiệm x0 y0 Phương trình tiếp tuyến dạng: y k x x0 y0 Chú ý: Cho đường thẳng : Ax By C 0 , đó: Nếu d // d : y ax b hệ số góc k = a Nếu d d : y ax b hệ số góc k a Loại 3: Tiếp tuyến (C) qua điểm A(xA; yA) d : y k x xA y A Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, đó d và C là hệ phương trình sau phải có nghiệm: Điều kiện tiếp xúc f x k x x A y A f ' x k Tổng quát: Cho hai đường cong C : y f x và C ' : y g x Điều kiện để hai đường cong f x g x f ' x g ' x tiếp xúc với là hệ sau có nghiệm: Ví dụ 1: (ĐHQGHCM-96): Cho hàm số y = x3 + mx2 + có đồ thị (Cm) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng (d): y = – x + ba điểm phân biệt A(0;1), B, C cho các tiếp tuyến (Cm) B và C vuông góc với Lời giải: y'=3x2+2mx Phương trình hoành độ giao điểm d và (Cm) là: x3 + mx2 + = – x + (1) (3) ⇔ x=0 ¿ ⇔ x(x2 + mx + 1) = g(x)=x + mx +1=0 (2) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ d cắt (Cm) ba điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt biệt khác g m g 1 0 ⇔ (2) có hai nghiệm phân m m (*) ⇒ x 1+ x 2=− m Khi đó (2) có nghiệm x1; x2 x x2 =1 ¿{ hay (d) cắt (Cm) điểm phân biệt A(0; 1), B(x1; -x1 +1), C(x2; -x2 +1) .Tiếp tuyến (Cm) B và C vuông góc với ⇔ f ' (x1 ) f ' (x 2)=− ⇔ (3 x1 +2 mx )(3 x +2 mx 2)=−1 ⇔ x x [ ( x x )2 +6 m(x + x 2)+4 m2 ]=−1 2 ⇔2 m2=10 ⇔m=± √ 5(t /m(∗)) Đ/S: Giá trị m cần tìm là: m= ± √5 2x (C) Gọi M là điểm trên (C ), I là giao tiệm cận Tiếp tuyến x+ (C ) M cắt tiệm cận A, B a CMR: Tam giác IAB có diện tích không đổi b CMR: M là trung điểm đoạn AB c Tìm M cho tam giác IAB có chu vi nhỏ d Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn LG: x+ 2¿ ¿ y'= ¿ 2a ¿ , a ≠ −2 Giả sử tiếp điểm M( a ; a+2 Tiếp tuyến ( Δ ) đồ thị (C) M có phương trình: a+2 ¿2 ¿ a+2 ¿ y +2 a2=0 ¿ y=¿ Giao tiệm cận là I(-2; 2) a+2 ¿ ¿ a + ( Δ ) cắt TCĐ: x=-2 A(-2; ) a2− ¿ + ( Δ ) cắt TCN: y=2 B(2a+2; 2) Ví dụ 2: Cho hàm số y= (4) a+2 ¿2 ¿=8 − a −16 + Diện tích tam giác IAB: (Đpcm) ¿ 1 S ΔIAB = IA IB= |2 a+4|¿ 2 ¿ x A + x B=2 a=x M 4a b Ta có: y A + y B= =2 y M Vậy M là trung điểm AB (Đpcm) a+2 ¿{ ¿ c Chu vi tam giác IAB là: p= IA+ IB+ √ IA2 +IB2 ≥2 √ IA IB+ √ IA IB=8+ √ |2 a+ 4|=4 ⇔ a=0 ¿ a=− Dấu = xảy và IA=IB ⇔ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy có điểm cần tìm là: O(0; 0) và M(-4; 4) d Khoảng cách từ I đến ( Δ ) là: a+2 ¿4 ¿ a+2 ¿2 ¿ ¿ √¿ 16+¿ √¿ 8|a+2| d (I ; Δ)= ¿ a+2 ¿2=4 ⇔ ¿ a=0 ¿ a=−4 Dấu = xảy và ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ * Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y=x; y=x+8 x+ Ví dụ (ĐH-A-2009): Cho hàm số y= (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) biết x +3 tiếp tuyến đó cắt trục toạ độ A, B cho tam giác OAB cân O LG: Giả sử tiếp tuyến (d) (C ) M(x0; y0) thoả mãn bài toán Tam giác OAB cân O ⇔ (d) có hệ số góc: k= ±1 (5) x 0+3 x 0+3 −1 ⇔ y '( x )=± ⇔ =−1 ⇔ ( ¿ )2 =1⇔ ( ¿) x0 =−2 → y =0 ¿ x 0=−1 → y 0=1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Ta có tiếp điểm M1(-2; 0) và M2(-1; 1) Phương trình tiếp tuyến M1(-2; 0): y=-x+2( t/m) Phương trình tiếp tuyến M2(-1; 1): y=-x (loại) * KL: Tiếp tuyến cần tìm: (d): y=-x+2 *NX: Ở bài toán trên ta có thể giả sử A(a; 0), B(0; b) Khi đó tiếp tuyến (d) có PTĐC: x y + =1 (d) (a,b 0) a b Sử dụng điều kiện tiếp xúc (d) và (C) ta tìm a, b => (d) * Bài tập tự luyện Viết phương trình tiếp tuyến (C): y= x x+ biết tiếp tuyến đó cắt trục toạ độ A, B cho tam giác OAB có diện tích 1/4 (ĐH-D-2007)Viết phương trình tiếp tuyến (C): y= 2x x+ toạ độ A, B cho tam giác OAB cân biết tiếp tuyến đó cắt trục x−1 biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng, x +1 tiệm cận ngang A, B cho tam giác IAB cân với I là giao tiệm cận x +1 Giả sử ( Δ) là tiếp tuyến M(0; 1) đồ thị (C): y= Tìm trên (C) điểm 1−x có hoành độ lớn mà khoảng cách từ đó đến ( Δ) là ngắn (HVQHQT-2001): Cho đồ thị (C): y= x − mx − x +m− Tìm tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ m Cho đồ thị (Cm): y=− x+1+ Tìm m để đồ thị (C m) có điểm cực đại A cho tiếp 2− x tuyến A (Cm) cắt trục Oy B thoả mãn tam giác OAB vuông cân Cho hàm số: y=x4-2x2-1 (C) Tìm các điểm trên Oy cho từ đó kẻ tiếp tuyến tới (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C): y= II/ DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ * Kiến thức bản: Cho hàm số y=f ( x ) (C) Các vấn đề cực trị cần nhớ: Nghiệm phương trình f ' x 0 là hoành độ điểm cực trị f ' x0 0 f '' x0 Nếu thì hàm số đạt cực đại x x0 f ' x0 0 f '' x0 Nếu thì hàm số đạt cực tiểu x x0 (6) Một số dạng bài tập cực trị thường gặp Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục hoành Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục tung yCĐ yCT xCĐ xCT Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trên trục hoành yCĐ yCT yCĐ yCT Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục hoành yCĐ yCT yCĐ yCT Cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Dạng 1: hàm số y ax bx cx d Lấy y chia cho y’, thương là q(x) và dư là r(x) Khi đó y = r(x) là đường thẳng qua điểm cực trị Dạng 2: Hàm số y ax bx c dx e ax y Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng bx c ' dx e ' 2a b x d d Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y= x 3-3x2-3m(m+2)x-1 có cực trị cùng dấu Viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu LG: y'= 3x2-6x-3m(m+2); ⇔ x=− m ¿ x=m+2 y'=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇒ m+ 1¿ ( 1− 2m) ¿ x −1 Ta có: y=y' -(m+1)2(2x+1) m+1 ¿2 (2 m+5) (*) ¿ ¿ y (− m)=−¿ Hàm số có cực trị cùng dấu (7) ⇔ m+2 ≠− m ¿ y (− m) y (m+ 2)>0 ⇔ ¿ m ≠− m+1¿ (1 −2 m)(2 m+5)> ¿ ¿ ⇔ −5 <m< 2 * Từ (*) ta có phương trình đường thẳng qua các điểm CĐ, CT là: y=-(m+1)2(2x+1) * NX: Ở bài toán này ta dễ xác định toạ độ các điểm cực trị nên có thể viết trực tiếp phương trình đường thẳng qua điểm đó Tuy nhiên, với đa số các bài toán khác ta cần dùng kỹ thuật chia y cho y' trên vì không xác định toạ độ các điểm cực trị Đặc biệt với hàm phân thức hữu tỉ, ta phải vận dụng bổ đề sau: ¿ y ' (x 0)=0 u ' (x 0) u( x ) Cho hàm y= thoả mãn: v (x 0) ≠ thì y(x0) = v ' (x 0) v(x) ¿{ ¿ x + mx− m− Ví dụ (ĐH An ninh-A-99): Cho hàm số y= Tìm m để đồ thị hàm số có x −1 điểm cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu nằm phía đường thẳng (d): 9x-7y-1=0 LG: TXĐ: D=R\{1} x −2 x − y '= ( x −1 )2 x −2 x − 8=0 , x ≠1 ⇔ x =−2 ¿ x=4 ⇒ Đồ thị hàm số có điểm CĐ, CT là: A(-2; m-4); y'=0 ⇔ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ B(4; m+8) A, B nằm phía (d) ⇔ (9 x A − y A −1)(9 x B −7 y B −1)<0 ⇔ (9 −7 m)(21+7 m)>0 ⇔ −3<m< * Đ/s: Giá trị m cần tìm là: -3<m<9/7 2 mx +(m +1) x+ m +m Tìm m để hàm số có điểm cực trị thuộc x+ m góc phần tư thứ (II) và điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV) LG: TXĐ: D=R\{-m} mx 2+ 2m2 x −3 m3 y '= ( x+ m )2 Ví dụ 3: Cho hàm số y= (8) ⇔ 4 m >0 y'=0 ⇔ (1) m3 ≠ ⇔m ≠0 ¿{ Khi đó (1) có nghiệm x1=m → y1=3m +1; x2=-3m → y2=5m2-1 => đồ thị hàm số có các điểm CĐ, CT là: A(m; 3m 2+1), B(-3m; 5m2-1) thoả mãn yêu cầu bài ⇔ x A <0 x >0 y B <0 ⇔ ⇔ A ∈(II) ¿ m<0 toán (vì yA=3m2+1>0) (2) B ∈(IV ) −3 m>0 ¿{ m2 −1<0 −1 ⇔ <m< √5 ¿{{ −1 < m<0 * Từ (1) và (2) ta có m cần tìm là: √5 f (x)=mx 2+ 2m2 x −3 m3=0 , x ≠− m⇔ Δ' ≠ f (− m) ≠ ¿{ * Bài tập tự luyện (ĐH-B-2007): Tìm m để đồ thị hàm số: y=− x3 +3 x 2+ 3(m − 1) x − m2 −1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị cách gốc toạ độ O (HVQHQT-96): Tìm m để đồ thị hàm số: y=x −2 mx +2 m+m4 có điểm cực đại, cực tiểu lập thành tam giác Tìm m để đồ thị hàm số: y=x −6 x +4 x+6 có điểm cực trị, đồng thời góc toạ độ O là trọng tâm tam giác có đỉnh là điểm cực trị đó Cho hàm số y=x − mx +3(m2 −1)x − m3+ m2 Tìm m để hàm số có điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (II) và điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV) 2 x −2 mx+3 m Cho hàm số y= Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía x − 2m trục Ox III/ DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ * Kiến thức bản: Cho hàm số y=f(x) có tập xác định D + f(x) đồng biến trên D ⇔ f ' ( x ) ≥ , ∀ x ∈ D + f(x) nghịch biến trên D ⇔ f ' ( x ) ≤ , ∀ x ∈ D (f(x) = số hữu hạn điểm trên D) So sánh nghiệm tam thức với số * x1 x2 P S * x1 x2 P S Ví dụ 1(ĐHMĐC-2001): Tìm các giá trị m cho hàm số khoảng [1; +∞ ) * x1 x2 P x2 − x y= đồng biến trên 8( x +m) (9) LG: TXĐ: D=R\{-m} x +m ¿2 ¿ y'= x +2 mx −8 m ¿ Hàm số đồng biến trên [1; +∞ ) ⇔ y ' ≥ 0, ∀ x ∈ ¿ ¿ ⇔ − m∉ ¿ x + mx − m≥ 0, ∀ x ∈¿ ⇔ ¿ m>− f ( x)=x +2 mx −8 m≥ 0, ∀ x ∈¿ ¿ ¿ { ¿ Xét f(x)= x 2+2 mx − m , x ∈ ¿ có: +f'(x)=2x+2m f'(x)=0 x=-m<1 đó dựa vào bbt ta có f(x) luôn đồng biến trên khoảng ¿ =>f(x) f(1)=1-6m Do đó f ( x)=x +2 mx −8 m≥ 0, ∀ x ∈¿ ⇔ 1− m≥ ⇔ m ≤ * Đ/s: Giá trị m cần tìm là: −1<m ≤ Ví dụ 2( ĐHQGHN_2000): Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số y=x +3 x + mx+m nghịch biến trên đoạn có độ dài LG: TXĐ: D=R y'= 3x2+6x+m là tam thức bậc hai có Δ ' =9 −3 m + Nếu Δ ' =9 −3 m ≤0 ⇔ m≥ thì y' 0, ∀ x ⇒ Hàm số đồng biến trên R => m không thoả mãn + Nếu m<3: y' có nghiệm phân biệt x < x2 Dựa vào bảng biến thiên có hàm số nghịch biến khoảng (x1 ; x2) Do đó để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài −3+ √ Δ' − 3− √ Δ' ⇔ x − x1 ≥ 1⇔ − ≥1 ⇔2 √ Δ ' ≥ ⇔4 (9 −3 m)≥ ⇔ m≤ kết hợp với m<3 3 ta giá trị m cần tìm là: m≤ * Bài tập tự luyện: 1.Cho hàm số y x m 1 x m 1 x Tìm m để: a Hàm số luôn đồng biến trên R b Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài y Xác định m để hàm số a Đồng biến trên R x3 mx 2x 1 b Đồng biến trên 1; 3 Cho hàm số y x 2m 1 x 12m x Tìm m để (10) a Hàm số đồng biến trên khoảng 2; b Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 Cho hàm số y mx x x2 Tìm m để hàm số nghịch biến trên ¿ IV/ DẠNG 4:CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH * Kiến thức bản: Các công thức khoảng cách: AB x x 2 y y 2 B A B A Khoảng cách hai điểm (độ dài đoạn thẳng): Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng : Ax By C 0 và d M ,. điểm M(x0;y0) đó Ax0 By0 C A2 B 1/Bài toán 1: Khoảng cách nhỏ điểm thuộc hai nhánh đồ thị hàm số x+ Ví dụ 1: Giả sử A, B là điểm nằm trên nhánh đồ thị hàm số y= Tìm giá trị nhỏ x+ khoảng cách điểm A, B LG: x +1 x +1 Vì A, B nằm trên nhánh đồ thị nên ta giả sử A(x 1; ), B( x ; ) với x1<x +2 x +2 2<x2 ¿ a+b ¿ (1+ 2 ) x 1= -2-a (a> 0)→ y 1=1+ a b a 1 đó AB2 = Đặt + ¿ =¿ x 2=−2+b (b>0)→ y =1− a b b a+ b ¿2 +¿ ¿{ ¿ ¿ a+b ¿ ≥ ab ¿ ab ¿ ¿ 2 Áp dụng BĐT cosi có: => AB ≥ ⇔ AB ≥2 √ ≥ ab ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ a=b ab=1 −3 ; Dấu = xảy và 2); B(-1; 0) ⇔ a=b=1 ⇔ A¿ ¿{ ¿ * KL: Giá trị nhỏ điểm thuộc nhánh đồ thị hàm số là AB=2 √2 (11) C : y Ví dụ 2: Cho hàm số cho đoạn AB nhỏ LG: C : y x2 x x Tìm hai điểm A, B thuộc nhánh khác (C) x2 x 1 ¿ x+ x +1 x 1 Vì A, B nằm trên nhánh đồ thị (C)nên ta giả sử A(x 1; x + x 1+1 ), B( x ; x 1+ 2 x + x 2+ x2 +1 ) với x1<-1<x2 Đặt ¿ a x 2=−1+b (b>0) → y =−1+b+ b ¿{ ¿ đó 2 a+b ¿ 2+ + 2 ≥ ab 2+ + 2 =8 ab+ + ab a b ab a b ab 2 AB = 1 a+ b ¿2 + (a+b)+( + ) =¿ a b ¿ 4 mà ab+ ≥2 ab =8 √ ab ab => AB ≥ 8+8 √ ⇔AB ≥ √ 8+8 √ ¿ a=b =8 ab ab Dấu = xảy và ⇔ a=b= √2 ¿{ ¿ * Vậy điểm trên nhánh đồ thị có khoảng cách nhỏ là: 1 1 A (− 1− ; −1 − − 4√ 2), B(−1+ ; −1+ + √4 2) 2) √2 √2 √2 √2 x 1= -1-a (a>0)→ y 1=− 1− a − ( ) ( [ ) ] √ 2/Bài toán 2: Khoảng cách nhỏ giao điểm đường thẳng với đồ thị hàm số Ví dụ 3: CMR với m đường thẳng (d): y=-x+m luôn cắt đồ thị hàm số: điểm phân biệt A, B thuộc nhánh đồ thị Tìm giá trị nhỏ đoạn AB LG: Phương trình hoành độ giao điểm )d) và (C ): ¿ x −1 =− x +m ⇔f (x)=2 x − 2(m− 2) x − m−1=0 , x ≠ (1) x+1 ¿ y= x −1 x +1 (C) (12) m−1 ¿ +5>0, ∀ m ¿ − −5 (1) có f ( )= ≠ 0, ∀ m ¿ ¿ Δ '=m −2 m+6=¿ nên (1) luôn có nghiệm phân biệt x1, x2 khác -1/2 với m −1 Mặt khác theo Viet: (2x1+1)(2x2+1)=-5<0 =>x1< < x2 hay (d) luôn cắt (C ) điểm phân biệt A, B thuộc nhánh đồ thị (Đpcm) A(x1; -x1+m); B(x2; -x2+m) => AB2 = 2(x1-x2)2 = 2[(x1+x2)2 -2x1x2 ] = 2(m-1)2 +10 10 , ∀ m Hay ABmin = √ 10⇔ m=1 * Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=1 3/ Bài toán 3: Khoảng cách lớn từ điểm đến tiếp tuyến đồ thị hàm số: ax +b y= cx +d x+ Ví dụ 4: Cho đồ thị hàm số: y= (C ) có I là giao tiệm cận, (d) là tiếp tuyến (C ) x+ Tìm giá trị lớn khoảng cách từ I đến đường thẳng (d) LG: x+1 ¿2 ¿ −1 y '= ¿ (C ) có giao tiệm cận là: I(-1; 1) x +2 Giả sử M(x0; ) thuộc (C) ( x ≠ −1 ), tiếp tuyến (C) M có phương trình: x +1 x +1 ¿ ¿ x 0+ 1¿ y −( x +1)( x 0+ 2)=0 (d) ¿ −1 y= ¿ Khoảng cách từ M đến (d): (13) x 0+ 1¿ d(M; d)= Mà: x +2 −(x +1)( x 0+ 2) x0 +1 x +¿ ¿ x +1¿ ¿ x +1¿ ¿ x +1 ¿2 ¿ x +1 ¿2 ¿ ¿ ¿ √¿ 1+¿ √¿ 12 +¿ √¿ ¿ ¿ x0 +1 ¿ ¿ x 0+ 1¿ ≥ 2, ∀ x ≠ −1 ⇒ d (M ; d )≤ ¿ ¿ =√ √2 x +1 ¿2 ¿ x 0+ 1¿ 4=1 ⇔ ¿ x 0=0 ¿ x 0=−2 Dấu = xảy ¿ ¿ ¿ x +1 ¿2 ⇔ ¿ ¿ ¿ ⇔¿ Vậy khoảng cách lớn từ M tới tiếp tuyến (d) là: d(M; d)max = √2 4/ Bài toán 4: Khoảng cách lớn từ điểm đến đường thẳng qua điểm cố định Ví dụ 5: Cho hàm số: y=x3 -3x2 +mx+1 (C) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu Gọi ( Δ) là đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu Tìm điểm cố định mà ( Δ) luôn 11 ; ¿ đến đường thẳng qua với m tìm được.Tìm giá trị lớn khoảng cách từ điểm I( (Δ) LG: y'=3x2 -6x+m y'=0 ⇔ 3x2 -6x+m= (1) Hàm số có CĐ, CT ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ⇔ Δ '=9− m> ⇔m<3 (*) (14) Với m t/m (*), (1) có nghiệm: x1; x2 thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, cựctiểu là: A(x1; y(x1)); B(x2; y(x2)) x −1 m m + −2 x + +1 Lấy y chia cho y' được: y=y' 3 ¿ 2m m y (x 1)= − x 1+ + 3 => 2m m y (x 2)= − x 2+ +1 3 ¿{ ¿ Do đó phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: 2m m − x+ +1⇔ m(2 x +1)+(3 −3 y −6 x )=0 ( Δ) y= 3 Giả sử (Δ) qua M(x0; y0) cố định m(2 x +1)+(3 −3 y −6 x )=0, ∀ m<3 ⇔ x +1=0 3− y − x 0=0 ⇔ ⇔ −1 ¿ x 0= y 0=2 ¿{ −1 2m ; ¿ có vtcp ⃗u=(1 ; −2) Vậy ( Δ) qua điểm cố định M( −3 ⃗ IM=(−1 ; ) ⇒IM= 4 2m M u⃗Δ=0 ⇔ −1 − ( −2)=0 ⇔ m=1 N/ x: d(I; ( Δ) ) IM Dấu = xảy ⇔ IM ⊥ Δ ⇔ I⃗ Hay d(I; ( Δ) )max = IM= 5/4 m=1 * Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=1 ( ( ( ( ) ) ) ) * N/x: 1- Với bài toán dạng 4, không phát điểm cố định M mà ( Δ) luôn qua, ta có thể áp dụng công thức tính khoảng cách theo toạ độ có: m 11 m 11 − − 4 = =f (m) d(I; ( Δ) )= 2 2m 2m 1+ −2 1+ −2 3 Từ đó khảo sát hàm f(m) với m<3, dựa vào bảng biến thiên , kết luận f(m) f (1) , ∀ m<3 hay d(I; ( Δ) )max= f(1)= 5/4 m=1 2- PP tìm GTLN khoảng cách từ điểm I cố định đến đường thẳng ( Δ) thay đổi biết (Δ) luôn qua điểm cố định M: + d(I; ( Δ) ) IM IM ⃗ u Δ=0 + d(I; ( Δ) )max= IM M là hình chiếu I lên ( Δ) hay ⃗ 5/ Bài toán 5: Tìm giá trị nhỏ tổng khoảng cách từ điểm trên đồ thị hàm số ax +b ax + bx+ c y= , y= đến tiệm cận cx +d dx +e x 1 y x (C) T×m c¸c ®iÓm M trªn (C) cã tổng kho¶ng c¸ch Ví dụ (§H AN-97): Cho hµm sè: đến tiệm cận (C) nhỏ LG: | √ | ( ) √ ( ) (15) x +1 ¿ ∈(C), x ≠ x0 − (C) có TCĐ: (d1): x-3=0 TCN: (d2): y-2=0 Tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận là: x0 +1 7 − =| x −3|+ ≥ |x − 3| =2 √ d= |x − 3|+ x −3 | x −3| |x − 3| |x − 3|= x −3 ⇔ ( x −3 )2 =7 ⇔ |0 | Giả sử M( x ; | | √ x =3+ √ → y 0=2+ √7 ¿ Dấu = xảy x =3− √ → y 0=2− √7 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ * Vậy có điểm cần tìm là: M1( 3+ √ ; 2+ √7 ¿ ; : M2( − √ ; 2− √ ¿ ; * Bài tập tự luyện Cho hàm số y x 3mx x 3m Cm Tìm m để Cm có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách chúng là bé C : y 2x x Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến C : y x2 x x Tìm các điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến tiệm Cho hàm số hai tiệm cận là nhỏ Cho hàm số cận là nhỏ Cho hàm số: tiệm cận y 2x 1 x (C) Tìm các điểm M trên (C) cho có tổng các khoảng cách đến x2 x x Cho hàm số (C) CMR: tích các khoảng cách từ điểm M bất kì trên (C) đến tiệm cận là số không đổi y C : y Cho hàm số đoạn MN nhỏ 2x x Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho y x2 4x x2 (C) Tìm điểm M trên (C) cho có khoảng (HVKTQS-2000): Cho hàm số: cách đến đường thẳng (d): 3x+y+6=0 là nhỏ C : y x2 x x Cho hàm số a.Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ b, Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn MN nhỏ (ĐH KhốiA 2005) Gọi (Cm) là đồ thị hàm số: y mx x (*) (m là tham số) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) m = (16) b Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên V/ DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ * Kiến thức bản: Cho đồ thị (C1): y=f(x) và (C2): y=g(x) Số giao điểm đồ thị là số nghiệm phương trình: f(x)=g(x) Số nghiệm phương trình: f(x)=m là số giao điểm đồ thị hàm số y= f(x) và đường thẳng (d): y=m Số nghiệm phương trình f(x)= là số giao điểm (C): y=f(x) và trục hoành 1/ Bài toán 1: Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị Ví dụ 1: Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b Tìm m để phương trình: LG: a Vẽ đồ thị (C) x 3x m x 1 y f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1) (1) có nghiệm phân biệt y f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1) x(t)=-1 , y(t)=t x(t)=-1 , y(t)=t f(x)=x+2 f(x)=x+2 f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1) f(x)=-x-2 y x 3x x 1 2 y x -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 -10 x 3x x 1 x -10 x +3 x+ | x+1| Số nghiệm (1) là số giao điểm (C') và đường thẳng (d): y=m Dựa vào đồ thị ta có: (1) có nghiệm phân biệt và m >3 b Từ đồ thị (C) ta có đồ thị (C'): y= C : y Ví dụ 2: Cho hàm số a.Khảo sát hàm số 4x x2 x b Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x m x m 0 (2) (17) f(x)=(4x-x^2)/(x-1) y f(x)=(4x-x^2)/(x-1) x(t)=1 , y(t)=t x(t)=1 , y(t)=t f(x)=-x+3 f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1) f(x)=-x+3 y x -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 y -2 x -14 -12 -10 -8 x x2 x1 -6 -4 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 -10 -10 y x x2 x 1 LG: 4| x|− x 4|x|− x =m Vậy số nghiệm (2) là số giao điểm đồ thị (C'): y= |x|−1 |x|− đường thẳng (d): y=m Dựa vào đồ thị ta có: + Nếu m< 0: (2) có nghiệm phân biệt + Nếu m=0: (2) có nghiệm phân biệt Nếu m>0 : (2) có nghiệm phân biệt (2) ⇔ và 2/ Bài toán 2: Tìm số giao điểm đồ thị số nghiệm phương trình y x x điểm phân biệt Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng (d): y=-x+m cắt đồ thị (C): LG: Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (C): x =− x +m ⇔ f (x)=x −(m− 2) x − m=0 , x ≠ −1 (1) x +1 (d) cắt (C) điểm phân biệt và (1) có nghiệm phân biệt ⇔ m+2 ¿2 >0 ¿ f (−1)=−1 ≠ ¿ ¿ Δ=¿ * Đ/s: Giá trị m cần tìm: m -2 3/ Bài toán 3: Tìm điều kiện để phương trình bậc có nghiệm phân biệt *PP1: Đưa pt: f(x)=g(m) => khảo sát hàm y=f(x) Ví dụ 4: Cho hàm số: y= x3 -3x2-9x+m (Cm) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt LG: Phương trình hoành độ giao điểm (C) và trục Ox: x3 -3x2-9x+m = ⇔ x3 -3x2-9x=-m Xét hàm số y=x3 -3x2-9x có: + y'=3x2 -6x-9 =3( x2 -2x-3) +y'=0 ⇔ x=-1 x=3 + BBT: x - ∞ -1 + ∞ y' + 0 + + ∞ y (18) -27 - ∞ Dựa vào bảng biến thiên ta có: (C) cắt Ox điểm phân biệt ⇔ − 27<− m<5 ⇔ − 5<m<27 * PP2: Đưa pt: (x- x0 ).g(x)=0 Ví dụ 5(ĐH-A-2010): Tìm m để đồ thị hàm số y= x3-2x2+ (1-m)x+m (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ x1; x2; x3 thoả mãn: x12+ x22+ x32 <4 LG: phương trình hoành độ giao điểm (C) và trục Ox: x3-2x2+ (1-m)x+m =0 (1) ⇔ x=1 ¿ x − x −m=0 ⇔ (x-1)(x -x-m)=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ (d) cắt Ox điểm phân biệt ⇔ pt: f(x)=x2 -x-m=0 có nghiệm phân biệt x1, x2 khác1 ⇔ Δ=1+4 m> f (1)=m≠ ⇔ (*) −1 ¿ m> m ≠0 ¿{ Với m thoả mãn (*), (1) có nghiệm: x1, x2 ,x3=1 x 1+ x ¿ − x x <3 ⇔ 1+2 m<3 ⇔m<1 đó x12+ x22+ x32 <4 (**) ⇔¿ kết hợp (*) và (**) ta giá trị m cần tìm là: -1/4<m<1, m 4/Bài toán 4: Tìm điều kiện để phương trình bậc có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Ví dụ 6: : Cho hàm số: y= x3 -3x2-9x+m (Cm) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng LG: Phương trình hoành độ giao điểm (C) và trục Ox: x3 -3x2-9x+m = 0(1) =>) Giả sử (C ) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng =>(1) có nghiệm x1; x2; x3 lập thành cấp số cộng theo thứ tự đó => x1+x3 =2x2 => x1 +x2+x3 =3x2 =3 => x2 =1 Thay x2 =1 vào (1) ta được: m-11=0 hay m=11 <=) Thử lại với m=11: (1) có nghiệm lập thành CSC là: 1− √12 ; ; 1+ √12 * Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=11 * Bài tập tự luyện: y x 1 x có đồ thị là (C) Cho hàm số a, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b, Biện luận theo m số nghiệm phương trình x m x m 0 2 Cho hàm số y x kx a Khảo sát hàm số trên k = (19) b Tìm các giá trị k để phương trình x kx 0 có nghiệm 3 (ĐH KhốiD 2006): Cho hàm số y x x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b Gọi d là đường thẳng qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt ĐS: b m 15 , m 24 y x 3x x 1 (ĐH KhốiA 2004): Cho hàm số (1) a Khảo sát hàm số (1) b Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B cho AB=1 1 m ĐS: b y mx x m x (ĐH KhốiA 2003): Cho hàm số (*) (m là tham số) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương m0 ĐS: b (ĐH KhốiA 2002): Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(1 m2)x + m3 m2 (1) (m là tham số) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm k để phương trình x3 + 3x2 + k3 3k2 = có nghiệm phân biệt c Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + 2m(m 4)x + m2 -m cắt trục Ox điểm lập thành cấp số cộng Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + 4m3 cắt trục đường thẳng y=x điểm lập thành cấp số cộng (ĐHTCKT-2000): Tìm m để đồ thị hàm số y = x - 3(2m+1)x2 + 6mx + cắt trục Ox điểm phân biệt 10 (ĐHBK-2001): Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 - x + m cắt trục Ox điểm phân biệt VI/ DẠNG 6:CÁC BÀI TOÁN VÊ ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ Bài toán 1: Tìm điểm cố định mà đồ thị luôn qua Phương pháp: Từ hàm số y f x, m ta đưa dạng F x, y mG x, y Khi đó tọa độ điểm cố định có là nghiệm hệ phương trình F x, y 0 G x, y 0 (20) Ví dụ 1: Cho hàm số y x m 1 x 3mx Cm Chứng minh Cm luôn qua hai điểm cố định m thay đổi LG: Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà (Cm) luôn qua với m ⇔ y0= x03-3(m-1)x02-3mx0+2, m ⇔ (3x02+3x0)m+y0-x03-3x0-2=0, m ⇔ x 0+ x 0=0 y -x 30+ 3x0 −2=0 ⇔ ¿ x 0=0 y 0=2 ¿ ¿ ¿ ¿ x 0=− ¿ y 0=− ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy Cm luôn qua hai điểm cố định m thay đổi là M(0; 2) và N(-1; -4) * Bài tập tự luyện: Cm : y Cho hàm số cố định m thay đổi 2x2 m x mx Chứng minh đồ thị Cm luôn qua điểm 2 Cho hàm số Cm : y 2m x 3mx m 1 Tìm các điểm cố định họ đồ thị trên 3 Chứng minh đồ thị hàm số y m 3 x m 3 x 6m 1 x m Cm luôn qua ba điểm cố định Bài toán 2: Tìm các cặp điểm đối xứng trên đồ thị Điểm I x0 ; y0 là tâm đối xứng đồ thị C : y f x ⇔ Tồn hai điểm M(x;y) và x ' 2 x0 x x x ' 2 x0 f x f x ' 2 y0 f x f x x 2 y0 M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa: I x0 ; y0 f x 2 y0 f x0 x Vậy là tâm đối xứng (C) Ví dụ (ĐH Khối D2008): Cho hàm số y = x3 – 3x2 + (1) Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm đoạn thẳng AB Lời giải: d : y = k(x 1) y = kx k + .Phương trình hoành độ giao điểm: x3 3x2 + = kx k + x3 3x2 kx + k + = (x 1)(x2 2x k 2) = x = g(x) = x2 2x k = Vì ' > và g(1) ≠ (do k > 3) và x1 + x2 = 2xI nên có đpcm! (21) * Bài tập tự luyện: Cho hàm số y x2 x m 2x có đồ thị Cm Cm Tìm giá trị m để có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ O 2 Cho hàm số Cm : y x 2m x m x 1 Định m để Cm có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ O Cho hàm số y x3 3x2 m 1 (m là tham số) a Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ b Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) m=2 ĐS: f x0 f x0 , x0 0 a … m>0 Cho hàm số y x 11 x 3x 3 có đồ thị C Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng qua trục tung Cho hàm số y x3 ax bx c 1 Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và qua điểm M(1;1) Bài toán 3: Tìm điểm có toạ độ nguyên x+ Ví dụ 3: Tìm trên đồ thị hàm số y= (C) các điểm có toạ độ là các số nguyên x+ LG: x 0+ ¿ ∈(C) , x ≠− là điểm có tọa độ là các số nguyên Giả sử M( x ; x 0+ x +1=1 ¿ x +1=− ¿ ⇔ ¿ x 0+ x =0 → y 0=2 =1+ ∈ Z nên Vì y 0= ¿ x 0+ x +1 x 0=−2 → y 0=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy có điểm cần tìm là: M1(0; 2) và M2(-2;0) VII/ DẠNG 7: CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH DIỆN TÍCHTHỂ TÍCH Ứng dụng tích phân a Diện tích Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn (C1), (C2) và hai đường thẳng x=a, x=b tính công thức: y f(x ) b S f x g x dx a Chú ý: g(x) O a b x (22) Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b d f(x ) b Thể tích Thể tích hình phẳng giới hạn {(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox b y y O a (x) b x c tính công thức: V =π [ f ( x ) ] dx O a Thể tích hình phẳng giới hạn {(C): x=(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy d x tính công thức: V =π [ ξ ( y ) ] dy c Thể tích tròn xoay hình phẳng giới hạn hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox b 2 (f(x)g(x), x[a;b]) tính công thức: V =π {[ f ( x ) ] − [ g ( x ) ] } dx a (2 m− 1) x − m Ví dụ (ĐH-D-2002): Cho hàm số: y= (Cm) x −1 a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=-1 b Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) và trục toạ độ LG: −3 x − Khi m=-1 ta có: y= x−1 Diện tích cần tính là: 0 − x −1 1 S= x −1 dx=− dx − x − dx=−3 − ln |x − 1|¿−1 /3 =−1+4 ln −1 −1 −1 ( ) 3 (Đvdt) * Bài tập tự luyện: (ĐHHH-2000): Cho hàm số y=x − x 2+ (1) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Tính diện tích hình phẳng miền D giới hạn đường cong (C) và đường thẳng: y=4 c Tính thể tích khối tròn xoay sinh D nó quay quanh trục Ox (23)