Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề 1: dãy các số nguyên – phân số viết theo quy luật... T×m phÇn nguyªn cña B..[r]
(1) Chuyên đề 1: dãy các số nguyên – phân số viết theo quy luật (1) D·y = = = = = = = = = = = = &*&*& = = = = = = = = = = = = = 1: Sö dông c«ng thøc tæng qu¸t n 1 = − a (a+n) a a+n - - - Chøng minh - - (a+n)− a n a+ n a 1 = = − = − a (a+n) a (a+n) a (a+ n) a (a+n) a a+n Bµi 1.1: TÝnh 3 3 a) A= b) + + + .+ 8 11 11 14 2006 2009 1 1 B= + + + + 10 10 14 14 18 402 406 10 10 10 10 c) C= d) + + + .+ 12 12 17 17 22 502 507 4 4 D= + + + .+ 13 13 18 18 23 253 258 Bµi 1.2: TÝnh: 1 1 1 1 a) A= b) B= + + + + + + + + 9 7 19 252 509 10 18 13 26 17 802 405 3 c) C= − + − + + − 10 13 301 304 401 405 Bµi 1.3: T×m sè tù nhiªn x, tho¶ m·n: x 1 1 4 4 29 a) b) − − − − − = + + + + .+ = 2008 10 15 21 120 x 9 13 13 17 41 45 45 1 1 15 + + + .+ = c) 3.5 5.7 7.9 (2 x +1)(2 x +3) 93 Bài 1.4: Chứng minh với số tự nhiên n khác ta có: 1 1 n + + + + = a) 5 8 11 (3 n− 1)(3 n+ 2) n+ 5 5 5n + + + .+ = b) 7 11 11 15 (4 n− 1)(4 n+3) n+3 Bµi 1.5: Chøng minh r»ng víi mäi n ∈ N ; n ≥2 ta cã: 3 3 + + + + < 14 14 19 19 24 (5 n − 1)(5 n+ 4) 15 Bµi 1.6: Cho A= 4 + + + 15 19 19 23 399 403 chøng minh: 16 16 < A< 81 80 2 ; ; ; 11 11 18 18 25 a) T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y b) Gäi S lµ tæng cña 100 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y TÝnh S Bµi 1.7: Cho d·y sè : Bµi 1.8: Cho A= 1 1 + + + + Chøng minh 2 Bµi 1.9: Cho A= 2 2 + + + + Chøng minh: 2 2007 < A< A< 1003 2008 (2) Bµi 1.10: Cho B= 1 1 334 + + + + Chøng minh: B< 2 2007 2006 Bµi 1.11: Cho S= 1 1 + + + Chøng minh: S < 2 12 409 Bµi 1.12: Cho Bµi 1.13: 24 48 200 202 Cho B= + + + + Chøng minh: B> 99 , 75 25 49 201 Bµi 1.14: Cho Bµi 1.15: Cho B= + + + + .+ 99 T×m phÇn nguyªn cña B 98 100 Bµi 1.16: 15 2499 Cho C= + + + + Chøng minh C > 48 16 2500 A= 9 9 + + + + Chøng minh: 11 17 305 A= Bµi 1.17: Cho Bµi1.18: Cho N= 11 18 27 1766 20 20 Chøng minh: 40 < A< 40 + + + + 16 25 1764 43 21 M= A< 2 2 1 M + + + 1+ 2+ 1+2+3+ 1+2+3+ +59 Chøng minh 98 101 Chøng minh 97 < N < 98 + + + + 3 4 99 100 Më réng víi tÝch nhiÒu thõa sè: 2n 1 = − a(a+ n)(a+2 n) a(a+ n) (a+ n)(a+2 n) Chøng minh: (a+2 n)− a 2n a+ 2n a 1 = = − = − a(a+ n)(a+2 n) a(a+ n)(a+2 n) a (a+n)( a+2 n) a(a+ n)(a+2 n) a(a+ n) (a+ n)(a+2 n) 3n 1 = − a(a+ n)(a+2 n)(a+3 n) a( a+n)(a+2 n) (a+n)(a+ 2n)(a+3 n) 2 + + + 3 37 38 39 Bµi 1.19: TÝnh S= Bµi 1.20: Cho Bµi 1.21: Cho B= Bµi 1.22: Cho C= Bµi 1.23: Chøng minh víi mäi n N; n > ta cã: 1 1 A= + + + + < n A= 1 Chøng minh + + + 3 18 19 20 A< 36 36 36 Chøng minh B < + + + 5 25 27 29 5 Chøng minh C< + + + 11 11 14 302 305 308 48 (3) 1 + + + 27 28 29 30 TÝnh M= Bµi 1.25: TÝnh 1 + + .+ 51 52 100 P= 1 1 + + + + 1.2 3.4 5.6 99 100 Bµi 1.26: TÝnh: Q= Bµi 27: TÝnh: Bµi 1.24: R= (n− 1)(n+1) 1002 1004 + + + .+ + .+ 5 7 (2 n− 1)(2 n+1) 2005 2007 22 32 42 2006 + + + + 2005 2007 Bµi 1.28: Cho S= n+1 2006 2 2 + + + + + + 2 2005+1 2005 + 2005 + 2005 +1 20052 + So s¸nh S víi n 2005 1002 Hướng dẫn: m m mk+m− mk+ m 2m m m 2m − = = ⇒ = − k − k +1 (k −1)( k+ 1) k − k +1 k −1 k −1 Áp dụng vào bài toán với m {2; , …., } và k { 2005, 2005 , … 20052 2 22 = − 2005+1 2005− 20052 − 2 2 = − 2 2005 +1 2005 −1 2005 −1 ……………… (2) D·y 2: D·y luü thõa Bµi 2.1: TÝnh : n a { } víi n tù nhiªn 1 1 A= + + + + 100 2 2 1 1 1 Bµi 2.2: TÝnh: B= − + − + + 99 − 100 2 2 2 1 1 Bµi 2.3: TÝnh: C= + + + + 99 2 2 2006 } (4) Bµi 2.4: TÝnh: Bµi 2.5: Cho 1 1 D= − + − 10 + − 58 2 2 2 26 3n − Chøng minh A= + + + + n 27 A >n − 98 +1 Chøng minh B < 100 Bµi 2.6: Cho B= + 10 + 28 + + 98 27 5 5 Bµi 2.7: Cho C= + + + + 99 Chøng minh: C< 4 4 19 + 2 + 2 + + 2 Chøng minh: D < 2 3 10 Bµi 2.8: Cho D= Bµi 2.9: Cho 100 E= + + + .+ 100 Chøng minh: 3 3 Bµi 2.10: Cho 10 n+1 F= + + + .+ n 3 3 víi n E< N* Chøng minh: 11 302 Bµi 2.11: Cho G= + + + + 100 Chøng minh: <G<3 3 Bµi 2.12: Cho 13 19 601 H= + + + + 100 Chøng minh: < H <5 3 Bµi 2.13: Cho I= Bµi 2.14: Cho 13 22 904 K= + + + + 101 Chøng minh: 3 3 Bµi 2.15: Cho 11 15 403 L= + + + .+ 100 Chøng minh: L < 4,5 3 3 11 17 23 605 + + + + 100 Chøng minh: I < 3 3 K< 17 (3) D·y 3: D·y d¹ng tÝch c¸c ph©n sè viÕt theo quy luËt: 15 24 2499 A= 16 25 2500 Bµi 3.1: TÝnh: Bµi 3.2: 1 1 Cho d·y sè: ,1 , ,1 , , 15 24 35 a) T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y b) TÝnh tÝch cña 98 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y ( 13 )(1− 61 )(1 − 101 )(1 − 151 ) (1 − 7801 ) Bµi 3.3: TÝnh: B= 1− F< 11 (5) 199 Bµi 3.4: Cho C= Chøng minh: C2 < 200 201 Bµi 3.5: Cho 99 1 Chøng minh: D= < D< 100 15 10 ( 12 +1)( 13 +1)( 14 + 1) (991 +1) Bµi 3.6: TÝnh: E= Bµi 3.7: TÝnh: F= ( 12 − 1)( 13 − 1)( 14 − 1) .(1001 −1) 15 899 2 30 Bµi 3.8: TÝnh: G= Bµi 3.9: TÝnh: 30 31 H= 10 62 64 I =101 10001 100000001 00 000 ⏟ Bµi 3.10: TÝnh: n −1 c/ s Bµi 3.11: Cho K= 1 1 −1 −1 − −1 2 100 ( )( )( ) ( ) So s¸nh K víi ( 12 )(1− 13 )(1− 14 ) (1 − 201 ) Bµi 3.12: So s¸nh L= 1− Bµi 3.13: So s¸nh M = 1− 2 21 víi ( 14 )( 1− 19 )(1 − 161 ) (1 − 1001 ) −1 víi 11 19 2 50 49 51 Bµi 3.14: TÝnh: N= Bµi 3.15: TÝnh P= 1− ( 71 )(1 − 27 )(1 − 37 ) ( 1− 107 ) ( 32 )(1 − 25 )(1 − 27 ) (1 − 20072 ) Bµi 3.16: TÝnh: Q= 1− ( 12 − 13 )( 12 − 15 )( 12 − 17 ) ( 12 − 991 ) Bµi 3.17: TÝnh: T = Bµi 3.18: So s¸nh: U= ( Bµi 3.19: Cho V = 1+ .39 21 22 23 40 1 1+ 1.3 )( vµ V = −1 20 )( 1+ 31.5 ) (1+99 1101 ) Chøng minh V < 2 200 Bµi 3.20: Cho S= Chøng minh: 201<S <400 199 (6) 10 208 Chøng minh: A= 12 210 Bµi 3.21: Cho A< 25 2 2 Bµi 3.22: TÝnh: B= 100 2 3 100 101 Bµi 3.23: TÝnh: 1999 1999 1999 1999 1+ 1+ 1+ (1+ ( )( )( ) 1000 ) C= (1+10001 )(1+10002 )(1+10003 ) (1+1000 1999 ) Bµi 3.24: TÝnh: n −1 ¿ (¿¿) , víi n 1− ¿ 4 D= 1− 1− 1− ¿ 25 ( )( )( Bµi 3.25: Cho ( E= − vµ F= N, n ≥1 ) 1 1− − 1+ 1+ 2+ 1+ 2+ 3+ +n )( n+ n ) ( víi n N* TÝnh ) E F ( 12 )(1+ 14 )(1+161 )(1+2561 ) .(1+ ) Bµi 3.26: Cho G= 1+ 1024 vµ H= 2047 TÝnh: G + H n Bµi 3.27: Cho n (22 −1)(22 + 1)+2 3+2 5+2 15 17+2 255 257+2 I= 16 256 65536 22 n Chøng minh: I< víi n N 1 1 Bµi 3.28: Cho d·y sè: ; ; ; ; 16 ; 3 3 a) T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y b) Gäi A lµ tÝch cña 11 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y Chøng minh c) T×m ch÷ sè tËn cïng cña B= n Bµi 3.29: Cho 3− A 13 97 32 +22 A= 6 62 a) Chøng minh : n M= A B n vµ B= lµ sè tù nhiªn b) Tìm n để M là số nguyên tố 3−2 A n+ −1 víi n N lµ sè tù nhiªn (7) n Bµi 3.30: Cho 37 1297 62 +1 A= 3 3 n ( 13 )(1+ 31 )(1+ 31 ) (1+ 31 ) (1+ 31 ) B= 1+ n víi n N a) Chøng minh : 5A – 2B lµ sè tù nhiªn b) Chøng minh víi mäi sè tù nhiªn n kh¸c th× 5A – 2B chia hÕt cho 45 n Bµi 3.31: Cho 13 97 32 +22 A= 3 32 n n .( víi n N ) Chøng minh: A < (4) TÝnh hîp lÝ c¸c biÓu thøc cã néi dung phøc t¹p: 1+( 1+ 2)+(1+ 2+ 3)+ +(1+2+3+ + 98) 2+2 3+3 4+ .+98 99 Bµi 4.1: TÝnh: A= Bµi 4.2: TÝnh: B= Bµi 4.3: 1 1 + + + + 300 301 302 101 400 TÝnh: C= 1 1 + + + + 102 103 104 299 400 Bµi 4.4: Bµi 4.5: Bµi 4.6: Bµi 4.7: Bµi 4.8: 98+2 97+3 96+ +98 1 2+2 3+3 4+ .+98 99 TÝnh: 1 100 − 1+ + + .+ 100 D= 99 + + + + 100 TÝnh: 1 1 + + + + 51 52 53 100 E= 1 1 + + + + 99 100 TÝnh 5 15 15 5− + − 15 − + 27 11 121 F= : 8 16 16 8− + − 16 − + 27 11 121 TÝnh 1 1 + ):2 1,2 : ( ) ( 15 5 G= − (5 37 − 14 ) :4 5643 , 32+ 252 TÝnh 98 99 92 + + + .+ + 92 − − − − .− 99 98 97 10 11 100 H= : 1 1 1 1 + + + + + + + + 100 45 50 55 500 ( ) (8) TÝnh 2 4 + − 4− + − 19 43 1943 29 41 2941 I= : 3 5 3− + − 5− + − 19 43 1943 29 41 2941 Bµi 4.10: TÝnh 12 12 12 3 − − 3+ + + 289 85 13 169 91 K= : 4 7 4− − − 7+ + + 289 85 13 169 91 Bµi 4.11: TÝnh L= TÝnh 1,6: 1 , 25 1, 08 − : 25 M= + +0,6 0,5 : 5 , 64 − − 2 25 17 2− Bµi 4.9: 12 − Bµi 4.12: 2+ +3 +4 8+5 10 4+6 8+9 12+ 12 16+15 20 ( ) ( ( ) ) 94 38 11 11 −6 :8 1591 1517 43 ( ) Bµi 4.13: TÝnh N=8 Bµi 4.14: TÝnh P=10101 Bµi 4.15: 1 1 1+ + + + .+ 99 TÝnh Q= 1 1 + + + .+ + 99 97 95 97 99 Bµi 4.16: 1 1 + + + .+ 200 R= 198 199 + + + + + 199 198 197 TÝnh 5 + − (111111 222222 11 13 37 ) (9)