Tìm hai điểm A, B trên C sao cho các tiếp tuyến của C tại x+2 A và B song song với nhau đồng thời khoảng cách giữa hai tiếp tuyến đó đạt giá trị lớn nhất.. Xác định các góc của tam giác [r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ TĨNH Bài a) b) Bài w k2 p i ne t NĂM HỌC 2012 -2013 √ √ Giải phương trình: 3(2 + x − 2) = 2x + x + x3 + xy2 + 2y3 = Giải hệ phương trình: √ x4 − x2 + = 4y2 + 3y 2x có đồ thị (C) Tìm hai điểm A, B trên (C) cho các tiếp tuyến (C) x+2 A và B song song với đồng thời khoảng cách hai tiếp tuyến đó đạt giá trị lớn a) Cho hàm số y = b) Bài Tìm tất các giá trị tham số m để pt sau có nghiệm phân biệt: p p x + − x2 = m + x − x2 Xác định các góc tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: cos Bài Bài A−B A −C 3A + cos = + sin 2 2 Cho hình chóp S.ABC có các mặt phẳng (SBC)và (ABC) vuông góc với nhau, các cạnh AB = AC = a3 SA = SB = a Tìm độ dài cạnh SC cho khối S.ABC có thể tích V = Cho thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 3abc Tìm giá trị lớn của: r r r a b c P= + + 2 8a + 8b + 8c + ww ———————————————–Hết—————————————————- (2) w k2 p i ne t LỜI GIẢI THAM KHẢO CỦA DIỄN ĐÀN TOÁN THPT www.k2pi.net Bài 1.a ĐK: x ≥ Phương trình đã cho tương đương với: √ √ 8x − 24 √ + x − = 2x + x + ⇔ √ − 2x + = x−2+ x+6 8(x − 3) √ − 2(x − 3) = ⇔ √ x−2+ x+6 √ ⇔ (x − 3)( √ − 2) = x−2+ x+6 √ ⇔ x = √ =2 x−2+ x+6 √ √ √ +) Với √ = ⇔ x−2+ x+6 = x−2+ x+6 √ 11 − Giải phương trình trên ta kết là:x = √ 11 − Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = x = ww Bài 1.b Ta có: (1) ⇔ (x + y)(x2 − xy + 2y2 ) = ⇔ x = −y √ Thay vào (2), ta được: x4 − x2 + = 4x2 − 3x x2 (x2 − x − 1) √ √ ⇔ = 4(x2 − x − 1) x2 + x x4 − x2 + ( x4 − x2 )2 x2 √ √ ⇔ (x2 − x − 1)( − 4) = x2 + 4x x4 − x2 + ( x4 − x2 )2 x2 √ √ ⇔ x2 − x − = −4 = x2 + 4x x4 − x2 + ( x4 − x2 )2 √ √ x = − x = + √ √2 ; +) Với x2 − x − = ⇒ −1 − y = y = − 2 2x = √ x − x2 )2 +2x2 = ⇔ √ √ +) Với −4 = ⇔ (x+2 x √ x + x4 − x2 = x2 + 4x x4 − x2 + ( x4 − x2 )2 Khi x = ⇒ y = Ta thấy (x; y) = (0; 0) không thoả mãn hệ phương √ trình √ − + 5 x = x = √ √2 ; Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: −1 − y = − y = 2 Bài 2.a 2a − 2b − Ta gọi các điểm A a − 2; , B b − 2; ∈ (C) với a 6= b; a, b 6= Ta có hệ số góc a b 4 tiếp tuyến A và B là k1 = f (xA ) = , k2 = f (xB ) = a b Điều kiện cần để tiếp tuyến A song song với tiếp tuyến B là: k1 = k2 " a = b (L) ⇔ a = −b www.k2pi.net (3) w k2 p i ne t Gọi I là giao điểm đường tiệm cận thì I(−2; 2) 2a − 2b − Ta có xA + yB = −4 = 2xI , yA + yB = + = = 2yI a b Suy I là trung điểm AB 2a − Tiếp tuyến điểm A là: y = (x − a + 2) + ⇔ ∆ : 4x − a2 y + 2a2 − 8a + = a a Ta có khoảng cách hai tiếp tuyến là khoảng cách từ điểm B đến ∆ hai lần khoảng cách |8a| từ điểm I đến ∆ Ta có dI/∆ = √ 16 + a4 √ √ √ Theo bất đẳng thức AM − GM ta có: a4 + 16 ≥ 8a2 ⇒ 16 + a4 ≥ 2|a| ⇒ dI/∆ ≤ 2 " √ a=2 Suy dmax = 2 Dấu xảy a4 = 16 ⇔ a = −2 +) Với a = ⇒ b = −2 , đó A(0; 0); B(−4; −4) +) Với a = −2 ⇒ b = đó A(−4; −4); B(0; 0) Bài 2.b Điều kiện : −2 ≤ x ≤ √ √ 2] , ta có : Đặt : f (x) = x + − x2 − x − x2 , x ∈ [−2;√ √ x x − x2 + 2x2 − x − √ f (x) = − √ − − x2 + √ = ; 2 − x − x − x √ f (x) = ⇔ − x2 + 2x2 − x − = √ ( ( x= 2 + x − 2x ≥ + x − 2x ≥ √ ⇔ ⇔ ⇔ 1− 2 2x − 2x − 7x + 4x + = x − 2x − 2x − = x= Hình 1: Bài 2.a ww √ Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy, yêu cầu bài toán tương đương với : 2 − < m ≤ Bài A−B C−A 3A π 3A π Đặt : = x; = y ⇒ x−y = − ⇒ = +x−y 2 2 2 Ta có : π cos x + cos y = + sin − (y − x) 2 ⇔ cos x + cos y = + cos (y − x) 2 x−y x+y x−y ⇔ 2cos − cos cos + =0 2 2 2 x + y x − y x+y x+y x − y 2 ⇔ cos − cos cos + cos + sin =0 2 4 x−y x+y 2 x+y ⇔ cos − cos + sin =0 2 www.k2pi.net (4) w k2 p i ne t x + y x − y = cos cos 2 ⇔ x+y sin =0 x+y = C−B Để ý là : 3A − π x+y = π B=C B=C = Nên yêu cầu bài toán : ⇔ 3A 7π ⇔ A = 7π = 12 Bài Hình 2: Bài ww Gọi M là trung điểm BC suy : AM ⊥ (SBC) ⇒ VSABCD = AM.SSBC Đặt AM = x +) Xét tam giác vuông SAM có : SM + AM = SA2 ⇒ SM = a2 − x2 (1) +) Trong tam giác SBC có : SB2 + SC2 BC2 BC2 SM = − , mà : BM = AB2 − AM = a2 − x2 ⇒ = a2 − x 2 4 a2 + SC2 Nên : SM = − (a2 − x2 ) (2) Từ (1) và (2) suy : a2 + SC2 2 − (a2 − x2 ) ⇒ SC2 = 4(a2 − x2 ) − a2 ⇒ SC2 = BC2 − SB2 ⇒ ∆SBC vuông S a −x = 1 √ Suy : SSBC = SB.SC = a 3a2 − 4x2 2 √ a3 a3 ⇒ a.x 3a2 − 4x2 = ⇒ x2 = a2 8 √ √ Vậy SC = 3a2 − 4x2 = a Theo bài : VSABCD = www.k2pi.net (5) Bài w k2 p i ne t Lời giải : Từ biểu thức P ta có a, b, c ≥ Xét trường hợp abc = ⇒ a = b = c = ⇒ P = Xét trường hợp a, b, c > Từ giả thiết ta có: a2 + b2 + c2 = 3abc ≥ ab + bc + ca Áp dụng BĐT AM-GM ta có: a b c P2 ≤ + + 2 2 2 3a + 3a + 2a + !3b + 3b + 2b + !3c + 3c + 2c2 + ! 1 2 ⇔ 3P2 ≤ a + + + +b +c 2 3a 2a + 3b 2b + 3c 2c + ! ! ! ! 1 1 1 1 1 1 √ + + + +√ ≤ + + + + + + = + + +√ ≤ 3 3 a b c a c a b c a b c a b b ! ! ab + bc + ca + = + ≤3 c 3 3abc ⇒ P2 ≤ ⇒ P ≤ Vậy MaxP = a = b = c = Lời giải : Từ biểu thức P ta có a, b, c ≥ Xét trường hợp abc = ⇒ a = b = c = ⇒ P = Xét trường hợp a, b, c > Từ giả thiết ta có: a2 + b2 + c2 = 3abc ≥ ab + bc + ca ⇒ 1 + + ≤ (1) a b c ww Áp dụng BĐT Cauchy − Schwarz và AM − GM ta có: a b c P2 ≤ + + 2 2 2 3a + 3a + 2a + 3b + 3b + 2b + 3c + 3c + 2c2 + ! ! ! 1 2 ⇔ 3P2 ≤ a + + + +b +c 3a2 2a2 + 3b2 2b2 + 3c2 2c2 + ! ! 1 a 1 a + + + + = +∑ ≤ +∑ a b c a +1+a a b c 2a + a2 ! ! !! 1 1 1 = + + +∑ ≤ + + + ∑ 2+ a b c 9(a + + 1) a b c a ! ! 1 1 1 = + + + + + + ≤ + + = (theo (1)) a b c a b c 3 ⇒ P2 ≤ ⇒ P ≤ Vậy MaxP = a = b = c = Lời giải trên thực các thành viên : thoheo, kienqb, khanhtoanlihoa, Ẩn Số, manlonely838 diễn đàn TOÁN THPT - www.k2pi.net www.k2pi.net (6)