Từ một điểm M bất kỳ trên d và nằm ở miền ngoài đờng tròn O kẻ các đờng tiếp tuyến MP và MNP vµ N lµ c¸c tiÕp ®iÓm a CMR: khi M di động trên d thì đờng tròn ngoại tiếp MNP luôn đi qua [r]
(1)§Ò thi häc sinh giái líp n¨m häc 2000-2001 C©u1: Cho hµm sè y = mx2 +2(m-2)x- 3m + CMR đồ thị hàm số luôn qua hai điểm cố định với giá trị m a b c x y z 0 1 x y z C©u2: Gi¶ sö a,b,c,x,y,z lµ nh÷ng sè kh¸c tháa m·n: vµ a b c x2 y z 1 Chøng minh r»ng: a b c ( x2 y )2 8 C©u3: Cho x > y vµ xy = CMR: ( x y ) x y 25 y 2 x 18 C©u4: T×m nghiÖm nguyªn cña hÖ bpt: y x x Câu5: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng d cắt đờng tròn (O) hai điểm A và B Từ điểm M trên d và nằm miền ngoài đờng tròn (O) kẻ các đờng tiếp tuyến MP và MN(P vµ N lµ c¸c tiÕp ®iÓm) a) CMR: M di động trên d thì đờng tròn ngoại tiếp MNP luôn qua hai điểm cố định b) Tìm tập hợp các tâm đờng tròn ngoại tiếp MNP M di động trên d c) Xác định vị trí M để MNP Bµi lµm C©u1: Giả sử đồ thị hàm số y = mx2 +2(m-2)x- 3m + luôn qua điểm M(x0;y0) với gi¸ trÞ cña m mx02 + 2(m- 2)x0 – 3m + = y0 víi mäi gi¸ trÞ cña m m(x02 + 2x0- 3) + 2- 4x0- y0= víi mäi gi¸ trÞ cña m x0 1 x0 1 x0 x0 0 y0 x0 x x0 y0 0 y 2 x 0 y0 14 Vậy đồ thị hàm số y = mx2 +2(m- 2)x- 3m + luôn qua hai điểm cố định (1;-2) vµ (-3; 14) víi mäi gi¸ trÞ cña m C©u2 a b c 0 ayz + bxz + cxy = Ta cã: x y z x y z x y z 2 xy xz yz x y z 2( xyc xzb yza) a b c a b c ab ac bc a b c abc x2 y z x2 y z 1 12 = a b c a2 b2 c2 ( x2 y )2 8 ( x y ) C©u3: Cho x > y vµ xy = CMR: ( x y )2 8 ( x y ) 8( x y ) ( x y ) 8( x y ) 0 Ta cã: ( x y) x y 2( x y ) x y 2( x y) 0 2 x y 2( x y) x y 2( x y) 2 0 x xy y 2( x y ) x xy y 2( x y ) 0 (2) x y x y 0 Luôn đúng C©u5 a) Gọi H là hình chiếu O lên đờng thẳng d Vì O và d cố định nên H cố định Ta cã: ONM 90 (gt) OPM 900 (gt) OPMN nội tiếp đờng tròn OHM OPM 900 Ta l¹i cã: OHPM nội tiếp đờng tròn Năm điểm O, H, P, M, N cùng nằm trên đờng tròn M di động trên d thì đờng tròn ngoại tiếp MNP luôn qua hai điểm cố định O và H b) Vì đờng tròn ngoại tiếp MNP luôn qua hai điểm O và H nên tâm đờng tròn ngoại tiếp MNP nằm trên đờng trung trực OH Vậy M di động trên d thì tâm đờng tròn ngoại tiếp MNP nằm trên đờng trung trùc cña ®o¹n th¼ng OH c) Khi MNP NMP = 600 OMN OMP = 300 OP = OM OM = 2.OP = 2R Vậy M cách O khoảng 2R thì MNP §Ò thi häc sinh giái líp n¨m häc 2002-2003 C©u1: Gi¶i pt: ( x 1)( x 1) 2 x Cho pt: x2- 2mx + 2m – = a) Chøng tá r»ng pt cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m b) §Æt A = 2(x12 + x22)- 5x1x2 CM: A = 8m2- 18m + 1 1 x y z C©u2: a) T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña pt: 1 1 b) Cho ba sè d¬ng a,b,c tháa m·n: a2 + b2 + c2 = CM: a b c a.b.c x y xy 7 2 C©u3: Gi¶i hÖ pt: xy x y 12 C©u4: Cho hbh ABCD vµ I lµ trung ®iÓm cña CD §êng th¼ng BI c¾t tia AD t¹i E a) CMR: BIC = EID b) Tia EC c¾t AB t¹i F CMR: FC//BD c) Xác định vị trí điểm C đoạn thẳng EF Câu5: Từ điểm S bên ngoài đờng tròn (O) kẻ hai cát tuyến SAB, SCD đến đờng trßn CMR: nÕu AB = CD th× SA = SC Bµi lµm C©u1: Gi¶i pt: ( x 1)( x 1) 2 x x2- 2mx + 2m – = (1) / a) Ta cã: = (-m)2- 1.(2m- 1) = m2- 2m + = (m- 1)2 V× (m- 1)2 0 víi mäi m nªn pt (1) lu«n cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m b) Ta cã: A = 2(x12 + x22)- 5x1x2 = 2(x1 + x2)2 – 9x1x2 Theo vi-et ta cã: x1 + x2 = 2m x1.x2 = 2m- A = 2(2m)2- 9(2m- 1) = 8m2- 18m + _®pcm 1 1 x y z x,y,z > C©u2: a) Ta cã: (3) 1 x y z z Gi¶ sö x y z V× z nguyªn d¬ng z = 2;3 1 x y = 1 * NÕu z = ta cã: z 1 z 3 1 x y = x,y > 1 2 V× x y x y y y y 4 V× y nguyªn d¬ng y = 3;4 1 + NÕu y = x = x = 1 + NÕu y = x = x = 1 1 * NÕu z = ta cã: x y = x y = x,y> 1 2 V× x y x y y y y 3 V× y nguyªn d¬ng y = 2;3 1 + NÕu y = x = x = 1 + NÕu y = x = x = VËy nghiÖm nguyªn d¬ng cña pt lµ: (3;3;3); (6; 2; 3); (6; 3; 2); (3; 2; 6); (3; 6; 2); (2; 3; 6); (2; 6; 3); (2; 4; 4); (4; 2; 4); (4; 4; 2) b) Ta cã 1 1 bc ac ab bc ac ab ab ac bc a b c a.b.c abc abc abc abc 2ab 2ac 2bc 3 2ab 2ac 2bc a b c 2ab 2ac 2bc 5 ( a b c) luôn đúng x y 3 (I ) x y xy 7 x y xy 7 xy 4 2 x y 4 xy ( x y ) 12 xy x y 12 ( II ) xy 3 C©u3: Ta cã: HÖ pt (I) v« nghiÖm x 1 x 3 HÖ pt(II) cã nghiÖm y 3 hoÆc y 1 x 1 x 3 Vậy hệ pt đã cho có nghiệm y 3 y 1 C©u4: a) XÐt BIC vµ EID cã: BCI EDI (so le trong) IC = ID (gt) BIC EID (đối đỉnh) (4) BIC = EID (g.c.g) b) Ta cã: BIC = EID (c©u a) BC = ED Mµ BC = AD AD = ED CD là đờng trung bình AEF CD = AB = BF BFCD là hình bình hành FC // BD c) Vì CD là đờng trung bình AEF (c/m trên) C là trung điểm đoạn thẳng EF C©u5: Gäi H vµ K lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña O lªn AB vµ CD V× AB = CD OH = OK XÐt SOH vµ SOK cã: SO lµ c¹nh chung OH = OK (c/m trªn) SOH = SOK (c¹nh huyÒn- c¹nh gãc vu«ng) SH = SK (1) MÆt kh¸c AB = CD AH = CK (2) Tõ (1) vµ (2) SA = SC §Ò thi häc sinh giái líp n¨m häc 2003-2004 1 2002 1 x( x 1) 2004 C©u1: a) T×m x N biÕt: 10 x6 y6 z6 3 3 3 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Q = x y y z z x Trong đó x,y,z là các số dơng thỏa mãn: xy xy yz yz zx zx 1 C©u2: a) Cho x- y = 4; x2 + y2 = 36 TÝnh x3- y3 b) Cho c¸c sè thùc a, b, x, y tháa m·n ®iÒu kiÖn: a + b = 3; ax + by = 5; ax + by2 = 12; ax3 + by3 = 31 TÝnh ax4 + by4 y3 C©u3:a) Gi¶i pt: 1 78( y ) y y víi ®iÒu kiÖn y 0 ( x xy y ) x y 185 2 2 b) Gi¶i hÖ pt: ( x xy y ) x y 65 x by 36 C©u4: Gi¶ sö x,y,z lµ c¸c sè nguyªn kh«ng ©m tháa m·n diÒu kiÖn sau: 2 x 3z 72 Trong đó b > cho trớc CMR: a) NÕu b 3 th× (x+y+z)max= 36 36 b) NÕu b<3 th× (x+y+z)max= 24 + b Câu5: Cho đờng tròn (O;R) và điểm A với OA = R Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN a) CM AMON lµ h×nh vu«ng B) Gäi H lµ trung ®iÓm cña MN CMR: A, H, O th¼ng hµng c) Một đờng thẳng (m) quay quanh A cắt đờng tròn (O) P và Q Gọi S là trung điểm cña d©y PQ T×m quü tÝch ®iÓm S d) Tìm cị trí đờng thẳng (m) để AP + AQ max e) Tính theo R độ dài HI đó I là giao điểm AO với cung nhỏ MN Bµi lµm 1 2 2 2 x( x 1) 1.2 2.3 3.4 4.5 x ( x 1) C©u1: a) Ta cã: 10 (5) 1 1 2 x( x 1) 1.2 2.3 3.4 4.5 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; 2.3 3.4 4.5 x( x 1) x x Ta l¹i cã: 1.2 1 1 1 1 1 2x 2 2 10 x( x 1) x x 1 x 1 x 1 2 3 4 1 2002 2x 2002 2x 4006 1 1 x( x 1) 2004 x 1 2004 x 2004 Do đó 10 4008 x 4006 x 4006 x 4006 x 2003 1 2002 1 x( x 1) 2004 VËy víi x = 2003 th× 10 x6 y6 z6 3 3 3 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Q = x y y z z x xy xy yz yz zx zx 1 Trong đó x,y,z là các số dơng thỏa mãn: C©u2: a) Ta cã: (x- y)2 = x2 + y2- 2xy 2xy = x2 + y2- (x- y)2 = 36- 16 = 20 xy = 10 x3- y3 = (x- y)(x2 + xy + y2) = 4.(36 + 10) = 184 b) Ta cã: ax2 + by2 = (ax + by)(x + y)- (a + b)xy (1) ax3 + by3 = (ax2 + by2)(x + y)- (ax + by)xy (2) ax4 + by4 = (ax3 + by3)(x + y)- (ax2 + by2)xy (3) Tõ (1) vµ (2) ta cã 5( x y ) 3xy 12 25( x y ) 15 xy 60 11( x y ) 33 12( x y ) xy 31 36( x y ) 15 xy 93 5( x y) xy 12 ax4 + by4 = 31.3- 12.1= 81 1 y 78( y ) y y víi ®iÒu kiÖn y 0 C©u3:a) Gi¶i pt: y3 Ta cã: 1 78( y ) y y b) Gi¶i hÖ pt: x y 3 xy 1 1 y y 78 y y y y ( x xy y ) x y 185 ( x xy y ) x y 65 §Ò thi häc sinh giái líp n¨m häc 2004-2005 C©u1:(3,5®) Gi¶i c¸c pt sau: a) y y y y3 y 10 y y 21 y 1 y 1 y y y 1 1 78 y y y b) Câu2:(4,5đ) Gọi d là đờng thẳng y = 2x + cắt trục hoành M và trục tung N a)Viết pt đờng thẳng d1//d và qua điểm P(1;0) b) d1 c¾t trôc tung t¹i Q, tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? c) Viết pt đờng thẳng d2 qua N và vuông góc với d d) d1 và d2 cắt A Tìm tọa độ A và tính khoảng cách AN (6) xy x y 2 yz 3 y z zx 4 z x C©u3:(2®) Gi¶i hÖ pt: Câu4:(2đ) Tìm giá trị x cho thơng phép chia 2004x + 1053 cho x2 + đạt giá trị bé có thể đợc Câu5:(8đ) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và M là điểm nằm trên nửa đờng tròn đó Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đờng tròn Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lÇn lît t¹i C vµ D a) CMR: CD = AC + BD vµ COD vu«ng b) OC và OD cắt AM và BM theo thứ tự E và F Xác định tâm P đ ờng tròn đI qua bèn ®iÓm O, E, M, F c) CM: ACDB cã diÖn tÝch nhá nhÊt nã lµ h×nh ch÷ nhËt vµ tÝnh diÖn tÝch nhá đó d) Khi M chạy trên nửa đờng tròn tâm O thì điểm P chạy trên đờng nào? §Ò thi häc sinh giái líp n¨m häc 2005-2006 x C©u1:(4d) Cho biÓu thøc: A = x x x x 1 x 3 x a) Rót gän biÓu thøc A b) Tìm x để A < c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng A là số nguyên C©u2:(3®) a) T×m nghiÖm nguyªn cña pt: (x+5)2 = 64(x-2)3 b) Sè 2100 cã bao nhiªu ch÷ sè C©u3:(4®) Gi¶i pt vµ bpt sau: a) 1 x x 1 2 x b) x 1 ( x 1) 2x 1 64 a b c C©u4:(2d) Cho a, b, c > vµ a + b + c =1 Chøng minh r»ng: Câu5:(4đ) Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Qua điểm M trên cung nhỏ AB vẽ ' đờng tròn tâm O tiếp xúc với đờng tròn (O) cắt MA, MC lần lợt N và P Chứng minh: a)NP//AC b) MA + MB = MC Câu6:(3đ) Cho MNP có các đỉnh M, N, P lần lợt di động trên ba cạnh BC, AB, AC nhọn ABC cho trớc Xác định vị trí M, N, P để chu vi MNP đạt giá trị nhỏ §Ò thi häc sinh giái líp n¨m häc 2006-2007 C©u1:(4®) Trªn hÖ trôc Oxy a) Viết pt đờng thẳng qua A(-2; 3) và B(1; -3) b) Đờng thẳng AB này cắt trục hoành C và trục tung D Xác định tọa độ C vµ D TÝnh SOCD c) TÝnh kho¶ng c¸ch CD x y x y 1 20 1 C©u2:(4®) Gi¶i hÖ pt x y x y (7) 1 x x 1 x x 1 1 x x x C©u3:(4®) Cho biÓu thøc: B = 1 x x : 1 x a) Rót gän B 1 b) Víi x = ? th× B = C©u4:(8®) Trong (O;R) cho hai d©y AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau( R AB R ) a) CMR: AB2 + AC2 = 4R2 b) Cho AB = R hãy tính AC và khoảng cách từ tâm O đến hai dây AB và AC KÎ hai d©y AD vµ BE hîp víi AB gãc 450 DE c¾t AB t¹i P a) CMR: DE AB b) Gọi OF là khoảng cách từ O đến DE Tính khoảng cách từ O đến DE và độ dài c¸c ®o¹n th¼ng PA, PB, PD, PE AB = R 3 Nèi CE Hái ADEC lµ tø gi¸c g×? Trong trêng hîp tæng qu¸t cho hai d©y AB vµ DE vu«ng gãc víi t¹i P CMR: PA2 + PB2 + PD2 + PE2 = 4R2 §Ò thi häc sinh giái líp n¨m häc 2007-2008 C©u1:(4®) Cho hÖ pt (8)