Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh trong một tứ diện các đường thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng quy.... Cho tứ diện ABCD.[r]
(1)Chương I LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho điểm M có số đo cung AM là a thì sin a = yM cos a = xM sin a cos a tan a = cos a (α ≠ π/2 + kπ, k thuộc Z) cot a = sin a (α ≠ kπ, k thuộc Z) Các tính chất Với a ta có –1 ≤ sin a ≤ hay |sin a| ≤ 1; –1 ≤ cos a ≤ hay |cos a| ≤ Các hằng đẳng thức lượng giác bản sin² a + cos² a = tan a cot a = 1 2 + tan² a = cos a + cot² a = sin a Công thức liên hệ góc cos(–a) = cos a cos(π – a) = –cos a cos(π + a) = –cos a sin(–a) = –sin a sin(π – a) = sin a sin(π + a) = –sin a tan(–a) = –tan a tan(π – a) = –tan a tan(π + a) = tan a cot(–a) = –cot a cot(π – a) = –cot a cot(π + a) = cot a cos(π/2 + a) = –sin a cos(π/2 – a) = sin a sin(π/2 + a) = cos a sin(π/2 – a) = cos a tan(π/2 + a) = –cot a tan(π/2 – a) = cot a cot(π/2 + a) = –tan a cot(π/2 – a) = tan a Công thức cộng cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b tan a tan b tan a tan b tan(a + b) = tan a tan b tan(a – b) = tan a tan b Công thức nhân đôi sin 2a = 2sin a cos a cos 2a = cos² a – sin² a = 2cos² a – = – 2sin² a tan a tan 2a = tan a Công thức hạ bậc cos 2a cos 2a 2 cos² a = sin² a = Công thức biến đổi tích thành tổng cos a cos b = [cos (a + b) + cos (a – b)] sin a sin b = [cos (a – b) – cos (a + b)] sin a cos b = [sin (a + b) + sin (a – b)] Công thức biến đổi tổng thành tích a b a b a b a b cos cos sin cos 2 2 cos a + cos b = sin a + sin b = a b a b a b a b sin sin cos sin 2 2 cos a – cos b = –2 sin a – sin b = (2) Câu Tìm tập xác định các hàm số y = cos x + sin x A R \ {π/2 + kπ, k là số nguyên} B R \ {π/4 + kπ/2, k là số nguyên} C R \ {π/4 + kπ, k là số nguyên} D R Câu Tập xác định hàm số y = tan 2x là A R \ {π/2 + kπ, k là số nguyên} B R \ {π/2 + kπ/2, k là số nguyên} C R \ {π/4 + kπ, k là số nguyên} D R \ {π/4 + kπ/2, k là số nguyên} tan x Câu Tập xác định hàm số y = sin 2x A R \ {π/2 + kπ, k là số nguyên} B R \ {π/4 + kπ/2, k là số nguyên} C R \ {π/4 + kπ, k là số nguyên} D R \ {π/2 + kπ/2, k là số nguyên} Câu Tập xác định hàm số y = cot (2x – π/3) A R \ {π/3 + kπ, k là số nguyên} B R \ {π/3 + kπ/2, k là số nguyên} C R \ {π/6 + kπ, k là số nguyên} D R \ {π/6 + kπ/2, k là số nguyên} Câu Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ? A y = 2cos x B y = x sin x C y = sin |x| D y = tan³ x – x Câu Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A y = – sin x B y = |x + cos x| C y = |x| – cos x D y = x – tan x Câu So sánh nào sau đây sai? A cos 15° > 0,5 B sin 35° < 0,5 C cot 20° > 1,5 D tan 65° > 1,5 Câu Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất hàm số y = sin (x – π/2) + lần lượt là A –1 và B và C và D –1 và Câu Giá trị lớn nhất hàm số y = – cos 2x là A B C D Câu 10 Giá trị nhỏ nhất hàm số y = –2 + cos (2x + 2π/3) là A –3 B –2 C –1 D Câu 11 Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất hàm số y = cos x + sin x lần lượt là m và M Tính mM A –1 B –2 C D Câu 12 Hàm số y = sin² x – 4sin x + đạt giá trị nhỏ nhất A x = π/2 + k2π, k là số nguyên B x = –π/2 + k2π, k là số nguyên C x = π/6 + k2π, k là số nguyên D x = π/3 + k2π, k là số nguyên Câu 13 Giá trị lớn nhất hàm số y = 2cos² x – 3cos x + trên đoạn [–π/6; π/2] là A 7/8 B C D Câu 14 Giá trị nhỏ nhất hàm số y = + cos (πx/6) trên đoạn [1; 4] là A B C 3/2 D 5/2 Câu 15 Giải phương trình sin 2x + = A x = π/6 + kπ, k là số nguyên B x = π/8 + kπ, k là số nguyên C x = π/2 + kπ, k là số nguyên D x = π/4 + kπ, k là số nguyên Câu 16 Giải phương trình cos x – sin x = –1 A x = π + k2π V x = π/3 + k2π (k là số nguyên) B x = π + k2π V x = –π/3 + k2π (k là số nguyên) C x = π/6 + k2π V x = –π + k2π (k là số nguyên) D x = –2π/3 + k2π V x = k2π (k là số nguyên) Câu 17 Giải phương trình sin 4x – cos 4x = A x = π/8 + k2π V x = π/4 + k2π (k là số nguyên) B x = π/8 + kπ/2 V x = π/4 + kπ/2 (k là số nguyên) C x = π/8 + kπ/2 V x = π/2 + kπ/2 (k là số nguyên) D x = π/4 + kπ V x = 3π/8 + kπ (k là số nguyên) Câu 18 Giải phương trình 2cos² x = A x = ±π/6 + kπ (k là số nguyên) B x = ±π/4 + kπ (k là số nguyên) C x = π/4 + kπ/2 (k là số nguyên) D x = π/2 + kπ (k là số nguyên) Câu 19 Giải phương trình cos 3x – sin x = cos x – sin 3x A x = kπ V x = π/8 + kπ/2 (k là số nguyên) B x = kπ V x = π/4 + kπ (k là số nguyên) C x = π/8 + kπ V x = kπ/2 (k là số nguyên) D x = π/8 + kπ V x = kπ (k là số nguyên) Câu 20 Giải phương trình sin x – cos x = 4sin x cos x (3) A x = –π/3 + k2π V x = 4π/9 + k2π/3 (k là số nguyên) B x = –π/3 + k2π V x = 2π/9 + k2π/3 (k là số nguyên) C x = π/3 + k2π V x = –2π/9 + k2π/3 (k là số nguyên) D x = 2π/3 + k2π V x = –π/9 + k2π/3 (k là số nguyên) Câu 21 Giải phương trình sin 2x + 2sin² x = A x = π/4 + kπ, k là số nguyên B x = π/8 + kπ/2, k là số nguyên C x = π/8 + kπ, k là số nguyên D x = π/8 + kπ/4, k là số nguyên Câu 22 Giải phương trình 2cos² x + 5sin x – = A x = π/6 + k2π V x = 5π/6 + k2π, k là số nguyên B x = π/6 + kπ V x = 5π/6 + kπ, k là số nguyên C x = π/3 + k2π V x = 2π/3 + k2π, k là số nguyên D x = π/3 + kπ V x = 2π/3 + kπ, k là số nguyên Câu 23 Giải phương trình 2cos 2x – 8cos x + = A x = ±π/6 + kπ, k là số nguyên B x = ±π/3 + kπ, k là số nguyên C x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên D x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên Câu 24 Giải phương trình 2cos x cos 2x = + cos 2x + cos 3x A x = π/2 + kπ V x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên B x = π/2 + kπ V x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên C x = kπ V x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên D x = kπ V x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên Câu 25 Giải phương trình 2(sin4 x + cos4 x) = 2sin 2x – A x = π/2 + kπ, k là số nguyên B x = π/4 + kπ, k là số nguyên C x = π/2 + k2π, k là số nguyên D phương trình vô nghiệm Câu 26 Giải phương trình (3 + tan² x) cos x = A x = 2kπ V x = ±π/3 + k2π, với k là số nguyên B x = 2kπ V x = ±π/6 + k2π, với k là số nguyên C x = kπ V x = ±π/6 + kπ, với k là số nguyên D x = kπ V x = ±π/3 + kπ, với k là số nguyên Câu 27 Giải phương trình tan x + cot x – = A x = π/4 + kπ, k là số nguyên B x = π/4 + k2π, k là số nguyên C x = π/8 + kπ, k là số nguyên D x = π/8 + k2π, k là số nguyên Câu 28 Giải phương trình 2sin² x – 5sin x cos x – cos² x = –2 A x = π/4 + kπ V x = tan–1 (1/4) + kπ, k là số nguyên B x = π/4 + kπ V x = tan–1 (1/2) + kπ, k là số nguyên C x = –π/4 + kπ V x = tan–1 (1/4) + kπ, k là số nguyên D x = –π/4 + kπ V x = tan–1 (1/2) + kπ, k là số nguyên Câu 29 Giải phương trình 3sin² x – sin 2x – 3cos² x = A x = –π/6 + kπ V x = π/6 + kπ, k là số nguyên B x = –π/6 + kπ V x = π/3 + kπ, k là số nguyên C x = –π/3 + kπ V x = π/6 + kπ, k là số nguyên D x = –π/3 + kπ V x = π/3 + kπ, k là số nguyên Câu 30 Giải phương trình 4sin² x + 3sin 2x – 2cos² x = A x = kπ V x = π/4 + kπ, k là số nguyên B x = π/2 + kπ V x = π/4 + kπ, k là số nguyên C x = π/3 + kπ V x = π/4 + kπ, k là số nguyên D x = π/2 + kπ V x = kπ, k là số nguyên Câu 31 Giải phương trình 6sin x – 2cos³ x = 5sin 2x cos x A x = π/8 + kπ/2, k là số nguyên B x = π/4 + kπ/2, k là số nguyên C x = π/4 + kπ, k là số nguyên D x = π/8 + kπ, k là số nguyên Câu 32 Giải phương trình sin² x + sin 2x – 2cos² x = 1/2 A x = π/4 + kπ V x = tan–1 (–4) + kπ, k là số nguyên B x = π/4 + kπ V x = tan–1 (–3) + kπ, k là số nguyên C x = π/4 + kπ V x = tan–1 (–2) + kπ, k là số nguyên D x = π/4 + kπ V x = tan–1 (–5) + kπ, k là số nguyên Câu 33 Giải phương trình 3(sin x + cos x + 1) + 2sin x cos x = (4) A x = –π/2 + kπ, k là số nguyên B x = –π/2 + k2π V x = π + k2π, k là số nguyên C x = π/2 + k2π V x = k2π, k là số nguyên D x = π/2 + k2π V x = π + k2π, k là số nguyên Câu 34 Giải phương trình sin 2x + = 3(sin x – cos x) A x = π/2 + k2π V x = π + k2π, k là số nguyên B x = –π/2 + k2π V x = π + k2π, k là số nguyên C x = π/2 + k2π V x = k2π, k là số nguyên D x = –π/2 + kπ, k là số nguyên Câu 35 Giải phương trình cos x + sin x + sin 2x – = A x = π/2 + k2π V x = π + k2π, k là số nguyên B x = π/2 + k2π V x = k2π, k là số nguyên C x = π/2 + kπ V x = kπ, k là số nguyên D x = π/2 + kπ, k là số nguyên Câu 36 Giải phương trình cos 2x + cos x + = A x = π + k2π V x = ±2π/3 + k2π, k là số nguyên B x = π + k2π V x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên C x = π + k2π V x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên D x = π + k2π V x = ±5π/6 + k2π, k là số nguyên Câu 37 Giải phương trình + cos 2x = –5sin x A x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên B x = π/6 + k2π V x = 5π/6 + k2π, k là số nguyên C x = π/3 + k2π V x = 2π/3 + k2π, k là số nguyên D x = –π/6 + k2π V x = 7π/6 + k2π, k là số nguyên Câu 38 Số nghiệm phương trình 2cos 2x + cos x = trên [–π/2; 2π] A B C D Câu 39 Giải phương trình + tan x = sin 2x A x = π/4 + kπ, k là số nguyên B x = –π/4 + kπ, k là số nguyên C x = ±π/4 + kπ, k là số nguyên D x = π/3 + kπ, k là số nguyên Câu 40 Giải phương trình cos³ x – cos 2x + = A x = k2π, k là số nguyên B x = π/2 + kπ, k là số nguyên C x = π + k2π, k là số nguyên D x = π/2 + k2π, k là số nguyên Câu 41 Giải phương trình (tan x – 1)³ = (tan² x – 1)(tan x + 1)² A x = kπ V x = π/4 + kπ, k là số nguyên B x = ±π/4 + kπ, k là số nguyên C x = kπ V x = π/3 + kπ, k là số nguyên D x = kπ V x = π/6 + kπ, k là số nguyên Câu 42 Số nghiệm phương trình sin 2x – cos 2x = sin x + cos x – trên [0; 2π] là A B C D Câu 43 Giải phương trình sin 2x + cos 2x + tan x = A x = π/4 + kπ, k là số nguyên B x = –π/4 + kπ, k là số nguyên C x = π/3 + kπ, k là số nguyên D x = π/6 + kπ, k là số nguyên Câu 44 Tập hợp tất cả các nghiệm thuộc [–π; π] phương trình 2sin² x + 2sin 2x = – 2cos² x là A {–5π/6; –π/6; π/6; 5π/6} B {–5π/12; –π/12; π/12; 5π/12} C {–11π/12; –7π/12; π/12; 5π/12} D {–11π/12; –7π/12; π/6; 5π/6} Câu 45 Giải phương trình cos³ x – sin³ x = cos x + sin x A x = kπ, k là số nguyên B x = π/4 + kπ, k là số nguyên C x = –π/4 + kπ, k là số nguyên D x = π/3 + kπ, k là số nguyên Câu 46 Tổng tất cả các nghiệm thuộc [0; π] phương trình sin³ x + cos³ x – 2(sin5 x + cos5 x) = là A B π/2 C π D –π/2 4 Câu 47 Tìm nghiệm âm lớn nhất phương trình 3cos x – sin² 2x + sin x = A x = –3π/4 B x = –π/3 C x = –2π/3 D x = –π/4 Câu 48 Giải phương trình cos³ x + sin³ x = sin 2x + sin x + cos x A x = kπ, k là số nguyên B x = kπ/2, k là số nguyên C x = k2π, k là số nguyên D x = k4π, k là số nguyên Câu 49 Nghiệm dương nhỏ nhất phương trình 2cos³ x + cos 2x + sin x = là A x = π/4 B x = π/6 C x = π/2 D x = π/3 (5) Câu 50 Tổng các nghiệm thuộc (–π; 3π) phương trình cos x – sin x + + sin x cos x = là A 4π B 2π C 6π D 3π Câu 51 Số nghiệm thuộc (0; 2017) phương trình 2tan x + 3tan² x + 2cot x + 3cot² x = là A N = 640 B N = 641 C N = 642 D N = 643 Câu 52 Nghiệm lớn nhất thuộc (0; 2017) phương trình cos³ x – sin³ x + = là A x = 640,5π B x = 641π C x = 642π D x = 641,5π Câu 53 Giải phương trình sin4 (x/2) + cos4 (x/2) – + 2sin x = A x = kπ/2, k là số nguyên B x = π/2 + kπ, k là số nguyên C x = kπ, k là số nguyên D x = π/2 + k2π, k là số nguyên Câu 54 Số nghiệm nguyên phương trình cos 3x – 2cos 2x + cos x = là A B C D vô số Câu 55 Gọi x = aπ/b (với a/b là phân số tối giản) là nghiệm dương nhỏ nhất phương trình sin x + cos6 x = sin4 x + cos4 x Giá trị a + b là A B C D 4 Câu 56 Tổng các nghiệm thuộc (–π; 2π) phương trình sin x + cos x = cos² x là A 3π B 4π C 5π D 2π Câu 57 Nghiệm dương nhỏ nhất phương trình sin² 3x – cos² 4x = sin² 5x – cos² 6x có dạng x = π/a Giá trị a là A B C D Câu 58 Tìm giá trị m cho x = π/6 + k2π (k là số nguyên) thỏa mãn phương trình m (sin x + sin 2x) + cos x + cos 2x = A m = B m = –2 C m = D m = –1 Câu 59 Tìm giá trị m cho phương trình 3sin x + 4cos x = m có nghiệm A m ≥ B m ≤ C –5 ≤ m ≤ D |m| ≥ Câu 60 Tìm giá trị m cho phương trình 2cos² x + m sin 2x = m + có nghiệm A m ≥ 3/4 B m ≥ –3/4 C m ≤ 3/4 D m ≤ –3/4 Câu 61 Giải phương trình 2sin x (1 + cos 2x) + sin 2x – 2cos x – = A x = π/4 + kπ V x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên B x = π/2 + kπ V x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên C x = π/2 + kπ V x = ±2π/3 + k2π, k là số nguyên D x = π/4 + kπ V x = ±2π/3 + k2π, k là số nguyên Câu 62 Giải phương trình sin 2x + cos 2x = + sin x – 3cos x A x = ±π/6 + kπ, k là số nguyên B x = ±π/3 + kπ, k là số nguyên C x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên D x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên Câu 63 Giải phương trình 2cos x + 2cos (5π/2 – x) – cos 2x = A x = π/4 + kπ, k là số nguyên B x = π/3 + kπ, k là số nguyên C x = –π/4 + kπ, k là số nguyên D x = –π/3 + kπ, k là số nguyên TỔ HỢP XÁC SUẤT I Quy tắc đếm Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo hai phương án A và B Phương án A có thể thực n cách; phương án B có thể thực m cách Khi đó, công việc được thực theo n + m cách Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể thực n cách; công đoạn B có thể thực m cách Khi đó, công việc được thực n.m cách II Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp Hoán vị a Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử Mỗi xếp n phần tử đó theo thứ tự định trước là phép hoán vị các phần tử tập A b Định lý: Số phép hoán vị tập hợp có n phần tử, kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = Chỉnh hợp a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử Xét số tự nhiên k ≤ n Khi lấy k phần tử số n phần tử đem xếp k phần tử đó theo thứ tự định trước, ta được phép chỉnh hợp chập k n phần tử n! A kn (n k)! b Định lý: Số chỉnh hợp chập k n phần tử là (6) Tổ hợp a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số tự nhiên k ≤ n Một tập hợp A có k phần tử được gọi là tổ hợp chập k n phần tử n! Ckn k!(n k)! b Định lý: Số tổ hợp chập k n phần tử là k n k C kn 1 Cnk Cnk c Hai tính chất bản: Cn C n ; III Khai triển nhị thức Newton n n n 2 n n (a + b)n = Cn a Cn a b Cn a b Cn b k n k k Khai triển nhị thức Newton bậc n có n + số hạng Số hạng tổng quát thứ k + là Tk+1 = Cn a b IV XÁC SUẤT Phép thử ngẫu nhiên là phép thử không đoán trước được kết quả, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có phép thử đó Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy phép thử được gọi là không gian mẫu phép thử và được kí hiệu là Ω Biến cố là tập không gian mẫu Gọi n(A) là số phần tử biến cố A, n(Ω) là số kết quả có thể xảy phép thử Xác suất biến cố A là P(A) = n(A)/n(Ω) Nếu A ∩ B = Ø thì ta nói A và B xung khắc Khi đó P(A U B) = P(A) + P(B) Định lý: P(Ø) = 0, P(Ω) = 1, ≤ P(A) ≤ A và B là biến cố độc lập và P(A ∩ B) = P(A) P(B) Câu Bạn Nam vào siêu thị để mua áo sơ mi cỡ 40 41 Cỡ 40 có màu khác nhau, cỡ 41 có màu khác Số cách chọn áo là A 12 B C 25 D 24 Câu Cho tập A = {1; 2; 3; 4} Số các số chẵn gồm ba chữ số đôi khác chọn từ tập A là A 12 B 24 C 18 D Câu Từ tập A = {1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được bao nhiêu số có chữ số cho chữ số xuất ba lần, còn các chữ số khác xuất lần? A N = 840 B N = 560 C N = 5040 D N = 600 Câu Trong mặt phẳng cho điểm A, B, C, D, E, M, N khác Có bao nhiêu vectơ khác không nối hai điểm các điểm đó? A N = 21 B N = 42 C N = 49 D N = 35 Câu Từ tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được bao nhiêu số lẻ có chữ số đôi khác nhau? A N = 150 B N = 144 C N = 180 D N = 108 Câu Cho điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng Từ điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác? A N = 35 B N = 70 C N = 49 D N = 105 Câu Một lớp có 30 học sinh Cần chọn ngẫu nhiên bạn làm lớp trưởng, bạn làm lớp phó và bạn làm thư ký Hỏi có bao nhiêu cách chọn, biết rằng học sinh nào có khả làm lớp trưởng, lớp phó thư ký A N = 4060 B N = 23460 C N = 4600 D N = 24360 3 Câu Tìm số tự nhiên n, biết 2n – + Cn Cn 1 ≥ A n = 3; 4; B n = 4; C n = 5; D n = 3; Câu Từ chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm chữ số đôi khác nhau? A N = 3200 B N = 1200 C N = 1260 D N = 2520 Câu 10 Trong khai triển (2x² – 1/x³)10, với x ≠ 0, số hạng không chứa x là A 108640 B 10640 C 13440 D 153090 Câu 11 Hệ số số hạng chứa x9 khai triển (x³ + 1/x²)8 là A 56 B 64 C 28 D 32 Câu 12 Cho khai triển: (1 + 2x)10 = ao + a1x + a2x² + + a10x10 Tìm hệ số lớn nhất A a5 = 8064 B a10 = 1024 C a6 = 13440 D a7 = 15360 Câu 13 Xác định số hạng thứ khai triển (1 – 2x)9 theo thứ tự số mũ biến tăng dần A 2016x4 B –4032x5 C –2016x5 D 4032x4 Câu 14 Số hạng thứ 10 khai triển (2 – x²)13 theo thứ tự số mũ biến tăng dần là (7) A 2288x10 B –2288x9 C 11440x10 Câu 15 Số hạng không chứa x khai triển (x + 1/x)8 là A 70 B 56 C 64 Câu 16 Số hạng không chứa x khai triển (x – 2/x²)12 là A 7920 B 112640 C 25344 Câu 17 Số hạng đứng chính khai triển (1 + x)12 là A 924x5 B 924x6 C 792x5 Câu 18 Xác định hệ số số hạng chứa x² khai triển (x/3 – 3/x)18 A 39382 B 393822 C –48620 Câu 19 Xác định hệ số số hạng chứa x³ khai triển (2/x³ – x²)14 A 16016 B 12012 C –16016 Câu 20 Xác định hệ số số hạng chứa x³ khai triển (x² – x + 2)9 A 14592 B 9216 C –9216 2n C C2n C2n C2n Câu 21 Tính tổng S = 2n n A S = B S = 22n–1 C S = 22n 2 3 n n Câu 22 Tính tổng S = Cn 2Cn C n Cn ( 2) Cn D –11440x9 D 28 D 126720 D 792x6 D 4862 D –12012 D –14592 D S = 2n–1 A B –1 C (–1)n D 3n Câu 23 Số các số tự nhiên lẻ có chữ số đôi khác nhỏ 600000 là A 36960 B 20160 C 42000 D 75600 Câu 24 Số các số tự nhiên gồm chữ số đôi khác và chia hết cho là A 28560 B 15120 C 5712 D 6048 Câu 25 Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; có thể lập được số các số tự nhiên có chữ số đôi khác đó phải có chữ số là A 1560 B 1440 C 1200 D 1120 Câu 26 Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; có thể lập được số các số chẵn có chữ số đôi khác và không lớn 789 là A N = 175 B N = 171 C N = 179 D N = 165 Câu 27 Một nhóm học sinh gồm 10 nam, nữ Chọn tổ gồm người Số cách chọn để tổ có cả nam và nữ là A 1280 B 1250 C 1580 D 1560 Câu 28 Một nhóm công nhân gồm 20 người, cần bầu tổ trưởng, tổ phó và người giám sát viên Số cách lập tối đa là A 308100 B 860480 C 15504 D 310080 Câu 29 Số cách xếp học sinh A, B, C, D và E vào băng ghế dài cho hai bạn A và E ngồi hai đầu ghế là A 24 B 12 C D 18 Câu 30 Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng và viên bi vàng Lấy đồng thời viên bi từ hộp đó Số kết quả có thể mà số bi lấy không có đủ ba màu là A N = 355 B N = 455 C N = 335 D N = 435 Câu 31 Số cách xếp chỗ ngồi cho 10 người vào dãy ghế thẳng gồm 10 chỗ cho có người nhóm ngồi cạnh là A 752670 B 775650 C 765270 D 725760 Câu 32 Số cách chia nhóm nhóm người từ 10 người cho có người không thể chung nhóm là A N = 70 B N = 140 C N = 100 D N = 50 Câu 33 Một đội văn nghệ có 20 người, đó có 10 nam và 10 nữ Số cách chọn năm người cho có ít nhất hai nam và ít nhất nữ là A 17500 B 15000 C 12570 D 15720 Câu 34 Chọn ngẫu nhiên số nguyên dương nhỏ Tính xác suất để số được chọn là số nguyên tố A P = 1/3 B P = 2/3 C P = 2/5 D P = 4/9 Câu 35 Có tấm thẻ đánh số từ đến Chọn ngẫu nhiên đồng thời tấm thẻ Tính xác suất để tích hai số trên hai tấm thẻ là số chẵn A P = 11/18 B P = 2/3 C P = 13/18 D P = 7/9 Câu 36 Tìm xác suất để gieo xúc xắc lần độc lập, không lần nào xuất số chấm là số chẵn (8) A P = 1/2 B P = 1/3 C P = 1/64 D P = 1/81 Câu 37 Một bình chứa 16 viên bi, đó có viên bi trắng, viên bi đen, viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên đồng thời viên bi Tìm xác suất để lấy được viên bi trắng, viên bi đen và viên bi đỏ A P = 5/26 B P = 1/5 C P = 3/13 D P = 7/26 Câu 38 Một đoàn tàu có toa đổ sân ga Có hành khách từ sân ga lên tàu, người độc lập với chọn cách ngẫu nhiên lên toa Tìm xác suất để có khách lên toa tàu Giả sử các toa có thể chứa hết người A 4/125 B 24/625 C 6/125 D 26/625 Câu 39 Một bình đựng viên bi xanh và viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi, lấy tiếp viên bi Tính xác suất biến cố: “lấy lần thứ hai được viên bi xanh” A P = 5/8 B P = 3/8 C P = 3/4 D P = 1/2 Câu 40 Hai hộp chứa các quả cầu Hộp thứ nhất chứa quả đỏ và quả xanh, hộp thứ chứa quả đỏ và quả xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp quả Tính xác suất cho hai quả cùng màu A P = 1/2 B P = 3/50 C P = 1/4 D P = 3/10 Câu 41 Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ đến 10 và 20 quả cầu xanh được đánh số từ đến 20 Lấy ngẫu nhiên quả Tìm xác suất cho quả được chọn có màu xanh ghi số lẻ A P = 2/3 B P = 5/6 C P = 1/6 D P = 1/3 Câu 42 Một tổ có nam và nữ Chọn ngẫu nhiên ba người Tìm xác suất cho người đó có ít nhất người là nữ A P = 2/3 B P = 3/8 C P = 17/24 D P = 3/4 CẤP SỐ CỘNG Định nghĩa: Cấp số cộng là dãy số (hữu hạn hay vô hạn), đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng là tổng số hạng đứng trước nó với số không đỗi gọi là công sai Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2, ) Số hạng tổng quát un = u1 + (n – 1)d Tính chất các số hạng cấp số cộng uk = (uk–m + uk+m)/2 với k > m ≥ Tổng n số hạng đầu cấp số cộng n(u1 u n ) n[2u1 (n 1)d] 2 Sn = Câu Cho cấp số cộng 2, 5, 8, Tìm u15 A u15 = 40 B u15 = 38 C u15 = 30 D u15 = 44 Câu Cho cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 120 và có tổng bằng 1830 Số hạng đầu là A u1 = 60 B u1 = 63 C u1 = 66 D u1 = 57 Câu Cho cấp số cộng (un) có u2 + u5 – u3 = 10 và u4 + u6 = 26 Tìm số hạng đầu và công sai cấp số cộng (un) A u1 = và d = B u1 = –2 và d = C u1 = –2 và d = D u1 = và d = Câu Tìm số hạng đầu và công sai cấp số cộng có số hạng biết tổng là 30 và số hạng cuối là 14 A u1 = và d = B u1 = –2 và d = C u1 = –2 và d = D u1 = và d = Câu Cho số tạo thành cấp số cộng biết số hạng đầu là và tích số chúng là 1140 Số hạng thứ hai và thứ ba lần lượt là A 12; 19 B 11; 17 C 10; 15 D 9; 13 Câu Tìm chiều dài các cạnh tam giác vuông biết chúng tạo thành cấp số cộng với công sai là 25 A 45; 70; 95 B 30; 55; 80 C 75; 100; 125 D 100; 125; 150 Câu Cho cấp số cộng (un) Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 Tính tổng S = u1 + u6 + u11 + u16 A S = 121 B S = 133 C S = 145 D S = 147 Câu Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80 Tìm tổng S15 15 số hạng đầu tiên cấp số cộng đó A S15 = 600 B S15 = 400 C S15 = 800 D S15 = 300 Câu Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng chúng là 154 Hiệu số hạng cuối và số hạng đầu là 30 Tìm số hạng đầu và công sai cấp số cộng đó A u1 = và d = B u1 = –1 và d = C u1 = –1 và d = D u1 = và d = Câu 10 Cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = –3 Tính a10 A a10 = 31 B a10 = –23 C a10 = –26 D a10 = 35 (9) Câu 11 Tính số hạng đầu và công sai cấp số cộng (un) biết u3 + u5 = 30; S13 = 78 A u1 = 24 và d = –3 B u1 = –4 và d = 13 C u1 = –6 và d = D u1 = 12 và d = –1 Câu 12 Tính số hạng đầu và công sai cấp số cộng (un) biết u5 = 7; u9 = 31 A u1 = và d = B u1 = –11 và d = C u1 = –25 và d = D u1 = –9 và d = Câu 13 Tính số hạng đầu và công sai cấp số cộng (un) biết S4 = 9; S6 = 45/2 A u1 = và d = 1/2 B u1 = –1 và d = 1/2 C u1 = và d = 3/2 D u1 = 1/2 và d = Câu 14 Tính số hạng đầu và công sai cấp số cộng (un) biết u3 + u10 = –31 và 2u4 – u9 = A u1 = và d = –4 B u1 = –21 và d = C u1 = và d = –3 D u1 = –32 và d = Câu 15 Cho cấp số cộng (un) có u5 = –24, u13 = 48 Tính tổng 20 số hạng đầu tiên A S20 = 450 B S20 = 480 C S20 = 510 D S20 = 540 Câu 16 Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = Giá trị u20 và S20 lần lượt là A 74 và 900 B 74 và 910 C 77 và 910 D 77 và 900 Câu 17 Cho cấp số cộng (un) có u10 = –20 và d = –4 Giá trị u1 và S10 lần lượt là A 16; –20 B –16; –180 C 16; 180 D –16; –20 Câu 18 Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 và u11 = –1 Công sai d và tổng S11 có gia trị lần lượt là A 18/5 và –209 B –18/5 và 209 C 18/5 và –187 D –18/5 và 187 Câu 19 Cho cấp số cộng (un) có u3 = –15, u4 = 18 Tìm tổng 20 số hạng đầu tiên A 4430 B 3450 C 4650 D 3650 Câu 20 Cho cấp số cộng (un) có un = – 5n Tổng 100 số hạng đầu tiên là A –24350 B –23540 C –34520 D –52340 Câu 21 Cho các dãy số sau a u1 = 2, un+1 = (3n + 1)/5 b u1 = 15, u2 = 9, un+2 = 2un+1 – un c u1 = 0, un+1 = un – 12 d u1 = 1, u2 = 1, un+2 = 2un+1 + Số cấp số cộng các dãy số trên là A B C D Câu 22 Nhận xét nào sau đây sai cấp số cộng? A Cấp số cộng không bị chặn trên nếu có công sai dương B Cấp số cộng không bị chặn trường hợp công sai khác C Cấp số cộng có giá trị nhỏ nhất là số hạng đầu nếu bị chặn trên D Cấp số cộng có công sai khác không thể có đồng thời giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Câu 23 Cho cấp số cộng gồm 22 số hạng với số hạng đầu là 125 và số hạng cuối là –295 Số hạng thứ là A u2 = 114 B u2 = 115 C u2 = 104 D u2 = 105 Câu 24 Tìm x cho số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng, biết a = x – 9, b = 3x – 6, c = x² + A x = V x = B x = V x = C x = V x = C x = V x = CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa: Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn hay vô hạn), đó kể từ số hạng thứ hai số hạng là tích số hạng đứng trước nó với số không đỗi gọi là công bội Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có un+1 = un.q (n = 1; 2; ) Số hạng tổng quát Định lí: Số hạng tổng quát cấp số nhân được cho công thức un = u1.qn–1 Tính chất Trong cấp số nhân (un), uk² = uk–muk+m với k > m ≥ 1 qn u1 q (q ≠ 1) Tổng n số hạng đầu cấp số nhân với số hạng đầu u1 và công bội q ≠ là Sn = Câu Cho cấp số nhân có số hạng biết u = 243 và u5 = Các số hạng từ số thứ hai đến số thứ lần lượt là A 81; 27; B 183; 123; 63 C 99; 54; 18 D 162; 81; Câu Cho cấp số nhân có q = 1/4, S6 = 2730 Tìm u1 A u1 = 1024 B u1 = 2048 C u1 = 4096 D u1 = 8192 Câu Tìm u1 và q cấp số nhân (un) có u3 = 18 và u6 = –486 A u1 = và q = B u1 = –2 và q = –3 C u1 = và q = –3 D u1 = –3 và q = –2 Câu Tìm u1 và q cấp số nhân (un) có u4 – u2 = 72; u5 – u3 = 144 A u1 = và q = B u1 = 12 và q = C u1 = và q = D u1 = 12 và q = Câu Tìm u1 và q cấp số nhân (un) có u3 = 12 và u5 = 48 (10) A u1 = và q = ±2 B u1 = và q = ±2 C u1 = và q = ±3 D u1 = và q = ±3 Câu Tìm u1 và q cấp số nhân (un) có u1 + u2 + u3 = –7; u4 + u5 + u6 = 189 A u1 = –1 và q = B u1 = và q = –9 C u1 = –1 và q = –3 D u1 = và q = Câu Tìm số hạng đầu cấp số nhân (u n) biết cấp số đó có số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp lần số hạng thứ hai A u1 = V u1 = –3 B u1 = –18 V u1 = C u1 = –18 V u1 = D u1 = –9 V u1 = Câu Tổng số hạng liên tiếp cấp số cộng là 21 Nếu số thứ hai trừ và số thứ ba cộng thêm thì ba số lập thành cấp số nhân Tìm ba số đó A 3; 7; 11 11; 7; B 12; 7; 3; 7; 11 C 12; 7; 11; 7; D 12; 7; 2; 7; 12 Câu Cho các dãy số (un) sau a un = 3.2n b un = (–2)n.3n+2 c u1 = và un+1 = 3un – d un = 3n + Số cấp số cộng các dãy số trên là A B C D Câu 10 Tìm số hạng đầu và công bội cấp số nhân (un), biết u1 + u2 + u3 = 14 và u1u2u3 = 64 A u1 = và q = 1/2 u1 = và q = B u1 = và q = 1/2 u1 = và q = C u1 = và q = 1/2 u1 = và q = D u1 = và q = 1/4 u1 = và q = Câu 11 Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát un = (–3)n+1.2n+3 Nhận xét nào sau đây đúng? A Dãy số trên là cấp số cộng có công sai d = B Dãy số trên là cấp số nhân giảm C Dãy số trên là cấp số nhân lùi vô hạn D Dãy số trên là cấp số nhân có công bội q = –6 Câu 12 Nhận xét nào sau đây sai? A Cấp số cộng phải có chặn chặn trên B Cấp số nhân lùi vô hạn là dãy số bị chặn C Cấp số nhân giảm không thể có công bội âm D Cấp số nhân có công bội q > thì bị chặn Câu 13 Tìm số hạng liên tiếp cấp số nhân tăng biết tổng chúng là 19 và tích chúng là 216 A 4; 6; B 2; 6; 18 C 1; 3; D 12; 18; 27 Câu 14 Xác định công bội cấp số nhân (un) có u2 + u4 + u6 = 481 và u3 + u5 = 300 A q = –1/2 B q = 1/2 C q = 3/4 D q = 2/5 Câu 15 Tìm x, y biết 1; x²; y² là số hạng liên tiếp cấp số nhân và 1; x + 3; y – là số liên tiếp cấp số cộng A x = và y = 16 x = –2 và y = B x = và y = x = –4 và y = 16 C x = và y = x = và y = 16 D x = –2 và y = x = –4 và y = 16 Câu 16 Cho x, y, z là ba số hạng liên tiếp cấp số nhân thỏa mãn x < y < z, xyz = 216 và x + y + z = 19 Tìm x, y, z A x = 2; y = –6 và z = 18 B x = 4; y = và z = C x = –9; y = –6 và z = –4 D x = 2; y = và z = 18 GIỚI HẠN DÃY SỐ 2n lim n 1 Câu Tìm giới hạn A B C D 2n 3n lim n n 7 Câu Tìm giới hạn A –1 B –2 C –3 D –4 n 4n 6n lim 5n 2n Câu Tìm giới hạn A 1/2 B 1/5 C D 2/5 n(2n 1)(3n 2) lim 2n Câu Tìm giới hạn A B C D (11) 3n n2 Câu Tìm giới hạn A B 2 n (2n 1) lim (n 4)3 Câu Tìm giới hạn A B n 3 lim 4n n Câu Tìm giới hạn A –3 B 3 n 8n 2n lim 4n n Câu Tìm giới hạn A B 3 n n 2n lim n n 1 Câu Tìm giới hạn A B 5n 4n 1 lim 2 n Câu 10 Tìm giới hạn A B –4 8n 27n 64n lim n 9n 4n Câu 11 Tìm giới hạn A 1/2 B 1/4 lim Câu 12 Tìm giới hạn lim( n n A B D –2 C D C –1 D –2 C –1 D –3 C D –2 C D –3 C D C 1/2 D 1/4 C D C 3/4 D C D C D –2 C D C 1/4 D C –2 D –1 C –2 D C –1 D –2 n 1) 2 Câu 13 Tìm giới hạn lim( n 5n A 5/2 B Câu 14 Tìm giới hạn lim( 4n n A 3/2 B –3 C n n) 4n 4n 5) Câu 15 Tìm giới hạn lim( n 4n n) A –1 B –2 Câu 16 Tìm giới hạn lim(3n 9n 6n ) A –1/3 B 1/3 3 Câu 17 Tìm giới hạn lim( n n n) A 1/3 B 1/2 3 Câu 18 Tìm giới hạn lim( n n 1) A 1/3 B 1/2 3 Câu 19 Tìm giới hạn lim( n 27 n 4n ) A B –4 4n 1 lim n 1 n 4 Câu 20 Tìm giới hạn A 4/7 B –4 n 6.4 n 5n lim n 3.4 n 5n Câu 21 Tìm giới hạn A B –3 (12) Câu 22 Tìm giới hạn A –2 Câu 23 Tìm giới hạn A Câu 24 Tìm giới hạn A Câu 25 Tìm giới hạn A 2/3 Câu 26 Tìm giới hạn A 1/2 Câu 27 Tìm giới hạn A 22n 3 3n 4n 22n 3n 1 4n 1 B –3 C –4 sin 2n lim n 1 B –1 C n ( 1) (n 2) lim n2 B C –1 (2n 1) lim 3n B C n lim n 3n B C 1 1 lim[ ] 1.2 2.3 3.4 n(n 1) lim B 1/2 GIỚI HẠN HÀM SỐ – HÀM SỐ LIÊN TỤC 2x 3x lim Câu Tìm giới hạn x x A 1/2 B 1/4 x 3x lim x x2 Câu Tìm giới hạn A 1/2 B x 2x lim Câu Tìm giới hạn x x A 1/4 B 1/2 2x 4x lim Câu Tìm giới hạn x x A –1 B lim (x 2x) Câu Tìm giới hạn x A –∞ B +∞ x 4x lim x x Câu Tìm giới hạn A +∞ B –∞ x x 3x lim x 3x x Câu Tìm giới hạn A –1/2 B 1/2 x 5x lim x x x 1 Câu Tìm giới hạn A 1/2 B 1/4 x x 3x lim x x 3x Câu Tìm giới hạn A –1 B D –1 D +∞ D D 1/3 D 1/3 C D 1/6 C D C 3/2 D C –1 D 1/3 C –2 D C –1 D C –1 D C D –2 C 1/3 D –1/2 C –2 D –4 (13) lim Câu 10 Tìm giới hạn A Câu 11 Tìm giới hạn A +∞ Câu 12 Tìm giới hạn A –∞ Câu 13 Tìm giới hạn A 1/5 Câu 14 Tìm giới hạn A 5/3 Câu 15 Tìm giới hạn A –1 Câu 16 Tìm giới hạn A +∞ x x 4x x 3x x 4x B lim x C –2 D –3 C D –1 C –2 D +∞ C –1 D –1/5 C –1 D 3/5 C D 5/3 C D +∞ C D –5 C –∞ D +∞ x 2x B –∞ 4x x lim x x B 5x 4x x lim x 5x 6x B 6/5 x 4x lim x 4x x B 2x 9x lim x 2x x B x 2x lim x (x 3) B –1 5x lim Câu 17 Tìm giới hạn x x A –∞ B +∞ x 5x lim x 2 x Câu 18 Tìm giới hạn A B –1 2x 3x 3x Câu 19 Cho hàm số f(x) = A 13 B 1 2x 5x Câu 20 Cho hàm số f(x) = A B –1 x 2x 15 lim x Câu 21 Tìm giới hạn x A B x 2x lim x x2 Câu 22 Tìm giới hạn A B 3 8x 27 lim Câu 23 Tìm giới hạn x 3/2 4x A 9/2 B 3/2 (x 1)(x 16) lim x3 Câu 24 Tìm giới hạn x A –3 B –4 x 2 x2 x 1 x 1 Tìm giới hạn C 22 Tìm giới hạn C lim x f(x) D không tồn tại lim x f(x) D không tồn tại D D C D +∞ C D C –8 D (14) Câu 25 Tìm giới hạn A 1/2 Câu 26 Tìm giới hạn A 1/4 Câu 27 Tìm giới hạn A 1/2 Câu 28 Tìm giới hạn A –1/12 Câu 29 Tìm giới hạn A 1/2 Câu 30 Tìm giới hạn A 17/15 Câu 31 Tìm giới hạn A 9/8 Câu 32 Tìm giới hạn A –1/36 Câu 33 Tìm giới hạn A 1/3 Câu 34 Tìm giới hạn A –1/6 Câu 35 Tìm giới hạn A –1/20 Câu 36 Tìm giới hạn A –1/12 x1 x x B 3x lim x x2 B 1/3 2x x lim x x 2x B 1/3 9x lim x x x 12 B –1/21 x 2x x lim x x2 B 17x lim x 5x B 17/30 x x2 lim x 4x B 9/4 7 x lim x x 2x B –1/12 x1 lim x x1 B x 4 x lim x x B 1/3 x 16 2x 25 lim x x B –3/40 x x lim x x B –1/18 lim C 1/4 D –1 C 1/8 D 1/6 C D 1/4 C –1/18 D –1/24 C D 1/4 C 17/45 D 17/60 C 3/4 D 3/8 C –1/24 D –1/18 C 1/2 D 2/3 C 1/6 D –1/3 C –1/40 D –1/10 C –1/24 D –1/36 C D C –2 D –1 Câu 37 Tìm giới hạn A lim ( x 4x x) x B 2 lim (2x 4x 4x 3) Câu 38 Tìm giới hạn A x Câu 39 Tìm giới hạn A –1 x B lim ( x x B Câu 40 Tìm giới hạn lim ( x 3x x) x x x 1) C D –2 (15) A Câu 41 Tìm giới hạn A 1/3 B D C 1/2 D lim ( x x x) x B Câu 42 Tìm giới hạn A C 1/2 2 lim ( x 3x x 2x ) x B C D –2 lim( ) Câu 43 Tìm giới hạn x 1 x x A B –1 C D 2 lim( ) x x x 2x Câu 44 Tìm giới hạn A B 1/2 C –1 D x 25 x 5 x x 5 Nhận xét nào sau đây đúng? Câu 45 Cho hàm số f(x) = 9 A Hàm số liên tục tại xo = B Hàm số có tập xác định R \ {5} C Hàm số xác định trên R D Hàm số liên tục trên (–1; 10) x x 5 2x x 5 Nhận xét nào sau đây sai Câu 46 Cho hàm số f(x) = 3 A Hàm số liên tục tại xo = B lim x 1/2 lim f(x) = 3/2 C Hàm số có tập xác định D = R D x 25 f(x) = x 2x x 1 x x 1 Hàm số liên tục tại x = và Câu 47 Cho hàm số f(x) = 3a o A a = B a = C a = D a = –2/3 3x x x 8 ax x Câu 48 Cho hàm số f(x) = Hàm số liên tục tại xo = –2 và A a = 5/4 B a = 3/8 C a = 11/8 D a = –3/4 2 x x 1 x 3 a x 2a x 1 Câu 49 Cho hàm số f(x) = Hàm số liên tục tại xo = và A a = B a = C a = –1 D a = –2 x 2 x 2 x2 a x 2 Câu 50 Cho hàm số f(x) = Hàm số liên tục tại xo = và A a = 1/16 B a = 1/4 C a = 1/8 D a = 1/2 3x x 1 x a x x 1 Câu 51 Cho hàm số f(x) = Hàm số liên tục tại xo = và A a = B a = –3/2 C a = –5/2 D a = –4 Câu 52 Kết luận nào sau đây sai? A Phương trình x5 – 3x4 + 5x – = có ít nhất nghiệm phân biệt trên khoảng (–2; 5) (16) B Phương trình x³ – 3x = m(4 – x²) luôn có nghiệm với số thực m C Phương trình m(2x² – 3x + 1) = – 4x luôn có ít nhất nghiệm với số thực m D Phương trình cos 2x + a sin x + b cos x = luôn có nghiệm với số thực a, b ĐẠO HÀM Định nghĩa đạo hàm + Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa xo f (x) f (x o ) lim x xo x xo f′(x ) = o + Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo thì hàm số liên tục tại điểm đó Ý nghĩa đạo hàm + k = f′(xo) là hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) tại M (xo; yo) với yo = f(xo) + Phương trình tiếp tuyến tại M(xo; yo) là y = f′(xo)(x – xo) + yo Qui tắc tính đạo hàm + (C)′ = 0; x′ = 1; (xn)′ = n.xn–1 với số thực n + (u + v)′ = u′ + v′; (u.v)′ = u′.v + v′.u; (u / v)′ = (u′v – v′u) / v²; (ku)′ = ku′; (1/v)′ = –v′ / v² (v ≠ 0) + Đạo hàm hàm hợp: Nếu u(x) có đạo hàm theo x là u′(x) và hàm số y = f(u) có đạo hàm theo u là f′(u) thì hàm số y = f(u(x)) có đạo hàm tại x là y′ = f′(u).u′(x) Đạo hàm hàm số lượng giác sin x lim 1 + Giới hạn bản x x 1 2 + (sin x)′ = cos x + (cos x)′ = – sin x + (tan x)′ = cos x + (cot x)′ = – sin x Vi phân + dy = y′dx Đạo hàm cấp cao y(n) = [y(n –1)]′ với n ≥ Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(xo; yo) là d: y = f′(xo) (x – xo) + yo a Viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ: y = ax + b + Gọi tiếp điểm là M(xo; yo) + Hệ số góc tiếp tuyến là k = f′(xo) = a + Tìm xo, yo suy phương trình tiếp tuyến b Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Δ: y = ax + b + Gọi tiếp điểm là M(xo; yo) + Hệ số góc tiếp tuyến là k = f′(xo) = –1/a + Tìm xo, yo suy phương trình tiếp tuyến Câu Cho hàm số y = 2x² – x + Giá trị y'(1) là A B C D Câu Cho hàm số y = 2x Giá trị y'(–3) là A 1/9 B 1/3 C 1/6 D 1/12 2x Câu Cho hàm số y = x Giá trị y'(0) là A –1 B –3 C D Câu Cho hàm số y = sin x Giá trị y'(π/2) là A B –1 C D Câu Tính đạo hàm hàm số y = 2x A y' = 2x B y' = 2x C y' = 2x D y' = 2x Câu Tính đạo hàm hàm số y = 2x – x³ + 2x – A y' = 8x³ – 3x² + B y' = 4x³ – 3x² + C y' = 2x³ – 3x² + D y' = x³ – 3x² + Câu Tính đạo hàm hàm số y = 3/x² A y' = –6/x4 B y' = –6/x³ C y' = –3/x4 D y' = –3/x³ Câu Tính đạo hàm hàm số y = (x³ – 2x)(1 – 2x²) (17) A y' = (3x² – 2)(1 – 2x²) – 2x(x³ – 2x) B y' = (3x² – 2)(1 – 2x²) + 2x(x³ – 2x) C y' = (3x² – 2)(1 – 2x²) – 4x(x³ – 2x) D y' = (3x² – 2)(1 – 2x²) + 4x(x³ – 2x) Câu Tính đạo hàm hàm số y = x²(x² – 1)(x² – 4) A y' = 2x(x² – 1)(x² – 4) + 2x²(2x² – 5) B y' = 2x(x² – 1)(x² – 4) – 2x²(2x² – 5) C y' = 2x(x² – 1)(x² – 4) – 2x³(2x² – 5) D y' = 2x(x² – 1)(x² – 4) + 2x³(2x² – 5) Câu 10 Tính đạo hàm hàm số y = 2x A y' = 3/[2(2x +3)²] B y' = 6/(2x + 3)² C y' = –6/(2x + 3)² D y' = –3/(2x + 3)² 2x Câu 11 Tính đạo hàm hàm số y = 3x A y' = 6/(1 – 3x)² B y' = 5/(1 – 3x)² C y' = –6/(1 – 3x)² D y' = –5/(1 – 3x)² 2x 3x Câu 12 Tính đạo hàm hàm số y = x A y' = + 6/(x + 1)² B y' = – 5/(x + 1)² C y' = – 6/(x + 1)² D y' = + 5/(x + 1)² 1 x Câu 13 Tính đạo hàm hàm số y = x x A y' = (2 + 2x – x²)/(x² – x + 1)² B y' = (2 – 2x – x²)/(x² – x + 1)² C y' = (2 + 2x + x²)/(x² – x + 1)² D y' = (2 – 2x + x²)/(x² – x + 1)² Câu 14 Tính đạo hàm hàm số y = (1 – 2x²) A y' = –10(1 – 2x)4 B y' = 20(1 – 2x)4 C y' = –20(1 – 2x)4 D y' = 10(1 – 2x)4 2 Câu 15 Tính đạo hàm hàm số y = (x 2x) A y' = –1/(x² + 2x)³ C y' = –2(x + 1)/(x² + 2x)³ B y' = –2/(x² + 2x)³ D y' = –4(x + 1)/(x² + 2x)³ 2x ) Câu 16 Tính đạo hàm hàm số y = x A y' = 12(2x + 1)³/(x – 1)5 C y' = 8(2x + 1)³/(x – 1)5 ( B y' = –12(2x + 1)³/(x – 1)5 D y' = –8(2x + 1)³/(x – 1)5 Câu 17 Tính đạo hàm hàm số y = (x² – 2) x 2x 3x 5x 4x 6x x 3x 2 A y' = ( x 2x ) 3 B y' = ( x 2x ) C y' = ( x 2x ) Câu 18 Tính đạo hàm hàm số y = ( x x ) 1 x 1 x A y' = –3x 1 x C y' = –6x 1 x D y' = ( x 2x ) 1 x 1 x B y' = 3x 1 x 1 x 2x 1 x2 1 x 1 x D y' = 6x 1 x2 sin x Câu 19 Tính đạo hàm hàm số y = cos x A y' = 1/(1 + cos x)² B y' = 2/(1 + cos x)² C y' = 1/(1 + cos x) D y' = 2/(1 + cos x) Câu 20 Tính đạo hàm hàm số y = x cos x – sin x A y' = x – sin x B y' = –x sin x C y' = –x cos x D y' = x – cos x Câu 21 Tính đạo hàm hàm số y = tan³ 2x A y' = 3tan² 2x (1 + tan² 2x) B y' = 6tan² 2x (1 + tan² 2x) C y' = 6tan² 2x D y' = 3tan² 2x Câu 22 Tính đạo hàm hàm số y = sin 3x tan x A y' = 3sin x + (1 + tan² x) sin 3x B y' = –3sin x + (1 + tan² x) sin 3x C y' = 3cos 3x tan x + (1 + tan² x) sin 3x D y' = –3cos 3x tan x + (1 + tan² x) sin 3x Câu 23 Tính đạo hàm cấp n hàm số y = sin 2x (18) A y(n) = 2n sin (2x + nπ/2) B y(n) = 2n sin (x + nπ/2) C y(n) = 2n sin (2x + nπ/4) D y(n) = 2n sin (x + nπ/4) Câu 24 Tính đạo hàm cấp n hàm số y = 1/x A y(n) = (–1)n.n!/xn B y(n) = (–1)n+1.(n + 1)!/xn (n) n n+1 C y = (–1) n!/x D y(n) = (–1)n+1.(n + 1)!/xn+1 Câu 25 Tính đạo hàm cấp hai hàm số y = 2sin 4x A y" = –16sin 4x B y" = –32sin 4x C y" = –16cos 4x D y" = –32cos 4x Câu 26 Tính đạo hàm cấp hai hàm số y = 3tan x A y" = 6tan x (1 + tan² x) B y" = 3tan x (1 + tan² x) C y" = –6tan x (1 + tan² x) D y" = –3tan x (1 + tan² x) Câu 27 Cho hàm số y = x² – 2x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ là xo = A y = B y = x + C y = x + D y = Câu 28 Cho hàm số y = x³ – 3x² + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k = A y = 9x + B y = 9x – C y = 9x + D y = 9x – 3x 1 Câu 29 Cho hàm số y = x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng Δ: y = x + A y = x – V y = x + B y = x V y = x + C y = x V y = x + D y = x – V y = x + Câu 30 Cho hàm số y = x³ – 3x² + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) biết d vuông góc với đường thẳng Δ: x – 3y = A y = x B y = x + C y = x + D y = x – Câu 31 Cho hàm số y = (x + 1)cos x Tính y"(0) A –1 B C D –3 Câu 32 Tính đạo hàm cấp hàm số y = 5x4 – 2x³ + 3x² – A y(3) = 60x² – 12x + B y(3) = 30x² – 12x + C y(3) = 60x² – 12x + 12 D y(3) = 30x² – 12x + 12 (3) Câu 33 Cho hàm số y = x sin x Tính y (π/2) A –1 B C D –3 x 3 Câu 34 Tính đạo hàm cấp hàm số y = x A y(3) = 1/(x + 4)4 B y(3) = –6/(x + 4)4 C y(3) = 6/(x + 4)4 D y(3) = 12/(x + 4)4 Câu 35 Cho hàm số y = x (sin x + cos x) Chọn biểu thức đây đúng với số thực x A y" + y = 2(cos x + sin x) B y" + y = 2(cos x – sin x) C y" + y = cos x + sin x D y" + y = cos x – sin x Câu 36 Tính đạo hàm cấp n hàm số y = x 3x A y(n) = (–1)n n!/(x + 1)n+1 + (–1)n+1 n!/(x + 2)n+1 B y(n) = (–1)n+1 n!/(x + 1)n+1 + (–1)n n!/(x + 2)n+1 C y(n) = (–1)n n!/(x + 1)n+1 – (–1)n+1 n!/(x + 2)n+1 D y(n) = (–1)n+1 n!/(x + 1)n+1 – (–1)n n!/(x + 2)n+1 x Câu 37 Tính đạo hàm cấp n hàm số y = x A y(n) = (–1)n–1 n!/(x + 1)n+1 B y(n) = (–1)n n!/(x + 1)n+1 (n) n–1 n+1 C y = (–1) (n + 1)!/(x + 1) D y(n) = (–1)n+1 (n – 1)!/(x + 1)n+1 Câu 38 Tính đạo hàm cấp n hàm số y = 2sin x cos 3x A y(n) = 4n sin (4x + nπ/2) – 2n sin (2x + nπ/2) B y(n) = 4n sin (4x + nπ/2) + 2n sin (2x + nπ/2) C y(n) = 4n+1 sin (4x + nπ/2) – 2n+1 sin (2x + nπ/2) D y(n) = 4n+1 sin (4x + nπ/2) + 2n+1 sin (2x + nπ/2) Câu 39 Cho hàm số y = A y²y" = –1 2x x Chọn biểu thức đúng với số thực x B y³y" = C y³y" = –1 D y²y" = (19) Câu 40 Tìm giới hạn A 3/2 Câu 41 Tìm giới hạn A Câu 42 Tìm giới hạn A 3/5 Câu 43 Tìm giới hạn A sin 3x x sin 2x B 2/3 cos 2x lim x x2 B –1 tan 2x lim x sin 5x B 5/3 4sin x lim xπ/2 (π 2x) lim C 9/4 D 4/9 C D –2 C 2/5 D 5/2 B –1 C D –2 π lim ( x) tan x Câu 44 Tìm giới hạn xπ/2 A B –1 C 1/2 D π sin( x) lim xπ/6 cos x Câu 45 Tìm giới hạn A B –2 C D –1 Câu 46 Cho hàm số y = cos x + sin x + 2x – Giải phương trình y' = A x = 5π/6 + k2π, k là số nguyên B x = 2π/3 + k2π, k là số nguyên C x = 7π/6 + k2π, k là số nguyên D x = 4π/3 + k2π, k là số nguyên Câu 47 Cho hàm số y = sin² x + cos x Giải phương trình y' = A x = k2π, k là số nguyên B x = kπ, k là số nguyên C x = π/2 + kπ, k là số nguyên D x = π/2 + k2π, k là số nguyên Câu 48 Cho hai hàm số y = f(x) = sin 2x và y = g(x) = sin4 x Giải phương trình g'(x) = f(x) A x = kπ/4, k là số nguyên B x = kπ/2, k là số nguyên C x = π/8 + kπ/4, k là số nguyên D x = π/4 + kπ/2, k là số nguyên Câu 49 Cho hai hàm số y = f(x) = – x sin x và y = g(x) = x + x cos x Giải phương trình g'(x) = f(x) A x = π/2 + k2π, k là số nguyên B x = π/2 + kπ, k là số nguyên C x = k2π, k là số nguyên D x = kπ, k là số nguyên Câu 50 Cho hai hàm số f(x) = –2/x², g(x) = x – x³ Giải bất phương trình g'(x) ≥ f(x) A –1 ≤ x ≤ B –2 ≤ x ≤ C |x| ≤ và x ≠ D |x| ≤ và x ≠ Câu 51 Cho hàm số y = mx³ – 3mx² + 6(m + 1)x Tìm giá trị m cho y' < với số thực x A m < –2 V m > B –2 < m < C m > D m < –2 Câu 52 Cho hàm số y = x³ – 2x² + mx – Tìm giá trị m cho y' ≥ với số thực x A m ≥ B m ≤ C m = D m ≠ Câu 53 Cho hàm số y = x³ + 3mx² + 3(3m – 2)x + 9m Tìm giá trị m cho y' < với số thực x A < m < B m < V m > C m < V m > D < m < 2 x 3x x 1 Câu 54 Tính đạo hàm hàm số y = A y' = – 5/(x + 1)² B y' = – 6/(x + 1)² C y' = + 5/(x + 1)² D y' = + 6/(x + 1)² Câu 55 Tính đạo hàm hàm số y = (2x 1) A y' = –2/(2x + 1)³ B y' = 2/(2x + 1)³ C y' = –4/(2x + 1)³ D y' = 4/(2x + 1)³ Câu 56 Tính đạo hàm hàm số y = sin 2x (1 + cos 2x) A y' = 2(cos 2x – cos 4x) B y' = 2(cos 2x + cos 4x) C y' = 2(cos 2x + cos 4x) D y' = 2(cos 2x – cos 4x) x Câu 57 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = x tại điểm có tung độ yo = (20) A y = x – B y = 3x – C y = x + D y = 4x – Câu 58 Cho hàm số y = x³ + 3(m – 2)x² + 12(m – 3)x Tìm giá trị m cho y' > với số thực x A < m < B < m < C < m < D < m < HÌNH HỌC PHÉP BIẾN HÌNH Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(3; 2) Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh M qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (–2; 1) A M’(1; 1) B M’(1; 3) C M’(5; 3) D M’(5; 1) Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(4; 5) Tìm điểm N cho M là ảnh điểm B qua phép tịnh tiến theo v = (2; 1) A N(6; 6) B N(2; 6) C N(6; 4) D N(2; 4) Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2; 3) Phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M thành M’ Tìm tọa độ điểm M’ A M’(2; –3) B M’(–2; 3) C M’(–3; 2) D M’(3; 2) Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x + y – = Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh d qua phép tịnh tiến vectơ v = (1; 1) A x + y – = B x + y – = C x + y – = D x + y – = Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 3x + 5y – = Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh d qua phép đối xứng trục Ox A 3x – 5y + = B –3x + 5y + = C 3x + 5y + = D 5x + 3y – = Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho diểm M(2; 3) Phép đối xứng qua gốc tọa độ biến điểm M thành điểm N Tìm tọa độ điểm N A (–2; 3) B (3; 2) C (2; –3) D (–2; –3) Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x + 2y – = 0, Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh d lấy đối xứng qua gốc tọa độ A x – 2y – = B x – 2y + = C x + 2y + = D 2x + y – = Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 5)² + (y – 4)² = 36 Phép tịnh tiến theo vectơ v = (1; 2) biến (C) thành (C’) Viết phương trình đường tròn (C’) A (x – 6)² + (y – 2)² = 36 B (x – 4)² + (y – 2)² = 36 C (x – 4)² + (y – 5)² = 36 D (x – 6)² + (y – 6)² = 36 Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 1)² = và (C’): (x – 2)² + (y – 5)² = Phép biến hình nào sau đây biến (C) thành (C’) A Phép tịnh tiến theo vector v = (–3; –4) B Phép đối xứng trục Ox C Phép đối xứng tâm M(1/2; 3) D Phép vị tự tâm M(0; –1) tỉ số k = Câu 10 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 3)² = 16 Phép dời hình có được bằng cách thực liên tiếp phép đối xứng qua tâm I(0; 2) và phép quay Q(O; 90°) biến (C) thành (C 2) Viết phương trình đường tròn (C2) A (x – 1)² + (y – 1)² = 16 B (x – 1)² + (y + 1)² = 16 C (x + 1)² + (y – 1)² = 16 D (x + 1)² + (y + 1)² = 16 Câu 11 Cho hình vuông ABCD Gọi I là giao điểm hai đường chéo Thực phép quay tâm I biến hình vuông ABCD thành chính nó Số đo góc quay dương nhỏ nhất có thể là A 90° B 45° C 60° D 30° Câu 12 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(–2; 4) Phép vị tự tâm O tỉ số k = –2 biến điểm M thành điểm N có tọa độ là A (4; –8) B (6; –12) C (1; –2) D (–1; 2) Câu 13 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x + y – = Viết phương trình d’ là ảnh d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = –1/2 A 2x + y – = B 2x + y – = C 2x + y + = D 2x + y + = Câu 14 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² – 2x + 4y – 11 = Viết phương trình (C’) là ảnh (C) qua phép vị tự tâm I(–1; 0) tỉ số k = A x² + y² – 6x + 8y – = B x² + y² – 6x + 8y – 39 = C x² + y² – 4x + 8y – 12 = D x² + y² – 4x + 8y – 44 = (21) Câu 15 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 2)² = Phép đồng dạng thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = –2 và phép tịnh tiến theo vectơ v = (5; 4) biến (C) thành (C’) Viết phương trình (C’) A (x – 3)² + (y – 1)² = 16 B (x + 3)² + y² = C (x – 3)² + y² = 16 D (x + 3)² + (y – 1)² = Câu 16 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x + y + = Phép đồng dạng thực liên tiếp phép đối xứng tâm I(–1; 3) và phép đối xứng trục Ox biến d thành d’ Phương trình d’ là A x + y – = B x – y + = C x + y + = D x – y – = BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Vấn đề 1: Tìm giao TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q) ta tìm hai điểm chung A; B (P) và (Q) Khi đó (P) ∩ (Q) = AB Bài Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm AB Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC); (ABD); (BCD); (ACD) Bài Cho tứ diện SABC và điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng (ABC) cắt AB; BC tại H; K Tìm giao tuyến mặt phẳng (I, d) với các mặt phẳng sau: (SAB); (SAC); (SBC) Bài Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không nằm mặt phẳng chứa tứ giác Tìm giao tuyến a (SAC) và (SBD) b (SAB) và (SCD) c (SAD) và (SBC) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi; M là điểm trên cạnh CD Tìm giao tuyến các mặt phẳng a (SAM) và (SBD) b (SBM) và (SAC) Bài Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm ΔABC; N là điểm nằm ΔACD Tìm giao tuyến a (AMN) và (BCD) b (CMN) và (ABD) Bài Cho tứ diện ABCD M nằm trên AB cho AM = MB / 4; N nằm trên AC cho AN = 3NC; điểm I nằm ΔBCD Tìm giao tuyến của: a (MNI) và (BCD) b (MNI) và (ABD) c (MNI) và (ACD) Bài Cho tứ diện ABCD; gọi I; H lần lượt là trung điểm AD; BC a Tìm giao tuyến của: (IBC) và (HAD) b M là điểm trên AB; N là điểm trên AC Tìm giao tuyến (IBC) và (DMN) Bài Cho hai đường thẳng a; b mặt phẳng (P) và điểm S không thuộc (P) Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S Bài Cho tứ diện ABCD; trên AB; AC lần lượt lấy hai điểm M và N cho: AM / MB ≠ AN / NC Tìm giao tuyến (DMN) và (BCD) Bài 10 Trong mặt phẳng (P) cho hình thang ABCD có đáy là AB; CD; S là điểm nằm ngoài mặt phẳng hình thang Tìm giao tuyến a (SAD) và (SBC) b (SAC) và (SBD) Bài 11 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD; BC Gọi M; N là trung điểm AB; CD và G là trọng tâm ΔSAD Tìm giao tuyến a (GMN) và (SAC) b (GMN) và (SBC) Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải hình thang Tìm các giao tuyến a (SAC) ∩ (SBD) b (SAB) ∩ (SCD) c (SAD) ∩ (SBC) VẤN ĐỀ 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Bài Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt theo giao tuyến d Trên (P) lấy hai điểm A; B không nằm trên d O là điểm ngoài hai mặt phẳng Các đường thẳng OA; OB lần lượt cắt (Q) tại A’; B’ AB cắt d tại C Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng Bài Trong không gian cho ba tia Ox; Oy; Oz không đồng phẳng Trên Ox lấy A; A’; trên Oy lấy B; B’ trên Oz lấy C; C’ cho AB cắt A’B’ tại D; BC cắt B’C’ tại E; AC cắt A’C’ tại F Chứng minh D; E; F thẳng hàng Bài Cho A; B; C không thẳng hàng ngoài mặt phẳng (P) Gọi M; N; P lần lượt là giao điểm AB; BC; AC với (P) Chứng minh M; N; P thẳng hàng Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành; O là giao điểm hai đường chéo; M; N lần lượt là trung điểm SA; SD Chứng minh ba đường thẳng SO; BN; CM đồng quy Bài Cho tứ diện ABCD Mặt phẳng (P) không song song AB cắt AC; BC; AD; BD lần lượt tại M; N; R; S Chứng minh AB; MN; RS đồng quy Bài Chứng minh tứ diện các đường thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng quy (22) Bài Cho tứ diện ABCD Lấy hai điểm M, N lần lượt trên cạnh AB, AC cho MN không song song với BC Dựng mặt phẳng (α) qua M, N cho (α) cắt CD, BD lần lượt tại H, G a Chứng minh rằng HG luôn qua điểm cố định mặt phẳng (α) động M, N cố định b Tìm quỹ tích giao điểm I = MH ∩ NG Vấn đề 3: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm AB, N và P lần lượt là các điểm nằm trên AC, AD cho AN / AC = / 4, AP / AD = / a Tìm giao điểm MN với (BCD) b Tìm giao điểm BD với (MNP) c Gọi Q là trung điểm NP Tìm giao điểm MQ với (BCD) Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M; N lần lượt là trung điểm AC; BC Trên đoạn BD lấy P cho BP = 2PD Tìm giao điểm CD với (MNP) và AD với (MNP) Bài Cho hình chóp S.ABC có O là điểm ΔABC; D và E là các điểm năm trên SB; SC Tìm giao điểm DE với (SAO) và SO với (ADE) Bài Cho tứ diện SABC I; H lần lượt là trung điểm SA; AB Trên đoạn SC lấy điểm K cho CK = 3KS a Tìm giao điểm đường thẳng BC với (IHK) b Gọi M là trung điểm HI Tìm giao điểm đường thẳng KM với (ABC) Bài Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB I; H; K là ba điểm trên SA; SB; SC Tìm giao điểm IK và (SBD); giao điểm (IHK) và SD; SC Bài Gọi I; H lần lượt là hai điểm nằm ΔABC; ΔABD tứ diện ABCD M là điểm tuỳ ý trên CD Tìm giao điểm IH và mặt phẳng (AMB) Bài Hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD M là trung điểm SD a Tìm giao điểm I BM và (SAC) Chứng minh: BI = 2IM b Tìm giao điểm H của SA và (BCM) Chứng minh H là trung điểm SA c N là điểm tùy ý trên BC Tìm giao điểm MN với (SAC) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, SC a Xác định I = AN ∩ (SBD) và K = MN ∩ (SBD) b Tính các tỉ số IN/IA; KM/KN; IB/IK Bài Cho hình chóp S.ABC Gọi I, H lần lượt là trung điểm SA, AB Trên đoạn SC lấy điểm K cho CK = 3KS a Tìm giao điểm BC và mặt phẳng (IHK) b Gọi M là trung điểm IH Tìm giao điểm KM và mặt phẳng (ABC) Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Một mặt phẳng (P) lần lượt cắt các cạnh SA, SB, SC tại A’, B’, C’ a Dựng giao điểm D mặt phẳng (P) với SD b Gọi I là giao điểm A’C’ và SO Chứng minh rằng SA/SA’ + SC/SC’ = 2SO/SI c Chứng minh SA/SA’ + SC/SC’ = SB/SB’ + SD/SD’ Vấn đề 4: THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG VỚI KHỐI ĐA DIỆN Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm AA’; AD; DC Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) với hình lập phương Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm DC; AD; BB’ Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) với hình hộp Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành Gọi E; F; K lần lượt là trung điểm SA; AB; BC Xác định thiết diện hình chóp và mặt phẳng qua ba điểm E; F; K Bài Cho hình chóp S.ABCD Gọi A’; B’; C’ lần lượt là các điểm nằm trên SA; SB; SC Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp Bài Cho tứ diện ABCD; điểm I nằm trên BD và ngoài BD cho ID = 3IB; M; N là hai điểm thuộc cạnh AD; DC cho 2MA = MD; 2ND = NC a Tìm giao tuyến PQ (IMN) với (ABC) b Xác dịnh thiết diện tạo (IMN) với tứ diện c Chứng minh MN; PQ; AC đồng qui Bài Cho tứ diện ABCD; điểm I; H lần lượt là trọng tâm ΔABC; ΔDBC; M là trung điểm AD Tìm tiết diện tạo (MHI) và tứ diện (23) Bài Cho hình chóp S.ABCDE Lấy ba điểm M; N; K lần lượt trên SA; BC; SD Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (MNK) với hình chóp Bài Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy Gọi M; N là trung điểm SB; SC a Tìm giao tuyến (SAD) và (SBC) b Tìm giao điểm SD với mặt phẳng (AMN) c Tìm tiết diện tạo mặt phẳng (AMN) với hình chóp Bài Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SC a Tìm giao điểm I AM với (SBD) Chứng minh IA = 2IM b Tìm giao điểm F SD với (AMB) Chứng minh F là trung điểm SD c Xác định hình dạng tiết diện tạo (AMB) với hình chóp d Gọi N là điểm trên cạnh AB Tìm giao điểm MN với (SBD) Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm SB; SD; OC a Tìm giao tuyến (MNP) với (SAC) b Dựng thiết diện (MNP) với hình chóp c Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA; BC; CD Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; gọi M là trung điểm SB; G là trọng tâm ΔSAD a Tìm giao điểm I GM với (ABCD) b Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD và (CGM) qua trung điểm SA c Dựng thiết diện (CGM) với hình chóp Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi I; H lần lượt là trọng tâm ΔSAB và ΔSAD a Tìm giao điểm HI với (SAC) b Dựng thiết diện tạo (HIO) với hình chóp Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD Gọi I; M; N là ba điểm trên SA; AB; CD a Tìm giao tuyến (SAN) và (SDM) b Hãy xác định thiết diện tạo (IMN) với hình chóp Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi F là trung điểm CD; E là điểm trên cạnh SC cho SE = 2EC Tìm tiết diện tạo (AEF) với hình chóp Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải hình thang Gọi F là trung điểm SC; E là điểm trên cạnh BC cho BE = 2EC a Tìm tiết diện tạo mặt phẳng (AEF) với hình chóp b Tìm giao điểm SB với mặt phẳng (AEF) Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh CB, CD Gọi M là điểm trên cạnh SA Dựng thiết diện tạo mặt phẳng (MHK) và hình chóp Vấn đề 5: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Bài Cho tứ diện ABCD có I, H lần lượt là trọng tâm ΔABC, ΔABD Chứng minh rằng IH // CD Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang đáy lớn AB Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB a Chứng minh rằng: MN // CD b Tìm giao điểm P SC và (AND) c AN cắt DP tại I Chứng minh rằng: SI // AB // CD Tứ giác SABI là hình gì? Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành, có M, N, P, Q lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD cho MN // SB, NP // CD, MQ // CD a Chứng minh rằng: PQ // SA b Gọi K là giao điểm MN và PQ Chứng minh rằng: SK // AD // BC Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình bình hành Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm BC, CD, SB, SD a Chứng minh rằng: MN // PQ b Gọi I là trọng tâm ΔABC, H thuộc SA cho HA = 2HS Chứng minh IH // SM Bài Cho hình chóp S ABCD đáy là hình bình hành a Tìm giao tuyến (SAD) & (SBC); (SAB) & (SCD) b Lấy M thuộc SC Tìm giao điểm N SD và (ABM) Tứ giác ABMN là hình gì? Bài Cho hình chóp S ABCD đáy là hình bình hành Gọi M, H, K lần lượt là trung điểm AD, SA, SB a Tìm giao tuyến d (SAD) và (SBC) b Tìm giao tuyến (SCD) và (MHK) (24) c Tìm giao điểm N BC và (MHK) Tứ giác MHKN là hình gì? Bài Cho hình chóp S ABCD đáy là hình thang (AB đáy lớn) Gọi I, H, K là trung điểm AD, BC, SB a Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD); (SCD) và (IHK) b Tìm các giao điểm M = SD ∩ (IHK); N = SA ∩ (IHK) c Xác định thiết diện hình chóp tạo (IHK) Thiết diện là hình gì? Bài Cho hình chóp S ABCD, đáy là hình bình hành Gọi M, N, P là trung điểm SB, BC, SD a Tìm giao tuyến (SCD) và (MNP) b Tìm giao điểm CD và (MNP), AB và (MNP) c Tìm giao tuyến (SAC) và (MNP), suy thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) Bài Cho hình chóp S.ABCD, có ABCD là hình thang với hai đáy AD và BC (AD > BC) Gọi M, E, F là trung điểm AB, SA, SD a Tìm giao tuyến (MEF) và (ABCD) b Tìm giao điểm BC và (MEF) c Tìm giao điểm SC và (MEF) d Gọi O = AC ∩ BD Tìm giao điểm SO và (MEF) Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm OB, SO, BC a Tìm giao tuyến (NPO) và (SCD); (SAB) và (AMN) b Tìm giao điểm E SA và (MNP) c Chứng minh rằng: ME // PN d Tìm giao điểm MN và (SCD) và xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) Bài 11 Cho hình chóp S.ABC Gọi M, N, P là trung điểm AB, BC, SC Cho SB = AC a Tìm giao điểm E SA và (MNP) b Chứng minh NP // ME // SB Tứ giác MNPE là hình gì? c Tìm giao tuyến (ANP) và (SMC) d Tìm giao điểm SM và (ANP) Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N, P là trung điểm SB, SD, OD a Tìm giao điểm I BC và (AMN); tìm giao điểm H CD và (AMN) b Tìm giao điểm K SA và (CMN) c Tìm giao tuyến (NPK) và (SAC) d Tìm giao điểm SC và (NPK) Tìm thiết diện hình chóp tạo mặt phẳng (AMN) Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi H, K lần lượt là trung điểm SA, SB Trên cạnh SC lấy điểm M Chứng minh HK // CD Dựng thiết diện hình chóp tạo (MHK) Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi Gọi M, N lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SAD Gọi E là trung điểm BC a Chứng minh MN//BD b Dựng thiết diện hình chóp và mặt phẳng (MNE) c Gọi H, K lần lượt là giao điểm (MNE) với SB, SD Chứng minh rằng LH//BD Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, CD, SA a Chứng minh MN // (SBC); MN // (SAD) b Chứng minh SB // (MNP); SC // (MNP) Bài 16 Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm ΔABD, M thuộc BC cho MB = MC Chứng minh rằng: MG // (ACD) Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O Gọi I, H lần lượt là trung điểm BC, SC Lấy điểm K thuộc SD cho 2SK = KD a Chứng minh OH // (SAD), OH // (SAB) b Chứng minh IO // (SCD), IH // (SBD) c Gọi M là giao điểm AI và BD Chứng minh rằng: MK // (SBC) Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, SO, OD a Chứng minh rằng: MN // (ABCD), MO // (SCD) b Chứng minh rằng: NP // (SAD), NPOM là hình gì? c Gọi I là điểm trên cạnh SD cho SD = ID Chứng minh rằng: PI // (SBC), PI // (SAD) Bài 19 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng có tâm lần lượt là I và H a Chứng minh IH // (ADF) và IH // (BCE) (25) b Gọi M, N lần lượt là trọng tâm ΔACE và ΔADF Chứng minh rằng: MN // (CDEF) Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là điểm di chuyển trên cạnh AB Gọi (α) là mặt phẳng qua M và (α) song song với hai cạnh SA, AD a Dựng thiết diện (α) với hình chóp S.ABCD Chứng minh rằng thiết diện là hình thang b Tìm quỹ tích giao điểm hai cạnh bên thiết diện M di chuyển trên cạnh AB Bài 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB Gọi M là điểm trên cạnh BC, (α) là mặt phẳng qua M và song song với hai cạnh AB, SC a Tìm giao tuyến (SAD) và (SBC) b Dựng thiết diện (α) và hình chóp S.ABCD c Chứng minh giao tuyến (α) và (SAD) song song với SD Bài 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB Gọi P là điểm di chuyển trên cạnh BC a Chứng minh rằng CD // (MNP) b Dựng thiết diện mặt phẳng (MNP) với hình chóp S.ABCD Chứng minh rằng thiết diện là hình thang c Gọi I là giao điểm hai cạnh bên thiết diện Tìm quỹ tích I Vấn đề 6: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm SA, SB, SC a Chứng minh (HIK) // (ABCD) b Gọi M là giao điểm AI và KD, N là giao điểm DH và CI Chứng minh (SMN) // (HIK) Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a Chứng minh (BA’D) // (B’D’C) b Chứng minh AC’ qua trọng tâm G và G’ tam giác A’BD và CB’D’ Bài Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, CD a Chứng minh (OMN) // (SBC) b Giả sử tam giác SAD, ABC cân tại A Gọi AE, AF là các đường phân giác tam giác ACD và SAB Chứng minh EF // (SAD) Bài Cho hai hình vuông ABCD, ABEF không cùng nằm mặt phẳng Trên các đường chéo AC, BF lần lượt lấy các điểm M, N cho AM = BN Các dường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M’, N’ a Chứng minh (CBE) // (ADF) b Chứng minh (DEF) // (MNN’) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm SA, SD, AB, ON a Chứng minh (OMN) // (SBC) b Chứng minh PQ // (SBC) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N, P là trung điểm SA, CD, AD a Chứng minh rằng: (OMN) // (SBC) b Gọi I là điểm trên MP Chứng minh rằng: OI // (SCD) Bài Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành Gọi M, N, P, Q là trung điểm BC, AB, SB, AD a Chứng minh (MNP) // (SAC) và PQ // (SCD) b Gọi I là giao điểm AM và BD, H thuộc SA cho AH = 2HS Chứng minh IH // (SBC) c Gọi K thuộc AC Tìm giao tuyến (SKM) và (MNP) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi I, H, G, P, Q là trung điểm DC, AB, SB, BG, BI a Chứng minh (IHG) // (SAD) và PQ // (SAD) b Tìm giao tuyến (SAC) và (IHG); (ACG) và (SAD) Bài Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng Gọi I, H, K lần lượt là trung điểm AB, CD, EF Chứng minh (ADF) // (BCE) và (DIK) // (HBE) Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi I là trung điểm SD a Tìm giao điểm K BI và mặt phẳng (SAC) b Trên IC lấy điểm H cho HC = 2HI Chứng minh rằng KH//(SBC) c Gọi N là điểm thuộc cạnh SI cho SN = 2NI Chứng minh rằng (KHN)//(SBC) Vấn đề 7: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và hai mặt phẳng vuông góc Bài Cho hình chóp S ABC đáy là ABC vuông cân tại B, SA vuông góc với (ABC) a Chứng minh rằng: các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông b Kẻ đường cao AD ΔSAB và đường cao AE ΔSAC Chứng minh rằng ΔADE vuông và SC vuông góc với DE (26) Bài Cho hình chóp S ABCD đáy là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) a Chứng minh rằng: BC vuông góc với (SAB) và CD vuông góc với (SAD) b Chứng minh rằng: BD vuông góc với (SAC) c Kẻ AE vuông góc với SB Chứng minh rằng: SB vuông góc với (ADE) Bài Cho hình chóp S ABCD đáy là hình vuông, SA = SB = SC = SD a Chứng minh SO vuông góc với (ABCD) và BD vuông góc với (SAC) b Gọi I là trung điểm AB Chứng minh rằng: AB vuông góc với (SOI) c Kẻ đường cao OH SOI Chứng minh rằng SA vuông góc với OH Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a SA vuông góc với (ABCD) và SA = a√3 a Chứng minh mặt bên hình chóp là tam giác vuông b Tính góc SD và (ABCD); SC và (SAD) c Vẽ AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD Chứng minh rằng: AH vuông góc với (SBC); SC vuông góc với (AHK) d Chứng minh rằng: BD vuông góc với (SAC) Tính góc SD và (SAC) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O Hai tam giác SAB và SAC vuông A, cho SA = a, AC = 2a√3 a Chứng minh SA vuông góc với (ABCD) và BD vuông góc với SC b Vẽ AH là đường cao SAO Chứng minh rằng: AH vuông góc với (SBD) c Tính góc AO và (SBD) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông tâm O, SO vuông góc với (ABCD), SO = a√3, AB = a√2 a Chứng minh rằng: BD vuông góc với SA; AC vuông góc với SB b Vẽ CI vuông góc với SD, OH vuông góc với SC Chứng minh SD vuông góc với (ACI); SC vuông góc với (BDH) c K là trung điểm SB Chứng minh rằng: OK vuông góc với OI d Tính góc SA và (ABCD) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) a Chứng minh rằng: (SAC) vuông góc với (SBD) b Gọi BE, DF là đường cao ΔSBD Chứng minh (AEF) vuông góc với (SAC) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a, SA vuông góc với (ABCD) a Chứng minh: (SBC) vuông góc với (SAB); (SCD) vuông góc với (SAD) b Chứng minh rằng: (SAC) vuông góc với (SBD) c Gọi AI, AH là đường cao SAB, SAC Chứng minh rằng: (SCD) vuông góc với (AIH) d Tính góc hai mặt phẳng (SBC) & (ABCD), (SBD) & (ABCD) Bài Cho tứ diện ABCD, AD vuông góc với (ABC), DE là đường cao ΔBCD a Chứng minh rằng (ABC) vuông góc với (ADE) b Vẽ đường cao BF và đường cao BK ΔABC và ΔBCD Chứng minh rằng (BFK) vuông góc với (BCD) Bài 10 Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a Gọi I, H lần lượt là trung điểm AB, CD Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại I lấy S a Chứng minh rằng: BC vuông góc với (SAB), CD vuông góc với (SIH) b Chứng minh rằng: (SAD) vuông góc với (SBC), (SAB) vuông góc với (SIH) c Gọi M là trung điểm BC Chứng minh rằng: (SIM) vuông góc với (SBD) d Cho SI = a Tính góc hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) Bài 11 Cho hình chóp S ABCD, O là tâm ABCD Gọi I là trung điểm AB, cho SA = a, AB = a a Chứng minh rằng: (SAC) vuông góc với (SBD), (SOI) vuông góc với (ABCD) b Chứng minh rằng: (SIO) vuông góc với (SCD) c Gọi OH là đường cao SOI Chứng minh rằng: OH vuông góc với SB d Gọi BK là đường cao SBC Chứng minh rằng: (SCD) vuông góc với (BDK) e Tính góc mặt bên và mặt đáy Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, (SAB) vuông góc với (ABCD) Cho AB = a, AD = a√2 a Chứng minh rằng: SA vuông góc với (ABCD), (SAD) vuông góc với (SCD) b Gọi AH là đường cao ΔSAB Chứng minh rằng AH vuông góc với (SBC), (SBC) vuông góc với (AHC) c Chứng minh rằng: DH vuông góc với SB d Tính góc (SAC) và (SAD) (27) Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O, SA = a Cho (SAB) vuông góc với (ABCD), (SAD) vuông góc với (ABCD) a Chứng minh rằng: SA vuông góc với (ABCD), BD vuông góc với (SAC) b Gọi AH, AK là đường cao Chứng minh rằng: AH vuông góc với BD, AK vuông góc với (SCD) c Chứng minh rằng: (SAC) vuông góc với (AHK) d Tính góc (SAC) và (SCD) Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a tâm O, SA vuông góc với đáy, SA = a a Chứng minh: BD vuông góc với SC b Tính các góc SC và (ABCD); (SBD) và (ABCD) c Tính góc (SCD) & (ABCD) Tính diện tích hình chiếu ΔSCD trên (ABCD) Vấn đề 8: Khoảng cách – diện tích – hình chiếu Bài Cho tứ diện SABC, ΔABC vuông cân tại B, AC = SA = 2a và SA vuông góc với (ABC) a Chứng minh rằng (SAB) vuông góc với (SBC) b Tính diện tích tam giác SBC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) c Gọi O là trung điểm AC Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O; SA vuông góc với (ABCD) và SA = 2a; vẽ BK vuông góc với SC tại K a Chứng minh rằng SC vuông góc với (DBK) b Tính diện tích mặt bên hình chóp S.ABCD c Tính d(A, (SBC)); d(A, (SDC)); d(O, (SBC)) d Tính d(BD, SC); d(AD, BK) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a Gọi I, H lần lượt là trung điểm AB, CD a Chứng minh rằng (SIH) vuông góc với (SAB) b Tính các khoảng cách từ O và I đến mặt phẳng (SCD) c Tính d(SC, BD); d(AB, SD) Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc A = 60° và đường cao SO = a Tính d(O, (SBC)) và d(AD, SB) Bài Cho tam giác ABC cạnh a, nằm mặt phẳng (α) Trên đường vuông góc với (α) tại B, C; vẽ BD, CE cho CE = 2BD = a và D, E nằm cùng phía so với mặt phẳng (α) a Chứng minh tam giác ADE vuông và tính diện tích tam giác ADE b Tìm góc tạo hai mặt phẳng (ADE) và (α) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, góc BAD = 60°; SA = SB = SD = a√3 a Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) Chứng minh (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Bài Cho tam giác ABC cạnh a Từ các đỉnh A, B, C vẽ các nửa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa ABC Trên các nửa đường thẳng đó lần lượt lấy D, E, F cho AD = a, BE = 2a, CF = x a Tìm x để tam giác DEF vuông tại D b Với x vừa tìm được câu trên, tìm góc (ABC) và (DEF) Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a, BC = a√(3), SA vuông góc với mặt đáy, SA = 2a Gọi I là trung điểm AB a Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp S.ABC là tam giác vuông b Tính góc hai mặt phẳng (SIC) và (ABC) c Gọi N là trung điểm AC, tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SBC) Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, AB = BC = a và góc ABC = 120° Biết hình chiếu vuông góc S trên mặt đáy là trung điểm H AC Cạnh SB tạo với mặt đáy góc 60° a Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) b Tính diện tích ΔSAC Bài 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a, AB = a, SAB tạo với đáy góc 30° Biết SA = SB = SC Tính diện tích tam giác SBC a Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) b Tính diện tích ΔSBC c Tính góc hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) (28)