(Sáng kiến kinh nghiệm) tỉ số thể tích trong hình học không gian

Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích hình học khơng gian I PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình giáo dục phổ thơng mơn tốn mơn học nhiều học sinh u thích say mê, nói đến phân mơn hình học khơng gian lại mang nhiều khó khăn trở ngại cho khơng học sinh, đặc biệt hình học khơng gian tổng hợp Đây phần thường xuyên xuất đề thi Đại học – Cao đẳng năm gần đây, kiến thức phần yêu cầu học sinh phải tư cao, có khả phân tích tổng hợp tưởng tượng mà chủ điểm quan trọng hình học khơng gian tổng hợp tính thể tích khối đa diện Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn, trở ngại với q trình giảng dạy nghiên cứu, tơi có chút kinh nghiệm giảng dạy tốn tính thể tích khối đa diện phương pháp tỉ số thể tích mong chia sẻ thầy đồng nghiệp người u thích mơn tốn Năm học 2014-2015 đến , với mong muốn cung cấp cho em học sinh thêm phương pháp để tính thể tích khối đa diện, nghiên cứu viết đề tài: “Tỉ số thể tích hình học khơng gian ” MỤC TIÊU ,NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI Cung cấp cho học sinh số phương pháp ứng dụng tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao khả phân tích tổng hợp, tư cao… ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI - Khách thể nghiên cứu: học sinh lớp 12A1 12A2 trường THPT Quang Trung - Đối tượng nghiên cứu: Thể tích khối đa diện - Phạm vi nghiên cứu: tốn tính thể tích khối đa diện có ứng dụng tỉ số thể tích GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu sử dụng ứng dụng tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện có nâng cao chất lượng học sinh NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Tóm tắt số nội dung quan trọng liên quan đến dạng tốn tính thể tích khối đa diện - Nghiên cứu ứng dụng tỉ số thể tích - Hướng dẫn học sinh tính thể tích khối đa diện ứng dụng tỉ số thể tích PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu sở lý thuyết phục vụ đề tài - Phân tích, tổng hợp,quan sát GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích hình học khơng gian - Tổ chức thực nghiệm sư phạm: dạy học phần tính thể tích khối đa diện có ứng dụng tỉ số thể tích ĐĨNG GĨP CỦA ĐỀ TÀI Đề xuất cách tính thể tích khối đa diện cách ứng dụng tỉ số thể tích dạy học mơn hình học 12 THPT CẤU TRÚC VÀ NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI Gồm phần mở đầu, nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo Nội dung có chương: - Chương I: Cơ sở lý thuyết - Chương II: Các dạng toán - Chương III: Thực nghiệm sư phạm II.PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: Cơ sở lý thuyết Để tính thể tích khối đa diện bất kì, chia khối đa diện thành khối đa diện đơn giản biết cơng thức tính ( Khối lăng trụ V = B.h , Khối chóp V = B.h , Khối hộp chữ nhật V = abc , …) cộng kết lại Tuy nhiên nhiều trường hợp, việc tính thể tích khối lăng trụ khối chóp theo cơng thức lại gặp khó khăn khơng xác định đường cao hay diện tích đáy, chuyển việc tính thể tích khối việc tính thể tích khối biết thông qua tỉ số thể tích hai khối Sau ta xét số tốn ví dụ minh hoạ Bài tốn1: (Bài4 sgk HH12CB trang25) Cho khối chóp S.ABC, đoạn thẳng SA, SB, SC lấy điểm A’,B’,C’ khác S V SA '.SB'.SC ' S.A ' B ' C ' = CMR: V (1) SA.SB.SC S.ABC Giải: GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang Gọi H,H’ hình chiếu A,A’ lên (SBC) Ta có: AH // A’H’ ⇒ điểm S,H,H’ thẳng hàng Xét ∆ SAH có: SA ' A 'H ' = (*) SA AH Do đó: A ' H '.SSB ' C ' VS.A ' B ' C ' A ' H ' SB' SC ' Sin(B'SC ') = = (**) VS.ABC AH SB SC Sin ( BSC ) AH.SSBC Từ (*) (**) ⇒ đpcm Trong (1) ,đặc biệt hóa cho B’ trùng B C’ trùng C ta có: VS.A ' B ' C ' SA ' = (1') VS.ABC SA Ta lại có: VSABC = VS.A ' BC + VA '.ABC (1’) ⇒ VS.ABC = SA ' VS.ABC + VA '.ABC SA V SA ‘ A‘A ⇒ A ‘ ABC = − = VS ABC SA SA V A‘ Vậy: A ‘.ABC = A VS ABC SA (2) Tổng qt hố cơng thức (2) ta có tốn sau đây: Bài tốn 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy đa giác lồi A1A2…An ( n ≥ 3) , đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ khơng trùng với A1 Khi ta có VA '1 A1A2 An VS.A1A An = A '1 A1 (2 ') SA1 Chứng minh (2’) phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp S.A1A2…An thành khối chóp tam giác áp dụng cơng thức (2) CHƯƠNG II: Các dạng toán Dựa vào hai toán trên, ta xét số tốn tính tỉ số thể tích khối đa diện số ứng dụng DẠNG1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN Ví dụ1: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, gọi M trung điểm CD I giao điểm AC BM Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.ICM S.ABCD S Giải: Gọi O giao điểm AC BD Ta có I trọng tâm tam giác BCD, 1 1 1 = = V V S ABCD D.SBC B.SCM 2 3 V Vậy ISCM = VS ABCD 12 V = VISCM Ví dụ2: B Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B’, D’ trung điểm SB SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính tỉ số thể tích hai khối chóp chia mp(AB’D’) Giải: A D O I M Gọi O giao điểm AC BD I giao C C' B' I S điểm SO B’D’ Khi AI cắt SC C’ Ta có A B O D' O' C D VS AB ' C ' VS ABC SB ' SC ' VS AC ' D ' SC ' SD ' SC ' = = = = SC ' SB SC SC VS ACD SC SD SC SC ' SC ' V )= V = + Suy (V S ' AB ' S ABC S ACD S ABCD C 'S AC ' D SC SC Kẻ OO’//AC’ ( O ' ∈ SC ) Do tính chất đương thẳng song song cách V + nên ta có SC’ = C’O’ = O’C Do VS A ' B ' C ' = D' 1 S.V 2ABCD Hay VS A' B ' C ' D ' VS ABCD = * Bài tập tham khảo: Bài1: Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy ABC tam giác có trực tâm H cạnh a Gọi I, J, K trung điểm cạnh AB, BC, CA M, N, P trung điểm đoạn SI, SJ, SK Tính tỉ số thể tích hai khối chóp H.MNP S.ABC Từ tính thể tích khối chóp H.MNP ĐS: VH.MNP = VS ABC 32 Bài2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng ( α ) qua AB cắt SC, SD M N Tính để mặt phẳng ( α ) S chia hình chóp thành hai phần tích ĐS: SM = SC M SC −1 DẠNG2: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH Ví dụ1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, BAD = ABC = 900 , AB = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ ( SA = 2a Gọi M, N trung điểm ABCD) SA SD Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a Giải: Áp dụng cơng thức (1) ta có VS BCM SM = = VS BCA SA S M 2a N VS.CMN VS CAD = SM SN = SA SD 2a a Suy B A C D VS BCNM = VS BCM + VS = CNM 1 VS BCA + VS CAD 3 a 2a a = + = 2.3 4.3 Ghi chú: 1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực công thức V = B.h gặp nhiều khó khăn, dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM tính VSBCA VSCAD dễ dàng nhiều 2/ Khi dạy học yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN Ví dụ2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a Giải: S Ta có VCMNP CN CP = = (a) VCMBD CB CD VCMBD VM BCD MB (b) = = = VCSBD VS BCD SB M A Lấy (a) x (b) vế theo vế ta VCMNP V VS BCD = ⇒ = CMNP Do VS BCD = S S BCD D Vậy: VCMNP = a 96 C P SH ∆BCD 3 N V Gọi H trung điểm AD ta có SH ⊥ AD mà (SAD) ⊥ ( nên SH ⊥ ( ABCD) ABCD) B H a a a = = 3 2 12 (đvtt) Ví dụ3: Cho khối chóp D.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, DA = 2a SA vng góc với đáy Gọi M, N hình chiếu vng góc A lên đường thẳng DB DC Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a D 2a N Giải: V DM DN Ta có DAMN = VDABC DB DC AM AN đường cao tam M A a C a a B giác vuông DAB DAC nên ta có DM DA2 4a DM = = 4⇒ = = MB AB a DB DN Tương tự = DC 4 16 Do VD.AMN = VD.ABC = VD.ABC Suy VA.BCMN = VD.ABC 5 25 25 a a3 3a 3 Mà VD.ABC = 2a Vậy VA.BCMN = (đvtt) = 50 Ghi chú: Ta có hệ thức lượng tam giác vng ABC sau b' = A b2 B ( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng) c b c' b' H C Ví dụ4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a SA vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm AD SC, gọi I giao điểm BM AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a Giải: S Gọi O giao điểm AC BD Ta có I trọng tâm tam giác ABC, AI AI = ⇒ = AO AC V AI 1 nên AIMN = = = AM VACDN AC AD V NC Mặt khác ACDN = = SC VACDS V Từ (1) (2) suy AIMN = VACDS 12 a Ma A (1) I D a O (2) C B S Mà V SACD VAIMN = 12 VSACD 1 a 2a a Vậy = = = SA.S ∆ACD a 3 a (đvtt) = 72 M A B Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, AA’ = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM B’C Giải: Gọi E trung điểm BB’,ta có EM//CB’ Suy B’C //(AME) nên d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME)) Ta có VC AEM MC = = VC AEB CB 1 a a a3 ⇒ VC AEM = VEACB = = 2 2 24 3VC AEM Ta có d (C, ( AME)) = S∆AEM Gọi H hình chiếu vng góc B lên AE, ta có BH ⊥ AE Hơn BM ⊥ ( ABE ) ⇒ ⊥ AE , nên ta A' C' B' a H E BM AE ⊥ HM a Mà AE = , ∆ABE vuông B nên 1 a BH = + = ⇒ = BH AB EB a ∆BHM vuông B nên MH = A a a B M C a a a 21 + = 1 a a 21 a 14 Do S∆AEM = AE.HM = = 2 3a a Vậy: d (C, ( AME)) = = a 14 24 Ghi chú: Có thể áp dụng cơng thức Hê – rơng để tính S∆AEM Ví dụ4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = hình chiếu vng góc a B' A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC Tính khoảng cách Từ A đến mp(BCC’B’) Giải: Theo giả thiết ta có A’H ⊥ (ABC) Tam giác ABC vng A AH trung tuyến nên AH = BC = a ∆A ' AH A'H = vng H nên ta có 2a B C' A' C A ' A2 − AH = a Do V ' A ABC = a a a.a = a3 H K a A Mặt khác VA ' ABC VABC A ' B ' C' = = Suy VA '.BCC ' B ' V ABC A ' B ' C' = a = a 3 3VA ' BCC ' B ' Ta có d ( A ', (BCC ' B ')) = S BCC ' B ' Vì AB ⊥ A ' H ⇒ A ' B ' ⊥ A ' H ⇒ ∆A ' B vuông A’ 'H Suy B’H = 2 a + 3a = 2a = BB ⇒ ∆BB ' H cân B’ Gọi K trung điểm ' a 14 BH, ta có B ' K ⊥ BH Do B ' K BB '2 − BK = = Suy S BCC ' B ' = B 'C '.BK = 2a a = a 14 3a Vậy d ( A ', (BCC ' B ')) = = a 14 14 14a 14 * Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A đến mp(IBC) ĐS: d ( A, (IBC )) = 2a 5 Bài2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm M thuộc AD cho AM = 3MD Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C) ĐS: d ( A, ( AB 'C )) = a Bài3: Cho tứ diện ABCD có DA vng góc với mp(ABC), ABC = 900 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) AD = a, AB = BC = b ĐS: d ( A, (BCD)) = ab a2 + b2 Bài4: Cho tứ diện ABCD, biết AB = a, M điểm miền tứ diện Tính tổng khoảng cách từ M đến mặt tứ diện ĐS: h 1+ h h+ h3 + = 3VABCD = a S ∆ACB Bài5: Cho tứ diện ABCD điểm M miền tứ diện Gọi r1, r2, r3, r4 khoảng cách từ M đến mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) tứ diện Gọi h1, h2, h3, h4 khoảng cách từ đỉnh A, B, C, D đến mặt đối diện tứ diện CMR: r1 r2 r r + + + = h1 h2 h3 h4 DẠNG4: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC Việc tính diện tích đa giác phẳng quy việc tính diện tích tam giác theo cơng thức S∆ = ah , h – chiều cao a độ dài cạnh đáy Tuy nhiên nhiều trường hợp, đặc biệt việc tính diện tích đa giác phẳng khơng gian, tính trực cơng thức gặp nhiều khó khăn Khi tính diện tính đa giác thơng qua thể tích khối đa diện Sau số ví dụ minh hoạ Ví dụ1: Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB SC Tính diện tích tam giác AMN theo a, biết ( AMN ) ⊥ (SBC ) S Giải: Gọi K trung điểm BC I trung điểm MN Ta có VS AMN N SM SN = (1) = VS ABC SB SC Từ ( AMN ) ⊥ (SBC ) AI ⊥ MN (do ∆AMN cân A ) nên AI ⊥ (SBC ⇒ AI ⊥ SI ) Mặt khác, MN ⊥ SI SI ⊥ ( AMN ) SI S ∆AMN 1 SO Từ (1) ⇒ S = = ⇒ S ∆AMN SO.S ∆ABC 4 SI ∆ABC I C M A K O (O B trọng tâm tam giác ABC) Ta có ∆ASK cân A (vì AI vừa đường cao vừa trung tuyến) nên AK = AS = Và SI = a ⇒ SO = 2 SK = a 2 a 15 a 15 a a 10 (đvdt) = = 4 6a SA − OA = Vậy S ∆AMN 16 * Bài tập tham khảo: Bài1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Biết ABC tam giác vng B có AB = a, BC = b, AA’ = c (c ≥ a + ) Một mặt phẳng (α ) qua A vng góc b với CA’cắt lăng trụ theo thiết diện a) Xác định thiết diện b) Tính diện tích thiết diện xác định câu a) ab a + b + c ĐS: Thiết diện AMN có diện tích S AMN = 2c Bài2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB = x, AC = y, AD = z, góc BAC = CAD = DAB = 90 Gọi H hình chiếu A lên mặt phẳng (BCD) a) Chứng minh rằng: 1 1 = + + AH x y z b) Tính diện tích tam giác BCD 2 x y + y z + z x2 ĐS: S ∆BCD = CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Mục đích thực nghiệm - Đánh giá tính khả thi đề tài - Sau tiến hành thực nghiệm sư phạm so sánh kết lớp thực nghiệm lớp đối chứng để đánh giá giả thuyết khoa học đề tài Nhiệm vụ thực nghiệm - Chọn lớp đối chứng lớp thực nghiệm - Tổ chức triển khai nội dung - Xử lý, phân tích kết từ rút kết luận Đối tượng thực nghiệm Tiến hành dạy phần nội dung trình bày đối tượng học sinh lớp 12A1 12A2 trường THPT Quang Trung, tỉnh Đăk Lăk Hai lớp lựa chọn tham gia thực nghiệm có nhiều điểm tương đồng ý thức, thành tích học tập, tỉ lệ giới tính, dân tộc… Phương pháp thực nghiệm - Tiến hành dạy thực nghiệm thời gian thực hành thực nghiệm tuân theo kế hoạch dạy học nhà trường thời khóa biểu để đảm bảo tính khách quan (bao gồm khóa phụ đạo) - Bài kiểm tra trước tác động kiểm tra số - Bài kiểm tra sau tác động kiểm tra số - Dùng phép kiểm chứng T-test để kiểm chứng chênh lệch điểm số trung bình nhóm trước sau tác động: Kết thực nghiệm Chọn lớp 12A1 làm lớp thực nghiệm, 12A2 làm lớp đối chứng Lấy kết kiểm tra chung hai lớp làm kiểm tra trước tác động Giáo viên sử dụng kết kiểm tra kết hợp nghiên cứu sử dụng phương pháp kiểm chứng T- test độc lập kiểm tra trước tác động ( p= ?> 0,05) Kết kiểm tra cho thấy điểm trung bình hai nhóm cịn suy độ chênh lệch điểm trung bình hai nhóm thực nghiệm đối chứng trước tác động khơng có ý nghĩa Từ đó, kết luận kết học tập hai lớp trước tác động tương đương Sau giáo viên lấy kết kiểm tra chung làm kiểm tra sau tác động Bảng: Giới tính thành phần dân tộc học sinh lớp 12A1 12A2 trường THPT Quang Trung Số học sinh nhóm Lớp Thực nghiệm (12A1) Đối chứng (12A2) Dân tộc T Số Nam Nữ Kinh Ê ĐÊ Khác 40 19 21 39 39 19 20 38 - Ý thức học tập học sinh : Đa số em lớp 12 ngoan, tích cực tham gia họat động học tập Tuy nhiên, nhiều học sinh trầm, chưa hòa đồng với họat động chung - Các em học sinh cuối cấp bậc trung học phổ thông nên xét trình độ tương đương - Kiểm tra trước sau tác động nhóm tương đương Bảng 1: Kiểm chứng để xác định nhóm tương đương TBC P Đối chứng 12A1 Thực nghiệm 12A2 4,40 4,48 0,4098 p = 0,4098 > 0,05 từ kết luận chênh lệch điểm số trung bình nhóm thực nghiệm đối chứng khơng có ý nghĩa, hai nhóm coi tương đương Bảng 2: Bảng thiết kế nghiên cứu: Nhóm Kiểm tra Tác động Kiểm tra trước tác động sau tác động Có ứng dụng tỉ số thể tích để Lớp 12A1 03 (TN) tính thể tích khối đa diện 04 dạy học Khơng ứng dụng tỉ số thể tích để Lớp 12A2 01 (ĐC) tính thể tích khối đa diện 02 dạy học Sử dụng phép kiểm chứng T-test độc lập Bảng 3: Tổng hợp kết chấm Nhóm thực nghiệm (12A1) Nhóm đối chứng Điểm trung bình 5.13 6.98 5.16 5.73 Độ lệch chuẩn 1.34 1.27 1.04 0.96 (12A2) Giá trị P 0.8640 0.0001 SDM 1.047012 0.91 Biểu đồ so sánh kết trung bình hai lớp trước sau tác động Từ kết nghiên cứu ta thấy hai nhóm đối tượng nghiên cứu (cột 3) trước tác động hoàn toàn tương đương Sau có tác động dạy phần tính thể tích khối đa diện có ứng dụng tỉ số thể tích cho kết hoàn toàn khả quan (cột cột 4) Bằng phép kiểm chứng T- test để kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình cho kết p = 0,0001