Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 7 vào đằng trớc số đó thì đợc một số lớn gấp 4 lần so với số có đợc bằng cách viết thêm chữ số 7 vào sau số đó Bµi 3.. Nếu ta [r]
(1)ÔN TẬP TẬP HỢP VÀ NHỮNG DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Số phần tử tập hợp.Tập hợp 1.Một tập hợp có thể có ,có nhiều phần tử, có vô số phần tử,cũng có thể không có phần tử nào 2.Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kí hiệu là : Ø 3.Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập hợp tập hợp B, kí hiệu là A B hay B A Nếu A B và B A thì ta nói hai tập hợp nhau,kí hiệu A=B *.D¹ng 1: RÌn kÜ n¨ng viÕt tËp hîp, viÕt tËp hîp con, sö dông kÝ hiÖu Bµi 1: Cho tËp hîp A lµ c¸c ch÷ c¸i côm tõ “Thµnh phè Hå ChÝ Minh” a H·y liÖt kª c¸c phÇn tö cña tËp hîp A b §iÒn kÝ hiÖu thÝch hîp vµo « vu«ng b A c A h A Bµi 2: Cho tËp hîp c¸c ch÷ c¸i X = {A, C, O} a/ T×m chôm ch÷ t¹o thµnh tõ c¸c ch÷ cña tËp hîp X b/ Viết tập hợp X cách các tính chất đặc trng cho các phần tử X Bµi 3: Cho c¸c tËp hîp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9} a/ ViÕt tËp hîp C c¸c phÇn tö thuéc A vµ kh«ng thuéc B b/ ViÕt tËp hîp D c¸c phÇn tö thuéc B vµ kh«ng thuéc A c/ ViÕt tËp hîp E c¸c phÇn tö võa thuéc A võa thuéc B d/ ViÕt tËp hîp F c¸c phÇn tö hoÆc thuéc A hoÆc thuéc B Bµi 4: Cho tËp hîp A = {1; 2; a; b} a/ H·y chØ râ c¸c tËp hîp cña A cã phÇn tö b/ H·y chØ râ c¸c tËp hîp cña A cã phÇn tö c/ TËp hîp B = {a, b, c} cã ph¶i lµ tËp hîp cña A kh«ng? Bµi 5: Cho tËp hîp B = {x, y, z} Hái tËp hîp B cã tÊt c¶ bao nhiªu tËp hîp con? *Dạng 2: Các bài tập xác định số phần tử tập hợp Bµi 1: Gäi A lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã ch÷ sè Hái tËp hîp A cã bao nhiªu phÇn tö? Bµi 2: H·y tÝnh sè phÇn tö cña c¸c tËp hîp sau: a/ TËp hîp A c¸c sè tù nhiªn lÎ cã ch÷ sè b/ TËp hîp B c¸c sè 2, 5, 8, 11, …, 296 c/ TËp hîp C c¸c sè 7, 11, 15, 19, …, 283 (2) Bài 3: Cha mua cho em số tay dày 256 trang Để tiện theo dõi em đánh số trang từ đến 256 Hỏi em đã phải viết bao nhiêu chữ số để đánh hết sổ tay? C.HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ: Bài 1.Hãy xác định các tập hợp sau cách liệt kê các phần tử tập hợp đó a, A lµ tËp hîp c¸c ch÷ sè sè 2002 b, B lµ tËp hîp c¸c ch÷ c¸i côm tõ “ c¸ch m¹ng th¸ng t¸m” c, C lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã mét ch÷ sè d, D lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã hai ch÷ kh¸c vµ vµ cã ch÷ sè tËn cïng b»ng Bµi §iÒn kÝ hiÖu thÝch hîp vµo « vu«ng N N N* N N* N* Φ N* { 1,2,3,4 } Bài Hãy xác định các tập hợp sau cách tính chất đặc trng các phần tử thuộc tập hợp đó a A = { 1; ; ; ; ; 49 } b B = { 11 ; 22; 33 ; 44 ; ; 99 } c C = { ; ; ; 12; ; 99 } d D = { ; ; 10; 15 ; .; 100 } Bài Hãy viết các tập hợp sau cách rõ tính chất đặc trng các phần tử thuộc tập hợp đó a A = { 1; ; ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 } b.B = { 1; ; 13 ; 19 ; 25 ; 31; 37 } A 1; 4;9;16; 25;36; 49; 64;81;100 B 2; 6;12; 20;30; 42;56; 72;90 Bµi to¸n 5: Cho a) A x N x2; x 3; x 100 A x N x ab; a 3.b b) B x N x 6; x 100 B x N 20x H·y viÕt c¸c tËp hîp A, B b»ng c¸ch liÖt kª c¸c phÇn tö Bµi T×m sè phÇn tö cña c¸c tËp hîp sau ®©y a A = { Φ } b B = { x ∈ N / x ⋮ ; ≤ x ≤ 100 } c C { x ∈ N /x ⋮ } c) C x N x 11.n 3; n N ; x 300 = { x ∈ N / x+1=0 } d D = Bài Viết các tập hợp sau tìm số phần tử các tập hợp đó a TËp hîp A c¸c sè tù nhiªn x mµ : x = b TËp hîp B c¸c sè tù nhiªn x mµ x + < c TËp hîp C c¸c sè tù nhiªn x mµ x – = x + d TËp hîp D c¸c sè tù nhiªn x mµ x : = x : e TËp hîp E c¸c sè tù nhiªn x mµ x + = x Bµi Cho A = { 1; ; } T×m tÊt c¶ c¸c tËp hîp cña tËp hîp A Bµi Ta gäi A lµ tËp hîp thùc sù cña B nÕu A B vµ A ≠ B H·y viÕt c¸c tËp hîp thùc sù cña tËp hîp B = { 1; ; ; } Bµi Cho tËp hîp A = {a, b, c, d, e } a ViÕt c¸c tËp cña A cã mét phÇn tö b ViÕt c¸c tËp cña A cã hai phÇn tö c Cã bao nhiªu tËp hîp cña A cã ba phÇn tö d Cã bao nhiªu tËp hîp cña A cã bèn phÇn tö e TËp hîp A cã bao nhiªu tËp hîp Bµi 11 Gäi A lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã bèn ch÷ sè, B lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè , C lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn lÎ cã ba ch÷ sè , D lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè tËn cùng Dùng kí hiệu và sơ đồ để biểu thị quan hệ các tập hợp trên (3) Bµi 12 Cho tËp hîp A = { ;5 ; } , h·y lËp tËp hîp B gåm c¸c sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè kh¸c từ các phần tử tập hợp A Bảo tập hợp A là tập hợp tập hợp B đúng hay sai? T×m tËp hîp chung cña hai tËp hîp A vµ B Bµi 13 T×m c¸c tËp hîp b»ng c¸c tËp hîp sau a A = { ; ; 3; ; } b B lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn x mµ x = c C lµ tËp hîp c¸c sè lÎ nhá h¬n 10 d D lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn x mµ x : = Bài 17 Trong lớp học , học sinh học tiếng Anh tiếng Pháp Có 25 ngời học tiếng Anh , 27 ngời học tiếng Pháp, còn 18 ngời học hai thứ tiếng Hỏi lớp học đó có bao nhiêu häc sinh Bài 18 Kết điều tra lớp học cho thấy : có 20 học sinh thích bóng đá ; 17 học sinh thích bơi; 36 học sinh thích bóng chuyền; 14 học sinh thích bóng đá và bơi;13 học sinh thích bơi và bóng chuyền; 15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền; 10 học sinh thích ba môn ;12 học sinh không thích môn nào.Tìm xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh Bµi 19 Trong sè 100 häc sinh cã 75 häc sinh thÝch to¸n , 60 häc sinh thÝch v¨n a NÕu cã häc sinh kh«ng thÝch c¶ to¸n vµ v¨n th× cã bao nhiªu häc sinh thÝch c¶ hai m«n v¨n vµ to¸n b Cã nhiÒu nhÊt bao nhiªu häc sinh thÝch c¶ hai m«n v¨n vµ to¸n c Cã Ýt nhÊt bao nhiªu häc sinh thÝch c¶ hai m«n v¨n vµ to¸n A a, b, c, d , e Bµi to¸n 1: Cho tËp hîp a) ViÕt c¸c tËp hîp cña A cã mét phÇn tö b) ViÕt c¸c tËp hîp cña A cã hai phÇn tö c) Cã bao nhiªu tËp hîp cña A cã ba phÇn tö ? cã bèn phÇn tö ? d) TËp hîp A cã bao nhiªu tËp hîp ? Bµi to¸n 2: XÐt xem tËp hîp A cã lµ tËp hîp cña tËp hîp B kh«ng c¸c trêng hîp sau A 1;3;5 B 1;3; A x, y B x, y , z ; ; a) b) c) A lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã tËn cïng b»ng 0, B lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn ch½n Bµi to¸n 3: Ta gäi A lµ tËp thùc sù cña B nÕu A B; A B H·y viÕt c¸c tËp thùc sù cña tËp hîp B 1; 2;3 A 1; 2;3; B 3; 4;5 ; Bµi to¸n 4: Cho c¸c tËp hîp ViÕt c¸c tËp hîp võa lµ tËp hîp cña A, võa lµ tËp hîp cña B A 1; 2;3; Bµi to¸n 5: Cho tËp hîp a) Viết các tập hợp A mà phần tử nó là số chẵn b) ViÕt tÊt c¶ c¸c tËp hîp cña tËp hîp A A 1;3; 6;8;9;12 x N * / x 12 vµ B = Bµi to¸n 6: Cho tËp hîp a)T×m tËp hîp C cña c¸c phÇn tö võ thuéc tËp hîp A võa thuéc tËp hîp B T×m tËp hîp D cña c¸c phÇn tö thuéc Ýt nhÊt mét hai tËp hîp A HoÆc tËp hîp B M 30; 4; 2005; 2;9 Bµi to¸n 10: Cho tËp hîp a) Cã mét ch÷ sè b) cã hai ch÷ sè H·y nªu tËp hîp cña tËp M gåm nh÷ng sè: c) Lµ sè ch½n ; Bµi to¸n 11: Cho a) H·y liÖt kª c¸c phÇn tö cña tËp hîp A ; tËp hîp B b) Hai tËp hîp A, B cã b»ng nahu kh«ng ? V× ? Bµi to¸n 13: Cho A lµ tËp hîp sè tù nhiªn ®Çu tiªn, B lµ tËp hîp sè ch½n ®Çu tiªn a) CMR: B A b) ViÕt tËp hîp M cho B M , M A Cã bao nhiªu tËp hîp M nh vËy A x N x 2; x 4; x 100 Bµi to¸n 14: Cho a) Xác định A cách liệt kê các phần tử ? B x N x 8; x 100 A x N x 7.q 3; q N ; x 150 Bµi to¸n 15: Cho M 1;13; 21; 29;52 b) TÝnh tæng c¸c phÇn tö cña tËp hîp A T×m x; y M biÕt 30 x y 40 (4) A 1; B 1;3;5 A x, y B x, y , z , t ; Bµi to¸n 10: Cho a) b) ; Hãy viết các tập hợp gồm phần tử đó phần tử thuộc A, phần tử thuộc B C¸c phÐp to¸n N Tính chất giao hoán phép cộng và phép nhân a + b = b + a ; a.b = b.a Khi đổi chỗ các số hạng tổng thì tổng không đổi Khi đổi chõ các thừa số tích thì tích không đổi Tính chất kết hợp phép cộng và phép nhân: (a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c); Tính chất phân phối phép nhân phép cộng.: a(b+ c) = ab + ac Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b N ; b ≠ 0) là có số tự nhiên p cho a= b.p Trong phép chia có dư số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r) số dư khác và nhỏ số chia NÕu a b= th× a = hoÆc b = II Bµi tËp *.D¹ng 1: C¸c bµi to¸n tÝnh nhanh Bµi 1: TÝnh tæng sau ®©y mét c¸ch hîp lý nhÊt a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323 + 87 Bµi 2: TÝnh nhanh c¸c phÐp tÝnh sau: a/ 17 125 b/ 37 25 Bµi 3: TÝnh nhanh mét c¸ch hîp lÝ: a/ 997 + 86 b/ 37 38 + 62 37 c/ 43 11; 67 101; 423 1001 đ, 998 34 c/ 43 11 d/ 67 99; 67 101 Bài 4: TÝnh nhanh c¸c phÐp tÝnh: a/ 37581 – 9999 c/ 485321 – 99999 b/ 7345 – 1998 d/ 7593 – 1997 Bµi 5: TÝnh nhanh: a) 15 18 b) 25 24 c) 125 72 d) 55 14 Bµi :TÝnh nhanh: a) 25 12 b) 34 11 c) 47 101 d) 15.302 e) 125.18 Bµi 7: Thùc hiÖn phÐp tÝnh b»ng c¸ch hîp lÝ nhÊt: b) 189 + 424 +511 + 276 + 55 c) (321 +27)+ 79 d) 185 +434 + 515 + 266 + 155 g) 123 1001 a) 463 + 318 + 137 + 22 (5) e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73 f) 347 + 418 + 123 + 12 Bµi 8: TÝnh b»ng c¸ch hîp lÝ nhÊt: a) 125 41 c) 12 125 b) 25 10 d) 36 25 50 Chú ý: Quy tắc đặt thừa số chung : a b+ a.c = a (b+ c) a b + a c + a d = a.(b + c + d) e) 25 + 37 + 38 12 Bµi 9: TÝnh b»ng c¸ch hîp lÝ nhÊt: 38 63 + 37 38 b) 12.53 + 53 172– 53 84 c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45 d, 39.8 + 60.2 + 21.8 e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41 *Chú ý: Muốn nhân số có chữ số với 11 ta A= (100 + 1) 100 : = 5050 cộng chữ số đó ghi kết váo chữ b) B = + + + + + 100 số đó Nếu tổng lớn thì ghi hàng đơn vị số số hạng là: (100-2):2+1 = 49 váo cộng vào chữ số hàng chục B=(100 +2).49 :2 = 551 49 = 2499 vd : 34 11 =374 ; 69.11 =759 c) C = + + 10 + 13 + + 301 *Chú ý: muốn nhân số có chữ số với d) D = + + 13 + 17 + .+ 201 101 thì kết chính là số có Bµi 2: TÝnh c¸c tæng: cách viết chữ số đó lần khít a) A = + + 11 + 14 + + 302 vd: 84 101 =8484 ; 63 101 =6363 ; b) B = + 11 + 15 + 19 + .+ 203 *Chú ý: muốn nhân số có chữ số với c) C = + 11 + 16 + 21 + + 301 1001 thì kết chính là số có D =8 + 15 + 22 + 29 + + 351 cách viết chữ số đó lần khít Bµi 3: Cho tæng S = + + 11 + 14 + VÝ dô:123.1001 = 123123 *.Dạng 2: Các bài toán có liên quan đến dãy số, a)T×m sè h¹ng thø100 cña tæng tËp hîp Giải: lưu ý: số cuối = (số số hạng - 1) 1:Dãy số cách đều: khoảng cách - số đầu VD: TÝnh tæng: S = + + + + + 49 Ta tÝnh tæng S nh sau: d) b) TÝnh tæng 100 sè h¹ng ®Çu tiªn a số thứ 100 = (100-1) – = 292 b S= (292 + 5) 100:2 = 23000 Bµi 1:TÝnh tæng sau: Bµi 4: Cho tæng S = + 12 + 17 + 22 + a) A = + + + + + 100 a)T×m sè h¹ng tø50 cña tæng Số số hạng dãy là: (100-1):1+1 = 100 b) TÝnh tæng cña 50 sè h¹ng ®Çu tiªn (6) Bµi 5:TÝnh tæng cña tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn x, biÕt x lµ sè cã hai ch÷ sè vµ 12 < x < 91 Bµi 6: TÝnh tæng cña c¸c sè tù nhiªn a , biÕt a cã ba ch÷ sè vµ 119 < a < 501 TÝnh tæng c¸c ch÷ sè cña a Bµi 7: TÝnh + + + + 1998 + 1999 Bµi 8: TÝnh tæng cña: a/ TÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã ch÷ sè b/ TÊt c¶ c¸c sè lÎ cã ch÷ sè b/ S2 = 101+ 103+ + 997+ 999 Bµi 9TÝnh tæng a/ TÊt c¶ c¸c sè: 2, 5, 8, 11, ., 296 b/ TÊt c¶ c¸c sè: 7, 11, 15, 19, ., 283 Bµi 10: Cho d·y sè: a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19 b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, H·y t×m c«ng thøc biÓu diÔn c¸c d·y sè trªn Ghi chó: C¸c sè tù nhiªn lÎ lµ nh÷ng sè kh«ng chia hÕt cho 2, biÓu diÔn lµ 2k , k N C¸c sè tù nhiªn ch½n lµ nh÷ng sè chia hÕt cho 2, c«ng thøc biÓu diÔn lµ 2k , k N) *D¹ng 3: T×m x Bµi 1:Tìm x N biết a) (x –15) 15 = b) 32 (x –10 ) = 32 Bµi 2:Tìm x N biết : a ) (x – 15 ) – 75 = b)575- (6x +70) =445 c) 315+(125-x)= 435 Bµi 3:Tìm x N biết : a) x –105 :21 =15 b) (x- 105) :21 =15 Bµi 4: Tìm số tự nhiên x biết a( x – 5)(x – 7) = b/ 541 + (218 – x) = 735 c/ 96 – 3(x + 1) = 42 d/ ( x – 47) – 115 = e/ (x – 36):18 = 12 BTNC a) Tính tổng các sống tự nhiên từ đến 999; b) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ đến 999 thành hang ngang ,ta số 123….999 tính tổng các chữ số số đó 1.Tìm số có hai chữ số,biế viêt chữ số xen hai chữ số đó thì số có ba chữ số gấp lần số có hai chữ số ban đầu 2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số thành hàng ngang,rồi đặt dấu + xen các chữ số đó để tổng 1000 b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số thành hàng ngang,rồi đặt dấu + xen các chữ số đó để tổng 1000 3.Chia các số tự nhiên từ đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn và lớp số lẻ.hỏi lớp nào có tổng các chữ số lớn và lớn bao nhiêu? (7) Điền các chữ số thích hợp vào các chữ để phép tính đúng : a) ab + 36 = ab ; b) abc + acc + dbc = bcc Cho ba chữ số a,b,c với < a < b < c ; a) Viết tập hợp A các số có ba chữ số ,mỗi số gồm ba chữ số a, b ,c: b) Biết tổng hai số nhỏ tập hợp A 488.tìm tổng các chữ a + b + c Cho bảng vuông gồm ô vuông hình vẽ hãy điền vào các ô bảng các số tự nhiên từ đến 10 10 (mỗi số viết lần) cho tổng các số hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo Kí hiệu n! là tích các số tự nhiên từ đến n : n! = 1.2.3…n Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5! Trong tờ giấy kẻ ô vuông kích thước 50.50 ô vuông ô người ta viết số tự nhiên biết bốn ô tạo thành hình hình vẽ thì tổng các số bốn ô đó hãy chứng tỏ số đó 8.Một số có bảy chữ số ,cộng với số viets bảy chữ số đó theo thứ tự ngược lại thì tổng là số có bảy chữ số.hãy chứng tổ tổng tìm có ít chữ số chẵn 9.Cho bảng gồm 16 ô vuông hình vẽ hãy điền vào các ô bảng bảng các số tự nhiên lẻ từ đến 31 (mỗi số 15 29 viết lần.) cho tổng các số cùng hàng, 23 cùng cột , cùng đường chéo 17 10.Cho dãy số 1,2,3,5,8,13,21,34,….( dãy số phi bô na xi) đó số (bắt đầu từ số thứ ba) tổng hai số đứng liền trước nó.chọn dãy số đó 27 số liên tiếp tùy ý.chứng minh tổng số này không phải là số dãy đã cho 11 Một số chắn có bốn chữ số, đó số hàng trăm và số hang chục lập thành số gấp ba lần chữ số hàng nghìn và gấp hai lần chữ số hang đơn vị.tìm số đó 12.Tìm các số a,b,c,d phếp tính sau: abcd + abc + ab + a = 4321 13.Hai người chơi trò chơi bốc viên bi từ hai hộp ngoài.mỗi người đến lượt mình bốc số viên bi tùy ý người bốc viên bi cuối cùng cacr hai hộp là người thắng cuộc.biết hộp thứ có 190 viên bi ,hộp thứ hai có 201 viên bi.hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc bi đầu tiên là người thắng Bài tập cñng cè Tính giá trị biểu thức cách hợp lí: A = 100 + 98 + 96 + ….+ - 97 – 95 - …- ; B = + – – + + – – + + 10 – 11 – 12 + …- 299 – 330 + 301 + 302; Tính nhanh a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21 b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40; c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 – 15.42 3.Tìm x biết: a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); ab) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130 Tổng hai số 78293.số lớn hai số đó co chữ số hàng dơn vị là ,chữ hàng chục 1,chữ số trăm là 2.nếu ta gạch bỏ các chữ số đó thì ta số số nhỏ tìm hai số đó 5.Một phếp chia có thương là dư tổng số bị chia ,số chia và số dư là 195.tìm số bị chia và số chia (8) 6.Tổng hai số có a chữ số là 836.chữ số hàng trăm số thứ là ,của số thứ hai là gạch bỏ các chữ số và thì hai số có hai chữ số mà số này gấp lần số kia.tìm hai số đó 7.Một học sinh giải bài toán đáng lẽ phải chia số cho và cộng thương tìm với nhâm lẫn em đó đã nhân số đó với và sau đó lấy tích tìm trừ mặc dù kết đúng hỏi số cần phải chia cho là số nào? Tìm số có ba chữ số biết chữ số hàng trăm hiệu chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị.chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì thương là và dư 2.tích số phải tìm với là số có chữ số tận cùng là Tìm số tự nhiên a ≤ 200 biết chia a cho số tự nhiên b thì thương là và dư 35 10 Viết số A bất kì có chữ số ,viết tiếp chữ số đó lần ta số B có chữ số.chia số B cho 13 ta số C chia C cho 11 ta số D.lại chia số D cho 7.tìm thưởng phép chia này 11 Khi chia số M gồm chữ số giống cho số N gồm chữ số giống thì thương là 233 và số dư là số r nào đó sau bỏ chữ số số M và chữ số số N thì thương không đổi và số dư giảm 1000.tìm số M và N? * C¸c bµi to¸n vÒ d·y sè viÕt theo quy luËt Bµi to¸n 1: TÝnh c¸c tæng sau a) n b) 2.n c) (2.n 1) d) 10 2005 e) 2+5+8+……+2006 g) 1+5+9+….+2001 ( n ) n Gi¶i; a) b)sè sè h¹ng (2n – 2) : + 1= n Tæng = Bµi to¸n 2: TÝnh nhanh tæng sau: A 1 16 8192 Bµi to¸n 3: a) TÝnh tæng c¸c sè lÎ cã hai ch÷ sè b) TÝnh tæng c¸c sè ch½n cã hai ch÷ sè Bài toán 4: a) Tổng 1+2+3+….+n có bao nhiêu số hạng để kết tổng 190 b) Cã hay kh«ng sè tù nhiªn n cho n 2004 (1 n) kh«ng chia hÕt cho 10 n N c) Chøng minh r»ng: Bµi to¸n 5: a) TÝnh nhanh 1.2 2.3 3.4 1999.2000 b) ¸p dông kÕt qu¶ phÇn a) tÝnh nhanh B 1.1 2.2 3.3 1999.1999 c) TÝnh nhanh : C 1.2.3 2.3.4 48.49.50 H·y x©y dùng c«ng thøc tÝnh tæng a) vµ c) trêng hîp tæng qu¸t Bµi to¸n 6: T×m sè h¹ng thø 100, sè h¹ng thø n cña c¸c d·y sè sau: a) 3;8;15;24;35; b) 3; 24;63;120;195; c) 1;3;6;10;15; d) 2;5;10;17; 26; e) 6;14; 24;36;50; g) 4; 28;;70;130; Bµi to¸n 7: Cho d·y sè 1;1 2;1 3;1 4; Hái d·y sè trªn cã sè nµo cã ch÷ sè tËn cïng lµ kh«ng ? T¹i ? Bµi to¸n 8: Cho S1 1 2; S2 3 5; S3 6 9; S4 10 11 12 13 14; TÝnh S100 Bµi to¸n 9: TÝnh b»ng c¸ch hîp lý A 41.66 34.41 11 79 200 B 10 34 b) 5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 C 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45 c) a) Bµi 21 H·y chøng tá r»ng hiÖu sau cã thÓ viÕt thµnh mét tÝch cña hai thõa sè gièng : 11111111 – 2222 Bµi 22 T×m kÕt qu¶ cña phÐp nh©n sau A 33 3.99 B 33 3.33 2005 c s 2005 c s 2005 c s 2005 c s a) b) Bài 23 Chứng tỏ các số sau có thể viết đợc thành tích hai số tự nhiên liên tiếp (9) 11 122 a 111222 b 444222 c A= n c.s1 n c.s2 Gi¶i : Do 111222 : 111 = 1002 nªn 111222 = 111.1002 = 111 334 = 333.334 Bµi to¸n 1: Cho ba ch÷ sè a, b, c Gäi A lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn gåm c¶ ba ch÷ sè trªn a) ViÕt tËp hîp A b) TÝnh tæng c¸c phÇn tö cña tËp hîp A Bµi to¸n 2: Cho ba ch÷ sè a, b, c cho a b c a) ViÕt tËp A c¸c sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè gåm c¶ ba ch÷ sè trªn b) BiÕt tæng cña hai sè nhá nhÊt tËp A b»ng 448 T×m ba ch÷ sè a, b, c nãi trªn Bµi to¸n 11: Ngêi ta viÕt liÒn d·y sè tù nhiªn b¾t ®Çu tõ 1: 1,2,3,4,5,…Hái ch÷ sè thø 659 lµ ch÷ sè nµo ? Bµi to¸n 12: Cho S 7 10 13 100 a) TÝnh sè sè h¹ng cña tæng trªn b) T×m sè h¹ng thø 22 cña tæng c) TÝnh tæng S 11 122 Bµi to¸n 14: Chøng tá r»ng sè A= n c.s1 n c.s2 lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp Bài toán 15: Trong hệ thập phân số A đợc viết 100 chữ số 3, số B đợc viết 100 chữ số H·y tÝnh tÝch A.B C¸c bµi to¸n vÒ sè vµ ch÷ sè Bài1 Một số có chữ số, tận cùng chữ số Nếu chuyển chữ số đó lên đầu thì ta đợc số mà chia cho số cũ thì đợc thơng là d 21 Tìm số đó Bài Tìm số tự nhiên có chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng trớc số đó thì đợc số lớn gấp lần so với số có đợc cách viết thêm chữ số vào sau số đó Bµi T×m sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu viÕt thªm mét ch÷ sè vµo bªn ph¶i vµ mét ch÷ sè vµo bªn tr¸i cña nã th× sè Êy t¨ng gÊp 36 lÇn Bài Nếu ta viết thêm chữ số vào các chữ số số có hai chữ số ta đợc số có chữ số lớn số đầu tiên lần Tìm số đó Bài Nếu xen vào các chữ số số có hai chữ số chính số đó, ta đợc số có bốn chữ số và 99 lần số đầu tiên Tìm số đó Bài Nếu xen vào các chữ số số có hai chữ số số có hai chữ số kém số đó đơn vị thì đợc số có bốn chữ số lớn gấp 91 lần so với số đầu tiên Hãy tìm số đó Bµi T×m sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, biÕt r»ng sè míi viÕt theo thø tù ngîc l¹i nh©n víi sè ph¶i tìm thì đợc 3154; số nhỏ hai số thì lớn tổng các chữ số nó là 27 Bài Cho số có hai chữ số Nếu lấy số đó chia cho hiệu chữ số hàng chục và hàng đơn vị nó thì đợc thơng là 18 và d Tìm số đã cho Bài Cho hai số có chữ số và chữ số mà tổng hai số đó 2750 Nếu hai số đợc viết theo thứ tự ngợc lại thì tổng hai số này 8888 Tìm hai số đã cho Bµi 10 T×m sè cã bèn ch÷ sè kh¸c nhau, biÕt r»ng nÕu viÕt thªm mét ch÷ sè vµo gi÷a hµng nghìn và hàng trăm thì đợc số gấp lần số phải tìm Bài 11 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, cho nhân số đó với ta đợc số gồm bốn chữ số viÕt theo thø tù ngîc l¹i Bài 12 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, cho nhân số đó với ta đợc số gồm bốn chữ số viÕt theo thø tù ngîc l¹i Bài 13 Tìm số tự nhiên có năm chữ số, cho nhân số đó với ta đợc số gồm năm chữ số Êy viÕt theo thø tù ngîc l¹i Bµi 14 T×m sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu xo¸ ch÷ sè hµng tr¨m th× sè Êy gi¶m lÇn Bµi 15 T×m sè tù nhiªn cã bèn ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu xo¸ ch÷ sè hµng ngh×n th× sè Êy gi¶m lÇn Bài 16 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết chữ số hàng trăm và xoá chữ số đó th× sè Êy gi¶m lÇn Bµi 17 Mét sè tù nhiªn t¨ng gÊp lÇn nÕu viÕt thªm mét ch÷ sè vµo gi÷a c¸c ch÷ sè hµng chôc và hàng đơn vị nó Tìm số Bài 18 Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số đó vừa chia hết cho và chia hết cho , hiệu số đó với số viết theo thứ tự ngợc lại 297 (10) Bµi TÝnh nhanh a 417 + 235 + 583 + 765 +8 +11 +14 + + 38 + 41 b 16 25 13 250 c ( 1999 + 313) – 1999 ( 1435 + 213) – 13 d 2023 - ( 34 + 1560) 1972 – ( 368 + 972) e 364 – ( 364 – 111) 249 – ( 75 – 51) Bµi TÝnh nhanh c¸c tæng sau a 1+2+3+4+5+ +n e 2+5+11+ +47+65 b 1+3+5+7+ + ( 2n – 1) g 3+12+48+ +3072+12288 c 2+4+6+8+ +2n h 2+5+7+12+ +81+131 d 1+6+11+16+ +46+51 i 49-51+53-55+57-59+61-63+65 Bµi a TÝnh nhÈm 204 36 499.12 601.42 199.41 b TÝnh nhÈm b»ng c¸ch nh©n thõa sè nµy, chia thõa sè cho cïng mét sè 66.50 72.125 38.5 15.16.125 c TÝnh nhÈm b»ng c¸ch nh©n c¶ sè bÞ chia vµ sè chia víi cïng mét sè kh¸c kh«ng 2000 : 25 7300 : 50 4970 : 81000 : 125 d TÝnh nhÈm b»ng c¸ch ¸p dông tÝnh chÊt ( a ± b ) : c = a : c ± b : c 169 : 13 660 : 15 119 : 204 : 12 Bµi T×m x a (158 - x) :7 = 20 b 2x – 138 = 23 32 c 231 - (x – ) =1339 :13 d 10 + 2x = 45 : 43 a 70 - 5.(2x - 3) = 45 b 156 – (x + 61) = 82 c 6.(5x + 35) = 330 d 936 - (4x + 24) = 72 a 5.(3 x + 34) = 515 b (158 - x) : = 20 c (7x - 28) 13 = d 218 + (97 - x) = 313 (2x – 39) + = 80 b)[(3x + 1)3 ]5 = 150 c) 2436 (5x + 103) = 12 d) 294 - (7x - 217) = 38 311 : 316 + 62 a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 35); b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130 a 420 + 65 = ( x + 175) : + 30 b [ (x +32)−17 ] = 42 c ( 32 15 ) : = ( x + 70 ) : 14 – 40 d [ 61+(53 − x ) ] 17 = 1785 e x – 4867 = ( 175 2050 70 ) : 25 + 23 f 697 : 15 x +364 = 17 x g 92.4 – 27 = x +350 + 315 x Bµi TÝnh nhanh a 168 168 −168 58 110 (456 11+912) 37 13 74 45 16 −17 b 864 48 − 432 96 864 48 432 28+45 15 7256 4375− 725 c 3650+4375 7255 (315+372) 3+(372+315).7 26 13+ 74 14 d 1978 1979+1980 21+1958 1980 1979 −1978 1979 27 45+27 55 2+ 4+ 6+ +14+16 +18 e 26 108 − 26 12 127 32− 28+24 − 20+16 −12+8 − 36 + 64 127 – 27 100 12 : {390 : [500 – (125 + 35 7)]} 57 : 55 - 70 2.125.18 + 36.252 + 4.223.9 50 + 51 + 52 + + 99 + 100 B = 12 62 32 + 32 + 72 + 20 24:{300 : [375 – (150 + 15 5]} 1449 : {[216 + 184 : 8).9]} 56 : 53 + 32 2195.1952 - 952 427 - 1952 1768 20 + 22 + 24 + 96 + 98 H = 30 + 31 + 32 + 33 + 30 31 32.33 35 + 38 + 41 + + 92 + 95 A = 46 – ( 16 + 71.4) : 15 – B = 24 – 131 – ( 13 – )2 222 + 224 + 226 + + 444 33 35 : 34 + 22 20 (5346 – 2808) : 54 + 51 10 187 (38 + 62) – 87 (62 + 38) 23 16 - 23 14 11 25.{32 : [12 – + (16 : 8)]} 25.{32 : [12 – + (16 : 8)]} (11) Luü thõa víi sè mò tù nhiªn I/ KiÕn thøc c¬ b¶n n Ñònh nghóa: a a.a……….a n thừa số Quy ước: a = a ; a = ( a 0) Nhân, chia hai lũy thừa cùng số: a m a n a m n am : an am n ( n N*) (m, n N *) ( m, n N *, m n, a 0) 4.Lũy thừa tích: (a.b)n = an bn Lũy thừa lũy thừa: ( am )n = am.n n ( mn ) Lũy thừa tầng: a a Số chính phương là số mà bình phương số tự nhiên Ví duï: caùc soá 0; 1; 4; 9; 16; 25;… laø caùc soá chính phöông Bài tập: Viết các số sau dạng lũy thừa: a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100 0; (n số ); a) ; 25; 625; 3125; 2.So sánh các số sau: a) 3200 với 23000 ; b) 1255 với 257 ; c)920 với 2713 d)354 với 281; 3.Viết các tích sau đướ dạng lũy thừa: a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 84.165.32; d) 274.8110 ; 4.So sánh: a) 1030 với 2100 ; b) 540 với 62010 ; 5.Một hình lập phương có cạnh là m a) tính thể tích hình lập phương; b) cạnh hình lập phương tăng lên lần , lần thì thể tích hình lập phương tăng lên bao nhiêu lần Trong cách viết hệ thập phân số 2100 có bao nhiêu chữ số? SO SÁNH HAI LŨY THỪA A) KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa chúng dạng hai lũy thừa có cùng số (lớn 1) cùng số mũ (lớn 0) so sánh Nếu am = an thì m = n, an = b n thì a = b Neáu m > n thì am > an (a> 1) Neáu a > b thì an > b n (n > 0) 2) Tính chaát ñôn ñieäu cuûa pheùp nhaân: Neáu a < b thì a.c < b.c (với c > 0) II/ Bµi tËp Bµi tËp 1: ViÕt gän c¸c biÓu thøc sau b»ng c¸ch dïng luü thõa a, = c, 166 : 42 d, 178: 94e, 1254 : 253f, 414 528 = b, a a a + b b b b = (g, 12n: 22n = h 84 165b 540 1252 6253 i 274 8110 d 103 1005 10004 m (12) 10 30 25 25 b) 10 :10 ; : 25 ; : 64 ; : 32 ; 183 : 93 ; 1253 : 254 14 28 a) 16 : b) 27 : c) 125 : 25 d) n 2n 20 e) 12 : g) 64 16 : k b) 27 81 50 c) 25 125 d) 64 16 2006 a) x.5 x.5 x b) x x .x 100 2003 c) x.x x .x d) x x x .x 10 7 a) : ; ; 19 :19 : ; 12 : ; 27 : 81 Bµi tËp 2: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc 46.34.95 212.14.125 453.20 4.182 213 25 12 10 a, 38 : 34 + 22 23 b, 42 – 32 c, d, 35 e, 180 g, e 72 x4 54 10 10 10 10 13+ 65 g 11+3 h 108 2 104 y ( 1253 75 – 1755 : ) : 20012002 k 16 64 82 : ( 43 25 16) Bµi Cho A = 415 99 – 320 89 B = 5.29.619- 7.229.276 TÝnh A : B C = 2181.729 + 243.81.27 D = 32.92.243 + 18.243.324 + 723 729 TÝnh C : D 17 15 15 a) (2 17 ).(9 ).(2 ) 1997 1995 1994 b) (7 ) : (7 7) 3 3 c) (1 ).(1 ).(3 81 ) d) (2 ) : (2 ) a) b) (1 + +…+ 100)(12 + 22 + … + 102)(65 111 – 13 15 37) a) A 310.11 310.5 39.24 4 E 12 e) b) B 13 210.13 210.65 28.104 2 F 10 22 f) Bµi tËp 5: T×m x N biÕt a, 2x = 128 b, x15 = x c, (2x + 1)3 = 125 d, (x – 5)4 = (x - 5)6 c) 49.36 644 164.100 21 14.125 45 20 18 G H 35 1805 g) h) x10 = x e/ (2x -15)5 = (2x -15)3 Bµi 1: T×m c¸c sè mò n cho luü thõa 3n th¶o m·n ®iÒu kiÖn: 25 < 3n < 250 Bµi T×m sè tù nhiªn n biÕt a 5n = 125 34 3n = 37 27 3n = 243 49.7n = 2401 b < 3n < 81 25 5n 125 Bµi T×m x lµ sè tù nhiªn, biÕt r»ng : a 2x = 128 b x15 = x c ( 2x + )3 = 125 d ( x – )4 = ( x – )6 e x2006 = x2 Bµi : T×m x N biÕt x 20 a) 3 243 b) x x x x c) 16 1024 d) 64.4 16 Bµi T×m x N biÕt d/ C 10 10 13+ 65 104 d) D 723.542 1084 11.322.37 915 I (2.314 ) i) x g) 15 17 h) (7 x 11) 2 200 x i) 25 26.2 2.3 x x l) 49.7 2041 m) 64.4 4 x n n) 243 p) 3 3 Bµi 6: T×m n N biÕt: n b) 25 5 125 b) 50<7n < 2500 a) ( x 1) 125 x 2 x b) 96 a) 81 a) 50 < 2n < 100 Bµi T×m x biÕt n c) (2 x 1) 343 720 : 41 (2 x 5) 23.5 d) a) 2x = 224 = 289 c) x (x2)3 = x5 b) (3x + 5)2 d) 32x+1 11 = 2673 (13) * Bµi 8: T×m n N biÕt n a) 32 128 n b) 2.16 2 n d) (2 : 4).2 4 n 4.2n 9.25 g) n 3 37 e) n 27 3n h) n n i) 64.4 4 k) 27.3 243 Bµi 9: T×m x N biÕt x a) 16 128 b) x.5x 1.5x 2 100 : 218 18 c / s chuyên đề: Các bài toán so sánh hai luỹ thừa §Ó so s¸nh hai luü thõa, ta thêng ®a vÒ so s¸nh hai luü thõa cïng c¬ sè hoÆc cïng sè mò + NÕu hai luü thõa cã cïng c¬ sè (lín h¬n 1) th× luü thõa nµo cã sè mò lín h¬n sÏ lín h¬n NÕu m>n th× am>an (a>1) + NÕu hai luü thõa cã cïng sè mò (>0) th× luü thõa nµo cã c¬ sè lín h¬n sÏ lín h¬n NÕu a>b th× an>bn ( n>0) Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu cña phÐp nh©n (a<b th× a.c<b.c víi c>0) VÝ dô: So s¸nh 3210 vµ 1615, sè nµo lín h¬n Híng dÉn: Các số 32 và 16 khác nhng là luỹ thừa lên ta tìm cách đa 3210 và 1615 luü thõa cïng c¬ sè 3210 = (25)10 = 250 1615 = (24)15 = 260 V× 250 < 260 suy 3210 < 1615 Bµi tËp 1: So s¸nh: Bµi 1: So s¸nh c¸c sè sau? a) 2711 vµ 818 b) 6255 vµ 1257 c) 536 vµ 1124 d) 32n vµ 23n (n N* ) Híng dÉn: a) §a vÒ cïng c¬ sè b) §a vÒ cïng c¬ sè c) §a vÒ cïng sè mò 12 d) §a vÒ cïng sè mò n 23 22 13 16 Bµi 2: a) vµ 6.5 b) 7.2 vµ c) 2115 vµ 275.498 Híng dÉn: a) Đa hai số dạng tích đó có thừa số giống 522 b) Đa hai số dạng tích đó có thừa số giống là 213 c) §a hai sè vÒ d¹ng mét tÝch luü thõa c¬ sè lµ vµ a) Ta cã: 95 = (32)5 = 310 Bµi 3: a) 19920 vµ 200315 39 21 273 = (33 )3 = 39 b) vµ 11 V× 310 > 39nªn 95 > 273 Híng dÉn : 20 20 20 60 40 b) Ta cã: 3200 = (32)100 = 9100 a) 199 < 200 = (2 ) = 15 15 15 15 60 45 2300 = (23) 100 = 8100 2003 > 2000 = (2.10 ) = (2 ) = 39 40 20 20 21 V× 9100 > 8100 ; nªn 3200 > 2300 b) <3 = (3 ) = <11 c, 3500 vµ 7300 Bµi 4: So s¸nh hiÖu,hiÖu nµo lín h¬n? 45 44 44 43 72 -72 vµ 72 -72 3500 = 35.100 = (35)100 = 243100 Híng dÉn: 7300 = 73.100 (73 )100 = (343)100 7245-7244=7245(72-1)=7245.71 44 44 44 44 72 -72 =72 (72-1)=72 71 V× 243100 < 343100 => 3500 < 7300 Bµi 5: 27 vµ 72 d, 85 vµ 47 85 = (23)+5 = 215 <3.214 = 3.47 Ta cã: 27 = 128 ; 72 = 49 V× 128 > 49 nªn > => 85 < 47 Bµi a) 95 vµ 273 b) 3200 vµ 2300 (14) e, 202303 vµ 303202 202303 =(2023)201 ; 303202 = (3032)101 Ta so s¸nh 2023 vµ 3032 2023 = 23 101 1013 vµ 3032 => 3032 < 2023 3032 = 33 1012 = 9.1012 vËy 303202 < 2002303 f, 321 vµ 231 321 = 20 = 910 ; 231 = 230 = 810 910> 810 => 321 > 231 g, 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 371320 = (372)660 = 1369660 V× 1369660 > 1331660 => 371320 > 111979 Bµi 7: So s¸ch c¸c cÆp sè sau: a/ A = 275 vµ B = 2433 Ta cã A = 275 = (33)5 = 315 vµ B = (35)3 = 315 VËy A = B b/ A = 300 vµ B = 3200 A = 300 = 33.100 = 8100 vµ B = 3200 = 32.100 = 9100 V× < nªn 8100 < 9100 vµ A < B Bµi 8: So s¸nh hai luü thõa sau: 3111 vµ 1714 Ta thÊy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1) 1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2) Tõ (1) vµ (2) 311 < 255 < 256 < 1714 nªn 3111 < 1714 Bµi 1: So s¸nh c¸c sè sau, sè nµo lín h¬n 30 444 100 333 a) 10 vµ b) 333 vµ 444 40 300 453 161 c) 13 vµ d) vµ Bµi 2: So s¸nh c¸c sè sau 217 72 100 a) vµ 119 b) vµ 1024 12 80 118 c) vµ 27 d) 125 vµ 25 40 10 11 e) vµ 620 f) 27 vµ 81 Bµi 3: So s¸nh c¸c sè sau 36 24 a) vµ 11 b) 625 vµ 125 * c) vµ (n N ) Bµi 4: So s¸nh c¸c sè sau 13 16 a) 7.2 vµ 20 15 c) 199 vµ 2003 Bµi 5: So s¸nh c¸c sè sau 45 44 44 43 a) 72 72 vµ 72 72 2n 24680 3n d) vµ Bµi 6: So s¸nh c¸c sè sau 500 300 a) vµ 303 202 d) 202 vµ 303 10 h) 10 vµ 48.50 Bµi 7: So s¸nh c¸c sè sau 23 22 d) vµ 6.5 15 b) 21 vµ 27 49 39 21 d) vµ 11 200 500 b) vµ 450 1050 e) vµ 37020 b) vµ 3.4 21 31 e) vµ 10 10 i) 1990 1990 vµ 1991 11 14 c) 31 vµ 17 5n 2n g) vµ ;( n N ) 20 10 c) 99 vµ 9999 1320 1979 g) 11 vµ 37 (15) a) 107 50 75 vµ 73 35 91 b) vµ 12 c) 54 vµ 21 Bµi 8: T×m xem 2100 cã bao nhiªu ch÷ sè c¸ch viÕt ë hÖ thËp ph©n Bµi gi¶i: Muèn biÕt 2100 cã bao nhiªu ch÷ sè c¸ch viÕt ë hÖ thËp ph©n ta so s¸nh 2100 víi 1030 vµ 1031 * So s¸nh 2100 víi 1030 Ta cã: 2100 = (210)10 = 1024 10 1030 = (103)10 = 100010 V× 102410 > 100010 nªn 2100 > 1030 (*) * So s¸nh 2100 víi 1031 Ta cã: 2100 = 231 269 = 231 263 26 = 231 (29)7 (22)3 = 231 5127 43 (1) 1031 = 231 531 = 231 528 53 = 231 (54 )7 53 = 231 6257 53 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: 231 5127 43 < 231 5127 53 Hay 2100 < 1031 ( **) Tõ (*),( **) ta cã: 1031 < 2100 < 1031 Sè cã 31 ch÷ sè nhá nhÊt Sè cã 32 ch÷ sè nhá nhÊt Nªn 2100 cã 31 ch÷ sè c¸ch viÕt ë hÖ thËp ph©n Bµi 10: So s¸nh A vµ B biÕt 30 a) A = 1931+ 19 +5 18 ; 31 B = 1932+5 19 +5 20 −3 ; B = 22 −3 20 −3 −3 c) A = 1+5+5 2+ .+ 58 ; B = 1+5+5 + .+ b) 1+3+32+ .+39 1+3+32+ .+38 Bµi gi¶i: 30 A = 1931+ 30 Nªn 19A = 1931.(19 +5) 31 90 19 + 95 =1+ 31 1931+5 19 +5 90 1932+ 95 =1+ 32 1932+5 19 +5 = 19 +5 19 +5 31 31 B = 1932+5 nªn 19B = 1932.(19 +5) = 19 +5 19 +5 90 90 V× > 31 32 19 +5 19 +5 90 90 Suy + >1+ Hay 19A > 19B Nªn A > B 31 19 +5 1932+5 18 18 − 3) 220 −12 b) A = 220 −3 nªn 22 A = (2 = = - 20 20 22 −3 −3 −3 −3 20 20 22 − 3) B = 22 −3 nªn 22.B = (2 = 22−12 = 1- 22 22 −3 −3 −3 −3 9 9 V× 20 > 22 Suy - 20 < 1- 22 Hay 22 A < 22 B −3 −3 −3 −3 Nªn A < B c) Ta cã: (16) 9 + +5 ) A = 1+5+5 2+ .+ 58 = 1+(5+52 + +58 ) = 1+5 (1+5+5 = 1+5+5 + .+ +5> 5(1) 1+5+5 + .+ 1+5+5 + +5 1+5+ + .+5 + 3<4 (2) T¬ng tù B = Tõ (1) vµ (2) Ta cã 1+3+ 32+ .+38 1 A= +5>5>4> + =B nªn A > B 1+5+5 + .+ 1+3+ + +3 Bµi tËp 10: Cho A = + + 22 + +230 ViÕt A + díi d¹ng mét lòy thõa Bµi 4: T×m x N biÕt a) 13 + 23 + 33 + + 103 = ( x +1)2 b) + + + + 99 = (x -2)2 Bµi gi¶i: a) 13 + 23 + 33 + + 103 = (x +1)2 ( 1+ + 3+ + 10)2 = ( x +1)2 552 = ( x +1) 55 = x +1 x = 55- x = 54 b) + + + + 99 = ( x -2)2 ( 99 −1 +1 2 ) = ( x - 2)2 502 = ( x -2 )2 50 = x -2 x = 50 + x = 52 ( Ta cã: + + 5+ + ( 2n+1) = n2) Bµi 5: T×m cÆp x ; y N tho¶ m·n 73 = x2 - y2 Ta thÊy: 73 = x2 - y2 ( 13 + 23 + 33 + +73) - (13+ 23+ 33+ + 63) = x2 - y2 (1+ + + + 7)2 - (1 + + + + 6)2 = x2 - y2 282 - 212 = x2 - y2 VËy cÆp x; y tho¶ m·n lµ: x = 28; y = 21 Bµi 2: T×m x N* biÕt A = 111 - 777 x ch÷ sè x ch÷ sè lµ sè chÝnh ph¬ng Bµi gi¶i: + NÕu x = Ta cã: A = 11 - = = 22 (TM) + NÕu x > Ta cã A = 111 - 777 = 34 2x ch÷ sè x ch÷ sè mµ 34 Suy A kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng ( lo¹i) VËy x = c) Dïng tÝnh chÊt chia hÕt Bµix1: T×m x; y N biÕt: 35 + = 5y *)NÕu x = ta cã: (17) 350 + = 2.5y 10 = 2.5y 5y = y =1 *) NÕu x >0 + NÕu y = ta cã: 35x + = 2.50 35x + = ( v« lý) + NÕu y > ta thÊy: 35x + v× ( 35x ; ) Mµ 5y ( v« lý v× 35x + = 2.5y) VËy x = vµ y = Bµi 1: TÝnh tæng A = + + 22+ + 2100 B = - 32 + 33 - - 3100 Bµi gi¶i: A = + + 22 + + 100 => 2A = + 22 + 23 + + 2101 => 2A - A = (2 + 22 + 23 + + 2101 ) – (1 +2 + 22+ +2100) VËy A = 2101 - B = - 32 - 33 - - 3100 => 3B = 32 - 33 + 34 - - 3101 B + 3B = (3 - 33 + 33) - - 3100) + ( 32 - 23 +34 - - 3101) 4B = - 3101 VËy B = ( 3- 3101) : 2 3 Bµi 2: a) ViÕt c¸c tæng sau thµnh mét tÝch: ; ; 2 2004 b) Chøng minh r»ng: A 2 chia hÕt cho 3; vµ 15 Bµi 3: a) ViÕt tæng sau thµnh mét tÝch 99 b) Chøng minh r»ng: B 1 40 Bµi 4: Chøng minh r»ng: 2004 a) S1 5 6;31;156 100 b) S2 2 31 15 c) s3 16 33 Bµi TÝnh c¸c tæng sau b»ng c¸ch hîp lý 2006 100 a) A 2 b) B 1 3 n 2000 c) C 4 d) D 1 200 Bµi Cho A 1 H·y viÕt A+1 díi d¹ng mét luü thõa 2005 Bµi Cho B 3 CMR: 2B+3 lµ luü thõa cña 3 2005 Bµi Cho C 4 CMR: C lµ mét luü thõa cña Bµi 9: Chøng minh r»ng: a) 7 b) 11 c) 10 10 10 222 n 2 n 2 n n * e) 10 59 g) 10n N 13 10 9 h) 81 27 45 i) 55 k) 10 10 10 555 Bµi 10 TÝnh nhanh a S = + + 22 + 23 + + 262 + 263 b S = + +32+ 33+ + 320 c S = + + 42 + 43+ + 449 (18) Bµi 11 TÝnh tæng a) A = + 52 + 54 + 56 + + 5200 b) B = - 74 + 74 - + 7301 Bµi gi¶i: a) A = + 52 + 54 + 56 + + 5200 25 A = 52 + 54+ + 5202 25 A - A = 5202 - VËy A = ( 5202 -1) : 24 304 b) T¬ng tù B = +1 +1 Bµi 3: TÝnh A= B= 1 1 + + + + 100 7 7 4 4 − + - + + 200 5 5 A= + 7A = + + => 7A - A = B= − 5 + 5B = -4 + + B+5B = -4 + B= Bµi gi¶i: 1 + + + 100 7 1 + + 99 72 1 A = − 100 100 7 4 - + + 200 5 4 + + 201 53 ( ) :6 200 (− 4+ 54 ) : 200 Bµi 3: TÝnh 28 24 20 A = 2530 +2528 +2526 + +252 +1 25 +25 +25 + +25 +1 Bµi gi¶i: Biến đổi mẫu số ta có: 2530 + 2528 + 2526 + +252 + = (2528 + 2524 + 2520 + +1)+ ( 2530 + 2526 +2522+ +252) = (2528 + 2524+ 2520+ 1) +252 (2528+ 2526+ 2522+ + 1) = (2528+ 2524 + 2520+ +1) (1 + 252) VËy A = 1+25 = 626 Bµi tËp 11: ViÕt 2100 lµ mét sè cã bao nhiªu ch÷ sè tÝnh gi¸ trÞ cña nã Bµi tËp 13: T×m sè tù nhiªn abc biÕt (a + b + c)3 = abc (a b c) Bµi tËp 14: Cã hay kh«ng sè tù nhiªn abcd (a + b + c + d)4 = abcd (19) C¸c dÊu hiÖu chia hÕt A/ Môc tiªu: -Häc sinh n¾m v÷ng c¸c tÝnh chÊt chia hÕt vµ c¸c tdÊu hiÖu chia hÕt vµo gi¶i bµi tËp -Vận dụng thành thạo các phép biến đổi vào các bài tập số học -Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, t lô gic óc phân tích tổng hợp B/ ChuÈn bÞ: Nội dung chuyên đề, kiến thức cần sử dụng và các bài tập tự luyện C/ Nội dung chuyên đề I/ KiÕn thøc c¬ b¶n 1) Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a và b (b 0 ) a b.q a b a là bội b b là ước a 2) Tính chaát: 1/ Bất số nào khác chia hết cho chính nó 2/ Neáu a b vaø bc ac 3/ Soá chia heát cho moïi soá b khaùc 4/ Bất số nào củng chia hết cho 5/ Neáu a m vaø b m thì a b m vaø a b m 6/ Neáu toång cuûa hai soá chia heát cho m vaø moät hai soá aáy chia heát cho m thì soá coøn laïi cuõng chia heát cho m 7/ Neáu moät hai soá a vaø b chia heát cho m, soá khoâng chia heát cho m thì a +b khoâng chia heát cho m vaø a - b khoâng chia heát cho m 8/ Nếu thừa số tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m 9/ Neáu a m, b n ab mn n n Heä Quaû: Neáu a b a b Neáu a m, a n , (m, n) 1 a mn A/ LYÙ THUYEÁT: Goïi A = an an a2 a1a0 Tacoù : A2 a0 2, A5 a0 5 A4 a1a0 4, A25 a1a0 25 A8 a2 a1a0 8, A125 a2 a1a0 125 A3 an an a2 a1 a0 3 A9 an an a2 a1 a0 9 BAØI TAÄP: 1) Thay các chữ x, y chữ số thích hợp để cho: (20) a/ Soá 275x chia heát cho 5; cho 25; cho125 b/ Soá xy chia heát cho 2, cho4, cho Giaûi: x 0;5 a/ 275x ; b/ 275x 25 x 0 ; 275x 125 x 0 xy 42 x, y 0;1; 2; ;9 xy 44 x 0;1; 2; ;9 , y 0, 2, 4, 6,8 ; xy 48 x 0; 2; 4;6;8 ; y 2;6 x 1;3; 5;7;9 ; y 0; 4;8 : LUYEÄN TAÄP 1) Cho n N, chứng minh rằng: a/ 5n – 1 b/ n2 + n + khoâng chia heát cho c/ 10n - d/ 10n + Giải: a/ + Với n = 0, ta có: 50 – = – = 0 + Với n = 1, ta có: 51 -1 = – = + Với n > 1, ta có: 5n = …5 nên 5n – = …5 – = … 4 Vậy với n N, 5n – 1 b/ Ta có n2 + n = n( n + 1) đây là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, đó n + n + laø soá leõ neân khoâng chia heát cho c/ Ta coù 10n - = 100…0 – = 99… n chữ số n chữ số d/ Ta coù: 10n + = 100…0 + = 100…08 n chữ số n-1 chữ số 2) Chứng minh rằng: a/ 1028 + 72 b/ 88 + 220 17 Giaûi: a/ Ta coù: 1028 + = 100…0 + = 100……08 (1) 28 chữ số 27 chữ số 28 Soá 10 + coù taän cuøng baèng 008 neân chia heát cho (2) Maët khaùc (8;9) = Vaäy 1028 + chia heát cho 72 b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 24 + 20 = 220(24 + 1) = 220 17 17 vaây 88 + 220 chia heát cho 17 3/ CMR với số tự nhiên n thì n + n + không chia hết cho Giaûi: Với số tự nhiên n thì n + n = n(n + 1) đây là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên tận cùng 0; 2; Do đó n + n + tận cùng 6; 8; nên không chia hết cho 4) CMR: a/ 94260 – 35137chia heát cho b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia heát cho vaø (21) Giaûi: a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5 b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - … =….0 Số này có chữ số tận cùng nên chia hết cho và Bµi 1:Chứng minh rằng: a) ab ba chia heát cho 11 b) ab ba Chia hết cho với a > b a) Ta coù ab ba = (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) 11 Vaäy ab ba 11 b) Ta coù : ab ba = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = (a – b) Chuù yù : Neáu ab cd 11 abcd 11 Bµi Cho abc deg 7 Cmr abc deg 7 2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau số tự nhiên có hai chữ số số gồm chính hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại thì số chia hết cho 11 3) Cho số abc27 Chứng minh số bca 27 Giaûi: 1)Ta coù : abc deg 1000abc deg 1001abc ( abc deg ) 7.143abc (abc deg ) Maø : 7.143 abc7 vaø abc deg 7 Vaäy abc deg 7 2) Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: ab ( < a 9, b 9, a,b N) Khi viết thêm số có hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại ta số: abba abba 1000a 100b 10b a 1001a 110b 7.11.13a 11.10b 11 Vaäy : abba 11 3) abc27 abc 027 1000a bc027 999a a bc027 27.37 a bca 27 bca 27 ( Do 27.37a 27) LUYEÄN TAÄP 1) CMR tổng ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng bốn số tự nhiên lieân tieáp thì khoâng chia heát cho 2) CMR Toång cuûa soá chaún lieân tieáp thì chia heát cho 10, coøn toång cuûa soá leõ lieân tieáp thì khoâng chia heát cho 10 3) Tìm n N để: a) 27 – 5n n b) n + n + c) 2n + n – d) 3n + 11 – 2n (22) 4) Cmr neáu ab cd eg 11 thì abc deg 11 5) Cho abc deg 37 Cmr abc deg 37 6) Cho 10 k – 19 với k > CMR: 102k – 19 7) Cho n là số tự nhiên CMR: a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia heát cho b/ n(n + 1) (n + 2) chia heát cho caû vaø 8) Chứng minh ab 2cd abcd 67 Giaûi: 1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2) Thaät vaäy ta coù: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + Ta coù: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + khoâng chia heát cho vì 4n chia heát cho coøn khoâng chia heát cho Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng bốn số tự nhiên liên tieáp thì khoâng chia heát cho 2) Gọi số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + với n là số tự nhiên Ta coù: 2n + 2n + + 2n + + 2n + + 2n + = 10n + 20 = 10(n + 2) 10 Gọi số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + với n là số tự nhiên Ta coù: 2n + + 2n + + 2n + + 2n + + 2n + = 10n + 25 = 10(n + 2) + 10 1;3;9; 27 3) a) 27 – 5n n ; 5n n => 27 n => n Ö(27) = nhöng 5n < 27 neân n < 1;3 Vaäy n b) n + n + => n + + n + 2, maø n +2 n + => n + => n + 1; 2; 4 0; 2 1; c) 2n + n – => 2(n – 2) + n -2 => n - => n – => n 3;9 d*) 3n + 11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n) 11 – 2n => 35 11 – 2n 1;5;7;35 5;3; nhöng vì n < neân n => 11 – 2n 4) Ta coù : abc deg 10000ab 100cd eg 9999ab 99cd (ab cd eg ) Do 999911; 9911;(ab cd eg )11 Vaäy : abc deg 11 5) Tacoù : abc deg 1000abc deg 999abc (abc deg) 27.37abc (abc deg) Do 27.37 abc 37; (abc deg)37; Vaäy : abc deg 37 6) Ta coù: 102k – = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1) Do 10k - 1 19 neân 10k(10k – 1) + (10k – 1) 19 => n (23) Vaây 102k – 19 7) a/ (n + 10 ) (n + 15 ) Khi n chaün => n = 2k (k N) Ta coù: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia heát cho 2.Khi n leõ => n = 2k + (k N) Ta coù: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16) = 2(2k + 11 )(k + 8) chia heát cho Vaây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia heát cho b/ Ñaêt A = n (n + 1)(n + 2) + Trong hai số tự nhiên liên tiếp có số chẳn và số lẽ, số chẳn chia hết cho nên A chia heát cho + Trường hợp: n = 3k (k N) thì n chia hết cho nên A chia hết cho (1) Trường hợp: n không chia hết cho thì n = 3k + n = 3k + Khi n = 3k + => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia heát cho neân A chia heát cho (2) Khi n = 3k + => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia heát cho neân A chia heát cho (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho Vaäy A chia heát cho caû vaø 8) Ta coù abcd 100ab cd Maø: ab 2cd Suy ra: abcd 2cdcd 200cd cd 201cd 3.67cd 67 abcd 67 Vaäy: Bài Dùng ba chữ số 9, ,5 để ghép thành các số co ba chữ số thỏa mãn các điều kiên sau: a) Số đó chia hết cho 5; a) Số đó chia hết cho và cho Giải a) Một số chia hết cho thì số đó tận cùng có ba số có chữ số chia hết cho là: 950 ; 590 ; 905 b)Một số chia hết cho và cho thì số đó tận cùng có hai số có chữ số chia hết cho và cho là: 950 ; 590 ; Bài Cho số 123 x 43 y hãy thay x,y các chữ số để số đã cho chia hết cho và ⋮ nên y = y = Giải Số 123 x 43 y Với y = , ta có số 123 x 430 số này phải chia hết cho , nên + + + x + 4+ +3 ⋮ hay 12 + (x+ 1) ⋮ , 1≤ x + ≤ 10 ,nên x + = ; ; - Nếu x + = thì x = ,ta 1232430 - Nếu x + = thì x = ,ta 1235430 - Nếu x + = thì x = ,ta 1238430 (24) Với y = , ta có số 123 x 435 số này phải chia hết cho , nên + + + x + 4+ +3 + ⋮ hay 18 + x ⋮ ,nên x = ; ; ; ta có các số sau : 1230435; 1233435; 1236435 và 1239435 Bài 5: Điền chữ số vào dấu * để số : ¿ a) Chia hết cho : ∗ 46 ; 199∗ ; 20 ∗1 ; a) Chia hết cho : 16 ∗5 ¿ ¿ ; 174 ∗ ; 53 ∗6 ; ¿ Dùng ba số 5,6,9 để ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số: a) Lớn và chia hết cho 5; a) Nhỏ và chia hết cho 2; Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho vừa chia hết cho và 1995 ≤ n ≤2001 Chứng tỏ năm số tự nhiên liên tiếp luốn có số chia hết cho 5 Chứng tỏ rằng: a) Trong ba số tự nhiên bất kì chọn hai số có hiệu chia hết cho 2; b) Trong sáu số tự nhiên bất kì chọn hai số có hiệu chia hết cho 5; Chứng tỏ rằng: a) (5n + )(4n + 6) ⋮ với số tự nhiên n; b) (8n + )(6n + 5) với số tự nhiên n; Người ta viết các số tự nhiên tùy ý cho số các số lẻ gấp đôi số các số chẵn tổng các số đã viết có chia hết cho hay không? Vì sao? Có tờ giấy người ta xé tờ giấy đó thành mảnh lại lấy số mảnh giấy nào đó, xé mảnh thành mảnh.cứ sau số lần , người ta đếm 2001 mảnh giấy.hỏi người ta đếm đúng hay sai? Cho sáu chữ số : , ,5 ,6 ,7 ,9 a) cố bao nhiêu số có ba chữ số ,các chữ số số khhacs nhau, lập thành từ các chữ số trên? b) Trong các số lập thành có bao nhiêu số nhỏ 400? Bao nhiêu số là số lẻ ? bao nhiêu số chia hết cho 5? Bài tập cñng cè: 1.Điền chữ số vào dấu * để: a) 2001 + 2∗ chia hết cho 3; b) ∗793 ∗ chia hết cho 9; Điền chữ số vào dấu * để số chia hết cho mà không chia hết cho : ¿ 51∗ ¿ và ¿ 745 ∗ ¿ 3.Dùng ba chữ số 3,6,9,0 hãy ghép thành số tự nhiên có ba chữ số cho số đó: a) Chia hết cho 9; b) Chia hết cho mà không chia hết cho ⋮ Phải thay các chữ số x, y chữ số nào để số 123 x 44 y Tổng (hiệu) sau có chia hết cho , cho không? 102001 + ; 102001 – Tìm các chữ số x,y biết số 56 x y chia hết cho và (25) Tìm các chữ số x,y biết số 71 x y chia hết cho 445 Tìm tất các số có dạng a 14 b , biết số đó chai hết cho , cho và cho Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , đó có chữ số chia hết cho , biết tổng hai số đó thỏa mãn các điều kiện sau: a) Là só có ba chữ số; b) Là số chia hết cho 5; c) Tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là số chia hết cho 9; d) Tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục là số chia hết cho 4; C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh chia hÕt Phơng pháp 1: để chứng minh Ab ( b 0 ) Ta biểu diễn A b.k đó k N 100 Bµi 1: Cho n N Chøng minh r»ng: (5n) 125 2004 Bµi 2: Cho A 2 Chøng minh r»ng: a) A6 b) A7 c) A30 1998 Bµi 3: Cho S 3 Chøng minh r»ng : a) S 12 b) s39 100 Bµi 4: Cho B 3 Chøng minh r»ng: B120 Bµi 5: Chøng minh r»ng 36 10 10 a) 36 45 b) 55 c) 7 54 24 10 63 13 d) 11 e) 24 54 72 g) 81 27 45 10 11 12 h) 6n N i) (2 ) : lµ mét sè tù nhiªn Ph¬ng ph¸p 2: Sö dông hÖ qu¶ tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng NÕu a b m vµ a m b m Ph¬ng ph¸p 3: §Ó chøng minh mét biÓu thøc chø ch÷ (Gi¶ sö chøa n) chia hÕt cho b ( b 0 )Ta cã thÓ xÐt mäi trêng hîp vÒ sè d chia n cho b Bµi 6: a) Chøng minh r»ng: TÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho b) Chøng minh r»ng: TÝch cña ba sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho c) Chøng minh r»ng: TÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 24 d) Chøng minh r»ng: TÝch cña sè tù nhiªn liªn liÕp chia hÕt cho 120 (Chú ý: Các bài toán trên đây đợc sử dụng chứng minh chia hết, không cần CM lại) Bµi 7: Chøng minh r»ng: a) (5n 7)(4n 6) 2n N b) (8n 1)(6n 5) kh«ng chia hÕt cho N Bµi 8: Chøng minh r»ng: A n(n 1)(2n 1)6n N 2 Bµi 9: a) Cho n N Chøng minh r»ng: n 3 hoÆc n chia d b) CMR: Không tồn n N để n 300 n 3 n 1 n 3 n 2 2 Bµi 10: Chøng minh r»ng: m, n N ta lu«n cã m.n(m n ) 3 2006 2005 Bµi 11: Chøng minh r»ng: (n 2005 )(n 2006 )2n N n 20042004 2004 15 so 2004 Bài 12: CMR không tồn n N để Phơng pháp 4: Để chứng minh Ab Ta biểu diễn b dới dạng b m.n Khi đó + NÕu (m, n)=1 th× t×m c¸ch chøng minh Am vµ An Am.n hay Ab + NÕu (m; n) 1 ta biÓu diÔn A a1.a2 råi t×m c¸ch chøng minh a1 m; a2 n th× tÝch a1.a2 m.n tøc Ab Bµi 13: a) Chøng minh r»ng: TÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho b) Chøng minh r»ng: TÝch cña ba sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho c) TÝch cña bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 24 (26) d) TÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 120 Bµi 14 : Chøng minh r»ng: nÕu a lµ mét sè lÎ kh«ng chia hÕt cho th× a 16 Bµi 15: a) Chøng minh r»ng: TÝch cña hai sè ch½n liªn tiÕp th× chia hÕt cho b) Chøng minh r»ng: TÝch cña ba sè ch½n liªn tiÕp th× chia hÕt cho 48 c) Chøng minh r»ng: TÝch cña bèn sè ch½n liªn tiÕp th× chia hÕt cho 384 n Bµi 16 : Chøng minh r»ng: B 10 18n 127 Bµi 16: Chøng minh r»ng: n a) 10 36n 127n N ; n 2 11 27 b) sè 27 c / s1 Ph¬ng ph¸p 5: Dïng dÊu hiÖu chia hÕt 1020006 872 Bµi 17: Chøng minh r»ng: 55 Bµi 18: Chøng minh r»ng: a) Sè nc / s kh«ng chia hÕt cho 125 ( n 37 23 b) 10 9 c) 37 23 10 Bµi 19:Chøng minh r»ng: 33 a) 10 82;9 10 b) 10 143; 50 25 c) 10 53;5 d) 10 262;9 Bµi 20: T×m hai sè tù nhiªn liªn tiÕp cã ba ch÷ sè biÕt r»ng mét sè chia hÕt cho 125, sè chia hÕt cho Bµi 21: Chøng minh r»ng n N th× n1 n 2 n1 a) 35 b) 15 c) 110 4n n1 d) 15 e) 25 10 10 Bµi 22 : Chøng minh r»ng (2 1) 25 Bµi 23: Cho sè tù nhiªn ab b»ng ba lÇn tÝch c¸c ch÷ sè cña nã a) Chøng minh r»ng: ba b) Gi¶ sö b=k.a Chøng minh r»ng k lµ íc cña 10 c) T×m c¸c sè ab nãi trªn Phơng pháp 6: để chứng minh Ab ta biểu diễn A A1 A2 An và chứng minh các Ai (i 1, n)b Bµi 1: CMR: a) n N th× b) a, b, n N th× 88 n 9 A 2.n 11 3 nc / s1 B (10n 1).a (11 n).b 9 nc / s1 c) nc / s8 Bài 24: Hai số tự nhiên a và 2a có tổng các chữ số k Chứng minh a9 Bài 25: Tìm các chữ số x, y để 1994 xy72 C¸c bµi to¸n tæng hîp: Bài 1: Tìm n N để a) n 6n b) 4.n 5n d) n 5n 1 e) 3n 4n Bài 2: Tìm n N để: c) 38 3nn g) 2n 116 3n (27) 2 a) 3n 2n b) n 2n 7n c) n 1n d) n 8n e) n 6n g) 4n 52n h) 12 n8 n i) 20n k) 28n l) 113 n7 m) 113 n13 Bài 3: Tìm n N để các phân số sau có giá trị là số tự nhiên n2 a) b) n n 1 c) n 2n n d) Bài 4: Tìm n N để a) 4n 513 b) 5n 17 c) 25n 353 d) 18n 37 Bµi 5: T×m sè tù nhiªn n cho c¸c ph©n sè sau cã gi¸ trÞ lµ sè tù nhiªn 3n a) n 2n 13 d) n n 13 b) n 3n e) n 3n 15 c) n 6n g) 2n Bµi 6: T×m c¸c sè tù nhiªn n cho a) n 11n b) nn 2 c) n 2n 6n d) n n 1n 20 Bµi 4: Chøng minh r»ng: 17 Bµi 5: Chøng minh r»ng: m 4n 13 10m n 13 m, n N Bµi 6: Cã hay kh«ng hai sè tù nhiªn x, y cho ( x y)( x y) 2002 Bµi : Chøng minh r»ng nÕu ab cd 11 th× abcd 11 Bài : Cho hai số tự nhiên abc và deg chia 11 d Chứng minh số abc deg 11 Bµi 10 : Cho abc deg 13 Chøng minh r»ng: abc deg 13 Bµi 11:Cho biÕt sè abc7 Chøng minh r»ng: 2a 3b c 7 Bài 12 : Cho số abc4 đó a, b là các chữ số chẵn Chứng minh rằng: a) c4 b) bac4 Bµi 13: T×m c¸c ch÷ sè a, b cho a b 4;7a5b13 Bµi 14: Cho 3a 2b 17(a, b N ) Chøng minh r»ng: 10a b17 Bµi 15:Cho a 5b 17(a, b N ) Chøng minh r»ng: 10a b 17 n Bµi 16: Chøng minh r»ng: 9.10 1827 n N Bµi 17: Chøng minh r»ng: nÕu abcd 99 th× ab cd 99 vµ ngîc l¹i Bµi 3: BiÕt a b 7 Chøng minh r»ng: aba7 Bµi 4: BiÕt a b c 7 Chøng minh r»ng: nÕu abc7 th× b=c Bµi 5: T×m sè tù nhiªn ab cho 567a9b45 Bµi 6: T×m c¸c cÆp sè tù nhiªn (a,b) cho 1 b a) a a b) b (28) Bµi 7: Cho sè N dcba Chøng minh r»ng: a) N 4 a 2b 4 b) N 8 a 2b 4c 8 c) N 16 a 2b 4c 8d 16 víi b ch½n Bµi 8: Chøng minh r»ng: a) x y 17 x y 17 b) a 4b 13 10a b 13 c) a 2b17 10a b17 Bµi 9: Chøng minh r»ng: n a) 10 72n 181n N 11 81 b) 81c / s1 Bµi 11: Chøng minh r»ng mét sè cã hai ch÷ sè chia hÕt cho vµ chØ tæng cña ch÷ sè hàng chục và lần chữ số hàng đơn vị chia hết cho Bµi 12: Víi a, b lµ c¸c ch÷ sè kh¸c Chøng minh r»ng: a) abba11 b) aaabbb37 c) ababab7 d) abab baba 9 vµ 101 víi a>b Bµi 13: Cho số tự nhiên A, Ngời ta đổi chỗ các chữ số số A để đợc số B gấp ba lần số A Chứng minh r»ng B chia hÕt cho 27 (29) SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ A/ LYÙ THUYEÁT: + Số nguyên tố là số tự nhiên lớn và có hai ước là và chính nó + Hợp số là số tự nhiên lớn có nhiều hai ước + Để chứng tỏ số tự nhiên a > là hợp số, cần ước khác và a Chuù yù: 10n = 10….0 = 2n.5n n chữ số + Cách xác định số lượng ước số: Khi phân tích M thừa số nguyên tố, ta có M = ax.by….cz thì các ước M là (x + 1)(y + 1)…(z + 1) + Nếu ab P với P là số nguyên tố thì a P b P Ñaëc bieät: Neáu an P thì a P B/ VÍ DUÏ: D¹ng 1: Bµi 1: Tæng (hiÖu) sau lµ sè nguyªn tè hay hîp sè: a/ 3150 + 2125 b/ 5163 + 2532 c/ 19 21 23 + 21 25 27 d/ 15 19 37 – 225 Bµi 2: Chøng tá r»ng c¸c sè sau ®©y lµ hîp sè: a/ 297; 39743; 987624 b/ 111…1 cã 2001 ch÷ sè hoÆc 2007 ch÷ sè c/ 8765 397 639 763 Híng dÉn a/ Các số trên chia hết cho 11 Dùng dấu hiệu chia hết cho 11 đê nhận biết: Nếu số tự nhiên có tổng các chữ số đứng vị trí hàng chẵn tổng các chữ số hàng lẻ ( số thứ tự đợc tính từ trái qua phải, số đầu tiên là số lẻ) thì số đó chia hết cho 11 Chẳng hạn 561, 2574,… b/ Nếu số đó có 2001 chữ số thì tổng các chữ số nó 2001 chia hết cho Vậy số đó chia hết cho Tơng tự số đó có 2007 chữ số thì số đó chia hết cho c/ 8765 397 639 763 = 87654.100001 lµ hîp sè Bµi 3: Chøng minh r»ng c¸c tæng sau ®©y lµ hîp sè a/ abcabc b/ abcabc 22 (30) c/ abcabc 39 Híng dÉn a/ abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + a 102 + b.10 + c + = 100100a + 10010b + 1001c + = 1001(100a + 101b + c) + V× 1001 1001(100a + 101b + c) vµ 7 Do đó abcabc 7, abcabc là hợp số b/ abcabc 22 = 1001(100a + 101b + c) + 22 1001 11 1001(100a + 101b + c) 11 vµ 22 11 Suy abcabc 22 = 1001(100a + 101b + c) + 22 chia hÕt cho 11 vµ abcabc 22 >11 nªn abcabc 22 lµ hîp sè c/ T¬ng tù abcabc 39 chia hÕt cho 13 vµ abcabc 39 >13 nªn abcabc 39 lµ hîp sè Bài 4: a/ Tìm số tự nhiên k để số 23.k là số nguyên tố b/ T¹i lµ sè nguyªn tè ch½n nhÊt? Híng dÉn a/ Víi k = th× 23.k = kh«ng lµ sè nguyªn tè víi k = th× 23.k = 23 lµ sè nguyªn tè Víi k>1 th× 23.k 23 vµ 23.k > 23 nªn 23.k lµ hîp sè b/ là số nguyên tố chẵn nhất, vì có số chẵn lớn thì số đó chia hết cho 2, nên íc sè cña nã ngoµi vµ chÝnh nã cßn cã íc lµ nªn sè nµy lµ hîp sè Bµi 5: T×m mét sè nguyªn tè, biÕt r»ng sè liÒn sau cña nã còng lµ mét sè nguyªn tè Híng dÉn Ta biÕt hai sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê còng cã mét sè ch½n vµ mét sè lÎ, muèn c¶ hai lµ sè nguyªn tè th× ph¶i cã mét sè nguyªn tè ch½n lµ sè VËy sè nguyªn tè ph¶i t×m lµ Dạng 2: Dấu hiệu để nhận biết số nguyên tố Ta có thể dùng dấu hiệu sau để nhận biết số nào đó có là số nguyên tố hay không:“ Số tự nhiªn a kh«ng chia hÕt cho mäi sè nguyªn tè p mµ p2 < a th× a lµ sè nguyªn tè VD1: Ta đã biết 29 là số nguyên tố Ta cã thÓ nhËn biÕt theo dÊu hiÖu trªn nh sau: - Tìm các số nguyên tố p mà p2 < 29: đó là các số nguyên tố 2, 3, (72 = 49 19 nên ta dừng lại sè nguyªn tè 5) (31) - Thö c¸c phÐp chia 29 cho c¸c sè nguyªn tè trªn Râ rµng 29 kh«ng chia hÕt cho sè nguyªn tè nµo c¸c sè 2, 3, VËy 29 lµ sè nguyªn tè VD2: Hãy xét xem các số tự nhiên từ 1991 đến 2005 số nào là số nguyên tố? Híng dÉn - Tríc hÕt ta lo¹i bá c¸c sè ch½n: 1992, 1994, ., 2004 - Lo¹i bá tiÕp c¸c sè chia hÕt cho 3: 1995, 2001 - Ta cßn ph¶i xÐt c¸c sè 1991, 1993, 1997, 1999, 2003 è nguyªn tè p mµ p2 < 2005 lµ 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 - Sè 1991 chia hÕt cho 11 nªn ta lo¹i - Các số còn lại 1993, 1997, 1999, 2003 không chia hết cho các số nguyên tố tên Vậy từ 1991 đến 2005 có số nguyên tố là 1993, 1997, 1999, 2003 C.HDVN: xem lại bài đã chữa,nắm vững dấu hiệu nhận biết số nguyên tố,hợp số Bài tập Ví duï 1: Cho A = + 52 + 53 +……+5100 a) Số A là số nguyên tố hay hợp số? b) Soá A coù phaûi laø soá chính phöông khoâng? Giải: a) Có A > 5; A ( Vì số hạng chia hết cho 5) nên A là hợp số b) Coù 52 25, 53 25;… ;5100 25, nhöng 25 neân A 25 Soá A nhöng A 25 neân A khoâng laø soá chính phöông Ví dụ 2: Số 54 có bao nhiêu ước Giải: Có: 54 = 33 Số ước 54 là: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = ước 1; 2;3; 6;9;18; 27;54 Tập hợp các ước 54 là: Ư(54) = Ví duï 3: Tìm soá nguyeân toá p cho p + , p + cuõng laø soá nguyeân toá Giải: Vì p là số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k là số tự nhieân Nếu p = 3k thì p = (Vì p là số nguyên tố) => p + = 5; p + = là số nguyên tố Nếu p = 3k + thì p + = 3k + chia hết cho và lớn nên p + là hợp số, trái với đề baøi Nếu p = 3k + thì p + = 3k + chia hết cho và lớn nên p + là hợp số, trái với đề baøi Vaäy p = laø soá nguyeân toá caàn tìm C/ BAØI TAÄP: 1) Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nhỏ ba số đó? 2) Toång cuûa hai soá nguyeân toá coù theå baèng 2003 hay khoâng? 3) Tìm soá nguyeân toá p, cho caùc soá sau cuõng laø soá nguyeân toá (32) a)p + vaø p + 10 b)P + 10 vaø p + 20 4) Cho p là số nguyên tố lớn Biết p + là số nguyên tố Chứng minh p + 1chia heát cho 5) Cho p và p + là các số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + là hợp số 6) Cho a, n N*, biết an Chứng minh: a2 + 150 25 Giaûi: 1) Tổng số nguyên tố 1012 là số chẳn nên ba số nguyên tố đó phải có moät soá chaún đó là số số là số nhỏ ba số nguyên tố đã cho 2) Tổng hai số nguyên tố có thể 2003 là số lẽ nên hai số nguyên tố đó phải là số đó số thứ hai là: 2003 – = 2001 chia hết cho nên là hợp số Vaäy khoâng toàn tai hai soá nguyeân toá coù toång baèng 2003 3) a/ Vì p là số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k là số tự nhieân Nếu p = 3k thì p = (Vì p là số nguyên tố) => p + = 5; p + 10 = 13 là số nguyên tố Nếu p = 3k + thì p + = 3k + chia hết cho và lớn nên p + là hợp số, trái với đề baøi Nếu p = 3k + thì p + 10 = 3k + 12 chia hết cho và lớn nên p + 10 là hợp số, trái với đề bài Vaäy p = laø soá nguyeân toá caàn tìm b/ Vì p là số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k là số tự nhieân Nếu p = 3k thì p = (Vì p là số nguyên tố) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 là số nguyên tố Nếu p = 3k + thì p + 20 = 3k + 21 chia hết cho và lớn nên p + 20 là hợp số, trái với đề bài Nếu p = 3k + thì p + 10 = 3k + 12 chia hết cho và lớn nên p + 10 là hợp số, trái với đề bài Vaäy p = laø soá nguyeân toá caàn tìm 4) Do p là số nguyên tố lớn nên p lẽ, => p + là số chẵn nên p + p là số nguyên tố lớn nên có dạng 3k + 3k + (k N) Daïng p = 3k + khoâng xaõy Daïng p = 3k + cho ta p + = 3k + (2) Từ (1) và (2) suy p + 5) p là số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k + 3k + (k N) (1) (33) Nếu p = 3k + thì p + = 3k + chia hết cho nên là hợp số, trái với đề bài Vậy p có dạng 3k + đó p + = 3k + chia hết cho nên p + là hợp số 6) Coù an maø laø soá nguyeân toá neân a => a2 25 Maët khaùc 150 25 neân a2 + 150 25 Bµi 1: T×m hai sè nguyªn tè biÕt tæng cña chóng b»ng 2005 Bài 2: Tìm các số nguyên tố p để p 11 là số nguyên tố nhỏ 30 100 Bµi 3: Cho A 5 a) Sè A lµ sè nguyªn tè hay hîp sè b) Sè A cã lµ sè chÝnh ph¬ng kh«ng ? Bµi 4: Tæng hiÖu sau lµ sè nguyªn tè hay hîp sè a) A 13.15.17 91 b) B 2.3.5.7.11 13.17.19.21 c) C 12.3 3.41 240 d) D 45 36 72 81 e) E 91.13 29.13 12.13 g) G 4.19 5.4 3 h) H 3 3.17 34.3 i) I 7 k) A 1.3.5.7 13 20 l) B 147.247.347 13 * Bµi 5: Cho n N Chøng minh r»ng sè A 11 1211 lµ hîp sè Bµi 6: a) Cho n lµ mét sè kh«ng chia hÕt cho Chøng minh r»ng: n chia d nc / s1 nc / s1 b) Cho p lµ sè nguyªn tæ lín h¬n Hái p 2003 lµ sè nguyªn tè hay hîp sè ? 2 Bµi 7: Cho n N ; n vµ n kh«ng chia hÕt cho Chøng minh r»ng: n vµ n kh«ng thÓ đồng thời là số nguyên tố Bµi 8: Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n * a) Chøng tá r»ng: p cã d¹ng 6k hoÆc 6k víi k N b) BiÕt p còng lµ sè nguyªn tè Chøng minh r»ng: p lµ hîp sè Bài 9: Cho p và p là số nguyên tố (p>3) Hỏi p+100 là số nguyên tố hay hợp số Bµi 10: Cho n 29k víi k N Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× n: a) Lµ sè nguyªn tè b) Lµ hîp sè c) Kh«ng lµ sè nguyªn tè còng kh«ng lµ hîp sè Bµi 11: Chøng minh r»ng: nÕu 8p-1 vµ p lµ sè nguyªn tè th× 8p+1 lµ hîp sè Bài 12: Tìm tất các số nguyên tố p, q cho p q và pq 11 là số nguyên tố Bài 13: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp là số nguyên tố Bµi 14: T×m sè nguyªn tè p cho a) p lµ sè nguyªn tè b) p+8 và p+10 là số nguyên tố Bài 16: Cho n 2.3.4.5.6.7 CMR: số tự nhiên liên tiếp sau là hợp số: n+2; n+3; n+4; n+5; n+6; n+7 Bài 17: Tìm số nguyên tố p cho p 6; p 8; p 12; p 14 là số nguyên tố Bµi 18:Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n Chøng minh r»ng: ( p 1)( p 1) chia hÕt cho 24 Bµi 19:Cho p vµ 2p+1 lµ hai sè nguyªn tè (p>3) Chøng minh r»ng: 4p+1 lµ hîp sè Bµi 20:Cho p vµ 10p+1 lµ hai sè nguyªn tè (p>3) Chøng minh r»ng: 5p+1 lµ hîp sè Bài 21:Chứng minh với số nguyên tố p >3, ba số p, p+2, p+4 không thể đồng thời là nh÷ng sè nguyªn tè (34) n n Bài 22: Hai số và với n >2 có thể đồng thời là số nguyên tố hay đồng thời là hợp số đợc không ? Bài 23: Tìm số nguyên tố p để có a) p+10 và p+14 là số nguyên tố b) p+2; p+6 và p+8 là số nguyên tố c) p+6;p+12; p+24; p+38 là số nguyên tố d) p+2; p+4 còng lµ sè nguyªn tè Bµi 24: T×m c¸c sè nguyªn tè a, b, c cho 2a 3b 6c 78 Bµi 25: CMR: 2001.2002.2003.2004 +1 lµ hîp sè Bµi 26: T×m sè nguyªn tè p cho p 44 lµ sè nguyªn tè 100 100 Bài 27: CMR: Hai số 1994 và 1994 không thể đồng thời là số nguyên tố Bµi 28: T×m sè nguyªn tè p cho p 94 vµ p+1994 còng lµ sè nguyªn tè p Bài 29: Tìm tất các số nguyên tố p để p là số nguyên tố (35) ¦íc chung vµ béi chung, ¦CLN, BCNN A/ Môc tiªu: -Học sinh nắm vững định nghĩa và các tính chất ớc chung, ƯCLN, bội chung, BCNN vµo gi¶i bµi tËp -VËn dông thµnh th¹o c¸c tÝnh chÊt vÒ chia hÕt vµo c¸c bµi tËp -Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, t lô gic óc phân tích tổng hợp B/ ChuÈn bÞ: Nội dung chuyên đề, kiến thức cần sử dụng và các bài tập tự luyện C/ Nội dung chuyên đề I/ KiÕn thøc c¬ b¶n 1- TÝnh chÊt chia hÕt liªn quan a m a ⋮ n => a ⋮ m.n (m,n)=1 a.b ⋮ m => b ⋮ m (a, m) =1 Bµi 1: T×m ¦CLN cña d/ ¦CLN(1800,90) = 90 v× 1800 chia hÕt a/ 12, 80 vµ 56 cho 90 b/ 144, 120 vµ 135 Bµi 2: T×m c/ 150 vµ 50 a/ BCNN (24, 10) d/ 1800 vµ 90 b/ BCNN( 8, 12, 15) Híng dÉn Híng dÉn a/ 12 = 22.3 80 = 24 56 = 33.7 a/ 24 = 23 3; 10 = VËy ¦CLN(12, 80, 56) = 22 = BCNN (24, 10) = 23 = 120 b/ 144 = 24 32 120 = 23 135 = 33 b/ = 23 ; 12 = 22 ; 15 = 3.5 VËy ¦CLN (144, 120, 135) = BCNN( 8, 12, 15) = 23 = 120 c/ ¦CLN(150,50) = 50 v× 150 chia hÕt cho 50 5/ Tìm số tự nhiên a là lớn biết 480 ⋮ a 600 ⋮ a Hướng dẫn : vì 480 ⋮ a 600 ⋮ a và a là lớn Nên a ƯC LN (480,600) Ta có 480= 25.3.5 600 = 23.3.52 => ƯCLN (480,600) =23.3.5= 120 Vậy a =120 6/ Tìm số tự nhiên x biết 126 ⋮ x 210 ⋮ x và 15 < x < 30 (36) Hướng dẫn: Vì 126 ⋮ x 210 ⋮ x và 15 < x < 30 nên x Ư C (126,210) và 15 < x <30 Ta có 126= 2.3 210 = 2.3.5.7 => Ư C (126,210) = 2.3.7 = 42 Do đó Ư C (126,210) =ƯC (42) = { 1,2,3,6,7, 14 , 21 , 42 } Vì 15 < x < 30 nên x =21 7/ Tìm số tự nhiên a nhỏ khác biết a ⋮ 15 a ⋮ 18 Hướng dẫn : Vì a ⋮ 15 a ⋮ 18 a nhỏ khác nên a BCNN(15,18) 2 Ta có 15 =3.5 18 = 2.3 => BCNN(15,18) = 2.3 = 90 Vậy a = 90 8/ Tìm các bội chung 15 và 25 mà nhỏ 400 Hướng dẫn: Ta có : 15=3.5 25= 52 => BCNN(15,25) = 3.52 =75 Nên BCNN(15,25) = B(75) = { , 75 ,150 , 225 , 300 ,375 , 450 , } Các bội chung 15 và 25 mà nhỏ 400 là 0, 75, 150, 225,300, 375 Ví dụ1 Tìm số tự nhiên a biết chia 39 cho a thì dư 4, còn chia 48 cho a thì dư Giải Chia 39 cho a thì dư , nên a là ước 39 – = 35 và a > chia 48 cho a thì dư nên a là ước 48 – = 42 và a > đó a là ước chung 35 và 42 dông thồng a > Ư(35) = { 1, 5, 7, 35} ; Ư(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42} ƯC(35,42) = { 1,7} Vậy a = Ví dụ 2Tìm số tự nhiên a, biết chia 264 cho a thì dư 24 , còn chia363 cho a thì dư 43 D¹ng 3: C¸c bµi to¸n thùc tÕ Bµi 1: Mét líp häc cã 24 HS nam vµ 18 HS n÷ Cã bao nhiªu c¸ch chia tæ cho sè nam vµ sè nữ đợc chia vào các tổ? Bài 2: Một đơn vị đội xếp hàng, hàng có 20 ngời, 25 ngời, 30 ngời thừa 15 ngời Nếu xếp hàng 41 ngời thì vừa đủ (không có hàng nào thiếu, không có ngoài hàng) Hỏi đơn vị có bao nhiêu ngời, biết số ngời đơn vị cha đến 1000? Hớng dẫnGọi số ngời đơn vị đội là x (x N) x : 20 d 15 x – 15 20 x : 25 d 15 x – 15 25 x : 30 d 15 x – 15 30 Suy x – 15 lµ BC(20, 25, 35) Ta cã 20 = 22 5; 25 = 52 ; 30 = 5; BCNN(20, 25, 30) = 22 52 = 300 BC(20, 25, 35) = 300k (k N) x – 15 = 300k x = 300k + 15 mµ x < 1000 nªn 300k + 15 < 1000 300k < 985 k < Suy k = 1; 2; ChØ cã k = th× x = 300k + 15 = 615 41 17 60 (k N) (37) Vậy đơn vị đội có 615 ngời Bµi 3: khèi – – theo thø tù cã 300 häc sinh- 276 häc sinh – 252 häc sinh xÕp hµng dọc để điều hành cho hàng dọc khối nh Có thể xếp nhiều thành hàng dọc để khối không lẻ ? kho đó khối có bao nhiêu hàng ngang? Bài 4: Có 100 và 90 bút chì đợc thởng cho số học sinh còn lại và 18 bút chì không đủ chia Tính số học sinh Gi¶i: Gäi sè häc sinh lµ a: => 100 – ⋮ a; 90 – 18 ⋮ a Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ 500 cho chia nó cho 15, cho 35 đợc các số d là và 13 Gi¶i Gäi sè ph¶i t×m lµ a => a- ⋮ 15 => a – + 30 ⋮ 15 => a + 22 ⋮ 35 a – 13 ⋮ 35 a – 13 + 35 ⋮ 35 a + 22 ⋮ 15 Bµi 6: T×m d¹ng chung cña sè tù nhiªn a cho chia 4; 5; lÇn lît cã sè d lµ 3; 4; vµ chia hÕt cho 13 Gi¶i ; a + BC (4; 5; 6) => a + ⋮ 60 => a + – 300 ⋮ 60 => a – 299 ⋮ 60 vµ a ⋮ 13 a – 13 23 ⋮ 13 a – 299 ⋮ 13 => a – 299 ⋮ BCNN (60; 13) a – 299 ⋮ 780 => a = 780b + 299 (b N) Bµi 7: T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt chia cho 5; cho 7; d lµ 3; 4; Gi¶i ; Gäi sè ph¶i t×m lµ A => 2a chia cho 5; 7; d 2a – = BCNN (5; 7; 9) = 315 2a – = 315 => a = 158 Bài 8: Số HS trờng khoảng từ 2500 đến 2600 Nếu toàn thể HS trờng xếp hàng th× thõa mét b¹n, xÕp hµng th× thõa b¹n, xÕp hµng th× thõa b¹n, xÕp hµng th× thõa b¹n TÝnh sè HS cña trêng ? Lêp gi¶i: Gäi sè HS cña trêng lµ x (x N, 2500 < x < 2600) Tõ gi¶ thiÕt suy a + lµ sè chia hÕt cho c¶ 3, 4, vµ Mµ BCNN(3,4,5,7) = 420 nªn a + chia hÕt cho 420, v× 2503 chia cho 420 b»ng d 403 vµ 2601 chia 420 b»ng d 81 nªn a + = 420.6 tøc lµ a = 2518 VËy sè HS cña trêng lµ 2518 em Bµi 9: Mét thiÕt bÞ ®iÖn tö 605 ph¸t tiÕng bÝp; chiÒu thø 625 bÝp lóc 10h s¸ng c¶ cïng kªu hái lóc mÊy giê c¶ cïng kªu (10h 31p) Bài 10: Số HS trờng THCS là số tự nhiên nhỏ có chữ số mà chia số đó cho cho 6, cho d Gäi sè HS cña trêng lµ x (x N) x : d x – 5 (38) x : d x – 6 x : d x – 7 Suy x – lµ BC(5, 6, 7) Ta cã BCNN(5, 6, 7) = 210 BC(5, 6, 7) = 210k (k N) x – = 210k x = 210k + mµ x sè tù nhiªn nhá nhÊt cã ch÷ sè nªn x 1000 suy 210k + 1000 k 53 70 (k N) nªn k nhá nhÊt lµ k = Vậy số HS trờng đó là x = 210k + = 210 + = 1051 (học sinh) Bµi 11 Có 100 và 90 bút bi Cô giáo chủ nhiểm muốn chia số và bút thành số phần thưởng gôm và bút để phát phần thuopwngr cho học sinh Như thì còn lại và 18 bút bi không thể chia cho các học sinh.tính sô học sinh thưởng? Bµi 12 Có số sách giáo khoa Nếu xếp thành chồng 10 thì vừa hết ,thàng chồng 12 thì thừa cuốn, thành chồng 18 thì thừa biết số sách khoảng từ 715 đến 1000 cuốn.tìm số sách đó Bµi 13 Một lớp học có 28 nam và 24 nữ.có bao nhiêu cách chia số học sinh lớp thành các tổ cho số nam và nữ chia cho các tổ Bµi 14 Người ta muốn chia 240 bút bi , 210 bút chì và 180 tập giấy thành số phần thưởng Hỏi có thể chia nhiều là bao nhiêu phần thưởng,mỗi phần thưởng Có bao nhiêu bút bi , bút chì, tập giấy? Bµi 15: Một số tự nhiên chia cho 2, cho , cho , cho , cho dư , chia cho thì không còn dư a) Tìm số nhỏ có tính chất trên a) Tìm dạng chung các số có tính chất trên Giải a) Gọi x là số phải tìm thì x – ⋮ ( ,3 ,4, , 6) nên x – là bội chung 2, 3, 4, 5, BCNN ( 2,3,4,5,6) = 60 Vậy x – nhận các giá trị: 60 ,120,180,240,300,… đó x nhân các giá trị: 61 ,121 , 181,241,301,… Trong các số trên, số nhỏ chia hết cho là số 301 a) Vì x – là bội 60 nên x- = 60n hay x = 60n + (n N*) và x ⋮ ta có : x = 60n + = 7.8n – + (n + 2) Vì 7.8n ⋮ ,do đó để x ⋮ thì phải có 4(n + 2) ⋮ hay n + ⋮ dặt n + = 7k thì n = 7k – (k N*) x = 60n + = 60 (7k - 2) + = 420k – 119 để tìm x ta việc cho k các giá trị : k = 1, 2, 3, … Bµi 17 Ba em An , Bảo , Ngọc cùng học trường lớp khác An ngày trực nhật lần , Bảo 10 ngày trực nhật lần, còn Ngọc này trực nhật lần.lần đầu ba em cùng trực nhật ngày hỏi ngày sau ba em lại cùng trực nhật vào cùng ngày? Đến ngày đó em đã trực nhật lần? (39) Bµi 18 Bạn Nam nghĩ số có ba chữ số bớt số đó thì số chia hết cho bớt thì số chia hết cho ,nếu bớt 10 thì số chia hết cho hỏi bạn Nam nghĩ số nào? Bµi 19 Một vườn hình chữ nhật có chiều dài 105 m chiều rộng 60 m người ta muốn trồng xung quanh vườn cho góc vườn có cây và khoảng cách hai cây liên tiếp Tính khoáng cách lớn hai cây liên tiếp (Khoảng cách cây là số tự nhiên với đơn vị là mét ) Khi đó tổng số cây là bao nhiêu ? Hướng dẫn :Gọi khoảng cách cây liên tiếp là a (mét) vì góc vườn có cây và khoảng cách cây liên tiếp và lớn nên 105 ⋮ a 60 ⋮ a và a lớn => a ƯCLN(105,60) Ta có 105 = 3.5.7 60 = 22.3.5 ƯCLN (105,60) = 3.5.=15 Vậy khoảng cách lớn cây liên tiếp là 15 m Chu vi mãnh vườn (105+60).2 =330 m Tổng số cây 330 : 15 = 22 cây 9/ Một khối học sinh xếp hàng hàng hàng hàng hàng thừa em xếp hàng thì vừa đủ Biết số học sinh chưa đến 300 Tính số học sinh Hướng dẫn: Gọi số hs cần tìm là a (0<a<300) Theo đề ta có a+1 BC(2,3,4,5,6) và 1<a+1<301 Mà BCNN (2,3,4,5,6) = 23.3.5 = 60 BC (2,3,4,5,6) = B(60) = { , 60 ,120 , 180 , 240 ,300 , 360 , } { , 60 ,120 , 180 , 240 ,300 , } Vì 1<a+1<301nên a+1 Do a ⋮ nên a+1 = 120 => a = 119 Vậy số HS đó là 119 (40)