Vậy hệ phương trình có nghiệm: Câu 4 a Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình:.. nên có hệ phương trình:..[r]
(1)ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN I MÔN: TOÁN, KHỐI 11, Năm học 2012-2013 Thời gian làm bài: 150 phút TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU I PHẦN CHUNG (7đ) Câu 1: (1đ): Tìm TXĐ hàm số: sin x y cos x a) Câu 2: (2đ): Giải phương trình: a) cos x sin x 0 b) y tan x cot x b) sin 3x cos x.cos x.(tan x tan x) Câu 3: (1đ): Giải hệ phương trình: x y xy 3 2 x y xy 2 Câu 4: (2đ): Trong mặt phẳng toạ độ 0xy, cho tam giác ABC với A( 2;1), B( 1;3) và C (3; 4) a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) Tìm toạ độ điểm D cho ABCD là hình bình hành c) Tính độ dài đường cao AH tam giác ABC Câu 5: (1đ): Chứng minh rằng:với x; y; z là số thực dương thì: y x z 1 2 2 2 2 x y y z z x x y z II PHẦN RIÊNG: (3đ) (Thí sinh học chương trình nào chọn phần dành cho chương trình đó) A Phần dành riêng cho chương trình nâng cao Câu a) (1đ): Trong mặt phẳng toạ độ 0xy, cho đường tròn 2 có phương trình là: x y x y 0 Viết phương trình ảnh qua phép đối xứng có trục 0y Câu a) (1đ): Giải phương trình: x 3x x 3x 18 Câu a) (1đ): Tìm tất các giá trị m để hiệu hai nghiệm phương trình sau 1: x m 1 x m 0 B Phần dành riêng cho chương trình Câu b) (1đ): Trong mặt phẳng toạ độ 0xy, cho M 3; , đường thẳng d có phương trình: 3x y 0 và đường tròn (C) có phương trình: x y x y 0 Tìm ảnh M, d và (C) qua phép đối xứng qua trục 0x Câu b) (1đ): 0; sin x Tìm nghiệm phương trình sau khoảng : Câu b) (1đ): Tìm điểm cố định đường thẳng d: y 2mx 1 m (2) HẾT ĐÁP ÁN: Câu 1: (1đ) 1 sin x 0 sin x 1 cos x 0 cos x 1 (luôn đúng) a) Hàm số xác định x 2 k ,k Z D \ 2k TXĐ: (0,5đ) cos x 0 k sin x 0 x k x sin x 0 b) Hàm số xác định : k D \ TXĐ: (0,5đ) Câu 2: (2đ) a) Phương trình: sin x sin x 0 sin x (VN ) sin x 2 x k 2 , k x k 2 , k Vậy phương trình có họ nghiệm: (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) cos x 0 cos x 0 b) +) Điều kiện: cos x.sin x sin x x sin x.cos x cos x +) Phương trình: sin x.cos x sin x.cos x sin x.cos x sin x.cos x cos x sin x.cos x.cos x sin x.cos x sin x.cos x cos x sin x 0 (TM ) (1) sin x 0 cos x 0 ( L) cos x sin x 0 (TM ) (2) (1) x k , k (2) tan x 1 x k , k ( L) (0,5đ) (0,25đ) (3) Vậy phương trình có họ nghiệm: x k Câu 3: (1đ) S x y P xy +) Đặt , k (0,25đ) ( S 4 P) S P 3 Hệ phương trình: S P 2 (0,25đ) S, P là nghiệm phương trình: t 1 t 3t 0 t 2 S 2 P +) Có: x y 2 x y 1 x y S 1 P 2 +) Có: (loại) x; y là (1;1) Vậy hệ phương trình có nghiệm: Câu a) Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình: (0,25đ) (0,5đ) x y 2ax 2by c 0 (C ) ( với a b c ) - Vì A C , B C ,C C 4 4a 2b c 0 1 2a 6b c 0 9 16 6a 8b c 0 nên có hệ phương trình: 4a 2b c 2a 6b c 10 6a 8b c 25 (0,5đ) 25 a 14 25 80 b x2 y x y 0 14 7 80 c (0,5đ) b) Gọi D (x; y) AB 1; DC x; y 3 x 1 AB DC 4 y 2 Để ABCD là hình bình hành thì: x 2 D 2; y 2 (0,5đ) (4) x 1 y x 1 y x y 13 0 c) +) Phương trình đường thẳng BC: 13 17 AH d A, BC 2 17 4 +) Có: (0,25đ) (0,25đ) Câu Áp dụng bất đẳng thức côsi: x3 y 2 x y 2 xy x x x y xy (0,25đ) x 1 1 2 2 x y 2 x y nên y 1 1 2 2 y z 2 y z Chứng minh tương tự: 1 2 y xy mà: x 1 (0,25đ) 2 z 1 1 2 2 z x 2 z x 3 (0,25đ) - Cộng bất đẳng thức (1), (2), (3) theo vế ta được: y x z 1 x3 y y z z x x y z (đpcm) (0,25đ) Câu a) - Ảnh - Ta có M x; y M qua phép đối xứng có trục 0y là M ' x; y Vậy: ảnh Câu a) ( x) y 4( x) y 0 thuộc đường tròn ' : x y x y 0 (0,25đ) (0,25đ) x x x x 12 0 t x 3x t 0 Phương trình: t 4t 12 0 t 2 t + t 2 (0,25đ) qua phép đối xứng có trục 0y là ' - Ta có: Phương trình Đặt: (0,25đ) nên: x y x y 0 - Tức M ' x; y x x 2 x 3x 10 0 (TM ) ( L) (0,25đ) (0,25đ) (5) x x 2 (0,25đ) Vậy phương trình có nghiệm: x 5; x 2 Câu a) (0,25đ) x m 1 x m 0 + Để phương trình có nghiệm phân biệt thì: m 1 m 3 m 6m 23 m 3 m (0,25đ) + Khi đó: x1 , x2 là nghiệm phân biệt phương trình m 1 x x x x m 2 Theo Vi-et ta có: - Theo bài: (0,25đ) x1 x2 1 x1 x2 1 x1 x2 x1 x2 1 m 3 m 1 1 m 6m 27 0 m (TM ) (TM ) m 9 m Vậy m 9 thì phương trình có nghiệm thoả mãn: hiệu nghiệm Câu b) - Gọi M’, d’ và (C’) theo thứ tự là ảnh M, d, (C) qua phép đối xứng qua trục 0x - Thấy M’ (3;5) - Biểu thức toạ độ phép đối xứng qua trục 0x là: x ' x y ' y x x ' y y ' (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (1) (0,25đ) Thay (1) vào phương trình đường thẳng d ta được: x ' y ' 0 d ' : x y 0 Thay (1) vào phương trình (C) ta được: (0,25đ) (6) x '2 y '2 x ' y ' 0 ( x ' 1)2 ( y ' 2)2 9 C ' : ( x ' 1)2 ( y ' 2)2 9 (0,25đ) Câu b) 2x k 2 sin x x 7 l 2 - Ta có: x 12 k x 7 l 12 ( k , l Z) (0,25đ) k , l Z 11 7 x ; x x 0; 12 12 Lấy nên ta các nghiệm là: (0,25đ) (0, 5đ) Câu b) - Gọi M(x;y) là điểm cố định đường thẳng d - Khi đó: y 2mx m có nghiệm với m (0,25đ) m(2 x 1) y có nghiệm với m x 0 x y y 1 (0,5đ) 1 A ;1 Điểm cố định đường thẳng là; (0,25đ) (7)