thức liên hệ giữa hai nghiệm c vaøo m aù trò cuûa m sao cho phöông ieäm baèng nhau veà giaù trò tuyeät nhau... = Điều này chứng tỏ PT luôn có hai nghiệm với mọi m.[r]
(1)Bài 1: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + = với m laø tham soá: a/ Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m b/ Xác định giá trị m để phương trình có tích hai nghiệm 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm phương trình c/ Tìm hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc m d/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức: x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2 = 2m2 + 2m2 – 2m + 2= 4m2 – 2m +2 7 = (m - )2 + với m.Vậy giá trị nhỏ x12 + x22 laø m = x1 x2 + + =0 x2 x1 HD: a) Δ ’ = m2 – (m – 1)(m + 1) =Xaù c>ñònh a; b để phương trình có hai nghiệm là m+1 ⇒ng phöông b) AÙp duïng ñònh lyù Vieùt ta coù: x1.x2Baø = i 5: Chứng minh = raè m trình: x2 – 2(m + m−1 1)x + 2m – luôn có hai nghiệm phân biệt với 2m = Khi đó: x1 + x2 = =6 m−1 2m 2m c) x1 + x2 = = –1+1= m−1 m−1 – 2mx + m + = (m 1) 2m-(m-1) m+1 a) Chứng tỏ phương trình luôn luôn có hai hai +1= +1= nghiệm phân biệt với m m-1 m-1 x1.x2 + d) b) Khoâng giaûi phöông trình, haõy xaùc ñònh giaù trò Vậy hệ thức cần tìm là: x1.x2 – (x1 + x2) + = m để tích hai nghiệm Từ đó tính tổng x1 x2 + + =0 ⇔ 2(x1 + x22) + 5x1x2 = ⇔ x2 x1 2[(x1 + x2)2 – 2x1x2] + 5x1x2 = ⇔ 2(x1 + x2)2 + x1x2 = ⇔ ⇔ 9m = ⇔ m = ± m2 m+ + ( m−1 ) m −1 = + (k – 1)x – k = Baøi 2: Cho phöông trình x2 – 2(m + 1)x + m + 5k= để phöông trình coù nghieäm Xaù–4m c ñònh a/ Định m để phương trình có nghiệm Tìm nghieä m keù p đó b/ Goïi x1; x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình x12k+để x22phöông trình coù hai nghieäm XaùTính c ñònh theo m c/ Tìm m cho x12 + x22 = 12 HD:a) Ta coù ’ = (m + 1) – m2 + 4m – = 6m – Phöông trình coù nghieäm ’ m b) Aùp dụng hệ thức Viet ta có S = x1 + x2 = 2(m + 1); P = x1 x2 = m2 – 4m + – 3mx – = 2 x1 + x2 = (x1 + x2 ) – 2x1x2 = 12 CMR raè n g với giá trị m thì <=> 4(m + 1)2 – 2m2 + 8m – 10 = 12 phöông trình luoâ n coù hai nghieäm phaân bieät <=> 2m2 + 16m – = 12 laø hai nghieäm cuûa phöông trình <=> m2 + 8m – = Tìm giá trị m để S = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ <=> m1 = 1; m2 = -9 (loại) Tính giá trị nhỏ đó Baøi 3: Cho phöông trình x2 + mx – m2 + m – = a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với theo giaù trò m cuûa m Xaùc ñònh daáu cuûa caùc nghieäm b) Gọi x1; x2 là các nghiệm phương trình Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ HD: a) Vì phöông trình coù heä soá a = > vaø c = – m2 + m – 1 = -(m - )2 - < nên ac < với m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm traùi daáu – 2(m – 1)x + m – = b) Aùp dụng hệ thức Viet ta có: S = x1 + x2 =Giả - i phöông m; P =trình x1.x2 với m = Chứng minh phương trình luôn có = – m2 + m – Thay x1 = 2; x2 = -3 vào phương trình 4a 3b 6 a 3 6a 3b 24 b 2 Phöông trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – = ’ = [-(m+1)]2 – 2m + = m2 + > với Điều này chứng tỏ phương trình luôn có hai n m R a) Phöông trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + = ’ = (-m)2 – (m – 1)(m + 1) = m2 – m2 + = chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm ph 2m x1 x2 m x x m m b) Theo hệ thức viet, ta có: m 1 3 theo đề bài x1.x2 = ta suy m <=> Với m = 2, ta lại có x1 + x2 = a) = (k – 1)2 + 4k = = (k + 1)2 Phöông trình coù nghieäm keùp <=> = <=> k Khi đó nghiệm kép là: x1 = x2 = x1 x2 (k x x k b) Theo hệ thức Viet, ta có: Phương trình có hai nghiệm dương <=> (k 1) 0 0 x1 x2 ( k 1) k x x k k a) = (-3m)2 + 16 = 9m2 + 16 > với m Điều này chứng tỏ phương trình luôn có hai n 3m x1 x2 x1.x2 b) Theo hệ thức Viet, ta có: ( Khi đó S = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – x1 x2 = 3m ( )2 Daáu “=” xaûy = <=> m = Vaäy S = m = c) Ta coù: x13 x23 ( x1 x2 )3 3x1 x2 ( x1 x 1 x13 x23 ( x1.x2 )3 ( x1.x2 )3 a) Khi m = 4, giải ta nghiệm PT: x1 = 2 ; x2 = 2 b) ’ = (m – 1)2 – (m – 3) = .= m2 – 3m + (2) thức liên hệ hai nghiệm c vaøo m aù trò cuûa m cho phöông ieäm baèng veà giaù trò tuyeät rình: 4=0 m = g phöông trình luoân coù hai moïi m rình coù hai nghieäm traùi daáu biểu thức – x1) khoâng phuï thuoäc vaøo m rình: ) x + 5m + = m = - rình coù hai nghieäm (m ) 0 với m = Điều này chứng tỏ PT luôn có hai nghiệm với m x1 x2 2(m 1) x x m c) Theo hệ thức Viet, ta có: Hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x x1.x2 = 2(m – 1) – 2(m – 3) = d) Phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối và trái daáu vaø chæ khi: ' x1.x2 x x 0 m 2(m 1) 0 m m 1 m 1 a) Giải ta x1 = 35 ; x2 = 35 b) ’ = (m + 1)2 – (m – 4) = .= m2 + m + 19 (m )2 = với m Điều này chứng tỏ PT luôn có hai nghiệm với m c) phöông trình coù hai nghieäm traùi daáu <=> a.c < <=> m – < <=> m < x1 x2 2(m 1) x x m d) Theo hệ thức Viet, ta có: Khi đó: S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) = x1 + x2 - x1.x2 = 2m + – 2m + = 10 Điều này chứng tỏ biểu thức S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) khoâng phuï thuoäc vaøo m a) Giải ta x = b) Ta coù: ’ = (m + 4)2 – (2m – 1).(5m + 2) = = -(9m2 - 9m – 18) Phöông trình coù hai nghieäm vaø chæ khi: 2m 0 a 0 ' (9m 9m 18) 0 1 m m 2 ( m 1)( m 2) 0 m 2 (3)