Luận văn thạc sĩ nghiên cứu ứng dụng thuật toán chặt cân bằng cho bài toán điều khiển cân bằng xe hai bánh

N C C N N P  N ỄN VĂN N N CỨ ỨN DỤN O N C Ặ CÂN BẰN C O BÀ O N Ề ỂN CÂN BẰN XE A B N N ÀN : L Ề ỂN VÀ Ự ỘN N VĂN Ề C SĨ OA C ỂN VÀ Ự ỘN ƯỜ DẪ K OA ƯỚ TS Vũ Ngọc iên Thái Nguyên – năm 2020 : ÓA ÓA i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết quả, số liệu nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Thái ngun, ngày 20/7/2020 Tác giả luận văn Nguyễn Văn Đô ii LỜI CẢM ƠN Lời em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Vũ Ngọc Kiên, người trực tiếp bảo hướng dẫn em suốt thời gian qua Em xin bày tỏ lòng cảm ơn thầy cô giáo Khoa, môn đông đảo bạn bè, đồng nghiệp cổ vũ nhiều cho việc thực luận văn Mặc dù bảo sát thầy hướng dẫn, nỗ lực cố gắng thân Song kiến thức hạn chế, nên chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót định Em mong bảo thầy cô giáo góp ý chân thành bạn Em xin chân thành cảm ơn! iii MỞ ĐẦU Tăng tốc độ xử lý tính tốn hướng ưu tiên nghiên cứu lĩnh vực kỹ thuật Để tăng tính tốn, có số hướng tiếp cận sau: Sử dụng tối ưu thông lượng nhớ cho vi xử lý song song Phân rã tốn lập trình song song theo nghĩa tính tốn hiệu cao Quay dùng chip tương tự mạng nơ ron tế bào (CNN) Tìm cách giảm độ phức tạp thuật tốn mà đảm bảo sai số theo yêu cầu Giảm độ phức tạp thuật tốn giảm bậc mơ hình mà luận văn tập trung nghiên cứu Trong năm gần đây, nghiên cứu giảm bậc mơ hình xe hai bánh tự cân nhiều nhà khoa học giới quan tâm Một khó khăn vấn đề nghiên cứu xe hai bánh khả trì cân ổn định địa hình khác Trong đó, vấn đề khó khăn nghiên cứu điều khiển cân xe hai bánh Để giải vấn đề cân xe hai bánh, có ba phương pháp sau: (i) điều khiển cân bằng bánh đà, (ii) điều khiển cân sử dụng lực ly tâm (iii) điều khiển cân cách thay đổi tâm trọng lực Trong số ba phương pháp đó, cân nhờ sử dụng bánh đà có ưu điểm đáp ứng nhanh cân xe không di chuyển Do xe hai bánh thường phải làm việc điều kiện khác nhau, tải trọng mang theo thay đổi, ngoại lực tác động vào xe thay đổi nên việc mơ hình hóa xe hai bánh tự cân gặp nhiều khó khăn coi xe hai bánh đối tượng bất định Do tính chất bất định mơ hình xe hai bánh nên thuật tốn điều khiển bền vững nghiên cứu thích hợp Lý thuyết điều khiển H∞ lý thuyết điều khiển đại cho việc thiết kế điều khiển tối ưu bền vững cho đối tượng điều khiển có thơng số thay iv đổi chịu tác động nhiễu bên Tuy nhiên, thiết kế điều khiển theo lý thuyết điều khiển H∞, điều khiển thu thường có bậc cao (bậc điều khiển xác định bậc đa thức mẫu) Bậc điều khiển cao có nhiều bất lợi đem thực điều khiển xe hai bánh, mã chương trình phức tạp Vì vậy, việc giảm bậc điều khiển mà đảm bảo chất lượng có ý nghĩa thực tiễn Mục tiêu nghiên cứu - Nghiên cứu đánh giá ưu nhược điểm phương pháp giảm bậc mô hình - Nghiên cứu xây dựng mơ hình xe hai bánh tự cân thiết kế hệ thống điều khiển cân mơ hình xe hai bánh - Ứng dụng thuật toán chặt cân hệ thống điều khiển cân xe hai bánh Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Các thuật toán giảm bậc mơ hình, xe hai bánh tự cân - Phạm vi nghiên cứu: Thuật toán chặt cân cho hệ tuyến tính ổn định khơng ổn định; toán điều khiển cân xe hai bánh Phương pháp nghiên cứu - Thu thập nội dung phương pháp giảm bậc mơ hình, thuật tốn điều khiển cân xe hai bánh thơng qua sách, tạp chí chuyên ngành qua mạng internet - Lựa chọn thuật tốn thuật tốn giảm bậc mơ hình có khả giảm bậc hệ ổn định không ổn định - Lựa chọn thuật toán điều khiển cân xe dựa khả hoạt động ổn định xe hai bánh Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Áp dụng thuật toán chặt cân để giảm bậc điều khiển bậc cao giúp giảm độ phức tạp thuật tốn điều khiển, giảm thơng tin thừa, tăng tốc độ xử lý Mơ hình giảm bậc sử dụng giúp xử lý tín hiệu cách đơn giản, tăng tốc v độ tính tốn, thiết kế hệ thống điều khiển đơn giản đồng thời đảm bảo độ xác yêu cầu Nội dung luận văn gồm chương sau: Chương 1: Tổng quan giảm bậc mơ hình Chương 2: Thuật tốn giảm bậc mơ hình Chương 3: Ứng dụng giảm bậc mơ hình cho tốn điều khiển cân xe hai bánh Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu đặc biệt hướng dẫn Thầy TS Vũ Ngọc Kiên luận văn em hồn thành Trong q trình thực luận văn, chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong bảo thầy giáo, giáo góp ý chân thành bạn vi MỤC LỤC Nội dung Trang LỜI CAM ĐOAN .i LỜI CẢM ƠN ii MỞ ĐẦU iii MỤC LỤC vi Danh mục bảng viii Danh mục hình vẽ, đồ thị ix Danh mục ký hiệu viết tắt xii CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ GIẢM BẬC MƠ HÌNH 1.1 Giới thiệu giảm bậc mơ hình 1.2 Bài tốn giảm mơ hình 1.3 Các phương pháp giảm bậc mơ hình 1.3.1 Các nghiên cứu giảm bậc mơ hình giới 1.3.2 Các nghiên cứu nước giảm bậc 1.4 Kết luận chương CHƯƠNG THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MƠ HÌNH 2.1 Một số phép tính tốn sử dụng giảm bậc mơ hình 2.1.1 Một số phép phân tích ma trận 2.1.2 Gramian điều khiển quan sát hệ tuyến tính 2.2 Thuật toán chặt cân cho hệ ổn định 2.3 Thuật tốn chặt cân cho hệ khơng ổn định 11 2.3.1 Gramian điều khiển Gramian quan sát hệ không ổn định 13 2.3.2 Thuật toán chặt cân gián tiếp cho hệ không ổn định 16 2.3.3 Thuật toán chặt cân trực tiếp Zhou 17 2.4 Kết luận chương 18 CHƯƠNG ỨNG DỤNG GIẢM BẬC MƠ HÌNH CHO BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN CÂN BẰNG XE HAI BÁNH 20 3.1 Mơ hình xe hai bánh tự cân 20 vii 3.2 Mơ hình hóa xe hai bánh tự cân 21 3.3.Thiết kế điều khiển bền vững RH∞ 28 3.3.1 Khái niệm lý thuyết điều khiển RH∞ 28 3.3.2 Mô tả không gian H∞ RH∞ 29 3.3.3 Xác định tập R( s ) điều khiển làm hệ SISO ổn định 31 3.3.4 Tìm R( s ) R ( s ) để hệ có độ nhạy nhỏ 33 3.3.5 Thiết kế tối ưu RH ∞ cho toán cân xe hai bánh 34 3.4 Ứng dụng giảm bậc mơ hình cho tốn điều khiển cân xe hai bánh 42 3.4.1 Giảm bậc điều khiển cân xe hai bánh 42 3.4.2 Sử dụng điều khiển giảm bậc để điều khiển cân xe hai bánh 47 3.5 Kết luận chương 61 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 62 A KẾT LUẬN 62 B KIẾN NGHỊ 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 viii Danh mục bảng Tên bảng Trang Bảng 3.1 Các thông số mô hình xe hai bánh tự cân 21 Bảng 3.2 Kết giảm bậc phân hệ ổn định điều khiển bậc cao 43 Bảng 3.3 Kết giảm bậc điều khiển bậc cao 43 Bảng 3.4 Kết giảm bậc điều khiển bậc cao 45 ix Danh mục hình vẽ, đồ thị Tên hình Trang Hình 3.1 Mơ hình xe hai bánh tự cân 20 Hình 3.2 Mơ hình xe hai bánh từ cân 21 Hình 3.3 Mơ hình điều khiển bền vững 28 Hình 3.4 Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển bền vững RH ∞ 30 Hình 3.5 Mơ hình Simulink xe hai bánh tự cân 38 Hình 3.6 Sơ đồ Simulink hệ thống điều khiển cân xe hai bánh tự cân 38 Hình 3.7 Đáp ứng góc lệch θ xe tham số mơ hình danh định 39 Hình 3.8 Đáp ứng góc lệch θ xe tham số mơ hình thay đổi 40 Hình 3.9 Đáp ứng góc lệch θ xe tham số mơ hình thay đổi 41 Hình 3.10 Đáp ứng bước nhảy điều khiển gốc điều khiển 44 giảm bậc theo thuật toán chặt cân gián tiếp Hình 3.11 Đáp ứng tần số điều khiển gốc điều khiển giảm 44 bậc theo thuật toán chặt cân gián tiếp Hình 3.12 Đáp ứng bước nhảy điều khiển gốc điều khiển 46 giảm bậc theo thuật tốn chặt cân trực tiếp Hình 3.13 Đáp ứng tần số điều khiển gốc điều khiển giảm 46 bậc theo thuật toán chặt cân trực tiếp Hình 3.14 Mơ hình Simulink hệ thống điều khiển cân xe hai bánh 47 Hình 15 Đáp ứng đầu hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử 48 dụng điều khiển gốc điều khiển bậc theo thuật toán chặt cân gián tiếp 53 Dap ung goc nghieng dau - Ban dau xe lech goc pi/180 0.02 Su dung bo dieu khien bac 15 Su dung bo dieu khien bac theo thuat toan chat can bang truc tiep 0.015 Radian 0.01 0.005 -0.005 -0.01 Time (sec) 10 12 Hình 20 Đáp ứng đầu hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển gốc điều khiển bậc theo thuật toán chặt cân trực tiếp Chất lượng đáp ứng hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển bậc + Số lần dao động: lần + Thời gian ổn định : s + Sai lệch tĩnh : 0% 54 Dap ung goc nghieng dau - Ban dau xe lech goc pi/180 0.02 Su dung bo dieu khien bac Su dung bo dieu khien bac Su dung bo dieu khien bac Su dung bo dieu khien bac 0.015 15 theo thuat toan chat can bang truc tiep theo thuat toan chat can bang truc tiep theo thuat toan chat can bang truc tiep Radian 0.01 0.005 -0.005 -0.01 Time (sec) 10 12 Hình 21 Đáp ứng đầu hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển gốc điều khiển bậc 4, bậc 3, bậc theo thuật toán chặt cân trực tiếp Chất lượng đáp ứng hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển bậc + Số lần dao động: lần + Thời gian ổn định : s + Sai lệch tĩnh : 0% Chất lượng đáp ứng hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển bậc + Số lần dao động: lần + Thời gian ổn định : s + Sai lệch tĩnh : 0% Chất lượng đáp ứng hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển bậc 55 + Số lần dao động: lần + Thời gian ổn định : s + Sai lệch tĩnh : 0% - Khi xe mang tải mt = Kg , chiều cao trọng tâm xe thay đổi (tăng 5cm), xe lệch khỏi phương thẳng đứng góc θ = π 180 (rad ) Dap ung goc nghieng dau - Ban dau xe lech goc pi/180 0.02 Su dung bo dieu khien bac 15 Su dung bo dieu khien bac theo thuan toan chat can bang truc tiep 0.015 Radian 0.01 0.005 -0.005 -0.01 Time (sec) 10 12 Hình 22 Đáp ứng đầu hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển gốc điều khiển bậc theo thuật toán chặt cân trực tiếp Chất lượng đáp ứng hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển bậc tham số mơ hình thay đổi + Số lần dao động: lần + Thời gian ổn định : s + Sai lệch tĩnh : 0% 56 Dap ung goc nghieng dau - Ban dau xe lech goc pi/180 0.02 Su dung bo dieu khien bac 15 Su dung bo dieu khien bac theo thuan toan chat can bang truc tiep Su dung bo dieu khien bac theo thuan toan chat can bang truc tiep 0.015 0.01 Radian 0.005 -0.005 -0.01 -0.015 Time (sec) 10 12 Hình 23 Đáp ứng đầu hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển gốc điều khiển bậc 4, bậc theo thuật toán chặt cân trực tiếp Chất lượng đáp ứng hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển bậc tham số mơ hình thay đổi + Số lần dao động: lần + Thời gian ổn định : s + Sai lệch tĩnh : 0% Chất lượng đáp ứng hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển bậc tham số mơ hình thay đổi + Số lần dao động: lần + Thời gian ổn định : s + Sai lệch tĩnh : 0% 57 Dap ung goc nghieng dau - Ban dau xe lech goc pi/180 0.02 Su dung bo dieu khien bac 15 Su dung bo dieu khien bac theo thuat toan chat can bang truc tiep 0.015 0.01 Radian 0.005 -0.005 -0.01 -0.015 10 15 Time (sec) 20 25 30 Hình 24 Đáp ứng đầu hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển gốc điều khiển bậc theo thuật toán chặt cân trực tiếp Chất lượng đáp ứng hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển bậc tham số mơ hình thay đổi + Số lần dao động: 28 lần + Thời gian ổn định : 20 s + Sai lệch tĩnh : 0% - Khi xe mang tải mt = Kg , chiều cao trọng tâm xe thay đổi (giảm 5cm), xe lệch khỏi phương thẳng đứng góc θ = π 180 (rad ) 58 Dap ung goc nghieng dau 0.02 Su dung bo dieu khien bac 15 Su dung bo dieu khien bac theo thuat toan chat can bang truc tiep 0.015 Radian 0.01 0.005 -0.005 -0.01 Time (sec) 10 12 Hình 25 Đáp ứng đầu hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển gốc điều khiển bậc theo thuật toán chặt cân trực tiếp Chất lượng đáp ứng hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển bậc tham số mơ hình thay đổi + Số lần dao động: lần + Thời gian ổn định : s + Sai lệch tĩnh : 0% 59 Dap ung goc nghieng dau - Ban dau xe lech goc pi/180 0.02 Su dung bo dieu khienr bac 15 Su dung bo dieu khien bac theo thuat toan chat can bang truc tiep Su dung bo dieu khien bac theo thuat toan chat can bang truc tiep 0.015 Radian 0.01 0.005 -0.005 -0.01 Time (sec) 10 12 Hình 26 Đáp ứng đầu hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển gốc điều khiển bậc 4, bậc theo thuật toán chặt cân trực tiếp Chất lượng đáp ứng hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển bậc tham số mơ hình thay đổi + Số lần dao động: lần + Thời gian ổn định : s + Sai lệch tĩnh : 0% Chất lượng đáp ứng hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển bậc tham số mơ hình thay đổi + Số lần dao động: lần + Thời gian ổn định : s + Sai lệch tĩnh : 0% 60 Dap ung goc nghieng dau - Ban dau xe lech goc pi/180 0.02 Su dung bo dieu khienr bac 15 Su dung bo dieu khienr bac theo thuat toan chat can bang truc tiep 0.015 Radian 0.01 0.005 -0.005 -0.01 Time (sec) 10 Hình 27 Đáp ứng đầu hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển gốc điều khiển bậc 4, bậc theo thuật toán chặt cân trực tiếp Chất lượng đáp ứng hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển bậc tham số mơ hình thay đổi + Số lần dao động: lần + Thời gian ổn định : s + Sai lệch tĩnh : 0% Nhận xét: - Sử dụng điều khiển bậc 5,4, 3, theo thuật tốn chặt cân trực tiếp điều khiển cân cho mơ hình xe hai bánh, đáp ứng đầu điều khiển bậc hồn tồn trùng khít với đáp ứng đầu điều khiển gốc, đáp ứng đầu điều khiển bậc có sai khác so với đáp ứng điều khiển gốc Đáp ứng đầu điều khiển bậc 3, bậc có sai khác nhiều so với đáp ứng điều khiển gốc 61 3.5 Kết luận chương Mơ hình hóa xe hai bánh tự cân cho thấy đối tượng phi tuyến có số tham số xe hai bánh tự cân bất định để đảm bảo yêu cầu điều khiển ổn định xe hai bánh điều khiển bền vững RH ∞ thích hợp cho hệ thống điều khiển cân xe hai bánh Thiết kế điều khiển bền vững cho xe hai bánh thu điều khiển bậc 15 Để nâng cao chất lượng điều khiển cần phải thực giảm bậc điều khiển để mã chương trình trở lên đơn giản hơn, giảm thời gian xử lý, tăng tốc độ đáp ứng mà thoả mãn yêu cầu ổn định bền vững hệ thống Thực giảm bậc điều khiển theo thuật toán chặt cân trực tiếp gián tiếp cho thấy: Có thể sử dụng điều khiển bậc theo thuật toán chặt cân gián tiếp, điều khiển bậc 5, bậc 4, bậc 3, bậc theo thuật toán chặt cân trực tiếp để điều khiển cân xe hai bánh 62 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ A KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu giải nội dung sau: Mơ hình giảm hay giảm bậc mơ hình thuật tốn để tìm hệ bậc thấp so với hệ gốc dạng hệ phương trình vi phân thường (ODEs – ordinary differential equations) Ý tưởng thuật tốn chuyển véctơ trạng thái bậc cao thành véctơ trạng thái bậc thấp khơng gian trạng thái Để giải tốn giảm bậc mơ hình có nhiều thuật tốn đề xuất nhiên thuật toán giảm bậc đáp ứng yêu cầu, chưa tồn Mỗi phương pháp có ưu nhược điểm riêng cần sử dụng theo nhu cầu thích hợp Ý tưởng thuật tốn chặt cân tìm phép biến đổi khơng suy biến T để chéo hóa đồng thời hai ma trận Gramian điều khiển P ma trận Gramian quan sát Q sau áp dụng kỹ thuật chặt (tức bỏ biến không quan trọng), để thu hệ giảm bậc Thuật toán chặt cân ban đầu áp dụng cho hệ ổn định, sau mở rộng để giảm bậc cho hệ không ổn định theo hai hướng: Giảm bậc trực tiếp hệ không ổn định giảm bậc gián tiếp hệ không ổn định Xây dựng hệ thống điều khiển cân xe hai bánh theo thuật toán điều khiển định dạng H∞ thu điều khiển bậc 15 Bộ điều khiển có bậc cao nến gây khó khăn cho việc ứng dụng điều khiển thực tế điều khiển, cần phải giảm bậc điều khiển gốc bậc 15 Áp dụng thuật toán chặt cân để giảm bậc điều khiển cân xe hai bánh cho thấy: Bộ điều khiển bậc 5, bậc theo thuật tốn chặt cân gián tiếp thay điều khiển bậc 15; Bộ điều khiển bậc 5, bậc 4, bậc 3, bậc theo thuật toán chặt cân trực tiếp thay điều khiển bậc 15 Sử dụng điều khiển giảm bậc theo thuật toán chặt cân để điều khiển xe hai bánh cho thấy: Bộ điều khiển bậc theo thuật toán chặt cân gián tiếp có 63 thể điều khiển cân xe hai bánh đảm báo chất lượng điều khiển tương đương điều khiển bậc 15 Bộ điều khiển bậc theo thuật tốn chặt cân gián tiếp khơng có khả điều khiển cân xe hai bánh Bộ điều khiển bậc theo thuật toán chặt cân trực tiếp điều khiển cân xe hai bánh đảm bảo chất lượng điều khiển hoàn toàn tương tự điều khiển bậc 15 Bộ điều khiển bậc 4, bậc 3, bậc theo thuật toán chặt cân trực tiếp điều khiển cân xe hai bánh đảm bảo chất lượng yêu cầu – có sai lệch có với đáp ứng điều khiển bậc 15 Việc thay điều khiển bậc thấp cho điều khiển bậc 15 có ý nghĩa thực tiễn giải pháp thiết kế giảm kích thước điều khiển làm việc thiết kế thực điều khiển trở nên dễ dàng Các kết mơ thực thể tính đắn thuật toán điều khiển cân xe hai bánh theo thuật toán định dạng H∞ thuật toán chặt cân B KIẾN NGHỊ Cần nghiên cứu số phương pháp khác việc giảm bậc điều khiển, có so sánh với phương pháp giảm bậc theo thuật toán chặt cân Cẩn nghiên cứu thiết kế hệ thống điều khiển cân xe hai bánh theo phương pháp điều khiển khác để so sánh với phương pháp thiết kế theo định dạng H∞ Cần tiến hành nhiều thí nghiệm thực để khẳng định tính đắn thuật tốn điều khiển theo định dạng H∞.cũng thuật toán chặt cân đưa vào ứng dụng thực tiễn 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.C Antoulas Approximation of Large-Scale Dynamical Systems Philadelphia: SIAM, 2005 [2] A.C Antoulas, D.C Sorensen, S Gugercin: A Survey of Model Reduction Methods for Large-scale Systems, Structured Matrices in Mathematics, Computer Science, and Engineering, AMS, 2001, pp 193 – 219 [3] Al-Saggaf, U M., Model reduction for discrete unstable systems based on generalized normal representations,Int J Control, 55(2), 431- 443 (1992) [4] Aoki M., Control of large scale dynamic system by aggregation, IEEE Trans Auto Contr., AC-13, 246-235, 1968 [5] Bistritz Y and Lanholz G., Model reduction by Chebyshev polynomial techniques, IEEE Trans Auto Contr., AC-24, 741-747, 1979 [6] Chiu, T., Model reduction by the low-frequency approximation balancing method for unstable systems’,IEEE Trans.Automat Control, AC-41(7), 995997 (1996) [7] Đào Huy Du, Giảm bậc hệ thống xử lý tín hiệu số ứng dụng viễn thông, Thisis, 2012 [8] DEEPAK KUMAR, Dr J P TIWARI, Dr S K NAGAR, REDUCTION OF LARGE SCALE SYSTEMS BY EXTENDED BALANCED, International Journal of Engineering Science and Technology (IJEST) (Volume Issue April 2011) [9] E.A Jonckheere, L.M Silverman: A New Set of Invariants for Linear System – Application to Reduced Order Compensator Design, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 28, No 10, Oct 1983, pp 953 – 964 [10] Fatmawati, R Saragih, R Bambang and Y Soeharyadi, Balanced truncation for unstable infinite dimensional systems using reciprocal transformation, Int Journal of Control, Automation, and Systems, (2011), 249-257 65 [11] Fernando K V and Nicholson H., Singular perturbational model reduction of balanced system, IEEE Trans Auto Contr., AC-27, 466-468, 1982 [12] Gibarillo G and Lees F P., The reduction of complex transfer function models to simple models using the method of moments, Cher Eng Science, 24, 85-93, 1966 [13] Heike Faßbender and Peter Benner, Passivity Preserving Model Reduction via a Structured Lanczos Method, Proceedings of the 2006 IEEE Conference on Computer Aided Control Systems Design Munich, Germany, October 4-6, 2006 [14] Kenney, C and G Hewer, Necessary and su¦cient conditions for balancing unstable systems,IEEE Trans.Automat.Control, AC-32(2), 157Ð160 (1987) [15] Kemin Zhou, Gregory Salomon and Eva Wu, Balanced realization and model reduction for unstable systems, Int J Robust Nonlinear Control, 9, 183-198 (1999) [16] K HENRIK A OLSSON Model Order Reduction with Rational Krylov Methods, Doctoral Thesis in Numerical Analysis Stockholm, Sweden 2005 [17] M Green: A Relative Error Bound for Balanced Stochastic Truncation,IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 33, No 10, Oct 1988, pp 961 – 965 [18] Moore B C., Principal component analysis in linear systems: Controllability, observability, and model reduction , IEEE Trans Auto Contr., AC-26, 17-32, 1981 [19 ]Nguyễn Doãn Phước (2009), Lý thuyết điều khiển nâng cao, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [20] Nguyễn Ngọc San, Nhận dạng hệ thống tuyến tính liên tục, NXB Khoa học Kỹ thuật 2006 [21] Sanash Y., Stable reduced-order models using Pade-type approximations, IEEE Trans Auto Contr., AC-14, 27-32, 1969 66 [22] J Rommes, Methods for eigenvalue problems with applications in model order reduction, PhD thesis, Utrecht University, 2007 [23] ROMMES, J., MARTINS, N., Efficient computation of multivariable transfer function dominant poles using subspace acceleration UU Preprint 1344, 2006, IEEE Trans on Power Systems, Vol 21, Issue 4, Nov 2006, pp 1471-1483 [24] ROMMES, J., SLEIJPEN,G.L.G., Convergence of the dominant pole algorithm and Rayleigh quotient iteration, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Vol 30, Issue 1, 2008, pp 346-363 [25] J.-R Li and J White Reduction of large circuit models via low rank approximate Gramians Int J Appl Math Comp Sci., 11(5):1151– 1171, 2001 [26] P.C Opdenacker, E.A Jonckheere: A Contraction Mapping Preserving Balanced Reduction Scheme and its Infinity Norm Error Bounds, IEEE Transactions on Circuits and Systems, Vol 35, No 2, Feb 1988, pp 184 – 189 [27] Sannuti P and Kokotovic S., Near optimum design of linear systems using singgular perturbation method, IEEE Trans, Auto Contr., AC-14, 15-21, 1969 [28] Roberd Saragih, Fidya Indah Dewanti, Model Reduction of Bilinear System Using Balanced Singular Perturbation, Computer Applications for Security, Control and System Engineering Communications in Computer and Information Science Volume 339, 2012, pp 198-204 [29] Takayuki Ishizaki, Henrik Sandberg, Karl Henrik Johansson, Kenji Kashima, Jun-ichi Imura, Kazuyuki Aihara: Singular Perturbation Approximation of Semistable Linear Systems, Proc of 2013 European Control Conference, pp.4508-4513, 2013 [30] Therapos, C P., Balancing transformations for unstable nonminimal linear systems,IEEE Trans Automat Control, 34(4), 455-457 (1989) 67 [31] U.B Desai, D Pal: A Transformation Approach to Stochastic Model Reduction, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 29, No 12, Dec 1984, pp 1097 – 1100 [32] Vũ Ngọc Kiên, Nghiên cứu thuật toán giảm bậc mơ hình ứng dụng cho tốn điều khiển, Thisis, 2015 [33] Yao-Lin Jiang& Zhi-Hua Xiao, Arnoldi-based model reduction for fractional order linear systems, International Journal of Systems Science, 2013 [34] Y Liu and B D O Anderson, “Singular perturbation approximation of balanced systems,” in 28th IEEE Conference on Decision and Control, 1989, pp 1355–1360 [35] W Gawronski, J.N Juang: Model Reduction in Limited Timeand Frequency Intervals, International Journal of Systems Science, Vol 21, No 2, Feb 1990, pp 349 – 376 ... hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử 49 dụng điều khiển bậc theo thuật toán chặt cân gián tiếp Hình 17 Đáp ứng đầu hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử 50 dụng điều khiển gốc điều khiển bậc... Đáp ứng đầu hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử 57 dụng điều khiển gốc điều khiển bậc theo thuật tốn chặt cân trực tiếp Hình 25 Đáp ứng đầu hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử dụng điều khiển. .. khiển cân xe hai bánh sử 54 dụng điều khiển gốc điều khiển bậc 4, bậc 3, bậc theo thuật toán chặt cân trực tiếp Hình 22 Đáp ứng đầu hệ thống điều khiển cân xe hai bánh sử 55 dụng điều khiển gốc điều