THÔNG TIN TÀI LIỆU
Trường THPT Phúc Thọ Năm học 2019-2020 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II MƠN: TỐN – KHỐI 12 PHẦN GIẢI TÍCH CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN A I NGUYÊN HÀM F′ ( x ) = f ( x ) ; ∀x ∈ K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C Kí hiệu: * Tính chất 1: * Tính chất 2: (C số) ∫ f ' ( x ) dx = f (x) + C ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k ≠ ) ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Tính chất 3: * Nguyên hàm hàm số thường gặp: ∫ dx = x + C x α +1 ∫ xα = α1+ ( ≠ − α ∫ ) dx = ln x + C x ∫e x dx = e x + C x ∫ a dx = ax +C ln a ∫ kdx = kx + C ∫ ( mx + n ) α dx ( mx + n ) dx = mα + α +1 + Cα( ≠ −1 ∫ mx + n = m ln mx + n + C dx = mx +n e +C m mx + n ∫ a dx = a mx + n +C m ln a ∫e mx + n ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin ( mx + n ) dx = − m cos ( mx + n ) + C ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos ( mx + n ) dx = m sin ( mx + n ) + C dx dx ∫ cos ( mx + n ) dx ∫ sin ( mx + n ) ∫ cos2 x = tan x + C ∫ sin x = − cot x + C ) dx = tan ( mx + n ) + C m =− cot ( mx + n ) + C m • Tìm ngun hàm phương pháp đổi biến số: 1 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Năm học 2019-2020 ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C Định lý: Nếu ∫ f u ( x ) u′ ( x ) dx = F u ( x ) + C • u = u ( x) hàm số có đạo hàm liên tục thì: Tìm nguyên hàm phương pháp phần Định lý: II TÍCH PHÂN ∫ udv = uv − ∫ vdu b b ∫ f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) a Định nghĩa: b b a a ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k ≠ 0) *Tính chất 1: b b b a a a ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx *Tính chất 2: b c b a a c ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx *Tính chất 3: β b α a ∫ f u ( x ) u′ ( x ) dx = ∫ f ( u ) du • Tính tích phân phương pháp đổi biến số: Các dạng tích phân tính phương pháp đổi biến số thường gặp tương tự phần nguyên hàm b b b ∫ udv = ( uv ) − ∫ vdu a a a Tính tích phân phương pháp phần: III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = f(x); y = g(x); x = a; x = b (a < b) (trong x = a; x = b hai đường thẳng ) • b S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a Thể tích khối trịn xoay Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = f(x); Ox; x = a; x = b (trong hai đường x = a x = b thiếu hai) Quay hình phẳng (H) này, xung quanh trục Ox Khi b Vπ= f∫ x ( a ) dx b ( π= y∫ dx) a thể tích khối tròn xoay sinh là: IV SỐ PHỨC Số phức Số phức z = a + bi, a, b hai số thực, a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i² = –1 2 Đề cương ôn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Số phức nhau: a + bi = c + di Năm học 2019-2020 a = c ⇔ b = d z = a + bi = a + b Modul số phức: z = a + bi = a − bi Số phức liên hợp z = a + bi Cộng, trừ nhân số phức (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i Cộng, trừ: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i Nhân: Chia số phức a + bi (a + bi)(c − di) = c + di c2 + d2 Phương trình bậc hai với hệ số thực ±i a Căn bậc hai số thực a < Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = biệt thức Δ = b² – 4ac b x=− 2a Nếu Δ = phương trình có nghiệm kép −bΔ± x1,2 = 2a Nếu Δ > phương trình có nghiệm thực −b ± iΔ x1,2 = 2a Nếu Δ < phương trình có nghiệm phức Bài tập trắc nghiệm: I.Nguyên hàm –Tích phân Câu 1: Phép tính khơng đúng? ∫ e dx = e x A x x ∫ a dx = +C B ax + C ( < a ≠ 1) ln a ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = cos x + C dx ∫ x = ln x + C α ∫ x dx = D C Câu 2:Phép tính nguyên hàm sau không đúng? A x ∫ a dx = x B a + C ( < a ≠ 1) ln a x α+1 + C ( α ≠ −1) α +1 dx ∫ cos x = tan x + C C D Câu 3: Trong khẳng định sau, khăng định sai? Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Năm học 2019-2020 ∫ ( f ( x ) + f ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx 2 A B Nếu F(x) G(x) nguyên hàm hàm số f(x) F(x) - G(x) = C số F( x) = x C F( x) = x f ( x) = x nguyên hàm f ( x ) = 2x D nguyên hàm i Câu 4: Trong khẳng định sau khẳng định sai? A ∫ 0dx = C C ( số) ∫x α dx = B α+1 x +C C α C ( số) Câu 5: Tìm khẳng định sai: dx A ∫ sin x D B D C Câu 6: Tìm khẳng định đúng: dx A x ∫ dx = x + C dx = tan x + C ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin ∫ x dx = ln x + C ∫ cos x B ∫ cos xdx = sin x + C C ( số) = tan x + C ∫ sin xdx = − cos x + C dx = tan x + C C ( số) ∫ cos x = cot x + C ∫ sin xdx = cos x + C D C Câu 7: Trong khẳng định sau, khăng định sai? ∫ ( f ( x ) + f ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx 2 A B Nếu F(x) G(x) nguyên hàm hàm số f(x) F(x) - G(x) = C số C ∫ ( f ( x ) f ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ f ( x ) dx D ∫ k.f (x)dx = k.∫ f (x)dx (k ≠ 0) 4 Đề cương ôn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Năm học 2019-2020 Câu 8: Tìm cơng thức sai: ∫ e dx = e x A x ax ∫ a dx = ln a + C ( < a ≠ 1) x +C B ∫ x dx = lnx + C ∫x (khi x ≠ 0) α dx = D C α+1 x +C α +1 (α ≠ −1) dx Câu 9: ∫ − 3x bằng: A ( − 3x ) Câu 10: +C B ∫ ( − 3x ) ( − 3x ) − Câu 11: A ( + 3x ) +C C ln − 3x + C ∫ cos ( − 3x ) D − ln 3x − + C C +C 24 D bằng: B +C − cos(3x − 1) + C C − cos(3x − 1) + C D cos(3x − 1) +C dx dx 1− x x −x+C ( − 3x ) − dx sin(1 − x) +C C 1− x ( − 3x ) +C bằng: B −3sin(1 − x) + C C − 3sin(1 − x) + C D sin(1 − x) +C , kết là: B 1− x + C Câu 14: Nguyên hàm hàm số A +C 24 B ∫ A ( − 3x ) bằng: ∫ sin ( 3x − 1) Câu 13: Tính dx cos(3x − 1) +C Câu 12: A 8 A − B C y = 3x − ( 3x − 1) +C C f (x) = Câu 15: Họ nguyên hàm F(x) hàm số −2 − x + C 1 ; +∞ ÷ 3 1− x + C là: ( 3x − 1) −1 (x − 2) D +C D x +x +C là: 5 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ F(x) = A Năm học 2019-2020 +C x −2 F(x) = +C (x − 2)3 B Câu 16: Họ nguyên hàm hàm số A (2x + 1) + C 12 B Câu 17: Cho nguyên hàm A tdt ∫ t2 −1 I= B I=∫ Câu 18: Cho nguyên hàm I= A (t − 1) dt 8∫ I= B I=∫ Câu 19: Cho nguyên hàm A 4(t + 1) I = ∫ 1 − dt 2 ( t + ) B Câu 20: Cho nguyên hàm C y = (2x + 1)5 − 2t I = 4∫ 1 + dt ( t − 1) ( t + 3) t I = 4∫ dt ( t + 1) ( t − ) −1 +C x−2 F(x) = D −1 +C (x − 2)3 là: C (2x + 1) + C D 10(2x + 1) + C dx x x10 + 1 dt ∫ t2 −1 x dx 4x + đặt I= C t = x10 + 1 tdt 10 ∫ t − đặt (t − 1) dt 4∫ C x+2 dx x +6+ x +2 4(t + 1) I = ∫ 1 − dt 2 ( t + ) I=∫ A C (2x + 1) + C I=∫ I= F(x) = x +3 dx x +2 x +3 ta : D t = 4x + ta : I = 8∫ (t − 1) dt đặt I = 2∫ C đặt B dt t(t + 1) I=∫ I= D t = x+2 t dt t + 4t + t = x +3 dt ∫ (t − 1) ta : I=∫ D t2 dt t + 4t + ta : − 2t I = ∫ 1 − dt ( t − 1) ( t + 3) t2 I = −4 ∫ dt ( t + 1) ( t − 3) D f (x) = cos 3x.tan x Câu 21 : Họ nguyên hàm hàm số viết : A.cos x + B.cos x + C (A,B,C số thực) Khi tích A.B bằng: A.-4 B C D -1 6 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Năm học 2019-2020 f (x) = sin x.cos 2x Câu 22: Họ nguyên hàm hàm số A.cos 3x + B.cos x + C A (A,B,C số thực) Khi tổng A+B bằng: 3 B C Câu 23: Nguyên hàm hàm số: y = sin 2x.cos3x là: số thực) Khi tích A.B bằng: 15 − B 15 C f (x) = Câu 24: Họ nguyên hàm F(t) = t − A t +C F(t) = t + t +C 5 (A,B,C − D cos x + sin x −1 D A.sin x − B.sin x + C A viết là: sau đặt F(t) = t = sin x t t − +C ta : F(t) = t3 t + +C B C D f (x) = x.ln(x + 1) Câu 25: Cho hàm số có nguyên hàm F(x) cho F(1) = tính giá trị F(2) –F(0) ta : A F(2) − F(0) = ln F(2) − F(0) = C B + ln 2 f (x) = x + ln(x + 1) Câu 26: Cho hàm số tính giá trị F(7) –F(3) ta : F(7) − F(3) = 16(1 + ln 2) A F(7) − F(3) = 16 − ln(4) − 8ln(8) C D F(2) − F(0) = − + ln 2 F(2) − F(0) = − ln có nguyên hàm F(x) cho F(0) = B D F(7) − F(3) = 16 + ln(4) − 8ln(8) F(7) − F(3) = 16(1 − ln 2) f (x) = (x + 1) sinx Câu 27: Cho hàm số có nguyên hàm F(x) cho F(0) = khẳng định sau : A F (x) có hệ số tự -π B F (x) có hệ số tự π C F (x) có hệ số tự D F (x) có hệ số tự x.sin x f (x) = cos3 x Câu 28: Cho hàm số có nguyên hàm F(x) cho F(2π) =2π khẳng định sau : A F (x) có hệ số tự -π B F (x) có hệ số tự π C F (x) có hệ số tự D F (x) có hệ số tự 7 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Năm học 2019-2020 (x + x)e x ∫ x + e− x dx là: Câu 29: Nguyên hàm hàm số: y = xe x + − ln xe x + + C A F(x) = C F(x) = B F(x) = xe x + − ln xe − x + + C D F(x) = e x + − ln xe x + + C xe x + + ln xe x + + C I = ∫ cos 2x.ln(sin x + cos x)dx Câu 30: Nguyên hàm hàm số: A F(x) = B F(x) = C F(x) = D F(x) = là: 1 ( + sin 2x ) ln ( + sin 2x ) − sin 2x + C 1 ( + sin 2x ) ln ( + sin 2x ) − sin 2x + C 1 ( + sin 2x ) ln ( + sin 2x ) − sin 2x + C 4 1 ( + sin 2x ) ln ( + sin 2x ) + sin 2x + C 4 I = ∫ e− x cos xdx = F(x) + C Câu 31: Nguyên hàm −1 F(0) = F(0) = 2 A B C giá trị F(0) F(0) = D F(0) = −1 x I = ∫ x.e dx = F(x) + C Câu 32: Nguyên hàm F(3) = F(3) = e A B ( ) giá trị F(3) F(3) = F(3) = 6e C D f ( x) = x x3 − Câu 33.Cho hàm số ∫ Khi đó: 1 f ( x)dx = x − x + C ∫ B A C ∫ f ( x)dx = x f ( x) dx = − x2 + C x2 x4 − x ÷+ C 2 ∫ f ( x)dx = x ( x D f (x) = e − e là: Câu 34 Nguyên hàm hàm số 2x x e −e +C x x 2x x A B 2e − e + C C e (e − x) + C 2x ) − x +C x D Kết khác Đề cương ôn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Năm học 2019-2020 dx ∫ Câu 35.Tính nguyên hàm − 2x ta kết sau: A ln − 2x + C B −2 ln − 2x + C f ( x) = Câu 36 Hàm số ( 0;p) A − ln − 2x + C C cos x có nguyờn hm trờn: ổ p pử ỗ - ; ữ ữ ỗ ữ ỗ ( p;2p) ố 2ứ B C y = f ( x) = Câu 37 Một nguyên hàm hàm số A x2 3x F ( x) = + ln x + 2 2x F ( x) = C +C D (1 − 2x) ( x - 1) 2x2 é p pù ê- ; ú ê ë 2ú û D kết sau đây? B 3( x - 1) F ( x) = 4x3 x 3x 1 - 24 x 2x3 D Một kết khác f ( x) = ? ( x + 1) Câu 38.Hàm số không nguyên hàm hàm số 4x −1 x−4 3x − −x + x +1 x +1 x +1 x +1 A B C D x x+1 ò e e dx Câu 39 Tính ta kết sau đây? 2x+1 e +C x x+1 e e +C 2e2x+1 +C A B C D Một kết khác F x ( ) F ( x) y = sin x cos x Câu 40 nguyên hàm hàm số hàm số sau đây? 4 cos x cos x sin x sin5 x F ( x) = +C F ( x) = +C F ( x) = +C F ( x) = +C 4 A .B .C .D F ( x) f ( x ) = sin x.cos x Câu 41 Họ nguyên hàm hàm số là: 6 1 F ( x ) = − sin x + C F ( x ) = sin x + C F ( x ) = − cos6 x + C F ( x ) = cos x + C 3 3 A B C D f ( x) = x ln x Câu 42 Một nguyên hàm kết sau đây, biết nguyên hàm x =1 triệt tiêu 9 Đề cương ôn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ A C Năm học 2019-2020 1 F ( x) = x2 ln x - ( x2 - 1) 1 F ( x) = x ln x + ( x2 - 1) 2 B nguyên hàm hàm số A C B F ( x) = e x + x + D x ò f ( x) dx = + e +C Câu 44 Nếu x4 f ( x) = + ex A Câu 46 Biết A x B 2 f ( x) bằng: f ( x) = 3x + e ∫ x sin xdx = f ( x) = f ( x) = x + e x x C D x4 + ex 12 ax cos x − b sin x + C B -7 x ∫ x e dx = ( x + mx + n ) e + C x thỏa mãn F ( x ) = 2e x + x − F ( x) = e x + x + Câu 45 Biết A -21 F (0) = f ( x) = e x + x F ( x) = e x + x + D Một kết khác F ( x) Câu 43 Cho F ( x) Tìm 1 F ( x) = x2 ln x + x 4 , giá trị a+6b là: C -5 D -1 , giá trị m.n là: B.-4 C a x x x k ∫ 3e (e − 1) dx = b (e − 1) + C Câu 47 Biết giá trị a+b+2k là: A.24 B 32 C 28 (2 + 3ln x) dx = (2+ 3lnx)b + C ∫ x a Câu 48 Biết giá trị a.b là: 1 A B C.27 a 2 ∫ x x + 2dx = b ( x + 2) x + + C Câu 49 Biết , a+b là: A B C.4 a ∫ cos2 3x(1+ tan3x) dx = b ln1+ tan3x + C Câu 50 Biết giá trị 2a+b là: 10 D.4 D 33 D 26 D 10 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Năm học 2019-2020 VABCD = Thể tích tứ diện ABCD: uuur uuur uuur AB, AC AD 6 uuur uuur uuur VABCD.A 'B'C'D' = AB, AD AA ' Thể tích khối hộp: II PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình: (S): (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² Dạng thứ hai (S): x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = (2) với a² + b² + c² – d > phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính III PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG R = a + b2 + c2 − d (A + B2 + C2 > 0) Phương trình tổng quát mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = Mặt phẳng (α) qua điểm Mo(xo; yo; zo) có véc tơ pháp tuyến r n = (A; B; C) có phương trình (α): A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng qua điểm M(a; 0; 0), N(0; b; 0) x y z + + =1 a b c P(0; 0; c) có phương trình dạng: với abc ≠ Khoảng cách từ điểm Mo(xo, yo, zo) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = là: Ax + By0 + Cz0 + D d ( M ;(α) ) = A + B2 + C IV.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1.Phương trình tham số đường thẳng Phương trình đường thẳng (d) qua Mo(xo, yo, zo) có véc tơ phương: x = x + at d : y = yo + bt z = z + ct o ∈ (t R) x − x o y − yo z − zo = = a b c Phương trình tắc đường thẳng (d): Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian Trong Oxyz cho (d) qua M có VTCP r uu r r uuuuur r u, u ' = u, MM ' = ⇔ d trùng d’ r u r u (d’) qua M’ có VTCP 21 = (a; b; c) là: uur u' 21 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ d // d’ Năm học 2019-2020 r uu r r u, u ' = r r uuuuur u, MM ' ≠ ⇔ d d’ cắt r uu r r u, u ' ≠ r uuuuur r uu u, u ' MM ' = ⇔ d d’ chéo r uu r uuuuur u, u ' MM ' ≠ ⇔ Khoảng cách từ M đến đường thẳng (Δ) qua Mo có véc tơ phương uuuuuuu r r Mo M , u d(M1,Δ) = r u Góc hai đường thẳng: r u Cho (Δ1) có vectơ phương =(a1; b1; c1) (∆2) có véc tơ phương c2) Gọi φ góc (Δ1) (Δ2) ta có: rr u.v a1a + b1b + c1c2 cosφ = r r = | u |.| v | a + b + c2 a + b2 + c 1 Góc đường thẳng mặt phẳng: r u : r v = (a2; b2; r u Cho đường thẳng (Δ) có véc tơ phương = (a; b; c) mặt phẳng (α) có véc tơ r n pháp tuyến = (A; B; C) Nếu φ góc (Δ) mặt phẳng (α) rr n.u Aa + Bb + Cc sinφ = r r = | n |.| u | A + B2 + C a + b + c (0° ≤ φ ≤ 90°) Góc hai mặt phẳng: uu r n1 Cho mp (α1) có véc tơ pháp tuyến = (A1; B1; C1) mp (α2) có véc tơ pháp tuyến uur n2 β = (A2; B2; C2) Nếu góc (α1) (α2) uu ruur n1 n A1A + B1B2 + C1C2 cosβ = uur uur = n1 n A12 + B12 + C12 A 22 + B22 + C22 22 22 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Năm học 2019-2020 Bài tập trắc nghiệm uu r r m = (1;0; −1); n = (0;1;1) Câu 1: Cho uu rr m.n = −1 A uur r m n C không phương Cho Kết luận sai: uu r r [m, n] = (1; −1;1) B uur r m n D Góc 600 r r r a = ( 5;7; ) , b = ( 3;0; ) , c = ( −6;1; −1) Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho Tọa độ vecto r r r r r n = 5a + 6b + 4c − 3i là: r r r r n = ( 16;39;30 ) n = ( 16; −39; 26 ) n = ( −16;39; 26 ) n = ( 16;39; −26 ) A B C D r r r a = (2;3; −5), b = (0; −3; 4), c = (1; −2;3) Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho ba véctơ Tọa độ r r r r n = 3a + 2b − c véctơ r n = (5;5; −10) là: r n = (5;1; −10) r n = (7;1; −4) B A r n = (5; −5; −10) C D A ( - 2;3;1) Câu 4.Cho điểm Hình chiếu vng góc điểm ( 2;0;0) A ( 0;- 3;- 1) B A lên trục Ox có tọa độ là: ( - 2;0;0) C ( 0;3;1) D Câu 5: Chọn phát biểu đúng: Trong khơng gian A Vec tơ tích có hướng hai vec tơ phương với vectơ cho B Tích có hướng hai vec tơ vectơ vng góc với hai vectơ cho C Tích vơ hướng hai vectơ vectơ D Tích vectơ có hướng vơ hướng hai vectơ tùy ý r r r a = (1; 2;3), b = (2;1; m), c = (2; m;1) Câu 6: Trong không gian Oxyz, ba véctơ đồng phẳng khi: m = −9 m = −9 m = m = m = −1 m = m = −2 m = A B C D r r r r r r a = ( 1; 2;1) ; b = ( −1;1; ) c = ( x;3 x; x + ) a, b, c Câu 7: Cho véctơ Nếu véctơ đồng phẳng x A B -1 C -2 D 23 23 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Năm học 2019-2020 M ( 2; −3;5 ) N ( 4;7; −9 ) P ( 3; 2;1) Q ( 1; −8;12 ) Câu 8: Cho điểm , , , Bộ điểm sau thẳng hàng: N, P, Q M, N, P M, P, Q M, N, Q A B C D A ( 2; −1;5 ) , B ( 5; −5; ) M ( x; y;1) Câu 9: Cho ba điểm Với giá trị x;y A, B, M thẳng hàng? x = 4; y = x = 4; y = −7 A B r r a, b Câu 10: Cho hai vectơ x = −4; y = −7 C r r r r a = 3, b = 3, a, b = 300 D ( ) thỏa mãn: Độ dài vectơ A x = −4; y = B r r a − 2b 13 C D r r u = (1;1; 2) v = (1; m; m + 1) Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho , Khi r r u, v = : 11 11 11 m = −1; m = − m = 1; m = m = 1; m = − m = 3; m = − 5 A B C D Câu 12: Trong khơng gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD với A(1;0;1), B(2;1;2) giao điểm hai đường chéo 3 I ( ;0; ) 2 Diện tích hình bình hành ABCD A B C D Câu 13:Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD với A(0;0;1); B(0;1;0); C(1;0;0), D(-2;3;-1) Thể tích ABCD là: 1 1 V= V= V= V= A đvtt B đvtt C đvtt D đvtt A ( 1;1; −6 ) B ( 0;0; −2 ) C ( −5;1; ) Oxyz Câu 14: Trong không gian cho điểm , , D ' ( 2;1; −1) ABCD.A 'B'C'D' Nếu hình hộp thể tích là: A 26 (đvtt) B 40 (đvtt) C 42 (đvtt) A ( 2; 0;0 ) , B ( 0;3; ) , C ( 0;0; ) Câu 15: Cho Tìm mệnh đề sai: uuur uuur cos A = AB = ( −2;3;0 ) AC = ( −2;0; ) 65 A B C Câu 16:Phương trình phương trình mặt cầu? 24 D 38 (đvtt) sin A = D 24 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Năm học 2019-2020 x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 3z + = A x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 3z + = B 2 x + y - 2x + 4y - = C ( S) : x D x2 + z2 - 2x + 6z - = Mặt phẳng tiếp xúc với x + y +1= A A ( S ) : ( x - 2) có phương trình x +y - 2= x +1= B C + y2 + ( z + 1) = Tâm ) ( I 2;1;- ) D x - 1= B ( S) I ( I 2;0;- thuộc Câu 18:Cho mặt cầu A ( S) điểm ( S) ( A ( 1;1;0) + y2 + z2 + 4x - 2y - = Câu 17:Cho mặt cầu mặt cầu ) ( I - 2;0;1 ) I - 2;1;1 C D ( S) : x + y − 2x + y − 3z − = Câu 19: A Tâm bán kính mặt cầu: 3 I 1; − ; ÷, R = 2 B 3 I 1; − ; ÷, R = 2 3 I −1; ; − ÷, R = 2 I ( 2; −1;3) , R = C D Câu 20: Lập phương trình mặt cầu đường kính AB với A(6;2;5) B(-4;0;7) ( x − 5) + ( y − 1) + ( z − ) = ( x − 5) + ( y − 1) + ( z − 1) = 2 A ( x + 5) + ( y + 1) + ( z − ) = ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − ) = 27 2 B 2 2 D C A ( 1;0;0 ) , B ( 0; −2;0 ) , C ( 0;0; ) Câu 21: Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm O, x + y + z − x + 2y − 4z = A x + y + z + x − 2y + 4z = B x + y + z − 2x + 4y − 8z = 2 x + y + z + 2x − 4y + 8z = D C Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng ( P ) :2x − y + z − = ; ( Q ) :x + y − z = (S) mặt cầu có tâm thuộc (P) tiếp xúc với (Q) điểm H ( 1; −1;0 ) Phương trình (S) : S : x − 2) A ( ) ( + y + ( z + 1) = S : x − 1) B ( ) ( 25 + ( y − 1) + z = 25 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ S : x − ) + y + ( z + 1) = D ( ) ( ( S) : x + y + z + 2x − 4y + 6z + m = Tìm m để (S) cắt mặt phẳng Câu 23: Cho mặt cầu: C ( S) : ( x + 1) + ( y − 2) + z2 = Năm học 2019-2020 ( P ) : 2x − y − 2z + = A m = Câu 24: Cho mặt cầu: theo giao tuyến đường trịn có diện tích 4π B m = 10 C m = D m = −3 ( S) : x + y + z + 2x − 4y + 6z + m = Tìm m để (S) cắt đường thẳng x +1 y z − = = −1 −2 hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông (Với I tâm mặt cầu) m=− A m = −1 B m = 10 C m = −20 D ( ∆) : Câu 25: Trong không gian Oxyz véctơ sau véctơ pháp tuyến phương trình mp(P): 4x - 3y + = A (4; - 3;0) B (4; - 3;1) C (4; - 3; - 1) D (- 3;4;0) Câu 26: Trong không gian Oxyz mặt phẳng (P) qua điểm M( - 1;2;0) có VTPT r n = (4; 0; −5) có phương trình là: A 4x - 5y - = B 4x - 5z - = C 4x - 5y + = D 4x - 5z + = (α ) Câu 27: Mặt phẳng qua M (0; 0; - 1) song song với giá hai vectơ r r a(1; −2;3) b(3;0;5) (α ) Phương trình mặt phẳng là: A 5x – 2y – 3z - 21 = B - 5x + 2y + 3z + = C 10x – 4y – 6z + 21 = D 5x – 2y – 3z + 21 = ( Oxy ) Câu 28 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng có phương trình y=0 x+ y =0 z =0 x=0 A B C D Câu 29: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua điểm D(2;0;0) vng góc với trục Oy có phương trình z =0 A B y = C z = D y = M(1; −2; −4) M′(5; −4; 2) M′ M Câu 30: Cho hai điểm Biết hình chiếu vng góc mp(α) mp(α) lên Khi đó, có phương trình 2x − y + 3z − 20 = 2x + y − 3z − 20 = 2x − y + 3z + = A B C D 2x + y − 3z + 20 = Câu 31: Trong không gian Oxyz mp(P) qua ba điểm A(4;0;0), B(0; - 1;0), C(0;0; - 2) có phương trình là: A x - 4y - 2z - = B x - 4y + 2z - = C x - 4y - 2z - = D x + 4y - 2z - = 26 26 Đề cương ôn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Năm học 2019-2020 A ( 0;1; ) , B ( 2; −2;1) ;C ( −2;1;0 ) Câu 32: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm Khi ax + y − z + d = phương trình mặt phẳng (ABC) là: Hãy xác định a d a = 1;d = a = −1; d = a = −1;d = −6 a = 1;d = −6 A C B D Câu 33: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A( - 2;0;1), B(4;2;5) phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB là: A 3x + y + 2z - 10 = B 3x + y + 2z + 10 = C 3x + y - 2z - 10 = D.3x - y + 2z - 10 = Câu 34: Trong không gian Oxyz mp(P) qua A(1; - 2;3) vng góc với đường thẳng x + y −1 z −1 = = −1 (d): có phương trình là: A 2x - y + 3z - 13 = B 2x - y + 3z + 13 = C 2x - y - 3z - 13 = D 2x + y + 3z - 13 = Câu 35: Trong không gian Oxyz cho điểm A(4; - 1;3) Hình chiếu vng góc A trục Ox, Oy, Oz K, H, Q phương trình mp( KHQ) là: A 3x - 12y + 4z - 12 = B 3x - 12y + 4z + 12 = C 3x - 12y - 4z - 12 = D 3x + 12y + 4z - 12 = Câu 36: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(8, - 2, 4) Gọi A, B, C hình chiếu M trục Ox, Oy, Oz Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B C là: − x − 4y + 2z − = x + 4y + 2z − = x − 4y + 2z − = x + 4y − 2z − = A B C D (S) : x + y + z − 8x + 2y + 2z − = Câu 37: Cho mặt cầu x −1 y z + ∆: = = −2 −1 đường thẳng (α ) Mặt phẳng ∆ (S) vng góc với cắt theo giao tuyến đường (C) (α ) trịn có bán kính lớn Phương trình 3x − 2y − z + = 3x − 2y − z − = 3x − 2y − z − 15 = 3x − 2y − z + 15 = A B C D Câu 38: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng song song (Q): 2x - y + z - = (P): 2x - y + z - = mp(R) song song cách (Q), (P) có phương trình là: A 2x - y + z - = B 2x - y + z + = C 2x - y + z = D 2x - y + z + 12 = x + y −1 z = = 1 Câu 39: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng song song (d): x −1 y + z −1 = = 1 (d’): Khi mp(P) chứa hai đường thẳng có phương trình là: A 7x + 3y - 5z + = B 7x + 3y - 5z - = C 5x + 3y - 7z + = 0D 5x + 3y + 7z + = Câu 40: Biết tam giác ABC có ba đỉnh A, B, C thuộc trục tọa độ trọng tâm tam giác G(−1; −3; 2) Khi phương trình mặt phẳng (ABC) là: 2x − 3y − z − = x + y−z−5 = A B 27 27 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Năm học 2019-2020 6x − 2y − 3z + 18 = 6x + 2y − 3z + 18 = C D Câu 41: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 5;4;3) Gọi ( α) mặt phẳng qua hình chiếu A lên trục tọa độ Phương trình mặt phẳng A C 12x + 15y + 20z − 10 = B x y z + + =1 D ( α) là: 12x + 15y + 20z + 60 = x y z + + − 60 = A ( 2,0, ) , B ( 1,1,1) Câu 42: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho Mặt phẳng (P) thay đổi qua A, B cắt trục Oy, Oz C(0; b; 0), D(0; 0; c) (b > 0, c > 0) Hệ thức A bc = ( b + c ) bc = B 1 + b c Câu 43: Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng ( 0;5; ) ( 1; 2; ) A B C b + c = bc D bc = b − c x = + t d : y = − 3t z = + t C mặt phẳng (Oyz) ( 0; 2;3) ( 0; −1; ) D Câu44:Trong không gian Oxyz cho mp(Q): 3x + y + z + = Viết PT mặt phẳng (P) song song với (Q) cắt trục Ox, Oy, Oz A,B,C cho thể tích tứ diện OABC A 3x + y + z + = 3x + y + z - = B 3x + y + z + = 3x + y + z - = 3 2 C 3x + y + z - = D 3x + y + z + = Câu 45: Trong không gian Oxyz viết PT mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng x y −1 z − = = 1 (d): cắt trục Ox, Oy, Oz theo thứ tự A, B, C cho: OA OB = 2OC A x + y + 2z + = x + y + 2z - = B x + y + 2z + = C x + y + 2z - = D x + y + 2z + = x + y + 2z - = Câu 46: Phương trình tắc đường thẳng d qua điểm M(2;0;-1) có vecto r a = (4; −6; 2) phương 28 28 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ A C x − y z +1 = = −3 x + y z −1 = = −3 Năm học 2019-2020 B D x + y z −1 = = −6 x−4 y+6 z−2 = = −3 r a(4; −6; 2) Câu 47: Cho đường thẳng d qua M(2; 0; -1) có vectơ phương Phương trình tham số đường thẳng d là: x = −2 + 2t x = + 2t x = + 2t x = −2 + 4t y = −3t y = −3t y = −6 − 3t y = −6t z = + t z = −1 + t z = + t z = + 2t A B C D Câu 48: Phương trình đường thẳng AB với A(1; 1; 2) B( 2; -1; 0) là: x −1 y −1 z − x +1 y +1 z + = = = = 2 −1 2 A B x − y +1 z x y −3 z −4 = = = = −2 −2 −2 −2 C D Câu 49: Cho đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) vuông góc với mặt phẳng (α ) : x + y − z + = Phương trình đường thẳng d là: x = −1 + 8t x = + 4t x = + 3t x = −1 + 4t y = −2 + 6t y = + 3t y = − 4t y = −2 + 3t z = −3 − 14t z = − 7t z = − 7t z = −3 − 7t B C D A A(0;0;1) B(−1; −2;0) C(2;1; −1) G ∆ Câu 50: Cho , , Đường thẳng qua trọng tâm mp(ABC) ABC tam giác vng góc với có phương trình: 1 1 x = + 5t x = + 5t x = − 5t x = − 5t 1 1 y = − + 4t y = − − 4t y = − − 4t y = − − 4t 3 3 z = 3t z = 3t z = −3t z = 3t A B C D 29 29 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Năm học 2019-2020 M ( 2; −3;5 ) Câu 51: Cho điểm đường thẳng x = + 2t ( d ) : y = − t ( t ∈ ¡ z = 4+ t ) ( ∆) Đường thẳng ( d) qua M song song với x − y+3 z −5 = = A x + y−3 z +5 = = −1 C có phương trình tắc : x +2 y−3 z +5 = = B x −2 y +3 z −5 = = −1 D x −1 y − z −1 = = Oxyz −3 −2 Câu 52: Trong không gian với hệ tọa độ , cho (d): ( α ) x − 3y + z − = ( α) : Phương trình hình chiếu (d) là: x + y +1 z −1 x − y + z −1 = = = = −1 −2 1 A B C x + y +1 z −1 = = −1 d: D x − y −1 z − = = 1 x −1 y +1 z − = = 1 Câu 53: Cho Hình chiếu vng góc d (Oxy) có dạng? x = x = −1 + 2t x = + 2t x = −1 + 2t y = −1 − t y = 1+ t y = −1 + t y = −1 + t z = z = z = z = A B C D Câu 54: Cho hai mặt phẳng (P): 2x+y-z-3=0 (Q): x+y+z-1=0 Phương trình tắc đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) là: x y − z +1 x + y − z −1 x −1 y + z +1 x y + z −1 = = = = = = = = −3 −2 −3 −3 −1 A B C D Câu 55: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; −2;3) hai mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = 0;(Q) : x − y + z − = Phương trình phương trình đường thẳng qua A, song song với (P) (Q) A x = + 2t y = −2 z = + 2t B x = −1 + t y = y = −3 − t C x = y = −2 z = − 2t 30 D x = + t y = −2 z = − t 30 Đề cương ôn tập môn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Năm học 2019-2020 ( P ) : y + 2z = Câu 56: Cho mặt phẳng Đường thẳng hai đường thẳng x = − t d : y = t z = 4t x = − t d ' : y = + t z = ∆ (P) cắt hai đường thẳng d d’ là? x = − 4t x = − 4t y = + 2t y = 2t x −1 y z x −1 y z +1 = = = = z = − t z = t −2 −4 −1 A B C D x −1 y − z −1 (d) : = = (α ) : x − y + z − = −3 −2 Câu 57: Cho đường thẳng mặt phẳng (α ) Phương trình hình chiếu đường thẳng (d) mặt phẳng là: x + y +1 z −1 x − y +1 z −1 = = = = −1 −2 1 B A C x + y +1 z −1 = = −1 D x − y −1 z − = = 1 ( P) d1 ;d Câu 58: Trong không gian Oxyz,cho đường thẳng d1 : x −1 y z x + y + z −1 = = , d2 : = = −1 −1 −1 ( P ) : 2x + 3y − 2z + = thẳng A C ( P) ∆ nằm cắt x + y − z −1 = = −2 B x +1 y − z + = = 3 x − y +1 z +1 = = −2 biểu thức A −1 a+b+c Viết phương trình đường d1 , d x −3 y+ z −2 = = −6 −3 x +3 y−2 z−2 = = Câu 59: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm d: mặt phẳng D A(1; −2;3), B(−3;0;1) M (a; b; c) Điểm thuộc d cho đường thẳng MA2 + MB nhỏ Giá trị B C 31 D −2 31 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Câu 60: Khoảng cách từ 25 A Câu 61: Cho (ABC) bằng: A 3 Năm học 2019-2020 M ( 1; 4; −7 ) đến mặt phẳng B A ( 5;1;3) , B ( 1;6; ) ,C ( 5;0; ) ( P ) : 2x − y + 2z − = C D 12 Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng B C Câu 62: Khoảng cách hai mặt phẳng là: D A, B, C sai ( P ) : x + y − z + = & ( Q ) : 2x + 2y − 2z + = là: 2 17 11 A B C D Câu 63: Cho bốn điểm không đồng phẳng A(0;0;2), B(3;0;5), C(1;1;0) D(4;1;2) Độ dài đường cao tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng (ABC) là: A 11 C 11 A ( 1;0; −3) , B ( −1; −3; −2 ) , C ( 1;5;7 ) B Câu 64: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC Khi độ dài OG A Câu 65: Cho B A ( 5;1;3) , B ( 1;6; ) ,C ( 5;0; ) 11 D 11 Gọi G tâm D C Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là: 3 A 3 B C D x = − 2t x −2 y+2 z −3 d1 : y = −1 − t , d : = = −1 1 z = Câu 66: Khoảng cách hai đường thẳng là: C 31 D Cả đáp án sai x = + 2t x = 2u d1 : y = − 2t , d : y = −5 + 3u z = − t z = Câu 67: Khoảng cách hai đường thẳng là: A B 19 A 19 B 13 C D Đáp án khác Câu 68: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi Gốc tọa độ giao điểm ( ) A ( 2;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , S 0; 0; 2 đường chéo AC BD Biết M trung điểm SC Khoảng cách SA BM là: 2 6 A B C D Câu 69: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ biết A A ( 0;0;0 ) , 32 32 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Năm học 2019-2020 B ( 1;0;0 ) , D ( 0;1; ) , A ' ( 0; 0;1) M, N trung điểm AB, CD Khoảng cách MN A’C là: A B C D 2 Câu 70: Khoảng cách từ A( 1; -2; 3) đến đường thẳng (d) qua B( 1; 2; -1) vng góc với mặt phẳng (P): x + 2y + 3z + = là: A 14 14 B C 14 42 D r r a = (4;3;1) b Câu 71: Giá trị cosin góc hai véctơ = (0; 2;3) là: 26 A 26 13 B 26 C 26 D Kết khác r Câu 72: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, góc tạo hai vectơ a = (−4; 2; 4) r b = 2; −2 2; là: 0 0 A 30 B 90 C 135 D 45 ( ) Câu 73: Góc hai đường thẳng A 00 B 300 x = + t x = + 2t ' ( d ) : y = + t & ( d ' ) : y = −1 + 2t ' z = − t z = − 2t ' C 45 x −1 y z + x −3 d1 : = = , d2 : = −2 Câu 74: Cosin góc hai đường thẳng 2 − A B C D 600 y +1 z = −2 là: − D x = − t d : y = −2t z = 2t − α : 2x − y + 2z + = Câu 75: Cho mặt phẳng ( ) đường thẳng Gọi ϕ góc đường thẳng d mặt phẳng A 65 B Câu 76: Góc đường thẳng ( d) : ( α ) Khi đó, giá trị C cos ϕ là: 65 D 65 x − y −1 z + = = −2 mặt phẳng ( α ) − x + 2y − 3z = 0 A 90 B 45 Câu 77: Cho tam giác ABC biết: A B C D 180 A ( 1; 0; ) , B ( 0;0;1) ,C ( 2;1;1) 15 C Khi cos B bằng: 10 D 10 33 33 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Năm học 2019-2020 Câu 78: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ biết A trùng với gốc tọa độ B ( a;0;0 ) , D ( 0;a;0 ) , A ' ( 0;0;a ) , ( a > ) M, N, P trung điểm BB’, CD A’D’ Góc hai đường thẳng MP C’N là: 0 0 A B 30 C 60 D 90 Câu 79: Cho điểm CD bằng: A ( 1;1;0 ) , B ( 0; 2;1) , C ( 1; 0; ) , D ( 1;1;1) Góc đường thẳng AB 0 B 45 C 90 D 60 Câu 80: Cho mặt phẳng (P) : 3x + 4y + 5z + = đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng (α) : x − 2y + = (β) : x − 2z − = Gọi ϕ góc đường thẳng d mp(P) A Khi A ϕ = 45 B ϕ = 60 0 C ϕ = 30 D ϕ = 90 ( α ) : 2x − y + z + = ; ( β ) : x + y + 2z − = : Câu 81: Tìm góc hai mặt phẳng 0 0 A 30 B 90 C 45 D 60 Câu 82: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz.cho mặt cầu phẳng ( S) : ( x − ) + y2 + z2 = mặt ( P ) :x + y − z + m = , m tham số Biết (P) cắt (S) theo đường trịn có bán kính r = Giá trị tham số m là: A m = 3; m = B m = 3; m = −5 C m = 1; m = −4 D m = 1; m = −5 Câu 83: Cho điểm A(1, 2, −1), B(−2,1, 3) Tìm điểm M thuộc Ox cho tam giác AMB có diện tích nhỏ M (− ;0;0) −1 17 M( , 0, 0) M( , 0, 0) A M(−7, 0, 0) B C D Câu 84: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(–1;3; –2), B(–3; 7; –18) mặt phẳng (P): 2x – y + z + = Gọi M ( a; b; c ) điểm (P) cho MA+MB nhỏ Giá trị a + b + c A B C D Câu 85: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;2), B(5;4;4) mặt phẳng (P): 2x + y – z + =0 Tọa độ điểm M nằm (P) cho MA2 + MB2 nhỏ là: A M(-1;1;5) B M(1;-1;3) C M(2;1;-5) D M(-1;3;2) M (1; 2;3) Câu 86: Lập phương trình mặt phẳng qua A, B, C cho thể tích x y z + + =1 A OABC Ox, Oy, Oz cắt tia điểm bé là: x y z + + =1 B 34 34 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ x y z + + =1 Năm học 2019-2020 x y z + + = −1 C D Câu 87: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;3), B(4;4;5) Tọa độ điểm M ∈ (Oxy) 2 cho tổng MA + MB nhỏ là: 17 11 1 11 1 M( ; ;0) M(1; ;0) M( ; ;0) M( ; ;0) 8 A B C D -HẾT - 35 35 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì ... uu ruur n1 n A1A + B1B2 + C1C2 cosβ = uur uur = n1 n A 12 + B 12 + C 12 A 22 + B 22 + C 22 22 22 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Năm học 20 19 -20 20 Bài tập trắc nghiệm uu r... cầu? 24 D 38 (đvtt) sin A = D 24 Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Năm học 20 19 -20 20 x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 3z + = A x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 3z + = B 2 x + y - 2x +... - 2z - = B x - 4y + 2z - = C x - 4y - 2z - = D x + 4y - 2z - = 26 26 Đề cương ôn tập mơn Tốn 12 – Học kì Trường THPT Phúc Thọ Năm học 20 19 -20 20 A ( 0;1; ) , B ( 2; ? ?2; 1) ;C ( ? ?2; 1;0 ) Câu 32:
Ngày đăng: 13/06/2021, 11:14
Xem thêm: