Một phơng trình với ẩn x có dạng Ax = Bx, trong đó vế trái Ax và vế phải Bx lµ hai biÓu thøc cña cïng mét biÕn x.. - Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng.[r]
(1)Ch¬ngI: Nh©n vµ chia ®a thøc I Nh©n ®a thøc - Nhân đơn thức với đa thức A(B + C) = AB + AC - Nh©n ®a thøc víi ®a thøc (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD VÝ dô Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) 4x2 (5x3 + 3x 1) 4x 5x 4x 3x 4x 4.5 (x x ) (4.3)(x x) (4.1)x 20x 12x 4x b) 5x 4x x 5x x 4x. x 5x x 5x 2 4x.x 4x 5x 10x 4x 8x 5x (10 4)x 8x 5x 14x 8x c) (3x + 4x2 2)(x2 +1+ 2x)=3x(x2 +1+ 2x) + 4x2(x2 +1+ 2x) -2(x2 +1+ 2x) 3x.( x ) 3x.1 3x.2x 4x ( x ) 4x 4x 2x 2.( x ) 2.1 2.2x 3x 3x 6x 4x 4x 8x 2x 4x 4x 3x 8x 6x 4x 2x (3x 4x) 4x 5x 12x x Bài tËp: 1) T×m x biÕt: 3x(12x - 4) – 9x(4x - 3) = 30 3x.12x - 3x.4 – 9x.4x – (- 9x).3 = 30 36x2 - 12x – 36x2 + 27x = 30 15x = 30 x= 2)Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) (x2- 2x + 3)( x - 5) 1 = x2 x + x2.(- 5)+ (- 2x) x + (- 2x).(- 5)+ x + 3.(- 5) 23 = x3 - 6x2 + x - 15 b) (x2y2 - xy + 2y)(x - 2y) 1 = x2y2.x + x2y12(-2y) + (- xy).x + (- xy)(-2y) + 2y.x + 2y.(-2y) = x3y2 - 2x2y3 - x2y + xy2 + 2xy - 4y2 II Các đẳng thức đáng nhớ - B×nh ph¬ng cña mét tæng B×nh ph¬ng cña mét hiÖu (A B)2 = A2 2AB + B2, (2) - HiÖu hai b×nh ph¬ng A2 B2 = (A + B) (A B), - LËp ph¬ng cña mét tæng LËp ph¬ng cña mét hiÖu (A B)3 = A3 3A2B + 3AB2 B3, - Tæng hai lËp ph¬ng HiÖu hai lËp ph¬ng A3 + B3 = (A + B) (A2 AB + B2), A3 B3 = (A B) (A2 + AB + B2), (trong đó: A, B là các số các biểu thức đại số) VÝ dô: a) (a + )2 = a2 + 2.a.1 + 12 = a2 + 2a + b) 512 = (50 + 1)2 = 502 + 2.50.1+ 12 = 2500 + 100 + = 2601 c) (2x - 3y)2 = (2x)2 - 2.2x.3y + (3y)2 = 4x2 - 12xy + 9y2 d) 992 = (100 - 1)2= 1002 - 2.100.1 + 12= 10000 - 200 + 1= 9801 e) (x - 2y)(x + 2y) =x2 - (2y)2 = x2 - 4y2 f) 56.64 = (60 - 4)(60 + 4) = 602- 42 = 3600 - 16 = 3584 g) (x + 2y)3 = x3 + 3.x2.2y + 3.x.(2y)2 + (2y) = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 h) 8x3- y3 = (2x)3 -y3 = (2x -y)((2x)2 + 2x.y + y2)= (2x - y)(4x2 +2xy + y2) i) 342 + 662 + 68.66 = 342+ 2.34.66 + 662 = (34 + 66)2=1002= 10 000 Bµi tËp: 1) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (x2 2xy + y2)(x y) = (x- y)2(x- y) = (x- y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3 2) Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc (x2 xy + y2)(x + y) 2y3 t¹i x = vµ y = (x2 xy + y2)(x + y) y3 = x3 + y3 - y3 = x3 thay x = vµ y = ta cã: 43 64 4 125 x3= III Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö + Phơng pháp đặt nhân tử chung + Phơng pháp dùng đẳng thức + Ph¬ng ph¸p nhãm h¹ng tö + Phèi hîp c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch thµnh nh©n tö ë trªn VÝ dô Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1) 15x2y + 20xy2 25xy = 5xy.3x + 5xy.4y - 5xy.5 = 5xy(3x + 4y - 5) 2) a 2y + y2 = 12 - 2.1.y + y2 = (1- y)2; b 27 + 27x + 9x2 + x3 = 33 + 3.32.x + 3.3.x2 + x3 = (3 + x)3 ; c 27x3 = 23 - (3x)3 = (2 - 3x)(4 + 6x + 9x2) d 4x2 = 12 - (2x)2 = (1 - 2x)(1 + 2x); e.(x + y)2 25 = (x + y)2 - 52 = (x+ y + 5)(x + y - 5) ; 3) a 4x2 + 8xy 3x 6y = (4x2 + 8xy) - (3x + 6y) = 4x(x + 2y) - 3(3 + 2y) = (x + 2y)(4x - 3); b 2x2 + 2y2 x2z + z y2z = (2x2 + 2y2 - 2) - (x2z + y2z - z) = 2(x2 + y2 - 1) - z(x2 + y2 - 1) = (x2 + y2 - 1)(2 - z) (3) 4)a) 3x2 6xy + 3y2 = 3(x2 - 2xy + y2) = 3(x - y)2; b) 16x3 + 54y3 = 2(8x3 + 27y3) 3 2 2 2x 3y 2 2x 3y 2x 2x.3y 3y 2 2x 3y 4x 6xy 9y ; c) x 2xy + y 16 = (x - 2xy + y ) - = (x - y) - = (x - y + 4)(x - y - 4); Bµi tËp: TÝnh nhanh: a)34.76 + 34.24 = 34( 76 + 24 ) = 34.100 = 3400 b)1052 – 25 = 1052 – 52 = ( 105 + 5)(105 – 5)= 110.100 = 11000 c)15.64+ 25.100+ 36.15+ 60.100 15.64+ 25.100+ 36.15+ 60.100 = (15.64+ 36.15)+ (25.100+ 60.100) = 15(64+ 36)+ 100(25+ 60) = 15.100+ 100.85 = 100.100 = 10 000 T×m x biÕt: 3x2 – 6x = ⇔ 3x(x – 2) = ⇔ 3x = hoÆc x – = ⇔ x = hoÆc x = VËy x = hoÆc x = 2 2 2 2 2 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc x x y t¹i x = 94,5 vµ y = 4,5 x x y = (x2 x 1) y = (x +1)2 y ( x y )( x y ) 94,5 4,5 94,5 4,5 100.91 9100 Víi x = 94,5, y = 4,5 ta cã: Ph©n tich ®a thøc thµnh nh©n tö: x6 x4 + 2x3 + 2x2 = x2(x4- x2 + 2x + 2) x x x 2x x x x 1 x 1 x x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x IV Chia ®a thøc - Chia đơn thức cho đơn thức - Chia đa thức cho đơn thức VÝ dô Lµm phÐp chia : a) x : x x b) 15 x : x 5x 5 c ) 20 x :12 x x d) (15x2y3 2 12x33y2) : 3xy =15x23y3 : 3xy - 12x3y2 : 3xy = (15:3).(x :x).(y :y) - (12:3).(x :x).(y2:y) = 5xy2 - 4x2y (4) e) x3 - x x x x - 3x x2 2x 2x x 2x x x 3 x 3 Bµi tËp: Lµm phÐp chia : 2 a) (3x y 6x y 12xy ) : 3xy xy 2xy b) (2x4 - 3x3- 3x2 + 6x - 2): (x2 - 2) 2x 3x 3x 6x x2 2x x x 1 4x 3x x 6x 3x 6x x2 2 x2 2 2 x x x x = ( x )( x x 1) VËy: c) Tìm số a để đa thức x3- 3x2 + 5x + a chia hết cho đa thức x-2 x - 3x x a x2 x - 2x - x2 x x2 5x a - x2 2x 3x a 3x a 6 VËy : x3- 3x2 + 5x + a = (x2 - x + 3)(x - 2) + (a + 6) => (x3- 3x2 + 5x + a) ( x - 2) a + = => a = -6 ChơngII: Phân thức đại số I §Þnh nghÜa: A Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là biểu thức có dạng B , đó A, B là đa thức và B khác đa thức A đợc gọi là tử thức (hay tử), Bđợc gọi là mẫu thức (hay mẫu) Hai ph©n thøc b»ng A C A.D C.B B D TÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc (5) A A.M B B.M (M lµ ®a thøc kh¸c 0) A A: N B B : N (N lµ nh©n tö chung) Rót gän ph©n thøc Nhận xét: để rút gọn phân thức ta có thể: + Ph©n tÝch c¶ mÉu vµ tö thµnh nh©n tö (nÕu cÇn) + Chia c¶ tö vµ mÉu cho nh©n tö chung Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức * §Ó t×m MTC ta cã thÓ lµm nh sau: - Ph©n tÝch MT cña c¸c ph©n thøc thµnh nh©n tö - MTC lµ mét tÝch gåm: + Nh©n tö b»ng sè ë c¸c mÉu + Víi mçi luü thõa cña mét biÓu thøc cã mÆt mÉu thøc ta chän luü thõa cã sè mò cao nhÊt Muốn quy đồng mẫu nhiều phân thứcta có thể làm nh sau: - Ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh nh©n tö råi t×m mÉu thøc chung - T×m nh©n tö phô cña mçi ph©n thøc(chia mÉu thøc chung cho mÉu thøc cña mçi ph©n thøc) - Nh©n c¶ tö vµ mÉu cña mçi ph©n víi nh©n tö phô t¬ng øng 3x y x xy 2y V× x y y 6 x y ;6 xy x 6 x y 2.3 x ( x 5) 6 x 30 x x ( x 5) x 2.3 x ( x 5) 3 x.2( x 5) 2( x 5) v× x 2( x 5) 6 x 30 x VÝ dô a) b) c) Rót gän c¸c ph©n thøc: x y x y : xy x xy xy : xy 4y *) 7x 14x 7(x 1)2 7(x 1) 3x(x 1) 3x 3x 3x *) d) Qui đồng mẫu thức x y vµ 12x y MTC:12x y Bµi tËp: *) 5.12y 60y x y3 x y3 12y 12x y *) 7.x 7x 12x y 12x y x 12x y4 (6) x ( x 2)( x 1) x2 a) x v× ( x 3)( x 1) x x x x (x x 3) x x 3x b) Rót gän c¸c ph©n thøc: x x x( x 1) x( x 1) : ( x 1) x 2 x x ( x 1) ( x 1) : ( x 1) *) *) x xy x y x( x y ) ( x y ) x xy x y x( x y ) ( x y ) ( x y )( x 1) x y ( x 1)( x 1) x y c) Qui đồng mẫu thức hai phân thức: x 5x vµ 2x 10 3 5 x 5x x(x 5) ; 2x 10 2(x 5) MTC = 2x(x- 5) *) 3 3.2 x 5x x(x 5) x(x 5).2 2x(x 5) 5 5.x 5x *) 2x 10 2(x 5) 2(x 5).x 2x(x 5) II Cộng và trừ các phân thức đại số - Phép cộng các phân thức đại số Céng hai ph©n thøc cïng mÉu A C A C B B B Céng hai ph©n thøc cã cïng mÉu kh¸c A C E F E F B D M M M - Phép trừ các phân thức đại số A A Khái niệm phân thức đối phân thức B (B ) (là phân thức B và đợc kí A hiÖu lµ B ) * Qui t¾c: A C A C B D B D (7) VÝ dô Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh: x x (3 x 1) (2 x 2) x 2 x y x y x y 7x y a) 25 y 6xy 10x 25y 6xy 10 x x 3 2 10 x y 10 x y 10 x y 10x y x y xy y b) x x ( x ) x 3x 2x 3x x 1 x 1; c) x x = x x x 1 x x (1 x ) x x x (1 x ) (2) x x ( x 3)( x 3) x2 d) x x MTC = ( x 3)( x 3) (2) ( x 1)( x 3) (1 x )( x 3) x (1 x ) 2( x 3) ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) x III Nhân và chia các phân thức đại số Biến đổi các biểu thức hữu tỉ - Phép nhân các phân thức đại số + Quy t¾c nh©n hai ph©n thøc: A C A.C B D = B.D - Các tính chất phép nhân các phân thức đại số: A C C A B D = D B (tÝnh giao ho¸n); A C E A C E B D F B D F (tÝnh kÕt hîp); A C E A C A E B D F B D B F (tính chất phân phối phép nhân phép cộng) - Phép chia các phân thức đại số A B *) B có phân thức nghịch đảo là A B A A có phân thức nghịch đảo là B * Qui t¾c: SGK A C A D C 0 : B D B C D - Biến đổi các biểu thức hữu tỉ VÝ dô 8x y 9z 8.9x y z 6x 3 15z 4xy 15.4xy z 5yz ; a) (8) x y x y (x y)(x y) 3xy x y : 2 2 6x y 3xy 6x y x y 2xy b) C c) Cho ph©n thøc §KX§: x 1 x2 x x 0 x x x (x 1) x Bµi tËp: x2 y x 1 x y x xy y a) : : x y y x xy xy y 2 ( x y )( x xy y ) xy x y xy x xy y x 2x b) Cho ph©n thøc: x §KX§: x 0 x 1 Ch¬ngIII Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn I Khái niệm phơng trình, phơng trình tơng đơng - Ph¬ng tr×nh mét Èn Một phơng trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), đó vế trái A(x) và vế phải B(x) lµ hai biÓu thøc cña cïng mét biÕn x VÝ dô: a) 2x + = (x - 1)+ b) (t + 1)2 = 3t + 3x 0 c) - Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng chúng có cùng tập hợp nghiệm VÝ dô: x + = x = - II Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn - định nghĩa phơng trình bậc nhất: ax + b = (x là ẩn; a, b là các số, a b x a NghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc nhÊt: Cã mét nghiÖm nhÊt a)4 x 20 0 x 20 x VÝ dô: b)2x x 12 0 x 12 x 20 5 VËy nghiÖm cña pt lµ x = 12 VËy nghiÖm cña pt lµ x = - (9) - Phơng trình đa đợc dạng ax + b = C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh: + Bớc 1: Thực phép tính bỏ ngoặc, qui đồng khử mẫu + Bíc 2: ChuyÓn c¸c h¹ng tö chøa Èn sang mét vÕ, c¸c h»ng sè sang vÕ + Bớc 3: Thu gọn và giải phơng trình nhận đợc Gi¶i ph¬ng tr×nh: b) x 5 x 12 x x 12 x 15 x 5 VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ S 5 5x 3x 12 x 2(5 x 2) 3(7 x ) 12 12 12 x 10 x 21 x x 25 12 x 10 x x 21 11 25 S 11 Ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm 3x x 1 ( x 1) (2 x 1) 9 x x x 9 x x 9 x x 9 x ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - Ph¬ng tr×nh tÝch ph¬ng tr×nh cã d¹ng: A(x).B(x).C(x) = (A(x), B(x), C(x) lµ c¸c ®a thøc chøa Èn x VÝ dô: gi¶i ph¬ng tr×nh ( x 1)(2 x 3) 0 x x 0 x 3 x 0 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = - vµ x = 3/2 x ( x 3) 5( x 3) 0 ( x 3)(2x 5) 0 x 3 x 0 x x 0 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = (10) vµ x = - 5/2 ( x 1)2 22 0 ( x 1)( x 3) 0 x 0 x 0 x x 3 VËy tËp nghiÖm cña PT lµ S 1;3 c )3 x 15 2 x ( x 5) 3( x 5) x ( x 5) 0 (3 x )( x 5) 0 x 0 x 0 x 2 x 5 VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ 3 S ;5 2 - Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu quy t¾c gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu: + Tìm điều kiện xác định + Quy đồng mẫu và khử mẫu(Nhân hai vế với MTC) + Giải phơng trình vừa nhận đợc + Xem xét các giá trị x tìm đợc có thoả mãn ĐKXĐ không và kết luận nghiÖm cña ph¬ng tr×nh III Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn c¸c bíc gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh: + Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số + Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết + Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ các đại lợng Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh Bíc 3: Chän kÕt qu¶ thÝch hîp vµ tr¶ lêi (11)