VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: Phương pháp hình học: Dựa vào mối q[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN Định nghĩa và các phép toán Định nghĩa, tính chất, các phép toán vectơ không gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng Löu yù: AC + Qui taéc ba ñieåm: Cho ba ñieåm A, B, C baát kyø, ta coù: AB BC AD AC + Qui taéc hình bình haønh: Cho hình bình haønh ABCD, ta coù: AB + Qui taéc hình hoäp: Cho hình hoäp ABCD.ABCD, ta coù: AB AD AA ' AC ' + Hêï thức trung điểm đoạ ng: Cho I laø trung n thaú ñieå m đoạn thẳng AB, O tuỳ ý IA IB 0 ; OA OB 2OI Ta coù: + Hệ thức trọng tâm tam giaù c: Cho G laø troï ng taâm cuû a tam giaùc ABC, O tuyø yù GA GB GC 0; OA OB OC 3OG Ta coù: + Hệ thức trọng tâm tứ diệ n: Cho G là trọ n g taâ m của tứ diện ABCD, O tuỳ ý GA GB GC GD 0; OA OB OC OD 4OG Ta coù: a vaø b cuø n g phöông ( a ) ! k R : b ka + Ñieàu kieän hai vectô cuøng phöông: + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k 1), Otuỳý OA kOB MA k MB; OM 1 k Ta coù: Sự đồng phẳng ba vectơ Ba vectơ gọi là đồng phẳng các giá chúng cùng song song với mặt phaúng a vaø b a , b , c Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ , đó khoâng cùng phương Khi đó: a, b , c đồng phẳng ! m, n R: c ma nb a Cho ba vectơ , b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý x ma nb pc Khi đó: ! m, n, p R: Tích vô hướng hai vectơ Góc hai vectơ không gian: AB u, AC v (u , v ) BAC (0 BAC 180 ) Tích vô hướng hai vectơ không gian: u.v u v cos(u , v ) u + Cho , v 0 Khi đó: u hoặ c v 0 Qui ước: u.v 0 + Với + u v u.v 0 2 + u u (2) II HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ tọa độ Đêcac vuông góc không gian: Cho ba truï c Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi và chung điểm gốc O Gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz đơn giản là hệ tọa độ Oxyz 2 2 2 i j k Chuù yù: vaø i j i.k k j 0 Tọa độ vectơ: xi y j zk a) Ñònh nghóa: u x; y; z u a (a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ), k R b) Tính chaát: Cho a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) ka (ka1; ka2 ; ka3 ) a1 b1 a b a2 b2 a b ( ; ; ), i ( ; ; ), j ( ; ; ), k (0; 0;1) a cuøng phöông b (b 0) a kb (k R ) a1 kb1 a a a a2 kb2 , (b1, b2 , b3 0) b1 b2 b3 a kb a.b a1.b1 a2 b2 a3 b3 a b a1b1 a2 b2 a3b3 0 2 a a12 a22 a22 a a12 a22 a32 a1b1 a2b2 a3b3 a.b cos(a, b ) a.b a12 a22 a32 b12 b22 b32 (với a , b 0 ) Tọa độ điểm: M ( x ; y ; z ) OM ( x; y; z) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) a) Ñònh nghóa: Chuù yù: M (Oxy) z = 0; M (Oyz) x = 0; M (Oxz) y = M Ox y = z = 0; M Oy x = z = 0; M Oz x = y = A( x A ; y A ; zA ), B( xB ; yB ; zB ) b) Tính chaát: Cho AB ( xB x A )2 ( yB y A )2 (zB zA )2 AB ( x B x A ; yB y A ; zB zA ) x kxB y A kyB zA kzB M A ; ; 1 k 1 k Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): k x x B y A yB zA zB M A ; ; 2 Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: (3) Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: x x B xC y A yB yC zA zB zC G A ; ; 3 Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD: x x B xC xD y A yB yC yD zA zB zC zC G A ; ; 4 Tích có hướng hai vectô: (Chöông trình naâng cao) a (a , a2 , a3 ) b (b1 , b2 , b3 ) a) Ñònh nghóa: Cho a2 a3 a, b a b b b3 , ; a3 a1 b3 b1 ; a1 a2 a2 b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2 b1 b1 b2 Chú ý: Tích có hướng hai vectơ là vectơ, tích vô hướng hai vectơ là số b) Tính chaát: j , k i ; i , j k ; k , i j [ a , b ] a ; [ a , b ] b [a, b] a b sin a , b c) Ứng dụng tích có hướng: a, b cuøng phöông [a, b] a , b [ a Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: và c đồng phẳng , b].c 0 S AB, AD Dieän tích hình bình haønh ABCD: Dieän tích tam giaùc ABC: Theå tích khoái hoäp ABCD.ABCD: Thể tích tứ diện ABCD: ABCD S ABC AB, AC VABCD A ' B 'C ' D ' [ AB, AD ].AA ' VABCD [ AB, AC ].AD Chuù yù: – Tích vô hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc hai đường thẳng – Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương a b a.b 0 a vaø b cuø n g phöông a , b 0 a , b , c đồng phẳng a , b c 0 Phöông trình maët caàu: (4) Phöông trình maët caàu (S) taâm I(a; b; c), baùn kính R: ( x a )2 ( y b) ( z c) R Phương trình x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = với A2 + B2 + C2 – D > là phöông trình maët caàu taâm I(–A; –B; –C) vaø baùn kính R = √ A 2+ B 2+C − D VẤN ĐỀ 1: Các phép toán toạ độ vectơ và điểm – Sử dụng các công thức toạ độ vectơ và điểm không gian – Sử dụng các phép toán vectơ không gian VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm không gian Chứng minh tính chất hình học Dieän tích – Theå tích – Sử dụng các công thức toạ độ vectơ và điểm không gian – Sử dụng các phép toán vectơ không gian – Công thức xác định toạ độ các điểm đặc biệt – Tính chaát hình hoïc cuûa caùc ñieåm ñaëc bieät: AB, AC 0 AB , AC AB k AC A, B, C thaúng haøng cuø ng phöông ABCD laø hình bình haønh AB DC Cho ABC có các chân E, F các đường phân giác và ngoài góc A AB AB EB EC FB FC AC AC , A, B, C, D không đồng phẳng AB, AC , AD không đồng phẳng ABC treân BC Ta coù: AB, AC AD 0 VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R mặt cầu Daïng 1: (S) coù taâm I(a; b; c) vaø baùn kính R: 2 2 (S): ( x a) ( y b) (z c) R Daïng 2: (S) coù taâm I(a; b; c) vaø ñi qua ñieåm A: Khi đó bán kính R = IA Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: – Tâm I là trung điểm đoạn thẳng AB: xI x A xB y y z z ; yI A B ; zI A B 2 AB – Baùn kính R = IA = Dạng 4: (S) qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): 2 – Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x y z 2ax 2by 2cz d 0 (*) – Thay toạ độ các điểm A, B, C, D vào (*), ta phương trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d Phương trình mặt cầu (S) Dạng 5: (S) qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước: Giải tương tự dạng (5) Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước: – Xaùc ñònh taâm J vaø baùn kính R cuûa maët caàu (T) – Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu (S) (Xét hai trường hợp tiếp xúc và tiếp xúc ngoài) III PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG Vectô phaùp tuyeán – Caëp vectô chæ phöông cuûa maët phaúng Vectơ n 0 là VTPT () giá n vuông góc với () a Hai vectô , b khoâng cuøng phöông laø caëp VTCP cuûa () neáu caùc giaù cuûa chuùng song song nằm trên () Chuù yù: Neáu n laø moät VTPT cuûa () thì kn (k ≠ 0) cuõng laø VTPT cuûa () Neáu a , b laø moät caëp VTCP cuûa () thì n a , b laø moät VTPT cuûa () Phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng Ax By Cz D 0 với A B C Neáu () coù phöông trình Ax By Cz D 0 thì n ( A; B; C ) laø moät VTPT cuûa () M (x ; y ; z ) Phöông trình maët phaúng ñi qua 0 0 vaø coù moät VTPT n ( A; B; C ) laø: A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 Các trường hợp riêng Caùc heä soá D=0 A=0 B=0 C=0 A=B=0 A=C=0 B=C=0 Chuù yù: Phöông trình maët phaúng () Ax By Cz 0 By Cz D 0 Ax Cz D 0 Ax By D 0 Cz D 0 By D 0 Ax D 0 Tính chaát maët phaúng () () qua gốc toạ độ O () // Ox () Ox () // Oy () Oy () // Oz () Oz () // (Oxy) () (Oxy) () // (Oxz) () (Oxz) () // (Oyz) () (Oyz) Nếu phương trình () không chứa ẩn nào thì () song song chứa trục tương ứng x y z 1 a b c Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: () cắt các trục toạ độ các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai maët phaúng (), () coù phöông trình: (): (): A1 x B1y C1z D1 0 A2 x B2 y C2 z D2 0 A : B : C A2 : B2 : C2 (), () caét 1 A1 B1 C1 D1 A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 A2 B2 C2 D2 () // () () () (6) A A B B C C 0 () () 2 Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = Ax By0 Cz0 D d M0 ,( ) A2 B2 C VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng () ta cần xác định điểm thuộc () và VTPT nó M x0 ; y0 ; z0 n A; B;C Daïng 1: () ñi qua ñieåm coù VTPT : (): A x x0 B y y0 C z z0 0 M x0 ; y0 ; z0 a Daïng 2: () ñi qua ñieåm coù caëp VTCP , b : Khi đó VTPT () là n a , b Daïng 3: () ñi qua ñieåm M x0 ; y0 ; z0 và song song với mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0: (): A x x0 B y y0 C z z0 0 Daïng 4: () ñi qua ñieåm khoâng thaúng haøng A, B, C: n Khi đó ta có thể xác định VTPT () là: AB, AC Dạng 5: () qua điểm M và đường thẳng (d) không chứa M: u – Treân (d) laáy ñieåm A vaø VTCP n AM , u – Moät VTPT cuûa () laø: Dạng 6: () qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d): VTCP u đường thẳng (d) là VTPT () Dạng 7: () qua đường thẳng cắt d1, d2: a – Xác định các VTCP , b các đường thẳng d1, d2 – Moät VTPT cuûa () laø: n a , b – Lấy điểm M thuộc d1 d2 M () Dạng 8: () chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau): – Xác định các VTCP a , b các đường thẳng d1, d2 n – Moät VTPT cuûa () laø: a , b – Laáy moät ñieåm M thuoäc d1 M () Dạng 9: () qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo d1, d2: – Xác định các VTCP a , b các đường thẳng d1, d2 n – Moät VTPT cuûa () laø: a , b Dạng 10: () qua đường thẳng (d) và vuông góc với mặt phẳng (): n u – Xaùc ñònh VTCP cuûa (d) vaø VTPT cuûa () n u , n – Moät VTPT cuûa () laø: – Laáy moät ñieåm M thuoäc d M () Dạng 11: () qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt (), (): n , n – Xaùc ñònh caùc VTPT cuûa () vaø () (7) n u , n – Moät VTPT cuûa () laø: Dạng 12: () qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước khoảng k cho trước: A B C 0 – Giả sử () có phương trình: Ax By Cz+D 0 – Lấy điểm A, B (d) A, B () (ta hai phương trình (1), (2)) – Từ điều kiện khoảng cách d ( M ,( )) k , ta phương trình (3) – Giaûi heä phöông trình (1), (2), (3) (baèng caùch cho giaù trò moät aån, tìm caùc aån coøn laïi) Dạng 13: () là tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H: – Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính R – Moät VTPT cuûa () laø: n IH Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học lớp 11 VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai mặt phẳng VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song Hình chiếu điểm trên mặt phẳng Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = Ax By0 Cz0 D d M0 ,( ) A2 B2 C Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách chúng MH , n cuøng phöông Ñieåm H laø hình chieáu cuûa ñieåm M treân (P) H (P ) Điểm M đối xứng với điểm M qua (P) MM 2 MH VẤN ĐỀ 4: Góc hai mặt phẳng Cho hai maët phaúng (), () coù phöông trình: (): A1 x B1y C1z D1 0 A2 x B2 y C2 z D2 0 n1 , n2 Góc (), () bù với góc hai VTPT n n A1 A2 B1B2 C1C2 cos ( ),( ) 2 n1 n2 A12 B12 C12 A22 B22 C22 (): Chuù yù: ( ),( ) 90 ( ) ( ) A1 A2 B1B2 C1C2 0 VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (8) 2 2 Cho maët phaúng (): Ax By Cz D 0 vaø maët caàu (S): ( x a) ( y b) (z c) R () vaø (S) khoâng coù ñieåm chung d (I ,( )) R () tiếp xúc với (S) d (I ,( )) R () laø tieáp dieän Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) và vuông góc với () – Tìm toạ độ giao điểm H d và () H là tiếp điểm (S) với () () cắt (S) theo đường tròn d (I ,( )) R Để xác định tâm H và bán kính r đường tròn giao tuyến ta có thể thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) và vuông góc với () – Tìm toạ độ giao điểm H d và () H là tâm đường tròn giao tuyến (S) với () 2 Bán kính r đường tròn giao tuyến: r R IH IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương trình tham số đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm a (a1; a2 ; a3 ) : x xo a1t (d ) : y yo a2 t ( t R) z z a t o (d ) : x x0 y y0 z z0 M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø coù VTCP a a a 0 a1 a2 a3 Neáu thì ñgl phöông trình chính taéc cuûa d Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d, d có phương trình tham số là: x x0 ta1 x x0 ta1 d : y y0 ta2 d : y y0 ta2 z z ta z z ta 3 vaø a , a cuøng phöông x ta x ta 1 heä y ta y ta (aån t, t ) voâ nghieäm 2 z ta z t a 3 d // d a , a 0 a , a cuøng phöông a , a cuøng phöông M (x ; y ; z ) d 0 a , M M a , M M khoâ n g cuø n g phöông 0 0 0 0 x0 ta1 x0 t a1 heä y0 ta2 y0 t a2 (aån t, t ) coù voâ soá nghieäm z ta z t a 3 d d (9) a , a cuøng phöông M (x ; y ; z ) d 0 0 d, d caét d, d cheùo a , a, M0 M0 ñoâi moät cuøng phöông a, a a, M0 M0 0 x0 ta1 x0 ta1 y0 ta2 y0 ta2 z ta z ta 3 (ẩn t, t) có đúng nghiệm heä a , a 0 a , a khoâ n g cuø n g phöông a , a , M0 M0 đồng phẳng a , a M0 M0 0 a , a khoâng cuøng phöông x ta x ta 1 heä y ta y ta (aån t, t ) voâ nghieäm 2 z0 ta3 z0 ta3 a , a, M0 M0 không đồng phẳng a , a M0 M0 0 a.a 0 d d a a Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng x x0 ta1 y y0 ta2 z z ta Cho mặt phẳng (): Ax By Cz D 0 và đường thẳng d: A( x0 ta1 ) B( y0 ta2 ) C (z0 ta3 ) D 0 Xeùt phöông trình: (aån t) (*) d // () (*) voâ nghieäm d cắt () (*) có đúng nghiệm d () (*) coù voâ soá nghieäm Vị trí tương đối đường thẳng và mặt cầu x x0 ta1 y y0 ta2 z z ta 2 2 (1) vaø maët caàu (S): ( x a) ( y b) ( z c) R (2) Cho đường thẳng d: Để xét VTTĐ d và (S) ta thay (1) vào (2), phương trình (*) d vaø (S) khoâng coù ñieåm chung (*) voâ nghieäm d(I, d) > R d tiếp xúc với (S) (*) có đúng nghiệm d(I, d) = R d caét (S) taïi hai ñieåm phaân bieät (*) coù hai nghieäm phaân bieät d(I, d) < R Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (chương trình nâng cao) Cho đường thẳng d qua M0 và có VTCP a và điểm M M M , a d (M , d ) a Khoảng cách hai đường thẳng chéo (chương trình nâng cao) Cho hai đường thẳng chéo d1 và d2 a1 a2 d1 ñi qua ñieåm M1 vaø coù VTCP , d2 ñi qua ñieåm M2 vaø coù VTCP (10) a1 , a2 M1M2 d (d1 , d2 ) a1 , a2 Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d 1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng () chứa d2 và song song với d1 Khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng () song song với nó khoảng cách từ điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng () Góc hai đường thẳng a ,a Cho hai đường thẳng d1, d2 có các VTCP a1 , a2 Góc d1, d2 bù với góc a a cos a1 , a2 2 a1 a2 Góc đường thẳng và mặt phẳng a (a1; a2 ; a3 ) Cho đường thẳng d có VTCP vaø maët phaúng () coù VTPT n ( A; B; C ) Góc đường thẳng d và mặt phẳng ( ) góc đường thẳng d với hình chiếu d noù treân () Aa1 Ba2 Ca3 sin d ,( ) A B C a12 a22 a32 VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d và VTCP nó M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) a (a1; a2 ; a3 ) Daïng 1: d ñi qua ñieåm vaø coù VTCP : x xo a1t (d ) : y yo a2t ( t R) z z a t o Daïng 2: d ñi qua hai ñieå m A, B: Moät VTCP cuûa d laø AB M (x ; y ; z ) Dạng 3: d qua điểm 0 0 và song song với đường thẳng cho trước: Vì d // neân VTCP cuûa cuõng laø VTCP cuûa d M (x ; y ; z ) Dạng 4: d qua điểm 0 0 và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước: Vì d (P) neân VTPT cuûa (P) cuõng laø VTCP cuûa d Daïng 5: d laø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), (Q): Caùch 1: Tìm moät ñieåm vaø moät VTCP (P ) – Tìm toạ độ điểm A d: cách giải hệ phương trình (Q) (với việc chọn giá trị cho moät aån) a nP , nQ – Tìm moät VTCP cuûa d: Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm đó (11) Daïng 6: d ñi qua ñieåm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2: a ad , ad 2 Vì d d1, d d2 neân moät VTCP cuûa d laø: M (x ; y ; z ) Dạng 7: d qua điểm 0 0 , vuông góc và cắt đường thẳng Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc M0 trên đường thẳng H M0 H u Khi đó đường thẳng d là đường thẳng qua M0, H Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng qua A và chứa d Khi đó d = (P) (Q) M (x ; y ; z ) Dạng 8: d qua điểm 0 0 và cắt hai đường thẳng d1, d2: Cách 1: Gọi M1 d1, M2 d2 Từ điều kiện M, M 1, M2 thẳng hàng ta tìm M 1, M2 Từ đó suy phương trình đường thẳng d ( M0 , d1 ) ( M0 , d ) Caùch 2: Goïi (P) = , (Q) = Khi đó d = (P) (Q) Do đó, VTCP d có a nP , nQ theå choïn laø Dạng 9: d nằm mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1, d2: Tìm các giao điểm A = d1 (P), B = d2 (P) Khi đó d chính là đường thẳng AB Dạng 10: d song song với và cắt hai đường thẳng d1, d2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa và d1, mặt phẳng (Q) chứa và d2 Khi đó d = (P) (Q) Dạng 11: d là đường vuông góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau: MN d1 MN d2 Cách 1: Gọi M d1, N d2 Từ điều kiện , ta tìm M, N Khi đó, d là đường thẳng MN Caùch 2: a ad , ad 2 – Vì d d1 vaø d d2 neân moät VTCP cuûa d coù theå laø: – Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d1, cách: + Laáy moät ñieåm A treân d1 nP a , ad 1 + Moät VTPT cuûa (P) coù theå laø: – Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và d2 Khi đó d = (P) (Q) Dạng 12: d là hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng (P): Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa và vuông góc với mặt phẳng (P) cách: – Laáy M nQ a , nP – Vì (Q) chứa và vuông góc với (P) nên Khi đó d = (P) (Q) Dạng 13: d qua điểm M, vuông góc với d1 và cắt d2: Cách 1: Gọi N là giao điểm d và d2 Từ điều kiện MN d1, ta tìm N Khi đó, d là đường thẳng MN Caùch 2: – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d1 – Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d2 (12) Khi đó d = (P) (Q) VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta có thể sử dụng các phương pháp sau: Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ các VTCP và các điểm thuộc các đường thaúng Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình các đường thẳng VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng Để xét VTTĐ đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng các phương pháp sau: Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng và VTPT mặt phaúng Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối đường thẳng và mặt cầu Để xét VTTĐ đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau: Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d Cách 1: Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP a M M , a d (M , d ) a Cách 2: – Tìm hình chiếu vuông góc H M trên đường thẳng d – d(M,d) = MH Cách 3: – Gọi N(x; y; z) d Tính MN2 theo t (t tham số phương trình đường thẳng d) – Tìm t để MN2 nhỏ – Khi đó N H Do đó d(M,d) = MH Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d1 và d2 a1 a2 d1 ñi qua ñieåm M1 vaø coù VTCP , d2 ñi qua ñieåm M2 vaø coù VTCP a1 , a2 M1M2 d (d1 , d2 ) a1 , a2 Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d 1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng () chứa d2 và song song với d1 Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng Khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng () song song với nó khoảng cách từ điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng () (13) VẤN ĐỀ 6: Góc Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có các VTCP a1 , a2 Góc d1, d2 bù với góc a a cos a1 , a2 2 a1 a2 a1 , a2 Góc đường thẳng và mặt phẳng a (a1; a2 ; a3 ) n Cho đường thẳng d có VTCP vaø maët phaúng () coù VTPT ( A; B; C ) Góc đường thẳng d và mặt phẳng ( ) góc đường thẳng d với hình chiếu d noù treân () Aa1 Ba2 Ca3 sin d ,( ) A B C a12 a22 a32 VẤN ĐỀ 7: Một số vấn đề khác Vieát phöông trình maët phaúng Dạng 1: Mặt phẳng (P) qua điểm A và đường thẳng d: – Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C – Moät VTPT cuûa (P) laø: n AB, AC Dạng 2: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song d1, d2: – Xác định VTCP a d1 (hoặc d2) – Treân d1 laáy ñieåm A, treân d2 laáy ñieåm B Suy A, B (P) n – Moät VTPT cuûa (P) laø: a , AB Dạng 3: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt d1, d2: – Lấy điểm A d1 (hoặc A d2) A (P) – Xaùc ñònh VTCP a cuûa d1, b cuûa d2 n – Moät VTPT cuûa (P) laø: a , b Dạng 4: Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau): – Xác định các VTCP a , b các đường thẳng d1, d2 n – Moät VTPT cuûa (P) laø: a , b – Laáy moät ñieåm M thuoäc d1 M (P) Dạng 5: Mặt phẳng (P) qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo d1, d2: a – Xác định các VTCP , b các đường thẳng d1, d2 n – Moät VTPT cuûa (P) laø: a , b Xác định hình chiếu H điểm M lên đường thẳng d Cách 1: – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d – Khi đó: H = d (P) H d MH ad Cách 2: Điểm H xác định bởi: Điểm đối xứng M' điểm M qua đường thẳng d (14) Caùch 1: – Tìm ñieåm H laø hình chieáu cuûa M treân d – Xác định điểm M cho H là trung điểm đoạn MM Cách 2: – Gọi H là trung điểm đoạn MM Tính toạ độ điểm H theo toạ độ M, M MM ' a d H d – Khi đó toạ độ điểm M xác định bởi: Xác định hình chieáu H cuûa moät ñieåm M leân maët phaúng (P) Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với (P) – Khi đó: H = d (P) H ( P) MH , nP cuøng phöông Cách 2: Điểm H xác định bởi: Điểm đối xứng M' điểm M qua mặt phẳng (P) Caùch 1: – Tìm ñieåm H laø hình chieáu cuûa M treân (P) – Xác định điểm M cho H là trung điểm đoạn MM Cách 2: – Gọi H là trung điểm đoạn MM Tính toạ độ điểm H theo toạ độ M, M H (P) MH , nP cuøng phöông – Khi đó toạ độ điểm M xác định bởi: PHẦN : BÀI TẬP Baøi Tìm taâm vaø baùn kính cuûa caùc maët caàu sau: 2 a) x y z x y 0 2 b) x y z x 8y 2z 0 2 2 2 c) x y z x y z 0 d) x y z x y 2z 86 0 Baøi Vieát phöông trình maët caàu coù taâm I vaø ñi qua ñieåm A: a) I (2; 4; 1), A(5; 2; 3) b) I (0; 3; 2), A(0; 0; 0) c) I (3; 2;1), A(2;1; 3) d) I (4; 4; 2), A(0; 0; 0) e) I (4; 1; 2), A(1; 2; 4) Bài Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với: a) A(2; 4; 1), B(5; 2; 3) b) A(0; 3; 2), B(2; 4; 1) c) A(3; 2;1), B(2;1; 3) f) A(6; 2; 5), B( 4; 0; 7) d) A(4; 3; 3), B(2;1; 5) e) A(2; 3; 5), B(4;1; 3) Bài Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với: a) A 1;1; , B 0; 2;1 , C 1; 0; , D 1;1;1 b) A 2; 0; , B 0; 4; , C 0; 0; , D 2; 4; c) A(2; 3;1), B(4;1; 2), C (6; 3; 7), D( 5; 4; 8) e) A(6; 2; 3), B(0;1; 6), C (2; 0; 1), D(4;1; 0) d) A(5; 7; 2), B(3;1; 1), C (9; 4; 4), D(1; 5; 0) f) A(0;1; 0), B(2; 3;1), C( 2; 2; 2), D(1; 1; 2) Baøi Vieát phöông trình maët caàu ñi qua ba ñieåm A, B, C vaø coù taâm naèm maët phaúng (P) cho trước, với: A(2; 0;1), B(1; 3; 2), C (3; 2; 0) A(1; 2; 0), B( 1;1; 3), C(2; 0; 1) a) ( P ) (Oxz) b) (P ) (Oxy) Baøi Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T), với: (15) a) I ( 5;1;1) 2 (T ) : x y z x y z 0 b) I ( 3; 2; 2) 2 (T ) : x y z x y 8z 0 VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng Baøi a) d) Baøi a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M và có VTPT n cho trước: M 3;1;1 , n 1;1;2 b) M 2;7;0 , n 3;0;1 c) M 4; 1; , n 0;1;3 M 2;1; , n 1;0;0 e) M 3;4;5 , n 1; 3; f) M 10;1;9 , n 7;10;1 Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB cho trước, với : A(2;1;1), B(2; 1; 1) b) A(1; 1; 4), B(2; 0; 5) c) A(2; 3; 4), B(4; 1; 0) 1 A ; 1;0 , B 1; ;5 d) 1 A 1; ; , B 3; ;1 f) A(2; 5; 6), B( 1; 3; 2) e) Bài Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M và có cặp VTCP a , b cho trước, với: M ( ; ; ), a ( ; ; ), b ( ; ; ) M ( ; ; ), a ; ; ), b (0; 3; 4) a) b) c) M ( 1; 3; 4), a (2; 7; 2), b (3; 2; 4) d) M ( 4; 0; 5), a (6; 1; 3); b (3; 2;1) cho Bài Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M và song song với mặt phẳng trước, với: M 2;1; , Oxy M 1; 2;1 , : x y 0 a) b) M 1;1; , : x y z 10 0 M 3; 6; , : x z 0 c) d) Bài Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M và song song với các mặt phẳng toạ độ, với: a) M 2;1; b) M 1; 2;1 c) M 1;1; d) M 3; 6; 5 e) M(2; 3; 5) f) M(1;1;1) g) M( 1;1; 0) h) M(3; 6; 5) Bài Viết phương trình mặt phẳng () qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với: a) A(1; 2; 4), B(3; 2; 1), C ( 2;1; 3) b) A(0; 0; 0), B( 2; 1; 3), C (4; 2;1) c) A( 1; 2; 3), B(2; 4; 3), C(4; 5; 6) d) A(3; 5; 2), B(1; 2; 0), C (0; 3; 7) Bài Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm A và vuông góc với đường thẳng qua hai điểm B, C cho trước, với: a) A(1; 2; 4), B(3; 2; 1), C ( 2;1; 3) b) A(0; 0; 0), B( 2; 1; 3), C (4; 2;1) c) A( 1; 2; 3), B(2; 4; 3), C(4; 5; 6) d) A(3; 5; 2), B(1; 2; 0), C (0; 3; 7) Bài Viết phương trình mặt phẳng () qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng () cho trước, với: A(3;1; 1), B(2; 1; 4) A( 2; 1; 3), B(4; 2;1) A(2; 1; 3), B( 4; 7; 9) : x y 3z 0 : x 3y z 0 : 3x y 8z 0 a) b) c) Bài Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (), () cho trước, với: M ( 1; 2; 5), : x 2y 3z 0, : x 3y z 0 a) M (1; 0; 2), : x y z 0, : x y z 0 b) Baøi 10 Vieát phöông trình maët phaúng () ñi qua ñieåm M vaø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), (Q) (16) cho trước, với: M 1; 2; 3 , P : x 3y z 0, Q : 3x y 5z 0 a) M 2;1; 1 , P : x y z 0, Q : x y z 0 b) Bài 11 Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) (P ) : y 2z 0, (Q) : x y z 0, ( R) : x y z 0 b) (P ) : x y 2z 0, (Q) : y 4z 0, ( R) : x y 19 0 Bài 12 Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) (P ) : x 3y 0, (Q) : y 3z 0, ( R) : x y 3z 0 b) (P ) : y 2z 0, (Q) : x y z 0, ( R) : x y z 0 Bài 13 Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời cách điểm M cho trước khoảng k, với: a) (P ): x y 0, (Q) : x 13y 2z 0, M (1; 2; 3), k 2 VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai mặt phẳng Bài Xét vị trí tương đối các cặp mặt phẳng sau: 2 x 3y z 0 3 x y 3z 0 a) 3x y 8z 0 b) 3 x y 5z 0 Bài Xác định m, n để các cặp mặt phẳng sau: song song 3x my 2z 0 5 x y mz 11 0 a) nx y 6z 0 b) 3x ny z 0 5 x y 5z 0 c) 3 x 3y 3z 0 caét truøng x my 3z 0 c) nx y z 0 3x y mz 0 x y 3z 0 3 x y mz 0 x ny z mx y z d) e) f) x y 3z 0 Bài Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc với 2 x y mz 0 (2m 1) x 3my z 0 a) x y z 15 0 b) mx (m 1) y 4z 0 mx y mz 12 0 3 x (m 3) y 2z 0 x my z 0 c) d) (m 2) x y mz 10 0 VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song Hình chiếu điểm trên mặt phẳng Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng Baøi Cho maët phaúng (P) vaø ñieåm M Tính khoảng cách từ M đến (P) Tìm toạ độ hình chiếu H M trên (P) Tìm toạ độ điểm M đối xứng với M qua (P) M (2; 3; 5) b) (P ) : x y 5z 14 0, M (1; 4; 2) a) (P ) : x y z 0, M (3;1; 2) M (2; 3; 4) c) (P ) : x y 3z 12 0, d) (P ) : x y 4z 0, Bài Tìm khoảng cách hai mặt phẳng: x y 3z 0 x y 8z 0 3x y 3z 0 a) 2 x y 3z 0 b) x y 8z 0 c) x y z 0 Bài Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách điểm N và mặt phẳng (P): (17) a) (P ) : x y z 0, N (1; 2; 2) c) (P ) : x y 3z 12 0, N (3;1; 2) b) (P) : x y 5z 14 0, N (1; 4; 2) d) (P ) : x y 4z 0, N (2; 3; 4) Bài Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách hai mặt phẳng: x y z 0 x y z 0 a) x y z 0 b) x y z 0 c) 2 x y 4z 0 4 x y z 0 Bài Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) qua điểm A và song song với mặt phẳng (Q) cho trước Tính khoảng cách (P) và (Q): a) A 1; 2; –3 , (Q) : x y z 0 b) A 3; 1; –2 , (Q) : x y 3z 12 0 Bài Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và cách điểm A khoảng k cho trước: a) (Q) : x y 2z 0, A(2; 1; 4), k 4 b) (Q) : x 4y 4z 0, A(2; 3; 4), k 3 Baøi Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) khoảng k: a) (Q ) : x y 2z 0, k 14 b) (Q ) : x 3y 2z 0, k 29 VẤN ĐỀ 4: Góc hai mặt phẳng Bài Tính góc hai mặt phẳng: x y z 0 x y z 0 a) x y z 0 b) x y z 0 2 x y 4z 0 c) 4 x y z 0 VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu Bài Xét vị trí tương đối mặt phẳng (P) và mặt cầu (S): ( P) : x y z 0 ( P ) : x 3y 6z 0 2 (S ) : x y z x y z 0 (S ) : ( x 1)2 ( y 3)2 ( z 2)2 16 a) b) Bài Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước: a) I (3; 5; 2), (P ) : x y 3z 0 b) I (1; 4; 7), ( P ) : x y z 42 0 c) I (1;1; 2), ( P) : x y 2z 0 d) I ( 2;1;1), (P ) : x 2y 2z 0 Bài 3: Cho boán ñieåm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) vaø D(1; 3; 3) a) Chứng minh ABCD là tứ diện b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi vuông góc c) Tìm phöông trình toång quaùt cuûa caùc maët phaúng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD) d) Tính góc các cặp mặt phẳng: (ABC) và (ABD), (BCD) và (ACD) VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách Bài Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d: x 1 4t x 2 2t A(2; 3;1), d : y 2 2t A(1; 2; 6), d : y 1 t z 4t z t a) b) Bài Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 chéo Tính khoảng cách chúng: d : x 1 2t; y 3 t; z 3t ; d2 : x 2t '; y 1 t '; z 3 2t ' a) (18) d : x 1 2t; y 2 2t; z t; d2 : x 2t '; y 5 3t '; z 4 b) Bài Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 song song với Tính khoảng cách chúng: d : x 3 2t, y 4 3t, z 2 t ; d2 : x 4 4t, y 5 6t, z 3 2t a) x y2 z x y z 1 d1 : ; d2 : 6 3 12 b) Bài Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) Tính khoảng cách chúng: d : x 3t 2; y 1 4t; z 4t ; (P ) : x 3y 6z 0 a) d : x 1 2t; y t; z 2 2t ; ( P ) : x z 0 b) VẤN ĐỀ 6: Góc Bài Tính góc hai đường thẳng: d : x 1 2t, y –1 t, z 3 4t ; d2 : x 2 – t, y –1 3t , z 4 2t a) x y2 z x 2 y z4 d1 : ; d2 : 1 2 b) Bài Chứng minh hai đường thẳng sau vuông góc với nhau: 7 x z 15 0 x y z 0 d1 : ; d2 : y z 34 3x y 11 0 a) VẤN ĐỀ 7: Một số vấn đề khác Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A và đường thẳng d: x 4 2t x 2 t A(2; 3;1), d : y 2 3t A(1; 4; 3), d : y 2t z 3 t z 1 3t a) b) Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai đường thẳng song song d1, d2: x 2 y z3 d1 : x 2 3t; y 4 2t; z t 1; d2 : a) d1 : x y 3 z , d2 : x 2 y z b) Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai đường thẳng cắt d1, d2: d : x 3t; y 1 2t; z 3 t ; d2 : x 1 t '; y 2t '; z 4 t ' a) x y z 0 d1 : ; d2 : x 1 t; y t; z 3 t x y b) Bài Cho hai đường thẳng chéo d1, d2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2: d : x 1 2t; y 3 t; z 3t ; d2 : x 2t '; y 1 t '; z 3 2t ' a) d : x 1 2t; y 2 2t; z t; d2 : x 2t '; y 5 3t '; z 4 b) x y 1 z x y z 1 d1 : ; d2 : 2 2 d) Bài Tìm toạ độ hình chiếu H điểm M trên đường thẳng d và điểm M đối xứng với M qua đường thẳng d: (19) M (1; 2; 6), a) M (2;1; 3), x 2 2t d : y 1 t z t x 2t d : y 1 t z 2t M (2; 3;1), b) x 1 4t d : y 2 2t z 4t M (1; 2; 1), x 2 t d : y 1 2t z 3t c) d) Bài Tìm toạ độ hình chiếu H điểm M trên mặt phẳng (P) và điểm M đối xứng với M qua maët phaúng (P): M (2; 3; 5) b) (P ) : x y 5z 14 0, M (1; 4; 2) a) (P ) : x y z 0, M (3;1; 2) c) (P ) : x y 3z 12 0, d) (P ) : x y 4z 0, BAØI TẬP ÔN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bài Tìm trên trục Ox điểm M cách đường thẳng Δ : ( ) : x y z 0 x −1 y z +2 = = 2 M (2; 3; 4) vaø maët phaúng Bài Cho điểm A(1; 0; 0) và B(0; 2; 0) Viết phương trình mp (α) qua AB và tạo với mp(Oxy) moät goùc 60 ❑0 Bài Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(3; –1; 1) nằm mp (α ) : x – y + z – = x y−2 z = = và hợp với đường thẳng Δ : moät goùc 45 2 Bài Gọi (α ) là mặt phẳng qua A(2; 0; 1) và B(–2; 0; 5) và hợp với mp(Oxz) góc 45 ❑ Tính khoảng cách từ O đến mp (α ) ¿ x=7+3 t x −1 y+ z −5 y=2+2 t = = Bài Chứng minh đường thẳng Δ : vaø Δ : z=−1 −3 t cuøng −3 ¿{{ ¿ naèm moät maët phaúng Vieát phöông trình maët phaúng aáy x 1 y z d: 2 Bài Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng a) Chứng minh đường thẳng d và đường thẳng AB cùng thuộc mặt phẳng b) Tìm ñieåm I thuoäc d cho IA + IB nhoû nhaát Baøi Trong khoâng gian Oxyz cho ñieåm A(1; 2; 3), B(–2; 1; 0), C(–1; 0; 2), D(0; 2; 3) 1) Chứng minh ABCD là một tứ diệ thể tích tứ diện đó n Tính MA MB MC MD 2) Tìm ñieåm M cho : 3) Xác định toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD 4) Viết phương trình mặt phẳng trung trực các đoạn thẳng AB, AC, BC 5) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với trục Oz 6) Viết phương trình mặt phẳng qua A và B và vuông góc với mặt phẳng x 3y – z 0 7) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với hai mặt phẳng 2x + 3y – z = 0, x + 2y – 3z = 8) Viết phương trình mặt phẳng qua A và chắn các nửa trục dương Ox, Oy, Oz các điểm I , J, K cho thể tích tứ diện OIJK nhỏ 9) Viết phương trình mặt phẳng qua A và chắn các nửa trục dương Ox, Oy, Oz caùc ñieåm I , J, K cho OI + OJ + OK nhoû nhaát (20) 10) Viết phương trình mặt phẳng qua C, song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng x + 2y – 3z = 11) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua A vaø qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng : (P): x + y + z – =0, (Q):3x – y + z – = x y z 1 2 12) Viết phương trình mặt phẳng qua A và chứa đường thẳng : x y 1 z và tính khoảng 13) Tìøm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d: x y 3z 0 cách từ A đến đường thẳng d: x y 3z 0 14) Tìm trên trục Oz điểm M cách điểm A và mặt phẳng (P): x + 3y + = 15) Viết phương trình đường thẳng qua A, song song với mặt phẳng (P): x – y – z – = và x 1 y z vuông góc với đường thẳng : x y z 16) Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc và cắt đường thẳng: 17) Tìm ñieåm P thuoäc maët phaúng (P): 2x – 3y – z +2 = cho PA+PB nhoû nhaát x y z cuøng thuoäc moät maët 18) Chứng minh đường thẳng AB và đường thẳng d : phaúng Tìm ñieåm N thuoäc d cho NA + NB nhoû nhaát x y z vaø caét 19) Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với đường thẳng: x y z 0 đường thẳng: 2 x y z 0 20) Viết phương trình hình chiếu đường thẳng AB lên mặt phẳng (P): x + 3y – z = 21) Tính góc tạo bỡi đường thẳng AB với mặt phẳng (BCD) 22) G laø troïng taâm ABC, G’ laø moät ñieåm baát kyø thuoäc maët phaúng (P): 2x – 3y + z +3 = 2 Chứng minh rằng: G ' A G ' B G ' C nhỏ và G' là hình chiếu G lên (P) Tìm toạ độ điểm G’ 23) Laäp phöông trình maët caàu ñi qua A, B, C vaø coù taâm thuoäc mp(Oxy) 2 24) Laäp phöông trình tieáp dieän cuûa maët caàu (S): x y z x y 4z 0 taïi B 25) Lập phương trình mặt phẳng qua A và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình: x y z2 x y 6z 0 26) Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD TUYỂN TẬP ĐỀ THI ĐH QUA CÁC NĂM (Khối D_2011) Chuẩn Trong kgian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d : x +1 y z −3 = = Viết pt đường −2 thẳng Δ qua A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox (21) Nâng cao (Khối D_2010) Chuẩn Trong kgian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + y + z – = và (Q) : x – y + z – = Viết pt mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) cho khoảng cách từ đến ( R) Nâng cao x −1 y − z = = và mặt Δ phẳng (P): 2x – y + 2z = Viết pt mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng , bán kính Trong kgian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng Δ : và tiếp xúc với mp (P) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ : ¿ x=3+t y=t và z=t ¿{{ ¿ Δ2 : x −2 y − z = = 2 Xác định tọa độ điểm M thuộc Δ cho khoảng cách từ M đến Δ (Khối D_2009) Chuẩn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):x+y+z20=0 Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) Nâng cao : x2 y z 1 vặt phẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (P):x+2y3z+4=0 Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt và vuông góc với đường thẳng (Khối D_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3) a Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D b Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Khối D_2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(1;2;4) và đường thẳng : x y2 z 1 a Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) b Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng cho MA2+MB2 nhỏ (Khối D_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng d1 : x y2 z x y z 1 d1 : 1 , 1 a Tìm tọa độ điểm A’ đối xưmgs với điểm A qua đường thẳng d1 b Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 (Khối D_2005) (22) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 : x y z 1 1 và x 12 3t d2 : y t z 10 2t a Chứng minh d1 và d2 song song với Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d1 và d2 b Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 các điểm A, B Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ) (Khối D_2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z2=0 Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) (Khối D_2003) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho đường thẳng dk là giao tuyến hai mặt phẳng (): x+3kyz+2=0, (): kxy+z+1=0 Tìm k để đường thẳng dk Vuông góc với mặt phẳng (P):xy2z+5=0 10 (Khối D_2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho mặt phẳng (P): 2xy+2=0 và đường thẳng dm là giao tuyến hai mặt phẳng (): (2m+1)x+(1m)y+m1=0, (): mx+(2m+1)z+4m+2=0 Tìm m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) 11 (Khối B_2011) Chuẩn Trong kg Oxyz, cho đường thẳng Δ : x −2 y +1 z = = −2 − và mặt phẳng (P) : x + y + z – = gọi I là giao điểm Δ và (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MI vuông góc với Δ và MI = √14 Nâng cao Trong kg Oxyz, cho đường thẳng Δ : x +2 y − z +5 = = −2 và hai điểm A(-2; 1; 1), B(-3; -1; 2).Tìm tọa độ điểm M thuộc Δ cho tam giác MAB có diện tích √ 12 (Khối B_2010) Chuẩn Trong kg Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c),trong đó b,c dương và mp(P) : y – z + = Xác định b, c biết mp(ABC) vuông góc với mp(P) và khoảng cách từ O đến mp(ABC) Nâng cao Trong kg Oxyz, cho đường thẳng Δ : x y−1 z = = Xác định tọa độ điểm M trên trục 2 hoành cho khoảng cách từ M đến Δ OM 13 (Khối B_2009) Chuẩn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diệm ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(2;1;3), C(2;1;1) và D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) Nâng cao (23) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x2y+2z5=0 và hai điểm A(3;0;1), B(1;1;3) Trong các đường thẳng qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ 14 (Khối B_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;2;1), C(2;0;1) a Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C b Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z3=0 cho MA=MB=MC 15 (Khối B_2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z22x+4y+2z3=0 và mặt phẳng (P): 2xy+2z14=0 a Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo đường tròn có bán kính b Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M dến mặt phẳng (P) lớn 16 (Khối B_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng x 1 t x y z d : y 2t d1 : z 2 t 1 , a Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1, d2 b Tìm tọa độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho A, M, N thẳng hàng 17 Khối B_2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0;3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B(4;0;4) a Tìm tọa độ các đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCB1C1) b Gọi M là trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M và song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 điểm N Tính độ dài đoạn MN 18 (Khối B_2004) x 2t d : y 1 t z 4t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(4;2;4) và đường thẳng Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d 19 (Khối B_2003) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C cho AC 0; 6; Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA 20 (Khối A_2011) Chuẩn Trong không gian Oxyz cho điểm A(2; 0; 1), B(0; - 2; 3) và mặt phẳng (P) : 2x – y – z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA = MB = Nâng cao Trong kgian Oxyz , cho mặt cấu (S) ; x2 + y2 + z2 – 4x – 4y – 4z = và điểm A(4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biêt điểm B thuộc (S) và tam giác OAB 21 (khối A_2010) (24) Chuẩn x −1 y z +2 = = và mp(P): x – 2y + z = Gọi C −1 Δ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = √ Trong kgian Oxyz, cho đường thẳng Δ : là giao điểm Δ và (P), M thuộc Nâng cao Trong kgian Oxyz, cho điểm A(0; 0; -2) và đường thẳng Δ : x +2 y − z +3 = = Tính khoảng cách từ A đến Δ Viết pt mặt cầu tâm A, cắt Δ hai điểm B và C cho BC = 22 (Khối A_2009) Chuẩn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x2yz4=0 và mặt cầu (S): x2+y2+z22x4y6z11=0 Chứng minh (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định tọa độ tâm và bán kính đường tròn đó Nâng cao Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x2y+2z1=0 và hai đường thẳng 1 : x 1 y z x y z 1 2 : 1 , Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) 23 (Khối A_2008) d: x y z 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng a Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm A lên đường thẳng d b Viết phương trình mặt phẳng () chứa d cho khoảng cáh từ A đến () lớn 24 (Khối A_2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x y z2 1 và x 2t d : y 1 t z 3 a Chứng minh d1 và d2 chéo b Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x+y4z=0 và cắt hai đường thẳng d1, d2 25 (Khối A_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;01) Gọi M, N là trung điểm AB và CD a Tính khoảng cách đường thẳng A’C và MN b Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy góc biết cos 26 (Khối A_2005) x y 3 z và mặt phẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: (P): 2x+y2z+9=0 a Tìm tọa độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng (P), biết qua A và vuông góc với d (25) 27 (Khối A_2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC S 0; 0; 2 cắt BD gốc tọa độ O Biết A(2;0;0), B(0;1;0), Gọi M là trung điểm cạnh SC a Tính góc và khoảng cách hai đường thẳng SA, BM b Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN 28 (Khối A_2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: 1 : x y2 z và x 1 t : y 2 t z 1 2t a Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2 b Cho điểm M(2;1;4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng 2 cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ 29 (CĐ_Khối A_2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các mặt phẳng (P1): x+2y+3z+4=0 và (P2): 3x+2yz+10 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1;1;1), vuông góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2) 30 (CĐ_Khối A_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d có phương trình x y z 1 a Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d b Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác MOA cân đỉnh O 31 (ĐH – A,A1 2012) x 1 y z và điểm I( 0; 0; 3) Viết phương Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : trình mặt cầu S có tâm I và cắt d tai hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông I 32 (ĐH – B 2012) x y z và hai điểm A( 2; 1; 0) , Trong kgian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : B ( -2; 3; 2) Viết phương trình mặt cầu qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d 32 ( ĐH – D 2012): Cơ kgian Oxyz cho mp (P) : 2x + y – 2z + 10 = và điểm I ( 2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt mp (P) theo đường tròn có bán kính 33 ( ĐH – D 2012): Nâng cao x y 1 z 1 và hai điểm A( 1; -1; Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: 2), B( 2; -1; 0) Xác định tọa độ điểm M thuộc d cho tam giác AMB vuông M (26)