5,0 điểm Nhân dịp kỷ niệm 1000 năm Thăng Long, người ta cho lát lại đường ven hồ Hoàn Kiếm bằng các viên gạch hình lục giác đều.. Dưới đây là viên gạch lục giác đều có 2 mầu các hình trò[r]
(1)KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012-2013 Hä vµ tªn häc sinh:………………………………Lớp: …………… Ngµy sinh: ……………… Sè b¸o danh: -§iÓm bµi thi B»ng sè B»ng ch÷ Gi¸m kh¶o1: Sè ph¸ch Gi¸m kh¶o1: Bài (5,0 điểm) a) Tính các giá trị các biểu thức sau (kết lấy chữ số thập phân): ' sin 33o12' + sin 56o 48.sin 33o12' - sin 56 o 48' A= 2sin 33o12' + sin 56o 48' +1 B = 321930 + 291945 + 2171954 + 3041975 Kết quả: A …………………………………………………………………………………………… B …………………………………………………………………………………………… b) Tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100 Trình bày sơ lượt lời giải và kết quả: S = ……………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Bài 2: (5,0 điểm) a) Một học sinh có 32 ô vuông Ô thứ bỏ hạt thóc, ô thứ hai bỏ thóc, ô thứ ba bỏ hạt thóc, ô thứ tư bỏ hạt thóc, …(số hạt thóc ô gấp đôi ô trước) và đặt liên tiếp đến ô cuối cùng Hỏi cần bao nhiêu hạt thóc để đặt vào đủ 32 ô vuông đó (2) b) Tìm các chữ số x, y cho A = 9x1 167 y17 là lập phương số tự nhiên a) Số hạt thóc cần là:………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… c) x = …… ; y = …… Trình bày sơ lược cách tìm:…………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Bài (5,0 điểm) a) Giải các phương trình sau: (Kết lấy chính xác dạng phân số và số thập phân): 1 4 2 1 3 4 x 2 4 2 1 7 5 1 8 b) Tính a, b biết: B= 329 = 1051 1 3+ 5+ a+ b a) x = và x = ………………………… Trình sơ lược cách giải (nếu có): ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… b) a = ……… b = ……… (3) ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Bài 4: (5,0 điểm) P ( x, y ) a) Tính giá trị biểu thức ( x y )( x y ) x y 5x y 2 x y x xy x xy với x = 0.987654321 và y = 0.123456789 Kết quả: P = ………………………………………………………………………… b) Tính tích sau: M = 20102011 x 20112012 Kết quả: M = …………………………………………………………………… Trình sơ lược cách giải: ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………… c) Tìm số dư phép chia 2009201020112012: 2020 Kết quả: Số dư cần tìm là: ………………………………………………………… Trình sơ lược cách giải: ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… (4) ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… …………………………………… Bài (5,0 điểm) a) Một người gửi tiết kiệm 250.000.000 (đồng) loại kỳ hạn tháng vào ngân hàng với lãi suất 10,45% năm Hỏi sau 10 năm tháng, người đó nhận bao nhiêu tiền vốn lẫn lãi Biết người đó không rút lãi tất các định kỳ trước đó b) Một người hàng tháng gửi tiết kiệm 10.000.000 (đồng) vào ngân hàng với lãi suất 0,84% tháng Hỏi sau năm, người đó nhận bao nhiêu tiền vốn lẫn lãi Biết người đó không rút lãi a) Kết quả: Số tiền người đó nhận sau 10 năm tháng là: ………………………………………………………………… Trình sơ lược cách giải: ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………… b) Kết quả: Số tiền người đó nhận sau năm là: …………………………… Trình sơ lược cách giải: ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… (5) Bài 6: (5,0 điểm) a) Tìm tất các số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 và chia x cho 393 655 có số dư là 210 Trình sơ lược cách giải: Kết quả: Các số ……………………………………………………………………… cần tìm là: ……………………………………………………………………… ………………… ……………………………………………………………………… ………………… ……………………………………………………………………… ………………… ……………………………………………………………………… ………………… ……………………………………………………………………… ………………… ……………………………………………………………………… ………………… ……………………………………………………………………… ………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… b) Tìm các số x, y cho chia xxxxx cho yyyy có thương là 16 dư là r, còn chia xxxx cho yyy có thương là 16 có số dư là (r-2000) Trình bày sơ lược cách giải: …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Kết quả: x = ………… y = …………… Bài 7: (5,0 điểm) Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 Tính P(6); P(7); P(8); P(9) Trình bày sơ lược cách giải: …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Kết quả: P(6) = ………… P(7) = ………… P(8) = ………… (6) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… P(9) = ………… Bài 8: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A = 90o, AB = 4,6892cm, BC = 5,8516cm, AH là đường cao, CI là phân giác góc C Tính: a) Độ lớn góc B độ và phút b) Tính AH và CI chính xác đến chữ số thập phân Trình bày sơ lược cách giải: a) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ………………………………………………………………… Kết quả: B b) Tính AH: …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Tính CI: …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… AH = ……… CI = ……… Bài 9: (5,0 điểm) Cho dãy số: n Un 3 3 n với n = 0, 1, 2, … a Tính số hạng U0; U1; U2; U3 ; U4, U5; U6 ; U7 b Trình bày cách tìm công thức truy hồi Un+2 theo Un+1 và Un c Viết quy trình ấn phím liên tục tính Un+2 theo Un+1 và Un (7) a) Kết quả: U0 =………… U1 = ………… U2 = ………… U3 = ………… U4 =………… U5 = ………… U6 = ………… U7 = ………… b) Trình bày sơ lược lời giải: ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………… c) Quy trình ấn phím liên tục tính Un+2 theo Un+1 và Un là: ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Bài 10 (5,0 điểm) Nhân dịp kỷ niệm 1000 năm Thăng Long, người ta cho lát lại đường ven hồ Hoàn Kiếm các viên gạch hình lục giác Dưới đây là viên gạch lục giác có mầu (các hình tròn cùng màu, phần còn lại là màu khác) Hãy tính diện tích phần gạch cùng màu và tỉ số diện tích hai phần đó, biết AB a 15 cm A F B O * Kết quả: Diện tích phần gạch cùng mầu là: ………………………………………… Tỉ số diện tích hai phần cần tìm là: …………………………………… * Trình sơ lược cách giải: ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… (8) ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………… HẾT (9) HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI VÒNG TRƯỜNG GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2012 - 2013 Lời giải Thang điểm a) (3.0 điểm) Ta có : A ≈ 0,02515 1.5 B ≈ 567,86590 Bài (5.0 điểm) 1.5 b) (2.0 điểm) 4S = 1.2.3.4 + (5 - 1) 2.3.4 + (6 - 2).3.4.5 + + (101 - 97).98.99.100 = 1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + + 97.98.99.100 + + 98.99.100.101 = 98.99.100.101 S= 0.5 0.25 0.25 0.5 98 99 100 101 = 24497550 a) (2.5 điểm) Tổng số hạt thóc người đó cần là: 20 + 21 + 22 + 23 + …+ 231 = 232 – Bài = 294 967 295 (hạt) (5.0 9x1 167 y17 điểm) b) (2.5 điểm) Đặt n =3A = Ta có 901 167 017 ≤ n ≤ 991 167 917 966 ≤ n ≤ 997 Quy trình ấn phím: 965 D; D = D + 1: D3 Dừng lại D đến 997 KQ: x = 2; y = Bài (5.0 a) (2.5 điểm) 28 49 x 19 1.0 1.0 0.5 1.0 0.5 0.25 0.25 0.5 1.0 13 77 30 17 1.0 0.5 77 13 49 28 x : : 17 30 19 1270089 x 1111348 Kết quả: Hay x = 1.142836447 điểm) b) (2.5 điểm) 3+ 5+ 64 329 1051 = 1051 329 = 0.5 0.5 64 3+ 329 = 3+ 329 64 = (10) = ⇒ 3+ 1 5+ 64 = 3+ 5+ 7+ 2.5 KQ : a = 7; b = 10 P ( x, y ) x a) (1.5 điểm) Thu gọn biểu thức giá trị x = 0.987654321 tính P = 10,125 b) (1.75 điểm) M = 20102011 x 20112012 = (2010 104 + 2011)(2011 104 + 2012) = 2010 2011 108 + 20112 104 + 2010 2012 104 + 2011 2012 2010 2011 4 1 0 0 0 0 Bài 108 20112 104 4 0 (5.0 4 0 0 điểm) 4 M= 4 8 6 Vậy M = 404.291.886.456.132 c) (1.75 điểm) Số dư phép chia 200920102: 2020 là 802 Số dư phép chia 802011201: 2020 là 501 Số dư phép chia 5012: 2020 là 972 1.5 0.25 0.25 0 2 Vậy số dư phép chia 2009201020112012: 2020 là 972 n là Bài a) (2.5 điểm) Gọi a là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất kỳ hạn và n số kỳ hạn thì số tiền vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn là : A = a(1+r) + Lãi suất kỳ hạn tháng là = 2,6125% (5.0 + 10 năm tháng = 129 tháng = 43 kỳ hạn điểm) + Số tiền nhận sau 10 năm tháng là : A = 250 000 000 43 = 757 794 696,8 đ 1.25 0.25 0.25 0.25 1.0 1.0 0.5 1.0 b) (2.5 điểm) Gọi lãi suất hàng tháng là x, số tiền gốc ban đầu là a đồng + Số tiền gốc và lãi cuối tháng là : a + ax = a(1+ x) đ + Số tiền gốc đầu tháng là : a(1+x) + a = a[(1+x)+1] = [(1+x)2–1] = [(1+x)2–1] đ + Số tiền gốc và lãi cuối tháng là : [(1+x)2–1] + [(1+x)2–1].x = [(1+x)3–(1+x)] + Số tiền gốc đầu tháng là : [(1+x)3–(1+x)] + a = [(1+x)3–(1+x)+x] = [(1+x)3 – 1] đ + Số tiền gốc và lãi cuối tháng là: [(1+x)3 – 1] + [(1+x)3 – 1].x = [(1+x)3 – 1](1+x) + Tương tự, đến cuối tháng n thì số tiền gốc và lãi là : [(1+x)n – 1](1+x) đồng 0.25 0.25 0.25 0.25 (11) Với a = 10 000 000 đồng, x = 0,84%, n = 60 tháng thì số tiền nhận là : D = [(1+ 0,0084)60–1](1+ 0,0084) = 782 528 635,8 đồng 0.25 0.5 0.75 a) (2.5 điểm) Từ giả thiết, ta có: x = 393.q1 + 210 x -210 chia hết cho 393 x = 655.q2 + 210 x -210 chia hết cho 655 x -210 chia hết cho BCNN (393 ; 655) = 1965 x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2, ) hay x = 1965k + 210 - Từ giả thiết 10000 < x < 15000 10000 < 1965k + 210 < 15000 hay 9790 < 1965k < 14790 k < Tính trên máy: Với k = 5, ta có: x = 1965.5 + 210 = 10035 Bài Với k = 6, ta có: x = 1965.6 + 210 = 12000 (5.0 Với k = 7, ta có: x = 1965.7 + 210 = 13965 điểm) Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965 b) (2.5 điểm) Theo đề bài ta có : xxxxx = 16 yyyy + r (1) xxxx = 16 yyy + r - 2000 (2) 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được: x0000=16.y000+2000 10x=16y+2 5x=8y+1 y= 5x-1 Vì 0< x, y nên ta thử các giá trị x vào ta thấy x = 5, y = x;y N thỏa mản đề bài cho Kết quả: x = 5, y = Ta có P(1) = = ; P(2) = = 22 ; P(3) = = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52 Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2 Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = Suy 1; 2; 3; 4; là nghiệm đa thức Q(x) Bài Vì hệ số x5 nên Q(x) có dạng: (5,0 Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) điểm) Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62 Hay P(6) = 5! + 62 = 156 Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72 Hay P(7) = 6! + 72 = 769 P(8) = 7! + 82 = 5104 P(9) = 8! + 92 = 40401 0.5 0.5 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.75 0.75 0.75 0.75 (12) cos B AB 4.6892 BC 5.8516 C a) (1,5 điểm) Có Ấn phím: SHIFT COS-1 ( 4,6892 : 5,8516 ) = ( đọc kq trên màn hình 36044’25,64 ) 0’ ’’ o ' Vậy B 36 44 H 0.75 5,8516 B 4,6892 A I 0.75 b) (3,5 điểm) Bài (5,0 điểm) sin B 0.75 AH AB * ABH vuông H có => AH = AB sinB Tnh tiếp: 4,6892 x sin Ans = Kết quả:AH 2,805037763 cm 0.75 0.5 2 Dùng định lý Pitago ta có: AC BC AB 0.5 C AC C 90o B C từ đó ta có: cos CI => CI = AC: cos Ấn phím: ( 5,8516 x2 SHIFT COS-1 ( 4,6892 : 5,8516 ) = - 4,6892 x2 ) SHIFT STO A 90 - : = ALPHA A : COS Ans = Kết CI 3,915752461 cm a.(2.0 điểm) Thay n = ; ; ; ; vào công thức ta được: U0 = 0, U1= 1, U2 = 4, U3 = 15, U4= 56, U5 = 209, U6 = 780, U7 = 2911 b.(2.0 điểm) Cho Un + = aUn + + bUn + c Thay n = ; ; vào công thức, ta hệ phương trình: các giá trị U0 , U1, U2 ,U3 ,U4 và giải hệ phương trình ta a = 4, b = -1, c = Vậy Un + = 4Un + – Un Bài (5,0 điểm) c (1.0 điểm) Quy trình bấm phím liên tục tính Un + Đưa U1 vào A, tính U2 đưa vào B: – Lặp lại dãy phím :4 – (được U3) 4– (được U4) Bài 10 (5,0 điểm) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là: Diện tích hình tròn là: R2 a 12 a a R 1.0 2.0 0.5 1.0 0.5 1.0 0.75 0.5 1.0 (13) Diện tích hình tròn là: a2 353, 42917 cm2 Diện tích toàn viên gạch Diện tích phần gạch xọc là: a 3a 6 là: 3a a 2 0.75 1.0 231,13797 cm2 Sgach xoc Tỷ số diện tích phần diện tích trên là: S6 hinh tron 65, 40% * Lưu ý: Mọi cách giải khác đúng cho điểm theo bài, ý 1.0 (14)