Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong Đại số Phương trình bậc hai : Giải phương trình; điều kiện có nghiệm, không có nghiệm.. Định lý Vi-et Đường tròn; các yếu tố trong[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : Toán ( Hệ chuyên) Thời gian làm bài :150 phút Bài 1: (3,5 điểm) 1) Tính P = 15a - 8a 15 +16 a= + 2 2) Giải phương trình: 25 - x - 10 - x = 3) Cho phương trình x2 + mx + n = Tìm m và n để hiệu các nghiệm phương trình và hiệu các lập phương các nghiệm đó 35 Bài 2: (2,0 điểm) 1) Chứng minh : Nếu b là số nguyên tố khác thì số A = 3n + + 2009b là hợp số với n N 2) Tìm các số tự nhiên n cho n +18n + 2020 là số chính phương Bài 3: (1,0 điểm ) N x x 2010 đạt giá trị lớn Cho x Tìm giá trị x để biểu thức Bài : (1,5 điểm) Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Gọi (O) là đường tròn qua hai điểm B và C Từ A kẻ hai tiếp tuyến AE, AF với đường tròn (O), (E, F là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm BC; FI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K Chứng minh : a) Hai điểm E, F nằm trên đường tròn cố định (O) thay đổi b) EK song song với AB Bài : (2,0 điểm) 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), với AD là đường kính Biết AB = BC = cm; CD = 6cm Tính bán kính đường tròn (O) 2) Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B nằm bên ngoài đường tròn cho OA = 2R Tìm điểm M trên đường tròn (O; R) để tổng MA + 2MB đạt giá trị nhỏ - Hết Ghi chú : Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh : Số báo danh Giám thị : Giám thị : (2) SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN (HỆ CHUYÊN) Tóm tắt cách giải Biểu điểm Bài (3,5 điểm) 1) (1,0 điểm) Rút gọn P P = 15a - 8a 15 +16 = (a 15) - 2a 15.4 + 42 = a 15 - = a 15 - Thế a= 0,25 điểm * = + 15 vào (*) ta được: P = 0,25 điểm 0,5 điểm 2) (1,0 điểm) Giải phương trình: 25 - x - 10 - x = 25 - x 0 10 - x 0 Điều kiện: 1 x 25 x 10 - 10 x 10 x 10 * 0,25 điểm 2 (1) 25 x 3 10 x 25 x 9 10 x 10 x 10 x 1 (2) Phương trình (2) có nghiệm x1 3 ; x2 ( thỏa mãn với điều kiện ) Vậy nghiệm phương trình đã cho là x1 3 ; x2 3) (1,5 điểm) Điều kiện m - 4n > x x Gọi , là nghiệm phương trình Không tính tổng quát ta giả sử x2 x1 > x1 x2 m x x n Theo Vi-et ta có : x x x x 4x x 1 x23 x13 x2 x1 x1 x2 x1x2 Mặt khác : 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm (3) 25 m2 4n 35 5 m n Nên ta có : m 4n 25 m n 7 0,5 điểm n Giải hệ phương trình ta m 1 thỏa mãn điều kiện bài toán m 1; n Vậy các giá trị cần tìm là : m 1; n Bài 2: ( 2,0 điểm ) 1) (1,0 điểm) Vì b là số nguyên tố khác nên b2 - Ta có A = 3n + + 2009b2 = 3( n + + 669b2 ) + 2b2 - = 3( n + + 669b2 ) + 2(b2 - 1) Do A > nên A là hợp số với n N 2) (1,0 điểm) 2 Để n +18n + 2020 là số chính phương thì n +18n + 2020 = m m nguyên, dương, 2 (1) m -18n - n = 2020 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm (1) với m - n +18n = 2020 m - n + = 2020 - 81 = 1939 0,25 điểm 0,25 điểm m - n - m + n + = 1939 Mà 1939 = 1939 = 277 m + n + = 1939 m + n + = 277 Nên m - n -9 = m - n - = m + n + = 1939 m + n = 1930 2n = 1920 n = 960 m n = m n = 10 * Với m + n + = 277 m + n = 268 2n = 252 n =126 m n = m n = 16 Với Thử lại các giá trị n vừa tìm thỏa mãn đề bài Vậy n = 960 và n = 126 là các số cần tìm Bài (1,0 điểm) N nhỏ Do x > nên N > N lớn Ta có : 2 x 2010 x 2010 x 2.2010 x 20102 4.2010 4.2010 N x x x dấu “ = “ xảy x 2010 Suy giá trị nhỏ N là 4.2010 = 8040 đạt x = 2010 * 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm (4) 0,25 điểm Vậy với x = 2010 thì N đạt giá trị lớn Giá trị lớn là 8040 Bài (1,5 điểm) Vẽ hình đúng a) Chứng minh E, F nằm trên đường tròn cố định (O) thay đổi E Ta có AEB = ACE ( cùng chắn cung EB ) ΔAEB ΔACE (g-g) AE AB = AC AE AE = AB.AC A 0,25 điểm K B I C O Vì A, B, C cố định AB AC không đổi Mà AE = AF AE = AF không đổi (O) thay đổi 0,25 điểm F Vậy hai điểm E, F nằm trên đường tròn cố định tâm A bán kính đường tròn (O) thay đổi b) Chứng minh EK // AB: Vì IB = IC ( giả thiết ) OI BC AB.AC Ta có AEO = AFO = AIO = 90 năm điểm A, E, I, O, F cùng thuộc đường tròn đường kính AO AEF = AIF ( cùng chắn cung AEF = EKF ( cùng chắn cung 0,25 điểm 0,25 điểm AF ) EF ) AIF = KIC ( đối đỉnh ) EKF = KIC ( hai góc vị trí so le ) EK // AB 0,25 điểm 0,25 điểm Bài (2,0 điểm) 1) (1,0 điểm) Gọi R là bán kính đường tròn (O); R > Do AB = BC = cm AB = BC OB AC I Và IA = IC, ACD vuông C (nội tiếp đường tròn (O)) OI // CD nên OI là đường trung bình C CD B OI = =3 tam giác ACD cm I Áp dụng đinh lý Pitago cho OIC ta có : OC2 = OI2 + IC2 IC2 = R2 - A O 0,25 điểm D Mặt khác BIC vuông, ta có : 0,25 điểm (5) 2 - R -3 BC = BI + IC IC 2 R - = - R - 3 R - 3R -10 = R + R - = Vậy 5 = 0,25 điểm 0,25 điểm Nghiệm dương phương trình là R = thỏa mãn với điều kiện ban đầu Do đó bán kính đường tròn (O) là R = 5cm 2) (1,0 điểm) Gọi C là giao điểm đoạn OA và đường tròn, N là trung điểm OC ON OM = = Ta có : OM OA ONM OMA c.g.c AM = 2MN Từ đó : MA + 2MB = 2MN + 2MB 2BN (không đổi) Vậy MA + 2MB đạt giá trị nhỏ 2BN Lúc đó M chính là M0 là giao điểm đoạn BN và đường tròn (O; R) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Ghi chú: - Hướng dẫn chấm trình bày các cách giải, cách giải khác đúng cho điểm tối đa theo biểu điểm qui định bài -Đáp án có chỗ còn trình bày tóm tắt, biểu điểm có chỗ còn chưa chi tiết cho bước biến đổi, lập luận; tổ giám khảo cần thảo luận thống trước chấm -Điểm toàn bài không làm tròn số (6) TUYẾN SINH VÀO THPT MA TRẬN THIẾT KẾ ĐỀ TOÁN CHUYÊN ( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề ) Phân môn Mạch kiến thức Mức độ Số học Số nguyên tố, hợp số Bài 2.1 CỘNG bài (2 câu) 1,0 Bài 2.2 Tìm số tự nhiên theo điều kiện cho trước Căn bậc hai : rút gọn và tính giá trị biểu thức Đại số Nhận biết Thông hiểu Vận dụng 2,0 điểm 1,0 Bài 1.1 bài (4 câu) 1,0 Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Đại số Phương trình bậc hai : Giải phương trình; điều kiện có nghiệm, không có nghiệm Bài 1,0 4,5 điểm Bài 1.2 1,0 Bài 1.3 Hình học Định lý Vi-et Đường tròn; các yếu tố đường tròn; quĩ tích Bài 4.1a 1.5 Bài 4.1b 0,75 0,75 Bất đẳng thức, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hình học bài (4 câu) 1,0 Bài 3,5 điểm 1,0 câu TỔNG CỘNG Bài 4.2 2,75 điểm câu 4,25 điểm câu 3,0 điểm bài (10 câu) 10 điểm (7) (8)