HE PHUONG TRINH 2013

Một trong các phép biến đổi để làm xuất hiện ẩn phụ là việc chia cả hai vế của phương trình cho cùng một biểu thức khác 0.. Giải hệ phương trình .[r]

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Giáo viên: Đinh Văn Trường Tổ Toán – Trường THPT Nghèn Bài toán hệ phương trình là bài toán xuất thường xuyên các đề thi ĐH – CĐ năm Việc nhận dạng hệ phương trình giúp chúng ta định hướng tốt phương pháp để giải chúng Chuyên đề trình bày số dạng hệ phương trình thường gặp các kì thi tuyển sinh Dạng Trong hệ có ẩn là bậc  y  f  x   x  f  y     g  x, y    g  x, y   Sử dụng phương pháp 2 x  y  Ví dụ Giải hệ phương trình  2 x  x  y  2 Bài giải Từ phương trình (1) suy y   x Thế vào phương trình (2) thu 2 x  x    x   2  x  17 x  11  x  1 y    x  11  y     11  Vậy hệ đã cho có hai nghiệm 1;1 và  ;    3  x  x  y  1   Ví dụ Giải hệ phương trình   x  y     x  Bài giải Điều kiện x   x  x2 Từ phương trình (1) suy y  Thế vào phương trình (2) thu x (Khối D - 2009)   x  x2  x        x  3x   x   x x  1 y   x   y    3  Vậy hệ đã cho có hai nghiệm 1;1 và  2;   2   xy  x   y Ví dụ Giải hệ phương trình  2 (Khối B - 2009) x y  xy   13 y  y 1 Bài giải Từ phương trình (1) suy x  y  1  y  Dễ thấy y  1 Do đó, x  y 1   Thế vào phương trình (2) thu 36 y  33 y  y  y     y  1 y  1 12 y  y    y  1 x   y   x 1   1 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm  1;  và  3;1  3 Trong ví dụ 2, có thể đặt ẩn phụ a  x  y và b  x Ví dụ 3, đặt a  x  và b  Phương pháp này x y y trình bày cụ thể phần sau chuyên đề Một số bài toán tương tự 2  x  x y  x y  x  Bài Giải hệ phương trình   x  xy  x   x  x  y   Bài Giải hệ phương trình  2 log  x    log y  (Khối B - 2008) (Khối D - 2010) Dạng Trong hệ có phương trình là phương trình tích  f  x, y     g  x, y  h  x, y    xy  x  y  x  y Ví dụ Giải hệ phương trình   x y  y x   x  y Bài giải Điều kiện x  ; y  (Khối D - 2008) Phương trình (1) tương đương với x   y  1 x  y  y    Xem phương trình này là phương trình bậc hai ẩn x Ta có   y  1  y  y   y  1 Khi đó,  x  y 1 (1)   Nói cách khác 1   x  y  x  y  1   x  y  (Do x  y  ) x  y Thế vào phương trình (2) thu  y  1 y  y y   y  1  y   y  1 y   y  1  y  (Do y  ) Vậy hệ đã cho có nghiệm  5;      x x2  y2  y4  y2  Ví dụ Giải hệ phương trình   x   y   Bài giải Điều kiện x  1 Phương trình (1) tương đương với x  y x  xy  y  y      x  y2  y 2 Vì  không phải là nghiệm hệ nên x  xy  y  y   x     y  Do đó, 1  x  y  y   Thế vào phương trình (2) thu x   x   Giải phương trình này thu nghiệm x  Vậy hệ đã cho có hai nghiệm 1;1 và 1; 1 Một số bài toán tương tự  y   x    x  Bài Giải hệ phương trình   y  x  xy  16 x  y  16   x  y xy  y y  x x  Bài Giải hệ phương trình   x   y   x  y 4   x  y 3   x  y   Bài Giải hệ phương trình  2 5  x  y   xy     5 x y  xy  y   x  y   Bài Giải hệ phương trình  2  xy x  y    x  y   xy  x   Bài Giải hệ phương trình  2 2 x  x y  x  y  xy  y  Lưu ý Bài Có thể sử dụng phương pháp dạng 2  x  y  y  1  x 1  y  Bài Giải hệ phương trình   y  x    (Khối A - 2011)  (Khối D - 2012) Dạng Trong hệ có phương trình là phương trình đẳng cấp  f  x, y    2 ax  bxy  cy   f  x, y    2 ax  bx y  cxy  y   x  y  xy  x  y   Ví dụ Giải hệ phương trình  x  y  x  y   Bài giải Điều kiện x  y ; x  2 y Phương trình (1) tương đương với x  x y  xy  y  Dễ thấy y  , chia hai vế phương trình cho y 3 Thế vào phương trình (2) thu Vậy hệ đã cho có nghiệm  2; 1 x x x x           2 y  y  y y x   x   y  1 2 x  y   x y  Ví dụ Giải hệ phương trình   x  y  Bài giải Điều kiện x  ; y   Đặt a  x và b  y  Với a  ; b  Phương trình (1) trở thành 2a  ab  b    a  b  2a  b   Từ phương trình (2) suy x   y   x   a   2a  b  Do đó, 1  a  b  x  y    Thế vào phương trình (2) thu y  y  y     y  1 y  y    y  Vậy hệ đã cho có nghiệm  2;1 Đôi chúng ta cần phải biến đổi hệ phương trình nhờ sử dụng ‘‘phép không hoàn toàn’’ để thu phương trình đẳng cấp 2  x  y  12 Ví dụ Giải hệ phương trình   x  xy  12 y  Bài giải Thế phương trình (1) vào phương trình (2) thu hệ phương trình tương đương 2  x  y  12  x  y  12   2 2  x  xy   x  y  y   x  xy  x y  y  x  x x Nhận xét y  , chia hai vế phương trình (*) cho y thu          x  2 y y  y  y Thế vào phương trình (1) thu 12 y  12  y  1 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm  2;1 và  2; 1 Một số bài toán tương tự 3  x  xy  y  x  y Bài Giải hệ phương trình   x  xy   x  x  y  y Bài Giải hệ phương trình  x   y    x  y  y  16 x Bài Giải hệ phương trình  2 1  y   x     Dạng Hệ phương trình giải phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp đặt ẩn phụ đòi hỏi kĩ biến đổi để phát các ẩn phụ a  f  x, y  và b  g  x, y  xuất hai phương trình hệ đã cho  x  y  2x  y   Ví dụ Giải hệ phương trình    2x  y   x  y  Bài giải Điều kiện x  y   ; x  y  Đặt a  x  y và b  Với a  1 và b  Khi đó, hệ phương trình đã cho trở thành 2x  y a  b  b   a b       1 a   a   b   a    a   x  y  x  Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với    x   y  1 Vậy hệ đã cho có nghiệm 1; 1 Một các phép biến đổi để làm xuất ẩn phụ là việc chia hai vế phương trình cho cùng biểu thức khác Chẳng hạn: x, x , x3  x  y  xy   y Ví dụ Giải hệ phương trình  2  y  x  y   x  y  Bài giải Từ phương trình (1) suy y  Chia hai vế phương trình (1) và (2) cho y thu hệ tương đương  x2 1  yx4   y   x  y 2  x    y  a   a  b  a   b x2  b  Đặt a  và b  x  y Hệ trở thành     a  y b  2a  b  15  2b   b  5 x2 1  y  x2    x a   x  2 x  Với  ta có hệ     b  y  y  x  y  y  3 x Trường hợp còn lại hệ vô nghiệm Vậy hệ đã cho có hai nghiệm 1;  và  2;5  3 8 x y  27  18 x Ví dụ Giải hệ phương trình  2 4 xy  y  x  Bài giải Từ phương trình (1) suy x  Chia hai vế phương trình (1) cho x và phương trình (2) cho x thu hệ tương đương  3 y 3  27  y    18  y    18 8 y  x  18 x x x     y y y   4  2 y  1  1  x x  x  x a  a3  9ab  18  2y Đặt a  y  và b  Hệ trở thành   Do đó, hệ đã cho tương đương với x x ab  b    93 93  x  x    2 y  x  2 y  3   2 2y     y   x  y y  3 y  3   x   4 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm trên Trong ví dụ trên, chúng ta đã sử dụng đẳng thức a3  b3   a  b   3ab  a  b  để biến đổi hệ phương trình làm xuất các ẩn phụ Phương pháp này sử dụng khá nhiều việc biến đổi các biểu thức hệ phương trình   x  y  x y  xy  xy   Ví dụ Giải hệ phương trình  (Khối A - 2008)  x  y  xy 1  x     Bài giải Biến đổi hệ phương trình tương đương với  2  x  y  xy x  y      x  y  xy      5 5   2 a    a a    a  b a    a  0, b             4 4  Đặt a  x  y và b  xy Hệ trở thành     5  a  b   b    a a   ,b      2      3 25   Từ đây thay lại ta thu các nghiệm hệ đã cho là  1;   và  ;   2 16     x  x  y  y   Ví dụ Giải hệ phương trình   x y  x  y  22  Bài giải  x     y  32   Biến đổi hệ phương trình tương đương với  2  x    y  3   x     y  3  a  b   a  0, b  Đặt a  x  và b  y  Hệ trở thành    a  2, b  ab   a  b     Từ đây thay lại ta thu nghiệm hệ đã cho là  2;5 và  2;3  Một số bài toán tương tự y   x  y   x  Bài Giải hệ phương trình  y  x  y   22  x 2  y  xy  x Bài Giải hệ phương trình  2 1  x y  x 2  y  xy  6 x Bài Giải hệ phương trình  3 1  x y  19 x 2 x  y  xy  xy 1  x   Bài Giải hệ phương trình   2   x  y 1    12  xy   3     1  2  Bài Giải hệ phương trình  x  y    x  y    2 x  2x  y    x  1   y  1  51 Bài Giải hệ phương trình   xy  x  1 y    20  x  x3 y  x y  Bài Giải hệ phương trình   x y  x  xy   x  x  y   y  x  Bài Giải hệ phương trình  2  x  x  y   y  x  Dạng Hệ phương trình giải phương pháp hàm số Phương pháp hàm số dùng để giải hệ phương trình dựa trên kết sau: “Nếu hàm số y  f  x  đơn điệu (đồng biến nghịch biến) trên tập D thì x, y  D : f  x   f  y   x  y ’’  x   y  x y Ví dụ Giải hệ phương trình   y  x3   Bài giải Điều kiện x  ; y  (Khối A - 2003) 1 Phương trình (1) có dạng f  x   f  y  Với f  t   t  Ta có f '  t     0, t  Suy f đồng biến t t trên các khoảng  ;  và  0;   Do đó, 1  x  y x  Thế vào phương trình (2) hệ ta x  x    x  1 x  x      x  1      1  1    1  1   Vậy hệ đã cho có ba nghiệm 1;1 ;  ; ;  và   2     Như vậy, để giải hệ phương trình dạng này, chúng ta cần phải tìm hàm số y  f  x  đơn điệu trên tập D nào đó Chúng ta có kết đáng chú ý: hàm số y  ax3  bx  c (có đạo hàm là y  3ax  b ) đồng biến trên R với a, b dương 3  x  x   y  y  y Ví dụ Giải hệ phương trình   y  x y   Bài giải Biến đổi phương trình (1) tương đương với x  x   y  1  y  Phương trình (1) có dạng f  x   f  y  1 , với f  t   t  t Ta có f '  t   3t   0, t Suy ra, f đồng biến trên R Do đó, 1  x  y  y 1 Thế vào phương trình (2) ta y   y  1 y    2 y  y     y     3 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm  2;1 và   ;    2 2 y  y  x  x   x Ví dụ Giải hệ phương trình  (HSG Vĩnh Phúc - 2013)  y   y   x  Bài giải Điều kiện: 4  x  Biến đổi phương trình (1) tương đương y  y   1  x   1  x  y  y  1  x   x   x Phương trình có dạng f  y   f    x , với f  t   2t  t Ta có f '  t   6t   Suy f đồng biến trên R y  Do đó, 1  y   x   Thế vào phương trình (2) thu  x   x   x   y  1 x VT là hàm số nghịch biến trên khoảng  4;1 , còn VP là hàm số đồng biến trên khoảng  4;1 nên phương trình có nghiệm x  3 Vậy nghiệm hệ đã cho là  3;     x  x   y  3  y  Ví dụ Giải hệ phương trình  (Khối A - 2010) 2 4 x  y   x  Bài giải Biến đổi phương trình (1) tương đương x  x    y   y  x  x    y   1  y     x  x    2x   y     x2 x   y y     1  Thế vào phương trình (2) và xét hàm số tương tự ví dụ Nghiệm hệ là  ;  2  3 x  x   x x    y  1 y  y  Ví dụ Giải hệ phương trình  2  x  y  x  y  Bài giải 3 x  x   x x    y  1 y  y  Biến đổi hệ đã cho tương đương  2  x  x  2 y  y  Trừ vế các phương trình (1) và (2) suy x  x   x x   x  x   y  1  y  1  x  x x    y  1   y  1 Xét hàm số f  t   t  t t  Đạo hàm f '  t   2t  t   8 5 Nghiệm hệ đã cho là  1; 2  và  ;  3 3 Một số bài toán tương tự  x  y  cos x  cos y Bài Giải hệ phương trình  x y  y  18     x   x  y y   Bài Giải hệ phương trình   x  y    x  x  x  22  y  y  y  Bài Giải hệ phương trình  2 x  y  x  y   2 1  y2  y   y  1 t2 t2 1 1  2t  t  nên hàm số đồng biến trên R (Khối A, A1 - 2012)